Análisis cinemático de mecanismos planos por el método de los grafos

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(1)115. Scientia et Technica Año XII, No 31, Agosto de 2006 UTP. ISSN 0122-1701. ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS PLANOS POR EL MÉTODO DE LOS GRAFOS RESUMEN En este artículo se presenta una simplificación metodológica para el análisis cinemático de mecanismos formados a partir de grupos de Assur de segunda clase, por el método de los grafos. Se presenta un planteamiento general del método y la solución de un mecanismo especifico.. GABRIEL CALLE T. Ingeniero Mecánico, Ph.D. Profesor Asociado Universidad Tecnológica de Pereira [email protected]. PALABRAS CLAVES : Grafo, Contorno, Análisis cinemático, Assur.. ALEXANDER DIAZ A. Ingeniero Mecánico, Esp. Profesor Asistente Universidad Tecnológica de Pereira [email protected]. Grupos de. ABSTRACT This paper present a methodological simplification of cinematic analyses of mechanics formed for second type “assur” groups, using the graphs method. It presents a general planning of the method and a specific solution for a specific mechanism. KEYWORDS: Graphs, Contour , Cinematic analyses, Assur Groups.. EDISON HENAO C. Ingeniero Mecánico, M. Sc. Profesor Auxiliar. Universidad Tecnológica de Pereira [email protected]. 1. INTRODUCCIÓN. 3. GRAFOS. Existen varios procedimientos gráficos y analíticos para el análisis cinemático de mecanismos planos descritos ampliamente, en los diferentes textos de teoría de mecanismos y maquinas. Basados en la clasificación estructural de los grupos de Assur se pueden plantear soluciones generales para cierto grupo de mecanismos de estructura similar. Teniendo en cuenta que en la representación de mecanismos por medio de grafos, se puede agrupar una familia de mecanismos formados a partir de la síntesis estructural basada en los grupos de Assur, se puede llegar al planteamiento rápido de ecuaciones cinemáticas a partir de un grafo representativo de una familia de mecanismos específica.. Debido a que los mecanismos (cadenas cinemáticas) son un conjunto de eslabones unidos por medio de pares, este conjunto de pares y eslabones puede ser representado en una forma más abstracta denominada grafo. En una representación en grafo los vértices representan los eslabones y las aristas los pares cinemáticos. Las aristas pueden ser etiquetadas o coloreadas. Comúnmente el número de movilidades de un par (arista) se representa por medio de líneas paralelas, tantas como grados de movilidad tenga el par. Por medio de líneas gruesas se muestran las aristas raíz que corresponden a los pares cinemáticos que constituyen las entradas del mecanismo. Isomorfismo de grafos. En este trabajo se describe el procedimiento para el análisis cinemático de los mecanismos formados por grupos de Assur de segunda clase, con el fin de dar una herramienta que permita sistematizar el análisis de este tipo de mecanismos.. Dos grafos G1 y G2 se dice que son isomórficos si existe una correspondencia uno a uno entre sus vértices y ejes que preserva la incidencia. Por lo tanto poseen: el mismo número de vértices, el mismo número de ejes y el mismo grado para los vértices.. 2. CONTORNOS ESTRUCTURALES Ecuación de Euler Un contorno estructural se forma al seguir, por medio de una línea ininterrumpida los eslabones y pares cinemáticos que conforman un mecanismo, regresando obligatoriamente al punto de partida. Se considera un contorno como independiente si se diferencia de los otros por lo menos en un eslabón o en un par cinemático. Se considera como número de contornos independientes de un mecanismo el número mínimo de estos en los cuales ya entran todos los pares cinemáticos y eslabones que lo conforman.. Fecha de Recepción: 31 Enero de 2006 Fecha de Aceptación: 21 Junio de 2006. La ecuación de Euler permite obtener el número de contornos independientes de un mecanismo. L=e– v+1 (1) Donde: L es el número de contornos independientes e es el número de aristas (Pares cinemáticos) v es el número de vértices (Numero de eslabones) Nota: Se supone aquí que las cadenas cinemáticas abiertas conforman un contorno independiente..

(2) Scientia et Technica Año XII, No 31, Agosto de 2006. UTP. 116 4. ECUACIONES DE CONTORNO. v Ai+1,i = v Ai,i −1 + ω i × Ai Ai+1 + v Aii, Aii−1 r. (4). Posición Se da por hecho que el análisis de posiciones es conocido es decir se conocen las posiciones angulares de los eslabones, y las coordenadas absolutas de los pares.. Aplicando la ecuación (4) a cada uno de los n eslabones de la cadena cinemática cerrada obtenemos las siguientes expresiones: r. Ecuaciones de contorno para las velocidades. i=2. v A3,2 = v A2 ,1 + ω 2 × A2 A3 + v A 22, A21. En la Figura 1 se muestra una cadena cinemática cerrada monocontorno con una cantidad n de eslabones. La junta Ai ; i = 1, 2, ... n es la conexión entre los eslabones (i) y (i-1). El último eslabón n, está conectado al primer eslabón 0 de la cadena. En una cadena cinemática cerrada se puede hacer un recorrido desde el eslabón 0 hasta el eslabón n.. i=3. v A4 ,3 = v A3, 2 + ω 3 × A3 A4 + v A33, A32. r. ν Ai+1,i = ν Ai ,i −1 + ω i × Ai Ai+1 +ν rAii, Aii−1. i. (5) i=n. ν A0 ,n = ν An ,n −1 + ωn × An A0 + ν. i=0. ν A1,0 = ν A0 ,n + ω0 × A0 A1 + ν Ar 00 ,A 0 n. r Ann ,Ann − 1. i=1 ν A2 ,1 = ν A1 ,0 + ω1 × A1 A2 + ν rA11, A10 Sumando las relaciones (5) se obtiene:. [ω × A A +ω × A A + ...+ω × A A 1. [. +ν Figura 1. Cadena cinemática monocontorno. 1 2. r A11,A10. 2. +ν. El vector. 2 3. r A22, A21. + ...+ ν. i i +1. i. r Aii ,Aii−1. ]. + ...+ ω0 × A0 A1 +. + ...+ ν. r A00,A0n. ]=0. Ai Ai +1 puede ser escrito en términos de los. vectores de posición de los puntos Ai+1 y Ai : En la junta Ai hay dos puntos instantáneamente coincidentes: el punto Ai,i perteneciente al eslabón (i), es decir Ai,i ∈ (i), y el punto Ai,i -1 perteneciente al eslabón (i-1), es decir Ai,i -1 ∈ (i-1). Se establece la siguiente relación entre la velocidad. v Ai, i del punto Ai,i y la velocidad. v Ai, i = v Ai, i −1 + v. OAi + Ai Ai +1 = OAi +1 , es decir:. Ai Ai +1 = OAi +1 − OAi. (7). v Ai , i − 1 del punto Ai,i -1. r Aii, Aii−1. (2). r Aii, Aii−1. donde v es la velocidad relativa de Ai,i del eslabón (i), con respecto a Ai,i -1 perteneciente al eslabón (i-1). Usando la relación de velocidad entre dos partículas pertenecientes al mismo cuerpo (i) podemos escribir. Fig. 3 Teniendo en cuenta (7) la ecuación (6) quedará. v Ai+1, i = v Ai,i + ω i × Aii Aii+1 lo que es igual. vAi+1,i =vAi,i +ωi ×Ai Ai+1. (3). ω1 × (OA2 − OA1 ) + ω2 × (OA3 − OA2 ) + ... +. ω i × (OAi +1 − OAi ) + ... + ω0 × (OA1 − OA0 ) + ν Ar 11,A10 + ν Ar 22, A21 + ...+ ν rAii, Aii−1 + ...+ ν rA00, A0 n = 0 ω 1 × OA2 − ω 1 × OA1 + ω 2 × OA3 − ω 2 × OA2 + ... +. Figura 2. Cuerpo i. Sustituyendo (2) en (3) obtenemos:. (6). ω 0 × OA1 − ω 0 × OA0 + ν Ar 11,A10 + ν rA22 , A21 + ... + r r ν Aii ,Aii −1 + ... + ν A00 ,A0 n = 0.

(3) Scientia et Technica Año XII, No 31, Agosto de 2006. U.T.P. 117. (ω 0 − ω1 )× OA1 + (ω1 − ω2 )× OA2 + ... r r + (ω n − ω 0 ) × OA 0 + +ν A11, A10 + ν A 22 ,A21 + .... punto Ai,i perteneciente al eslabón i a Ai ,i −1 la aceleración del punto Ai,i -1 perteneciente al eslabón i-1.. + ν Aii ,Aii −1 + ... + ν A00 , A0 n = 0 r. r. a Ai,i = a Ai,i −1 + a rAi,i−1 + a cA, i−1. Reorganizamos teniendo en cuenta las reglas del producto vectorial OA1 × (ω1 − ω0 ) + OA2 ×(ω2 − ω1 ) + ... + OA0 ×(ω0 − ω n ) + (8) r r r + ν rA11, A10 + ν Ar 22 ,A 21 + ... + ν Aii , Aii −1 + ... + ν A 00 , A 0 n = 0. Podemos escribir las siguientes relaciones entre la velocidad angular absoluta angular relativa. ω i del cuerpo i y la velocidad. ω i,i−1 del cuerpo i con respecto al cuerpo. (i-1). ω i = ω i−1 + ω i,i−1. ∑ OA × ω i. i ,i −1. i. + ∑ν Aii, Aii−1 = 0 r. a cAi,i−1 = 2ω i−1 × v rAi, i−1 . Efectuando operaciones similares al análisis velocidades se obtienen las ecuaciones generales.. ∑α i. de. (14). i ,i −1. ω r. (9). × α i ,i−1 + ∑ a r i ,i−1 + ∑ a c i ,i −1 −. 2 i Ai Ai +1. i. i. (15). =0. 5. REPRESENTACIÓN POR MEDIO DE GRAFOS DE LOS GRUPOS DE ASSUR DE SEGUNDA CLASE. Teniendo en cuenta las ecuaciones (9), la ecuación (8) puede ser rescrita:. y generalizando. a rAi, i −1 es la aceleración relativa del. punto Ai, perteneciente al eslabón i, Respecto al punto Ai-1 perteneciente al eslabón i-1 ,y la aceleración de coriolis,. Ai. ω 0 = ωn + ω0 ,n. + ν rA11, A10 + ν Ar 22 ,A 21 + ... + ν Ar 00, A 0n = 0. y a Ai,i−1 son la aceleracion lineal de los. puntos Ai,i y Ai,i -1 ,. ∑r. ............................. OA1 × ω1,0 + OA2 ×ω 2 ,1 + ... + OA0 ×ω 0n. aAi ,i. i. ω1 = ω 0 + ω1,0 ω 2 = ω1 + ω2 ,1 ............................. donde. (13). (10). (11). i. Sumando las ecuaciones en (9). ω1,0 + ω 2,1 + ... + ω 0n = 0. Un grupo de Assur de segunda clase es una cadena cinemática de grado de libertad cero conformada por 2 eslabones y 3 pares cinemáticos, las cuales son de 5 tipos, GGG, GGD, GDG, DGD, DDG, siendo el par intermedio el par que une los dos eslabones. Suponiendo que con estas cadenas cinemáticas se conforman mecanismos de un grado de libertad, las posibles entradas de movimiento son un eslabón unido al bastidor por medio de un par de rotación G, o un par de deslizamiento D. El bastidor se enumerara con el numero 0 y el eslabón de entrada con el numero 1 y el par que los une se denotara con A, los eslabones del grupo de segunda clase se enumeraran con los numeros 2 y 3 y los pares se denotaran por B, C ,D, de acuerdo al orden como hallan sido unidos al eslabón de entrada.. y generalizando. ∑ω. i ,i −1. =0. (12). Posibles combinaciones de mecanismo de primera clase y un grupo de assur de segunda clase.. i. Las ecuaciones (11) y (12) representan las ecuaciones de velocidad para una cadena cinemática simple cerrada.. ESLABON DE GGG ENTRADA. GGD. GDG. DGD. DDG. Aceleraciones Se establece la siguiente relación para el movimiento relativo entre dos cuerpos. Sea aAi ,i la aceleración del Tabla. 1. Posibles combinaciones de grupo de Assur de II clase.

(4) Scientia et Technica Año XII, No 31, Agosto de 2006. UTP. 118 Como se observa los posibles mecanismos para estas combinaciones son 14 los cuales se pueden representar con el mismo grafo, solo queda por definir si los pares A,B,C,D, son de giro o deslizamiento respectivamente.. Figura 5. Mecanismo de segunda clase GGD. Figura 4. Representación por grafos. Analicemos el mecanismo de la figura 5 formado por un eslabón de entrada de giro y un grupo de assur de segunda clase del tipo GGD, el cual por medio del par de deslizamiento se une al eslabón de entrada. Se conocen los siguientes datos: AD = 0,100 m , CD =0,300 m. El Angulo del eslabón de entrada 1 con el eje horizontal es. Ecuaciones de velocidad. ω10 + ω 21 + ω 32 + ω 03 = 0. (16). 0 A × ω10 + 0 B × ω 21 + 0C × ω 32 + 0 D × ω 03 + (17). ν A1,0 +ν B2,1 +ν C 3,2 +ν D 0,3 = 0 r. r. r. 6. EJEMPLO DE APLICACIÓN. r. Ecuaciones de aceleración. φ1 = 45 o ,. se asume el origen del sistema de coordenadas coincidente con A.. x D = AD , y D = 0 , x B = x C = 0,256m , y B = y C = 0,256 m ω1 = ω10 = 10,472 rad / s. Del análisis de posición se tiene:. α 10 + α 21 + α 32 + α 03 = 0. (18). 0 A × α10 + 0 B ×α 21 + 0C ×α 32 + 0 D × α 03 + A1 ,0. + aB 2,1 + aC 3, 2 + a D0, 3 + a A1,0 + a B2,1 +. c C 3 ,2. +a. r. a a. r. c D0 , 3. r. r. c. c. + ω ⋅ AB + ω ⋅ BC + ω ⋅ CD 2 10. 2 20. (19). 2 03. =0 Donde. Figura 6. Grafo extendido. Para el análisis de velocidad se escriben las siguientes ecuaciones:. ω10 + ω 32 + ω 03 = 0. ω i, i−1 = 0 , si el par cinemático que une los eslabones i y i − 1 es de deslizamiento. ν Ar i,i −1 = 0 , si el par cinemático que une los eslabones i y i − 1 es de giro. α i,i−1 = 0 , si el par cinemático que une los eslabones i y i − 1 es de deslizamiento. a rAi ,i−1 = 0, a cAi ,i−1 = 0 , si el par cinemático que une los eslabones i y i − 1 es de giro.. 0C × ω 32 + 0 D × ω 03 +ν B 2,1 = 0 r. Efectuando la descomposición vectorial se tiene:. ω10 k + ω 32 k + ω03 k = 0. (x. C. (ν. ). i + yC j × ω32k + ( xD i ) × ω 03k +. r B 2 ,1. ) (. ). Cosφ i + ν B2 ,1 Senφ j = 0 r. Efectuando el producto y agrupando los términos de cada componente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:. ω10 + ω 32 + ω 03 = 0.

(5) Scientia et Technica Año XII, No 31, Agosto de 2006. U.T.P. 119. α 32 +α 03 = 0. y C ⋅ ω 32 + y D ⋅ω 03 +ν B2,1 Cosφ = 0 r. y C ⋅ α 32 + y D ⋅ α 03 + aB 2,1 Cosφ − 2 ⋅ ω10 ⋅ν B2 ,1 Senφ − r. − xC ⋅ ω 32 − x D ⋅ ω 03 +ν B2,1 Senφ = 0 r. Reemplazando los términos conocidos (ω10 ,. 2 ω102 ⋅ x B − ω 30 ⋅ (x C − x D ) = 0. φ , xC ,. xC ⋅ α 32 + x D ⋅ α 03 + a B 2 ,1 Senφ − 2 ⋅ ω10 ⋅ν B 2 ,1 Cosφ −. 2 2 ω 10 ⋅ yB − ω 30 ⋅ ( yC − y D ) = 0. se obtienen los valores de:. ω 32 = 2,539 rad / s , ω 03 = −13,011 rad / s ,. ν. B2 ,1. r. r. yC , x D , y D ) y efectuando las operaciones necesarias. r. r. Reemplazando los términos conocidos (ω10 , ω 30 , ν r. = −0,920 m / s. B 2 ,1. ,. φ , xC , yC , x D , y D , ) y efectuando las operaciones. necesarias se obtienen los valores de: La velocidad absoluta del eslabón 3 es: ω 30 = − ω03 = 13,011 rad / s . La velocidad de C se determina de la siguiente manera:. α 32 = −25,032 rad / s 2 , a rB21 = −7 ,865 m / s 2. ν C = ν D + ω 30 k × [(x C − x D )i + ( y C − y D ) j ]. La aceleración absoluta del eslabon 3 es:. donde ν D. α 03 = 25,032 rad / s 2. α 30 = −α 03 = −25,032 rad / s 2. = 0 , por lo tanto:. La aceleración de C se determina de la siguiente manera:. ν C = (− 3,333i + 2,032 j )m / s. aC = aD + α 30 k × [( xC − x D )i + ( yC − y D ) j ]. La velocidad del punto B que pertenece al eslabón 1 es: donde. ν B = ν A + ω10 k × (x B i + y B j ). a D = 0 , por lo tanto:. aC = (− 20,026i − 47,277 j )m / s. ν B = (− 0,651i − 0,651 j )m / s. 7. CONCLUSIONES Para el análisis de aceleración se tienen las siguientes ecuaciones:. En este artículo se ha propuesto un método para el análisis cinemático de mecanismos planos el cual combina la clasificación estructural de los grupos de assur y la representación por medio de grafos. Este método presenta una viabilidad de análisis que permite el planteamiento general y facilita la sistematización de los grupos de assur y plantea un método general de solución que puede ser de gran apoyo en el proceso de enseñanza aprendizaje.. α 32 +α 03 = 0 0C × α 32 + 0D × α 03 + a B 2 ,1 + a B 2 ,1 + ω 102 ⋅ AB + r. c. ω 032 ⋅ CD = 0 Efectuando la descomposición vectorial se tiene:. α 32 k + α 03k = 0. 8. BIBLIOGRAFÍA. (x C i + y C j ) × α 32k + x Di ×α 03k + aB 2,1Cosφ i r. [(. ) (. )]. + aB 2 ,1 Senφ j + 2 ⋅ ω10 × ν B 2 ,1 Cos φ i + ν B 2 ,1 Senφ j r. r. r. + ω102 ⋅ (x B i + y B j ) + ω302 ⋅ [(xC − x D )i + ( y C − y D ) j ] = 0 Efectuando el producto y agrupando los términos de cada componente se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:. [1] CALLE G., DÍAZ A., QUINTERO. Curso de Teoría de Mecanismos y Máquinas. Notas de clase. UTP. 2004. http://www.geocities.com/mecanautomat. [2] ARTOBOLEVSKY I.I. Teoría de Mecanismos y Máquinas. Moscú. Nauka, 1988 -639 pag. [3] MARGHITU D.B. Analytical Elements of Mechanisms Auburn University, Alabama, 2001 - 286 [4] SMELYAGUIN A.I. Estructura de Mecanismos y Máquinas. Novosibirsk. NGTU, 2001 – 286 pag. [5] TSAI L.W. Mechanism Design: Enumeration of Kinematic Structures According to Function, CRC Press 2000 – 328 pag.. y.

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