2.1 Ecuaciones de la recta en 2.2 Posiciones relativas.

2

2.1 Ecuaciones de la recta en

2

R

2.2 Posiciones relativas.

Objetivos.

Se persigue que el estudiante:

• Encuentre ecuaciones de rectas

• Determine si dos rectas son coincidentes, paralelas o si son intersecantes

2.1. ECUACIONES DE LA RECTA EN

2

R

Trataremos ahora de definir ecuaciones de la recta, partiendo de un análisis vectorial.

2.1.1 Ecuación de una recta definida por dos puntos

Es obvio que dos puntos definen una recta, observe la figura

Llamemos a

S

=

P

₁

P

₂

=

(

x

₂

−

x

₁

,

y

₂

−

y

₁

)

⎯→ ⎯ →

vector directriz de la recta

l

.

Sea el vector

v

=

P

₁

P

=

(

x

−

x

₁

,

y

−

y

₁

)

⎯→ ⎯ →

, definido entre el punto

P

₁

(

x

₁

, y

₁

)

y un punto

P ,

( )

x

y

cualquiera de la recta. Observe que

→

S

y →

v

son paralelos, entonces → →

= S

k

v

para

k

∈

R

. Por consiguiente:

(

) (

)

(

1 1

)

(

(

2 1

) (

2 1

)

)

1 2 1 2 1 1

,

,

,

,

y

y

k

x

x

k

y

y

x

x

y

y

x

x

k

y

y

x

x

−

−

=

−

−

−

−

=

−

−

Por igualdad de vectores:

(

)

(

)

⎩

⎨

⎧

−

=

−

−

=

−

1 2 1 1 2 1

y

y

k

y

y

x

x

k

x

x

Finalmente: 1 2 1 1 2 1

y

y

y

y

x

x

x

x

−

−

=

−

−

Ecuación de una recta definida por dos

2.1. 2. Ecuación de una recta definida por un punto y su pendiente

Tomando la ecuación anterior en la forma ₁ 2 1

(

₁

)

2 1

y

y

y

y

x

x

x

x

−

−

=

−

−

La medida de la inclinación de la recta se la llama "Pendiente", se la denota como

m

y se la define como 2 1

2 1

y

y

m

x

x

−

=

−

. Entonces, tenemos:

y

−

y

₁

=

m

(

x

−

x

₁

)

Ecuación de una recta definida por un punto P₁

(

x₁, y₁

)

y su pendiente m

2.1.3. Ecuación de una recta definida por un punto y un vector

paralelo.

Considerando el vector directriz

S

=

(

x

₂

−

x

₁

,

y

₂

−

y

₁

)

=

(

s

_x

,

s

_y

)

→

como un vector paralelo a la recta, tenemos:

y x

s

y

y

s

x

x

−

1

=

−

1

Ecuación de una recta definida por un punto

(

_{1 1}

)

1 x , y

P y un vector paralelo S =

(

s_x,s_y

)

→

.

2.1.4. Ecuaciones Paramétricas de una recta

Considerando

t

s

y

y

s

x

x

y x

=

−

=

−

1 1 tenemos

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

−

=

−

t

s

y

y

t

s

x

x

y x 1 1 .

2.1.5. Ecuación Vectorial de una recta.

De lo anterior tenemos

l

:

( ) (

x

,

y

=

x

1

,

y

1

)

+

(

s

x

,

s

y

)

t

considerando

( )

x

y

V

=

,

→

el vector posición de un punto de la recta,

V

₁

=

(

x

₁

, y

₁

)

→

el vector posición de un punto de la recta y

S

=

(

s

_x

,

s

_y

)

→

un vector paralelo a la recta; tenemos:

t

S

V

V

→ → →

+

=

₁ Ecuación Vectorial de una recta.

2.1.6. Ecuación de la recta definida por un punto y un vector

normal

Ahora suponga que se tiene un vector

n

=

( )

a

,

b

→ perpendicular a la recta El vector

n

=

( )

a

,

b

→ y el vector

V

=

P

₀

P

₁

=

(

x

−

x

₀

,

y

−

y

₀

)

⎯→ ⎯ → son ortogonales, por tanto

•

=

0

→ →

V

n

. Reemplazando tenemos

( ) (

a

,

b

•

x

−

x

0

,

y

−

y

0

)

=

0

Y resolviendo resulta:

a

(

x

−

x

₀

) (

+

b

y

−

y

₀

)

=

0

Ecuación de la recta definida por un

punto P₀

(

x₀, y₀

)

y un vector normal

( )

ab

2.1.7. Ecuación general de una recta

En la última ecuación resolviendo, resulta:

(

)

0

0

0 0 0 0

=

−

−

+

+

=

−

+

−

by

ax

by

ax

by

by

ax

ax

Haciendo

c

=

−

ax

₀

−

by

₀ resulta:

0

=

+

+

by

c

ax

Ecuación general de una recta

Ejemplo 1

Hallar la ecuación general de la recta que contiene a los puntos

(

−2,3

)

y

( )

1,−2

SOLUCIÓN: Utilizando 1 2 1 1 2 1 y y y y x x x x − − = − −

y los puntos dados P₁

(

−2,3

)

y P₂

( )

1,−2 (No importa el orden) Reemplazando tenemos:

( )

( )

2 3 3 2 1 2 − − − = − − − − y x

Resolviendo y despejando tenemos:

0 1 3 5 9 3 10 5 5 3 3 2 = + + − = − − − − = + y x y x y x Ejemplo 2

Hallar la ecuación general y ecuaciones paramétricas de la recta que contiene al punto

( )

7,3 y es paralela a la recta que tiene por ecuación 3x+ y+1=0

SOLUCIÓN:

La recta dada tiene vector normal =

( )

3,1 →

n . Como la recta buscada es paralela a esta

recta entonces un vector normal sería el mismo.

Empleamos la forma de la ecuación de la recta definida por un punto y un vector normal

(

x−x0

) (

+b y−y0

)

=0 a reemplazando tenemos:

(

) (

)

0 24 3 0 3 21 3 0 3 1 7 3 = − + = − + − = − + − y x y x y x

En la última ecuación, despejando y tenemos y= − +3x 24. Una parametrización sería

Ejemplo 3

Hallar la ecuación general de la recta que contiene al punto

(

−2,−1

)

y es

perpendicular a la recta que tiene por ecuación 5x+ y3 −1=0

SOLUCIÓN:

La recta dada tiene vector normal =

( )

5,3 →

n . Como la recta buscada es perpendicular a

esta recta entonces un vector directriz sería el mismo. Es decir =

( )

5,3 →

S

Empleamos la forma de la ecuación de la recta definida por un punto y un vector paralelo y x s y y s x x− 1 ₌ − 1

Reemplazando y resolviendo, tenemos:

( )

( )

0 1 5 3 5 5 6 3 3 1 5 2 3 1 5 2 = + − + = + + = + − − = − − y x y x y x y x Ejemplo 4

Demuestre que la ecuación de la recta que contiene a los puntos

( )

A,0 y

( )

0,B es

1 = + B y A x SOLUCIÓN:

Empleando la forma de la ecuación de la recta definida por dos puntos:

2.2. POSICIONES RELATIVAS.

2.2.1 Entre un punto y una recta

2.2.1.1

Un

punto

P

₀

pertenece a la recta

l

Un punto

P

₀ de coordenadas

(

x

₀

, y

₀

)

pertenece a la recta

l

con ecuación

0

=

+

+

by

c

ax

si y sólo si las coordenadas del punto satisfacen la ecuación de la recta, es decir

ax

₀

+

by

₀

+

c

=

0

.

2.2.1.2

El

punto

P

₀

no pertenece a la recta

l

.

Un punto

P

₀ de coordenadas

(

x

₀

, y

₀

)

no pertenece a la recta

l

con ecuación

ax

+

by

+

c

=

0

si y sólo si las coordenadas del punto no satisfacen

la ecuación de la recta, es decir

ax

₀

+

by

₀

+

c

≠

0

.

En este caso podemos determinar la formula de la distancia entre el punto y la recta.

La distancia del punto

P

₀ a la recta será la proyección escalar de →

V

sobre →

n

. El vector →

V

está definido entre los puntos

P

₀

(

x

₀

,

y

₀

)

y

P ,

( )

x

y

donde

b

ax

c

y

=

−

−

(despejando de la ecuación de la recta). Es decir,

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

₋

₋

−

−

=

=

⎯⎯→ →

b

ax

c

y

x

x

PP

V

_{0 0}

,

₀ . Ahora,

( )

(

)

2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 , , Pr ) , ( b a ax c by ax ax b a b b ax c y a x x b a b a b ax c y x x n n V V oy l P d n + + + + − = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ + + − = + • ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− +} + = • = = _→ → → → → Por tanto: 2 2 0 0 0, ) ( b a c by ax l P d + + + = Ejemplo

2.2.2 POSICIÓN RELATIVA ENTRE DOS RECTAS

2.2.2.1

Rectas

coincidentes

Sea

l

₁ una recta con ecuación

a

₁

x

+

b

₁

y

+

c

₁

=

0

y sea

l

₂ una recta con ecuación

a

₂

x

+

b

₂

y

+

c

₂

=

0

. Entonces

l

₁ y

l

₂ son coincidentes si y sólo si:

2 1 2 1 2 1

c

c

b

b

a

a

=

=

Ejemplo

Las rectas con ecuaciones 2x+ y−3=0 y 6x+ y3 −9=0 son COINCIDENTES

debido a que 3 3 9 1 3 2 6 ₌ − − = = .

2.2.2.2

Rectas

paralelas

Dos rectas

l

₁ y

l

₂ con ecuaciones

a

₁

x

+

b

₁

y

+

c

₁

=

0

y

a

₂

x

+

b

₂

y

+

c

₂

=

0

son paralelas si y sólo si:

2 1 2 1

b

b

a

a =

Ejemplo

Las rectas con ecuaciones 2x+ y−3=0 y 6x+ y3 +5=0 son PARALELAS debido

a que 1 3 2 6 = .

2.2.2.3

Rectas

intersecantes

Dos rectas

l

₁ y

l

₂ con ecuaciones

a

₁

x

+

b

₁

y

+

c

₁

=

0

y

a

₂

x

+

b

₂

y

+

c

₂

=

0

son intersecantes si y sólo si: 2 1 2 1

b

b

a

a ≠

Ejemplo

Las rectas con ecuaciones 2x+ y−3=0 y x+ y3 +5=0 son INTERSECANTES

debido a que

Cuando las rectas son intersecantes podemos hallar el punto de intersección y el ángulo entre ellas.

Para encontrar el punto bastará con resolver el sistema simultáneo:

⎩

⎨

⎧

=

+

+

=

+

+

0

0

2 0 2 0 2 1 0 1 0 1

c

y

b

x

a

c

y

b

x

a

El ángulo de intersección entre las rectas será el mismo que el de los vectores normales o el de los vectores directrices. Es decir:

_{→ →} → → → → → →

•

=

•

=

θ

2 1 2 1 2 1 2 1

cos

cos

S

s

S

S

ar

n

n

n

n

ar

Ejercicio resuelto

Hallar el ángulo de intersección entre las rectas cuyas ecuaciones son

( ) ( )

, 1,2

( )

1, 3

:

1 x y t

l = + y l₂:

( ) (

x,y = −1,2

)

+t

(

− 3,−1

)

.

SOLUCIÓN:

En este caso los vectores directrices son 1 =

( )

1, 3 → S y 2 =

(

− 3−1

)

→ S , por tanto

( ) (

_{( )( )}

)

6 5 2 3 cos 2 2 1 , 3 3 , 1 cos cos 2 1 2 1 ₌ π ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = − − • = • = θ → → → → ar ar S s S S ar

Hemos obtenido el ángulo mayor. El ángulo menor sería

6 π

Ejercicios Propuestos 2.1

1. Determine la ecuación general de la recta que contiene al punto P(3,2) y que es paralela a al vector v = i−j

→

3

Resp. x+ y3 −9=0

2. Determine la ecuación de la recta que contiene al punto (-2,1) y es paralela al vector 1,−3 . Resp. y+ x3 +5=0

3. Determine la ecuación de la recta que contiene al punto P(2,1) y que es paralela a la recta dada por:

t y t

x=3+ ∧ =−2

Resp. 2x+ y=5

4. Determine la ecuación general de la recta que contiene al punto P(2,1) y que es paralela a la recta cuyas ecuaciones paramétricas son x=3+t∧y=−2t,t∈IR

Resp. 2x+ y−5=0 5. Determine la ecuación general de la recta que es paralela al vector =(3,−4)

→

v y que contiene al punto que

está dado por la intersección de las rectas que tienen por ecuación x+ y=2 y 2x− y4 =1

Resp. 8x+ y6 −15=0

6. Determine la ecuación general de la recta que es perpendicular a la recta con ecuación 4x+ y−1=0, y que contiene al punto de intersección de las rectas con ecuaciones 2x−5y+3=0∧x−3y−7=0.

Resp. x− y4 −24=0

7. Sean las rectas l ax₁: +2y− =3 0 y l₂: 5x+by− =7 0. Si su punto de intersección es P(−1,3), determine los valores de ay b-

Resp. a=3 b=4

8. Determine la distancia de punto P0( )2, 3 a la recta de ecuación 2y+ − = x 4 0

Resp. 4 5

9. Determine la distancia entre las rectas l1:2x+ y3 −4=0 y l2:6x+ y9 −3=0

Resp.

13 3

10. Determine la menor distancia entre las rectas que tienen por ecuación 2x− y3 +4=0 y ⎩ ⎨ ⎧ + = + = t y t x 2 2 3 1 Resp. d=0

11. Determine el valor de “k” para que la distancia de la recta con ecuaciónkx+ y3 +5=0 al punto (-2,2) sea

igual a 1. Resp.

3 37 2 22±

12. Determine la medida del ángulo formado por las rectas cuyas ecuaciones paramétricas son: x=1∧y=10−t

y x=1−2t∧y=4−2t. Resp.

4 π 13. Determine la ecuación de la recta de pendiente

4 3

− y que forma con los ejes coordenados, en el primer cuadrante, un triángulo cuya área tiene un valor de 2

24u .

Resp. 3x+ y4 −24=0

14. Determine la ecuación de la recta que equidista de las rectas cuyas ecuaciones son: x+ y2 +10=0 y 0

2 2 − = + y

x . Resp. x+ y2 +4=0

16. Encontrar el valor de “k” para que la recta que tiene por ecuación 3x− ky−8=0 forme un ángulo de medida °

45 con la recta de ecuación 2x+ y5 −17=0.

Resp. 7, -9/7

17. Determine la ecuación de la recta cuyo punto más cercano al origen es (3,4).

Resp. 3x+ y4 −25=0

18. Determine todos los posibles valores de “k” para que la recta con ecuación x+2y+k=0 forme con los ejes coordenados un triángulo cuya área tiene un valor de 2

16u .

Resp. ±8

19. Determine la ecuación de la recta “ l ” . ∠EAF=40° ∠DBC=100°