Introducci´on a la L´ogica Proposicional Ejercicio 1:
Dadas las siguientes frases identifique e indique cu´ales son proposiciones simples:
1. ¿Pedro es alto?
2. La cantante triunfa inesperadamente.
3. ¡corre!
4. Ll´evame a pasear.
5. 35 es un n´umero par.
6. Los senadores debaten con tranquilidad.
7. Z> 68.
8. Todo n´umero real elevado a la cero da uno.
9. Salta la cuerda.
10. -34 * 10 = 340.
Ejercicio 2:
Para cada una de las siguientes proposiciones, identifique las proposiciones elementales represent´ando- las con las letras (A, B, C,. . .) respectivamente.
1. Es falso que un litro de agua pesa menos que un kilo.
2. Ustedes pueden usar las c´amaras digitales o las c´amaras de sus tel´efonos celulares o ambas.
3. Patinaremos si y s´olo si el hielo no es demasiado delgado.
4. Siempre que llueve, las plantas se riegan.
5. A pesar de que el coche no aceler´o, hubo un accidente.
Ejercicio 3:
Dadas las siguientes proposiciones simples:
A = El matem´atico estudia.
B = El problema es sencillo.
C = La soluci´on es correcta.
Reemplace en las siguientes proposiciones compuestas, tratando de obtener dos versiones distintas de las mismas en lenguaje natural:
(B ∧ C) (A ⇒ (B ∧ C)) (A ⇐⇒ (B ∧ C))
Ejercicio 4:
Dadas las siguientes proposiciones:
Mi calculadora calcula cualquier ra´ız si y s´olo si tiene la funci´on n1. Google y You Tube son la p´aginas que m´as visita Lorena.
1. Identifique las proposiciones simples.
2. Determine cu´ales son los conectivos l´ogicos.
3. Exprese formalmente en s´ımbolos.
Ejercicio 5:
Indique si las siguientes son f´ormulas bien formadas (fbfs), en caso de no serlo justifique:
1. P∧ ∧ Q ∧ R 2. ¬¬((Q (P ∨ R)∧ P) 3. ((P ∧¬ Q) ⇐⇒ (S ∨ R)) 4. (¬(R ⇒ (¬ Q)))
Ejercicio 6:
Identifique con letras (A, B, C,. . .) las proposiciones elementales y escriba, utilizando los s´ımbolos de la L´ogica proposicional, las proposiciones compuestas:
1. Jos´e canta si est´a contento y est´a contento si canta.
2. Una propaganda genial en la TV es suficiente para conseguir el ´exito de un producto.
3. El´ıas toma caf´e o t´e y toma caf´e solamente si contiene az´ucar.
4. La espalda duele si el m´usculo abdominal est´a d´ebil.
Ejercicio 7:
Dadas las siguientes frases:
1. Si aumenta la inflaci´on y quiebran algunas empresas, entonces aumentar´a la criminalidad.
2. No es verdad que Jim y Tom sean ambos estrellas de rock.
3. Las interfaces permiten la interacci´on usuario-sistema s´olo si son inteligentes.
a) Escriba fbfs que las representen.
b) Niegue las fbfs escritas en a).
c) Escriba frases que representen las fbfs escritas en b).
Para cada una de las f´ormulas bien formadas que siguen, sugiera las proposiciones elementales para P, Q, R y S respectivamente y escriba las frases que representen cada fbfs.
1. (P ∨ R) ⇒ Q 2. ¬(P ∧ Q)
3. ((P ∨(S ∧ R))∨ Q) Ejercicio 9:
Construya la tabla de verdad para las siguientes f´ormulas:
a. (A ∧ A) b. (A ∧ ¬ A) c. (A ∨ A) d. (A ∨ ¬ A)
1. Decida si cada una de las f´ormulas cumple con ser tautolog´ıa, contradicci´on, contingencia, o consistente.
2. Determine, en caso de existir, los pares de f´ormulas l´ogicamente equivalentes.
Ejercicio 10:
Para cada una de las fbfs que siguen, escriba otra l´ogicamente equivalente:
1. ¬(P ∨ Q) 2. ((P ∨Q) ⇒ R) 3. ¬(R ⇒ Q) Ejercicio 11:
Teniendo en cuenta la siguiente situaci´on:
Cuatro amigos, Federico, Diego, Mabel y Laura van al cine y eligen entre dos pel´ıculas diferentes.
Formalice cada enunciado usando las letras de proposici´on que se indican:
P = Federico ve la pel´ıcula de terror.
Q = Diego ve la pel´ıcula de terror.
R = Mabel ve la pel´ıcula de terror.
S = Laura ve la pel´ıcula de terror.
1. S´olo si Mabel no ve la misma pel´ıcula que Laura, Federico y Diego ven la pel´ıcula de terror.
2. Diego y Laura no ven la pel´ıcula de terror a menos que Laura, Mabel y Federico vean la misma pel´ıcula.
Ejercicio 12:
Sabiendo que v(P ⇒Q) = V, ¿qu´e puede decir del valor de verdad de las siguientes f´ormulas, conociendo el comportamiento de cada conectivo?
1. (P ∨ R) ⇒ (Q ∨ R) 2. (P ∧ R) ⇒ (Q∧ R) Ejercicio 13:
Determine el valor de verdad de las siguientes f´ormulas, asumiendo que P y Q son verdaderos mien- tras que S y T son falsos:
1. ((P ∨(S ∧ T))∨ Q) 2. ¬(Q ∨ S)
3. (¬ Q ∧¬ S) Ejercicio 14:
Examine cada una de las ´ultimas 5 columnas de la siguiente tabla de verdad y verifique si alguna representa la tabla de verdad de la f´ormula((P ⇒ Q ) ∨ ( R ∨¬ Q)).
P Q R 1 2 3 4 5
V V V F V V V V
V V F V V V V F
V F V F F F V V
V F F V V V V V
F V V F V V V F
F V F V V V V F
F F V F F V V V
F F F V V V V V
Ejercicio 15:
Dadas las siguientes expresiones, elimine tantos par´entesis como le sea posible de manera que, considerando la jerarqu´ıa y la propiedad asociativa de los conectivos, se mantenga el significado de la f´ormula original:
1. ((P ⇒ (¬ Q))∧ R) 2. ((P ∨(Q ∨ R))
3. (((P ∧(¬ Q))∧ R)∨ S)
4. (¬((¬(¬( P ∨ Q))) ⇒ (P ∧ Q))) Ejercicio 16:
Encuentre en la siguiente lista de f´ormulas c´ual se corresponde con el significado de:
¬ P ⇒ ¬ Q ∧ R.
1. (¬ P ⇒ ¬ Q)∧ R 2. ¬ P ⇒ ¬(Q ∧ R)
4. ¬ P ⇒ (¬ Q ∧ R) 5. ¬(P ⇒ (¬ Q ∧ R)) Ejercicio 17:
a. Pruebe que los conectivos de negaci´on y disyunci´on forman un conjunto adecuado de conectivos.
Es decir, que se puede expresar el resto de los conectivos s´olo usando el conjunto{¬, ∨}.
b. ¿Qu´e pasa si ahora se usa¬ y ∧?
Ejercicio 18:
Dada las siguientes f´ormulas bien formadas:
a) (P ⇒ (Q ⇒ (P ∧ Q))) b) (A ¬ B)
Exprese f´ormulas bien formadas equivalentes a cada una de ellas:
1. Usando s´olo los conectivos∧ y ¬.
2. Usando s´olo el conectivo|.
3. Usando s´olo los conectivos∨ y ¬.
4. Usando s´olo el conectivo↓.
En la determinaci´on de las nuevas fbfs indique, en cada paso, cu´ales fueron las fbfs equivalentes utilizadas para lograrlas.
Ejercicio 19:
Determine la expresi´on l´ogica que describa los siguientes problemas:
1. La alarma suena si la llave est´a en el contacto, o la puerta est´a abierta y el motor no est´a funcio- nando; o si las luces est´an encendidas y la llave no est´a en el contacto, o el cintur´on de seguridad del conductor no est´a ajustado y el motor est´a funcionando; o el asiento del pasajero est´a ocupado y su cintur´on de seguridad no est´a ajustado.
2. Si llueve las calles est´an vac´ıas. Si las calles est´an vac´ıas el comercio obtiene p´erdidas. Los m´usicos no podr´ıan sobrevivir si los comerciantes no les contratasen para componer canciones para publicidad. Los comerciantes contratan canciones publicitarias cuando tienen p´erdidas. Por tanto, si llueve los m´usicos pueden sobrevivir.
3. Si llueve o hace fr´ıo, me quedo en casa. Si es domingo y me quedo en casa, me aburro a menos que me visite alg´un amigo. Si me visita alg´un amigo, me divierto. No me divierto y es domingo.
Por lo tanto, si no hace fr´ıo me aburro.
4. La m´usica amansa a las fieras cuando ´estas no est´an sordas. Para que las fieras no est´en sordas, es suficiente disponer de suficientes aud´ıfonos. Por tanto, disponer de suficientes aud´ıfonos es una
Ejercicio 20:
En L´ogica Proposicional existen reglas, llamadas reglas de inferencia, que sint´acticamente permiten asegurar que ciertas f´ormulas bien formadas tomar´an el valor de verdad Verdadero, a partir de asumir con valor de verdad Verdadero a otras f´ormulas tomadas como hip´otesis. Estas reglas pueden aplicarse in- dependientemente del significado de las proposiciones que cada una representa. Las reglas de inferencia m´as conocidas son:
Sean P, Q y R f´ormulas bien formadas cualesquiera:
Modus Ponens (MP): de la veracidad de(P ⇒ Q) y de P, se puede asegurar la veracidad de Q.
Modus Tollens (MT): de la veracidad de(P ⇒ Q) y de ¬Q, se puede asegurar la veracidad de ¬P.
Silogismo Hipot´etico (SH): de la veracidad de(P ⇒ Q) y de (Q ⇒ R), se puede asegurar la veracidad de(P ⇒ R).
Silogismo Disyuntivo (SD): de la veracidad de(P ∨ Q) y de ¬P, se puede asegurar la veracidad de Q.
Resuelva utilizando las reglas de inferencia:
1. Por medio de las reglas de inferencia pruebe¬T a partir de las siguientes premisas: P ⇒ ¬ Q, Q∨¬R, P ∧ S y T ⇒ R ∧ S.
2. Demuestre U a partir de P∧ T, P ⇒ Q, Q ⇒ (R ∧ S), ¬R ∨¬T ∨ U.
3. Demuestre que R⇒ ¬ Q a partir de ¬(R ∧ S) y ¬S ⇒ ¬Q.
Ejercicio 21:
Dadas los siguientes razonamientos:
1. Si Juan es comunista, Juan es un ateo. Juan es comunista. Por lo tanto, Juan es un ateo.
2. Renato ser´a contratado si pasa todas las entrevistas. Si Renato tiene experiencia previa y no par- ticipa activamente en las reuniones, ser´a contratado. Renato tiene experiencia previa. Adem´as, Renato pasar´a todas las entrevistas si participa activamente en las reuniones. Renato participa activamente de las reuniones. Entonces Renato ser´a contratado.
Represente cada frase como una f´ormula bien formada y luego verifique si la ´ultima frase (la conclu- si´on) puede ser verdadera. Para esta ´ultima parte utilice de ser posible las reglas de inferencia anteriores y, en caso de no ser posible, utilice las tablas de verdad.
Ayuda: En general, para verificar si una conclusi´on es verdadera a partir de las hip´otesis, se pueden utilizar las reglas de inferencia o verificar si es tautolog´ıa la implicaci´on de la conjunci´on de las premisas o suposiciones o hip´otesis (f´ormulas que representan las frases anteriores) con la f´ormula que representa la ´ultima frase o conclusi´on. Es decir, si el conjunto de proposiciones que representan las frases tomadas como hip´otesis es {P1, P2, . . . , Pn} y la conclusi´on se representa por la proposici´on Q, entonces se debe demostrar que la f´ormula((n
i=1Pi) ⇒ Q) es una tautolog´ıa (o rec´ıprocamente tambi´en se puede mostrar que¬ ((n
i=1Pi) ⇒ Q) es una contradicci´on).
Ejercicio 1:
Designe con letras (A, B, C,. . .) las proposiciones elementales y escriba, utilizando los s´ımbolos de la L´ogica proposicional, las proposiciones compuestas:
1. No es cierto que los platos est´en sobre la mesa y la comida est´a servida.
2. Tiene coche y, sin embargo, no sabe conducir.
3. Si Ram´ırez no es elegido como dirigente del partido, entonces Gonz´alez o Fern´andez dejar´an el gabinete ministerial y perderemos las elecciones.
4. Six es n´umero racional e y es un n´umero entero, entonces z no es real.
5. Los planetas giran alrededor del Sol.
6. O bien el asesino ha abandonado el pa´ıs o, en caso contrario, alguien est´a encubri´endole.
7. Los animales con pelo o que dan leche son mam´ıferos.
8. Ya sea que vaya en colectivo o caminando, voy a ir.
9. Si tanto la temperatura como la presi´on atmosf´erica permanecen contantes, no llueve.
10. Ma˜nana habr´a clases si y solamente si viene el Dr. Carreras.
11. Si Mar´ıa aprueba l´ogica har´a una fiesta y sino estudiar´a durante el verano.
12. Si Sr. P´erez es feliz, la Sra. P´erez es infeliz, y si el Sr. P´erez es infeliz, la Sra. P´erez es infeliz.
13. No hay objetos celestes que giren alrededor de s´ı mismos.
14. O Andr´es estaba equivocado y Sof´ıa ten´ıa raz´on o Sof´ıa no ten´ıa raz´on.
Ejercicio 2:
Determine, mediante la tabla de verdad, si las siguientes f´ormulas cumplen con ser tautolog´ıas, contradicciones, contingencias, o consistentes.
a. (¬ P ⇒ (Q ⇒ P)) b. (((P Q)∧P) ⇒ ¬ Q) c. ¬((P ∨ Q) ∧ (¬ P ∧¬ Q))
d. (((P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ R)) ∧ ¬(P ⇒ R)) e. (((P ⇒ Q) ∧ ¬ Q) ⇒ ¬ P)
f. ((P ∨ Q) ⇒ (¬ P ∧ Q)) g. (P ∧¬((P ∨ Q)∨ R))
Ejercicio 3:
Dados los siguientes razonamientos:
1. La Tierra es un planeta entonces gira alrededor del Sol. Si la tierra gira alrededor del Sol, pertenece a la Via Lactea. Algunos planetas tienen m´as de un sat´elite. La tierra gira alrededor del Sol. La Tierra pertenece a la Via Lactea.
2. Los terremotos destruyeron la ciudad o bien el sunami la destruy´o. Como los terremotos destru- yeron la ciudad, hay que reconstruirla. El sunami no destruy´o la ciudad. Hay que reconstruir la ciudad.
3. Como Gabi trabaja m´as que Sonia entonces Sonia debe ser su jefe. Si Juli´an reparte la correspon- dencia, mi carta le lleg´o a Jazm´ın. Gabi trabaja m´as que Sonia o Juli´an reparte la correspondencia.
Sonia no es jefe. Mi carta le lleg´o a Jazm´ın.
Represente cada frase como una f´ormula bien formada y luego verifique si la ´ultima frase (la conclu- si´on) puede ser verdadera. Para esta ´ultima parte utilice de ser posible las reglas de inferencia descriptas en el ejercicio 20 del pr´actico, en caso de no ser posible, utilice las tablas de verdad.
Ejercicio 4:
Dadas las siguientes proposiciones:
Ma˜nana no ir´e a Ingl´es.
O la luna es mayor que el sol o el sol es mayor que la luna.
1. Identifique las proposiciones simples.
2. Determine cu´ales son los conectivos l´ogicos.
3. Exprese formalmente en s´ımbolos.
Ejercicio 5:
Identificar con letras (A, B, C,. . .) las proposiciones elementales y escriba, utilizando los s´ımbolos de la L´ogica proposicional, las proposiciones compuestas:
1. Puedo verte en la webcam ´unicamente si vos pon´es video-llamada.
2. Si el formato apropiado para fotos o im´agenes es JPG, no usar formato BMP.
3. O Pedro es presidente y Juan es tesorero, o Jaime es tesorero.
4. Yo no voy, ni el Lunes ni el Martes, voy el Mi´ercoles.
5. Estudio o trabajo, pero si tomo mis vacaciones no trabajo.
Ejercicio 6:
Verifique, usando tablas de verdad, que las f´ormulas bien formadas F y G son equivalentes:
F =(((¬A ∧(B ∧ C)) ∨ ((¬ A ∧ B) ∧ ¬ C)) ∨ ((A ∧ B)∧ C)) G =(B ∧(¬ A ∨(A ∧ C)))
Determine el valor de verdad de las siguientes f´ormulas, asumiendo que P y Q son verdaderos mien- tras que S y T son falsos:
1. (¬ P ∨ Q)
2. ((Q ∨ S) ∧ (T ∨ Q))
3. (((P ∨ S) ∧ (T ∨ Q)) ⇐⇒ ((P ∨(S ∧ T))∨ Q)) Ejercicio 8:
Dada la siguiente tabla de verdad:
P Q ?
F F F
F V V
V F V
V V F
1. ¿Qu´e conectiva representa?
2. ¿Es equivalente a la siguiente f´ormula? Justifique usando leyes de De Morgan.
¬(¬(¬(P ∧ P)∧ Q) ∧ ¬( P ∧¬( Q ∧ Q)))
