METODO DE RIGIDEZ - RETICULADOS Relaciones cinemáticas para barras de reticulado

(1)

Capítulo 8

Método de rigidez - Reticulados

8.1- Relaciones cinemáticas para barras de reticulado

A los efectos de formular el método de rigidez resulta indispensable relacionar los desplazamientos de los extremos de una barra de reticulado con el alargamiento de la misma, relaciones que se conocen como “relaciones cinemáticas”.

Considérese una barra de longitud “l” que se extiende desde el origen definido por el nudo "i" al extremo definido por el nudo "j". Se considera que el origen experimenta un desplazamiento U pasando al punto “_i I ” mientras que el extremo "j" se desplaza U_j hasta “J”.

Figura 8.1 X1

X2

X3

ri

rj

t

Ui

Uj

Ui

−

∆U

:

.

:

I i i

J j j

j i

J I

R r U

N otación

r r r

r l t

r l

t versor

U U U

R R R r U

= +

− = ∆

∆ =

− = ∆

− = ∆ = ∆ + ∆

(2)

La posición inicial esté definida por los vectores de posición ,r r . Los vectores de _i _j posición una vez deformada la barra se obtienen en función de los corrimientos nodales U U_i, _j.

La elongación de la barra es igual a la diferencia entre la longitud final y la inicial:

e= − = ∆ − donde: L l R l ∆ = ∆ ⋅ ∆R R R Dividiendo por “l”:

2

2 1 1 2

e R R e R R

l l l l

∆ ⋅ ∆ ⎛ ⎞ ∆ ⋅ ∆

= − ∴ ⎜ + ⎟ =

⎝ ⎠

Los materiales normalmente usados en la construcción de estructuras permiten asumir e 1

l = << , de modo que: ε

2 2

2

1 1 2. 1 2. 1.

2

e e e R R R R l

l l l l e l

⎡ ⎤

∆ ⋅ ∆ ∆ ⋅ ∆ −

⎛ + ⎞ ≅ + ∴ + = ∴ =

⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎣ ⎦

Recordando que R∆ = ∆ + ∆ y desarrollando el producto punto resulta: r U 1.

2

r r

e= ∆ ⋅ ∆ + ⋅ ∆ ⋅ ∆ + ∆ ⋅ ∆ −2 r U U U l² l

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Finalmente, para pequeñas deformaciones específicas resulta:

. .

2.

U U e U t

l

≅ ∆ +∆ ∆ (Ec. 8.1)

La (Ec. 8.1) permite obtener la elongación de la barra en función de las componentes de desplazamientos de los nudos; se trata de una relación no lineal respecto a los desplazamientos.

Si ∆ es pequeño, como ocurre en la mayoría de los casos de aplicación, el segundo U término (término no lineal) del segundo miembro de (Ec. 8.1) puede despreciarse y para pequeñas deformaciones y pequeños giros queda:

.

e≅ ∆U t (Ec. 8.2)

Puede interpretar la Ec. (8.2) diciendo que para ∆ pequeño, la elongación de la barra U es aproximadamente igual a la proyección del corrimiento relativo entre los extremos sobre la dirección de la barra indeformada.

(3)

8.2- Matriz de rigidez de una barra de un reticulado plano

A continuación se procede a relacionar las fuerzas aplicadas en los extremos de una barra con los desplazamientos de los extremos de dicha barra. La relación se logra a través de la matriz de rigidez de la barra que depende de las características elásticas de la barra y de su orientación.

Existen dos componentes de desplazamiento incógnita por nudo y se pueden plantear dos ecuaciones de equilibrio por nudo por lo que el tamaño de la matriz de rigidez resulta de (4 x 4).

Figura 8.2

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

.

x x

i i

y y

i i

x x

j j

y y

j j

K K K K U P

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢= ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(Ec. 8.3)

Para deducir los elementos de la matriz K , se sigue el siguiente razonamiento:

x

Ui y

Pi

x

Pi x

Ui

y

Uj

y

Pj

x

Pj x

Uj

(4)

1 0 0 0

x i

y i

x j

y j

U U U U

= ⎫

= ⎪⎪

= ⎪⎬

= ⎭⎪

(Ec. 8.4)

El desplazamiento horizontal del nudo "i" se define igual a la unidad mientras los desplazamientos restantes son nulos. La elongación de la barra es según (Ec. 8.2) (hipótesis lineal) igual a la proyección del corrimiento unitario sobre la dirección primitiva de la barra.

Figura 8.3

( )

1.cos

e= α (Ec. 8.5)

La fuerza que comprime la barra una magnitud “e” está dada por la ley de Hooke.

.

P=K e (Ec. 8.6)

Nótese que se plantea el equilibrio en el sistema indeformado. Sustituyendo (Ec. 8.4) en (Ec. 8.3) queda:

11

21

31

41

.1 .1 .1 .1

x i

y i

x j

y j

K P

⎫

= ⎪

= ⎬⎪

= ⎪⎭

(Ec. 8.7)

La (Ec. 8.7) muestra que la primera columna de K es numéricamente igual al valor de las fuerzas que mantienen el estado de deformación prefijada definida en (Ec. 8.4).

A partir de la Figura 8.3 se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )

.cos ; .cos ; .cos ; .cos

x y x y

i i j j

P =P α P =P β P = −P α P = −P β (Ec. 8.8)

x

Pi

y

Pi

P

x

Pj y

Pj P

1

t α

β

21

11 y i

x i

P K

=

41

31 y j

x j

P K

=

(5)

Sustituyendo (Ec. 8.5) en (Ec. 8.6)y luego en (Ec. 8.8):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

.cos ; .cos .cos ; .cos ; .cos .cos

x y x y

i i j j

P =K α P =K α β P = −K α P = −K α β (Ec. 8.9)

Reemplazando las expresiones de (Ec. 8.9) en (Ec. 8.7) se obtiene la primera columna de la matriz K .

Por un razonamiento similar se puede determinar una por una las restantes columnas.

Resulta conveniente destacar que se ha planteado el equilibrio en el sistema indeformado, como una primera aproximación al problema.

La forma explícita de la matriz de rigidez de una barra de rigidez axial K cuyos cosenos directores son:

( )

1

( )

2

cos ; cos ; A E.

K l

α =γ β =γ = ; es

2 2

" " 1 1 2 1 1 2

2 2

1 2 2 1 2 2

2 2

" " 1 1 2 1 1 2

2 2

1 2 2 1 2 2

. . . .

Nudo i

Nudo j

Nudo "i"

K K K K

K K K K K

K K K K

γ γ γ γ γ γ

⎧ ⎡ − − ⎤

⎨ ⎢ − − ⎥

⎩ ⎢ ⎥

= ⎧ ⎢ − − ⎥

⎢ ⎥

⎨ −⎢⎣ − ⎥⎦

⎩

144 2

Nudo "j"

4 4443 144424443

(Ec. 8.10)

Se observa que la tercera fila de (Ec. 8.10) es igual a la primera fila cambiada de signo, la cuarta fila es igual a la segunda cambiada de signo, y la segunda es igual a la primera multiplicada por ²

1

γ

γ . El sistema (Ec. 8.3) contiene sólo una ecuación linealmente independiente.

La matriz K es singular y el sistema no tiene solución única ya que no se han fijado condiciones de vínculo para la barra.

Si las componentes de fuerza del segundo miembro de (Ec. 8.3) no guardan las mismas relaciones que las filas del primer miembro, el sistema no tiene solución (no hay equilibrio). Si el

K12

K22

K32

K42

K13

K23

K33

K43

K14

K24

K34

K44

(6)

sistema tiene solución (se cumplen las condiciones de equilibrio) hay infinitas soluciones que corresponden a un alargamiento de la barra seguido de un desplazamiento de cuerpo rígido.

Si se conocen los desplazamientos de los extremos de la barra, la (Ec. 8.3) permite calcular la fuerza axial que solicita a la barra.

La simetría de la matriz es una simple consecuencia del teorema de reciprocidad.

Si se adopta como orientación de la barra a la opuesta, es decir que si la barra tiene por origen al nudo “i” y como extremo al nudo “j”, y se intercambian los roles entre “i” y “j”, cambian simultáneamente los dos cosenos directores y por lo tanto la (Ec. 8.10) no cambia.

Figura 8.4

Las ecuaciones de equilibrio (Ec. 8.3) llamadas ecuaciones "fuerza-movimiento" pueden escribirse particionadas de la siguiente manera:

ii ij . i i

ji jj j j

K K U P

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (Ec. 8.11)

O también:

. .

ii i ij j i

K U +K U = P (Ec. 8.12)

. .

ji i jj j j

K U +K U = P (Ec. 8.13)

Nótese que K es una submatriz 2x2 y los vectores _ij P y _i U son vectores de dos _i componentes.

La (Ec. 8.11) es un sistema de dos ecuaciones vectoriales. Cada vector tiene dos componentes escalares (proyecciones sobre el sistema global), y por lo tanto se trata de cuatro ecuaciones algebraicas lineales.

La matriz de rigidez de la (Ec. 8.10) constituye una descripción completa de las características elásticas de cada barra que permite plantear las ecuaciones de equilibrio global y de compatibilidad de desplazamientos para un conjunto de barras.

2 b

γ =

1 a

γ = t

t

1 a

γ = −

2 b

γ = −

(7)

8.3- Matriz de rigidez del reticulado plano (2-D)

El número de incógnitas en el método de rigidez está asociado al número de grados de libertad o incógnitas que definen la posición de los nudos. Se define como "Grados de Libertad Geométricos" o simplemente "Grados de Libertad" (G.L.) a los desplazamientos necesarios para determinar la configuración deformada de la estructura.

En un reticulado "ideal" con nudos perfectamente articulados, el conocimiento de la posición final de cada nudo es suficiente para definir la configuración deformada. En el reticulado plano, bastará conocer las dos componentes

(

^{U U}^x^, ^y

)

del desplazamiento de cada nudo para definir la posición deformada de los nudos.

El número de G.L. para un reticulado plano es dos veces el número de nudos menos el número de condiciones de vínculo que introducen restricciones cinemáticas a los desplazamientos.

La matriz de rigidez del conjunto se obtiene “ensamblando” las matrices de rigidez de cada una de las barras individuales, como se ilustra para el reticulado de la Figura 8.5.

Figura 8.5

Este reticulado tiene 7 nudos y por lo tanto 14 G.L. Inicialmente no se imponen condiciones de vínculo.

Al ensamblar la matriz de rigidez de la estructura completa (de orden 14x14) se describen dos importantes aspectos del problema:

a) Las características elásticas y orientación de cada barra.

b) La topología o conectividad de la estructura.

El primer aspecto está totalmente definido a través de la matriz de rigidez de la (Ec. 8.10) de cada barra. El segundo aspecto se refiere a la forma en que se unen los nudos a través de las

P4

(8)

barras (conectividades). La matriz K será de orden 14 y corresponderá a un sistema de 14 ecuaciones de equilibrio.

A modo de ejemplo, a continuación se desarrollan ahora en detalle las dos ecuaciones de equilibrio del nudo 4.

Empleando notación matricial se plantea una ecuación vectorial de equilibrio del nudo 4 en la que intervienen las fuerzas que ejercen las distintas barras que convergen al nudo.

Figura 8.6 Equilibrio de fuerzas:

4

d e g h

j j i i

P +P +P +P =P (Ec. 8.14)

La fuerza exteriorP₄ se descompone en cuatro fuerzas que actúan en el extremo "j" de las barras (d) y (e) y en el origen "i" de las barras (g) y (h).

Compatibilidad de desplazamientos: Se describe a través de las condiciones

4

d e g h

j j i i

U =U =U =U =U (Ec. 8.15)

La (Ec. 8.15) expresa simplemente que los desplazamientos de los extremos de las barras que concurren al nudo 4 son iguales al desplazamiento del nudo.

Las fuerzas en los extremos de las barras en la ecuación de equilibrio (Ec. 8.14) pueden expresarse en función de los desplazamientos de los extremos por las ecuaciones fuerza- desplazamiento (Ec. 8.12) y (Ec. 8.13).

{ { { { { { { {

2 4 3 4 4 5 4 6

. . . 4

d d d d e e e e g g g g h h h h

ji i jj j ji i jj j ii i ij j ii i ij j

U U U U U U U U

K U K U K U K U K U K U K U K U P

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ + ⎟ ⎜+ + ⎟+ + + + =

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Teniendo en cuenta las ecuaciones de compatibilidad del tipo (Ec. 8.15), para cada nudo se obtiene:

( )

1 2 3 4 5 6 7 4

0.U +K_ji^d.U +K_ji^e.U + K_jj^d +K_jj^e+K_ii^g +K_ii^h .U +K_ij^g.U +K_ij^h.U +0.U = (Ec. 8.16) P P4

Ph

Pg

Pe

Pd

(9)

La expresión vectorial de la (Ec. 8.16) corresponde a las dos ecuaciones de equilibrio del nudo 4 que resultan ser la séptima y octava ecuaciones del sistema (14 x 14) correspondiente al reticulado de la Figura 8.5.

Ensamble de la matriz de rigidez del conjunto

La expresión vectorial (Ec. 8.16), desarrollada para el nudo 4 (a modo de ejemplo), es de validez general y provee una expresión sistemática de plantear las ecuaciones de equilibrio. Esta ecuación indica cómo se debe ensamblar la matriz de rigidez del reticulado a partir de las matrices de rigidez de cada barra.

(Ec. 8.17)

En la diagonal principal de la matriz (elementoK₄₄) se suman las contribuciones de la rigidez de las cuatro barras que concurren al nudo 4.

El elemento K₄₂ contiene solamente el aporte de la única barra que une los nudos 2 y 4.

El elemento K₄₁ es nulo porque no hay ninguna barra conectando el nudo 1 con el 4.

A manera de ejemplo a continuación se procede a ensamblar directamente la contribución de una barra cualquiera, por ejemplo la barra (d) que une el nudo 2 con el 4.

d

Kji K_ji^e 0

(**) :K_jj^d +K_jj^e+K_ii^g +K_ii^h

(**) K_ij^g K_ij^h 0

U1

U2

5

0 R

0 0 0

−F

1 1 x y

R R

0 P

0 0

4 4 x y

P P U3

U4

U5

U6

U7

(10)

2 4

2

4

d d

ii ij

d

d d

ji jj

K K

K K K

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

(Ec. 8.18)

d :

Kii Se suma a la contribución de las barras (a) y (c) para dar K . ₂₂

d :

Kij Resulta ser K . ₂₄

d :

Kji Resulta ser K . ₄₂

d :

Kjj Se suma a la contribución de las barras (e), (g) y (h) para dar K . ₄₄

Lo indicado para la barra (d) es totalmente general, y para una barra genérica (*) que une el nudo "i" con el nudo "j" se tiene:

* *

. .

i ii i ij j

P =K U +K U +contribución de las otras barras

* *

. .

j ji i jj j

P =K U +K U +contribución de las otras barras

(Ec. 8.19)

Para ensamblar la matriz del conjunto se parte inicialmente de una matriz (2n x 2n) cuyos coeficientes son todos nulos, donde “n” es el número de nudos del reticulado, y se acumulan en dicha matriz las contribuciones de todas las barras que integran la estructura.

Por ejemplo, la contribución de la barra (*) será según la (Ec. 8.19) la indicada en la Figura 8.7.

Figura 8.7 Propiedades de la matriz de rigidez

1) La matriz de rigidez del reticulado plano es cuadrada y de orden 2n, donde n es el número de nudos. Para una barra en 3 dimensiones, la matriz sería de orden (3n x 3n).

2) Es una matriz simétrica como consecuencia que las matrices de las barras individuales son también simétricas.

*

Kii

*

Kjj

*

Kij

*

Kji

(11)

3) La matriz de rigidez, tal como resulta del proceso de ensamble antes descrito, es una matriz singular (determinante nulo) de modo que el sistema de la (Ec. 8.17) no tiene solución única porque no se han impuesto las condiciones de vínculo que restringen los desplazamientos del cuerpo rígido. Para impedir desplazamiento de cuerpo rígido en el plano hay que dar por lo menos tres condiciones de vínculo apropiadas que restrinjan los desplazamientos de un cuerpo rígido en el plano.

Condiciones de vínculo

Habiendo ya considerado las relaciones constitutivas, las ecuaciones de equilibrio y las cinemáticas (o de compatibilidad), sólo resta introducir las condiciones de vínculo (apoyos). El nudo 1 es un apoyo fijo y el nudo 5 es un apoyo móvil, de modo que se tienen tres desplazamientos nulos:

5

1 5

0 ;

0 0

U x

U ⎡ ⎤ U ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (Ec. 8.20)

Las columnas primera, segunda y décima que van a ser multiplicadas por cero, no son necesarias para resolver el sistema de ecuaciones ya que los respectivos desplazamientos son nulos en función de las condiciones de vínculo impuestas, y pueden ser omitidas del sistema de ecuaciones a resolver.

Las filas primera, segunda y décima se pueden también omitir del sistema de ecuaciones y resolver un sistema 11 x 11 que permita determinar los 11 desplazamientos desconocidos.

Una vez calculados los 11 desplazamientos (sin considerar las filas primera, segunda y décima), se pueden utilizar las ecuaciones primera, segunda y décima para obtener las reacciones de apoyo desconocidas (Ec. 8.17).

La diagonal principal de la matriz tiene todos sus elementos distintos de cero, los que además son siempre positivos. Esto concuerda con el hecho que para producir un desplazamiento en una dirección y sentido dado se requiere aplicar en dicho nudo una fuerza distinta de cero, y en general del mismo signo que el desplazamiento. Como además los elementos de la diagonal son los únicos que se obtienen sumando la rigidez de las distintas barras, éstos resultan ser dominantes (mayores) respecto a los restantes elementos de la matriz.

Observando la Figura 8.7 se deduce que si los números que definen los nudos extremos de una barra difieren en pocas unidades, las cuatro submatrices de esa barra se ubican muy cerca de la diagonal principal (es evidente que cualquiera sea la numeración, las submatrices K y _ii K _jj van siempre sobre la diagonal principal).

(12)

Una numeración óptima de los nudos debería permitir que todos los elementos no nulos de la matriz estén próximos a la diagonal principal. De esta manera se obtiene una matriz de tipo

"bandeada" como se indica en la Figura 8.8.

Figura 8.8

Para lograr una adecuada optimización computacional, dentro de la banda puede haber también algunos elementos nulos, pero fuera de la banda todos los elementos deben ser nulos.

Ejemplo:

Figura 8.9

En el caso (a) se obtiene una matriz con elementos no nulos desparramados en toda la matriz mientras que con la numeración (b) ninguna barra tiene extremos cuya enumeración difiera en más de dos unidades y se obtiene una banda como se indica en la siguiente figura.

(13)

En ambos casos, antes de introducir las condiciones de vínculo se tiene una matriz simétrica de orden (24x24). El ancho de la banda tiene importancia desde el punto de vista computacional o de programación, pero no afecta la validez del método cualquiera sea el esquema de numeración que se adopte. El caso (b) permite ciertas ventajas de ordenamiento computacional y requiere menos capacidad de memoria porque la parte fuera de la banda no necesita ser calculada o almacenada. Además, por simetría sólo se requiere calcular y guardar en memoria la diagonal principal y la mitad del resto de la matriz.

Para ilustrar los cambios del sistema de ecuaciones a resolver según las condiciones de vínculo, a continuación se introducen variantes al reticulado de la Figura 8.5.

1) Se agrega un apoyo móvil en el nudo 3 en dirección horizontal.

En el método de las fuerzas se tendría ahora una estructura hiperestática, pero en el método de rigidez simplemente se elimina la sexta columna (que multiplica a U₃^y ≡ ) y no se 0 considera la sexta ecuación, con lo que se reduce en uno el número de incógnitas a calcular.

2) Se agrega una barra que une los nudos 2 y 5.

U1

U2

U3

U4

U5

U6

U7

(14)

En el método de rigidez bastará sumar la contribución de las cuatro submatrices de rigidez de la nueva barra pero no aumenta el número de incógnitas resolver.

De estos dos ejemplos se concluye que en el método de rigidez no interesa el grado de indeterminación estática, sino únicamente la indeterminación geométrica que está relacionada con el número de nudos y número de condiciones de vínculo.

3) Se agrega un apoyo elástico en dirección vertical en el nudo 3.

Si el apoyo elástico (resorte) tiene rigidez constante de valor “k” resulta que para desplazar en dirección vertical al nudo 3 en un valor unitario, además de la rigidez del reticulado habrá que vencer la rigidez del resorte. Para tenerlo en cuenta se debe sumar el valor “k” al coeficiente de la diagonal principal de la sexta fila y columna.

4) Se reemplaza el apoyo 5 por un apoyo elástico.

Se suma la rigidez del resorte sobre la diagonal principal al elemento de la décima fila y columna. En este caso, el desplazamiento vertical del nudo 5 pasa a ser una incógnita más

(

^U⁵^y ^≠⁰

)

y el sistema a resolver es de 12 x 12.

8.4- Esfuerzos en barras

El "esfuerzo computacional" de la solución por el método de rigidez está determinado casi exclusivamente por el tiempo requerido para resolver el sistema de ecuaciones.

Una vez hallados los desplazamientos, la determinación de los esfuerzos en las barras resulta muy simple. Primero se determina la elongación de la barra según (Ec. 8.2) y luego se calcula la fuerza según (Ec. 8.6). Para el caso de una barra genérica cuyo origen es el nudo "i" y su extremo el "j", se tiene:

(

1, 2

)

t = γ γ ; ^e^{= ∆}

(

^{U t}^.

)

^;^F ⁼^{K e}^. ^;^K ^{A E}^.

= L

(

^j ⁱ

) (

^j^x ⁱ^x

) (

^; ^j^y ⁱ^y

)

U U U ⎡U U U U ⎤

∆ = − =⎣ − − ⎦

( ) ( )

1 2

. . _j^x _i^x . _j^y _i^y

F =K ⎣^⎡γ U −U +γ U −U ^⎤⎦ (Ec. 8.21)

Si la proyección del corrimiento relativo

(

^U^j⁻^Uⁱ

)

sobre la dirección t (que se ha definido de "i" hacia "j") resulta positiva, la barra se ha alargado y está por lo tanto traccionada.

Conclusión:

Si el valor dado por (Ec. 8.21) resulta positivo, implica esfuerzo de tracción para

(15)

Un “procedimiento alternativo” consiste en efectuar el producto K U. indicado en la ecuación fuerza-desplazamiento (Ec. 8.3) para obtener las fuerzas en los extremos de la barra.

Como las fuerzas en los extremos son iguales y opuestas, será suficiente aplicar la (Ec. 8.12).

11. _i^x 12. _i^y 13. _j^x 14. _j^y _i^x K U +K U +K U +K U =P

21. _i^x 22. _i^y 23. _j^x 24. _j^y _i^y

K U +K U +K U +K U =P (Ec. 8.22)

Finalmente:

( ) ( )

^x ² ^y ²

i i i

P = P + P (Ec. 8.23)

El esfuerzo será de compresión si la resultante P tiene el sentido de "i" hacia "j". El _i lector puede comprobar que reemplazando (Ec. 8.22) en (Ec. 8.23) y utilizando los elementos de K dados por (Ec. 8.10) se llega a la (Ec. 8.21).

8.5- Reticulados Espaciales (3-D)

Los mismos conceptos desarrollados para el reticulado plano pueden generalizarse para el reticulado espacial. Bastará tener presente que las fuerzas y los desplazamientos tienen en este caso tres componentes (según x, y, z). Todas las expresiones vectoriales, como son las ecuaciones (Ec. 8.1), (Ec. 8.2), (Ec. 8.11), (Ec. 8.12), (Ec. 8.13), (Ec. 8.14), (Ec. 8.15), etc.

mantienen su vigencia.

Para obtener una expresión explícita de la matriz de rigidez de una barra de reticulado similar a (Ec. 8.10), se procede de una manera totalmente análoga a la empleada para el caso plano.

x

Pi

y

Pi

[ ]

. ⁱ

ii ij i

j

K K U P

U

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥=

⎣ ⎦

(16)

(

1, 2, 3

)

t = γ γ γ Donde:

( )

( ) ( ) ( )

1 2 2 2

x x

j i

x x y y z z

j i j i j i

r r

r r r r r r

γ = ⁻

− + − + −

Los cosenos directores

(

γ γ γ1, 2, 3

)

se calculan a partir de las coordenadas de los nudos "i"

y "j", y la ecuación fuerza-desplazamiento resulta:

(Ec. 8.24)

El armado de la matriz sigue el mismo procedimiento desarrollado para el caso plano.

Una vez resuelto el sistema de ecuaciones se pueden calcular las fuerzas en las barras utilizando una expresión similar a la (Ec. 8.21).

( ) ( ) ( )

1 2 3

. . . _j^x _i^x . _j^y _i^y . _j^z _i^z

F =K e= ∆K U t =K ⎣^⎡γ U −U +γ U −U +γ U −U ^⎤⎦ (Ec. 8.25)

2

1 1 2 1 3

2

1 2 2 2 3

2

1 3 2 3 3

. . . . .

.

x x

i i

y y

i i

z z

i i

x x

j j

y y

j j

z

j j

K K K U P

U P

γ γ γ γ γ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥=

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

⎣ ⎦

igual y cambiada de signo

igual y cambiada de signo igual

z

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

y

Ui Pⁱ^y

x

Pi x

Ui

y

Uj y

Pj x

Pj ^x

Uj z

Ui z

Pi

z

Uj

z

Pj

γ1

γ3

γ2

t t

(17)

Ejercicio Nº 1:

Calcular los esfuerzos en las barras (2-7) y (7-12)

Datos:

Para todas las barras: A=4, 00cm² ; E=2100000kg cm/ ²

Nudo 7 8 9 10 11 12

U x 0,04 0,01 -0,02 0,02 0,01 -0,01

U y -0,01 0,02 0,001 -0,001 0,03 0,02

U z -0,001 -0,001 -0,002 -0,002 -0,002 -0,002

Posición de los nudos:

( ) ( ) ( )

12 0;1; 6 ; 7 2;1;3 ; 2 2; 0; 0

P = m P = m P = m

Barra (12-7):

Cosenos directores:

(

12 7

) ( ) ( ) (

1 2 3

)

12 7

1 1

. 2; 0;3 ; ;

13

P P t

P P γ γ γ

− = − = =

− .

1 0,5547 ; 2 0 ; 3 0,832 γ = − γ = γ =

(^{12 7}) 360,55 ; (^{12 7}) 23297, 408Kg

l cm K

− = − = cm

(

^.

)

e= ∆U t ; F =K e.

z

(18)

(

¹² ⁷

) ⁽

0, 01; 0, 02; 0, 002

^{) (}

0, 04; 0, 01; 0, 001

⁾

U U U

∆ = − = − − − − −

( ) ( )

. 0, 05; 0, 03; 0, 001 . 0, 5547; 0, 00; 0,832 0, 0269029

U t cm

∆ = − − − =

(^{12 7}) 626,8 F ₋ = Kg Barra (7-2):

Cosenos directores: t =

(

0, 00; 0, 3162; 0, 9488

)

(

⁷ ²

) ⁽

0, 04; 0, 01; 0, 001

^{) (}

0; 0; 0

^{) (}

0, 04; 0, 01; 0, 001

⁾

U U U

∆ = − = − − − = − −

( ) ( )

³

. 0, 04; 0, 01; 0, 001 . 0, 00; 0, 3162; 0, 9488 4,11 10

e= ∆U t = − − = − × ⁻ cm

(^{7 2}) 316, 2 ; (^{7 2}) 26563,13Kg

l cm K

− = − = cm

(^{7 2}) 109, 2 F ₋ = − Kg

Escribir el sistema de ecuaciones de equilibrio:

Datos:

Coordenadas de los nudos:

Nudo Coord. x Coord. y

1 0 0 2 3 0 3 0 4 4 3 4

α

2

1 2 3 4 5 6

2

1000 ; 20º

6, 00 2100000 /

P Kg

A A A A A A cm

E kg cm

= α =

= = = = = =

=

(19)

Barras 1, 3 y 5:

1 2

400 ; . 31500

0 ; 1

A E Kg

l cm K

l cm

γ γ

= = =

= =

0 0 0 0

0 31500 0 31500

0 0 0 0

0 31500 0 31500

⎡ ⎤

⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Barras 2 y 6:

1 2

500 ; . 25200

0, 6 ; 0,8

A E Kg

l cm K

l cm

γ γ

= = =

= =

9072 12096 9072 12096

12096 16128 12096 16128 9072 12096 9072 12096 12096 16128 12096 16128

− −

⎡ ⎤

⎢ − − ⎥

⎢ ⎥

⎢− − ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Barra 4:

1 2

300 ; . 42000

1 ; 0

A E Kg

l cm K

l cm

γ γ

= = =

= =

42000 0 42000 0

0 0 0 0

42000 0 42000 0

0 0 0 0

⎡ − ⎤

⎢ ⎥

⎢− ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

1 2−

1 2

3 3

1 1 6

4 6

4 2

− 3

3 3 4 4 5 5

0 0 0 0 .

4 2 3 5

4 5

6 5 6 5

x y x y x y

U U U U U U

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ − ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ − ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ − ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

⎣ ⎦

(20)

3

4

5

51072 12096 42000 0 9072 12096

12096 47628 0 0 12096 16128

42000 0 51072 12096 0 0

0 0 12096 79128 0 31500 .

9072 12096 0 0 9072 12096

12096 16128 0 31500 12096 47628

x

y

x

y

x

y

U U U U U U

− − − ⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ − − ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢− ⎥

⎢ ⎥

⎢ − ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢− − ⎥

⎢ ⎥

− − − ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0 0 0 0 939, 7 342, 02

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢− ⎥

⎣ ⎦

En la estructura del ejercicio anterior calcular los esfuerzos en las barras si los desplazamientos son los dados a continuación:

Nudo Desp.

3 4 5

U x 0,2465017 0,2241279 0,59117511

U y 0,0397756 -0,0904091 -0,1410425

Barra 1:

( ) ( )

1 31500. 0, 2465 0 .0 0, 03977 0 .1

F = ⎡⎣ − + − ⎤⎦

1 0 ; 2 1 ; 31500Kg

K cm

γ = γ = =

1 1252, 93

F = Kg

Barra 2:

( ) ( )

2 25200. 0, 224128 0 .0, 6 0, 090409 0 .0,8

F = ⎡⎣ − + − − ⎤⎦

1 0, 6 ; 2 0,8 ; 25200Kg

K cm

γ = γ = =

2 1566, 04

F = Kg

β α

( ) ( )

1

2

cos cos

α γ

β γ

=

( )

¹

( )

²

. ^j ⁱ . ^j ⁱ .

Barra x x y y

F =K ^⎡⎣ U −U γ + U −U γ ^⎤⎦

(21)

Barra 3:

( ) ( )

3 31500. 0, 22412 0 .0 0, 09040 0 .1

F = ⎡⎣ − + − − ⎤⎦

1 0 ; 2 1 ; 31500Kg

K cm

γ = γ = =

3 2847,88

F = − Kg

Barra 4:

( ) ( )

4 42000. 0, 2241 0, 2465 .1 0, 0904 0, 03977 .0

F = ⎡⎣ − + − − ⎤⎦

1 1 ; 2 0 ; 42000Kg

K cm

γ = γ = =

4 939, 70 F = − Kg Barra 5:

( ) ( ( ) )

5 31500. 0, 5911 0, 22412 .0 0,141 0, 090409 .1

F = ⎡⎣ − + − − − ⎤⎦

1 0 ; 2 1 ; 31500Kg

K cm

γ = γ = =

5 1594, 95

F = − Kg

Barra 6:

( ) ( )

6 25200. 0, 59117 0, 2465 .0, 6 0,14104 0, 039 .0,8

F = ⎡⎣ − + − − ⎤⎦

1 0, 6 ; 2 0,8 ; 25200Kg

K cm

γ = γ = =

6 1566,17

F = Kg

Nota: por tratarse de una estructura isostática se pueden comprobar fácilmente los resultados por cualquier método de análisis estático disponible.

Determinar las fuerzas en las barras del reticulado cuya base es un triángulo equilátero.

Todas las barras: A=4, 00cm² l=400cm Lado del triángulo base: d =200cm

Carga: P= 200; -100; 0

( )

= 2,1 10 ⁶ Kg₂

E × cm

(22)

Nudo Coord. x Coord. y Coord. z

1 0 0 0

2 100 173,205 0

3 200 0 0

4* 100 57,735 0

4 100 57,735 382,971

( )

14uur= 100;57, 735;382, 971 Barra 1:

1 0, 25 ; 2 0,144338 ; 3 0, 957427 γ = γ = γ =

1 4

1

4

/ / / / / / / / / / / /

/ / / / / / 1312, 50 757, 77 5026, 49

/ / / / / / 757, 77 437,50 2902, 05

/ / / / / / 5026, 49 2902, 05 19250

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢⎣ ⎦

⎥ Barra 2:

1 0, 00 ; 2 0, 288675 ; 3 0, 957427 γ = γ = − γ =

h

3 h z

z

(23)

2 4

2

4

/ / / / / / / / / / / /

/ / / / / / 0 0 0

/ / / / / / 0 1750 5804,1

/ / / / / / 0 5804,1 19250

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎣ ⎦

Barra 3:

1 0, 25 ; 2 0,144338 ; 3 0, 95427 γ = − γ = γ =

3 4

3

4

/ / / / / / / / / / / /

/ / / / / / 1312, 50 757, 77 5026, 49

/ / / / / / 757, 77 437, 50 2902, 05

/ / / / / / 5026, 49 2902, 05 19250

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ − −

⎢⎢ −

⎢ −

⎢⎣ ⎦

⎥⎥

⎥ Ecuaciones de equilibrio de nudo 4:

4

2625 0 0 200

0 2625 0 . 100

0 0 57750 0

x

y

z

U U U

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢= − ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Desplazamientos:

4

0, 076190476 0, 038095238 0, 000000000

x

y

z

U U U

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢= − ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Esfuerzos en las barras:

( ) ⁽ ^{) (} ⁾

1 . . 21000. 0, 07619; 0, 03095; 0, 00000 . 0, 25; 0,1443; 0, 9574

F =K ∆U tr r = ⎡⎣ − ⎤⎦

1 284, 53

F = Kg

( ) ⁽ ^{) (} ⁾

2 . . 21000. 0, 07619; 0, 03095; 0, 00000 . 0, 00; 0, 2886; 0, 9574

F =K ∆U tr r = ⎡⎣ − − ⎤⎦

2 230, 94

F = Kg

( ) ⁽ ^{) (} ⁾

3 . . 21000. 0, 07619; 0, 03095; 0, 00000 . 0, 25; 0,1443; 0,9574

F =K ∆U tr r = ⎡⎣ − − ⎤⎦

3 515, 47 F = − Kg

(24)

Calcular las fuerzas en las barras del reticulado plano

Matrices de rigidez de las barras:

Barra 1:

( )

1 1; 0 ; 60 ; 1 350000Kg

t l cm K

= = = cm

1 2

1

2

/ / / / / / / /

/ / / / 350000 0

/ / / / 0 0

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Barra 2:

( )

2 0;1 ; 80 ; 2 262500Kg

t l cm K

= = = cm

1 3

1

3

/ / / / / / / /

/ / / / 0 0

/ / / / 0 262500

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Barra 3:

( )

3 0, 6; 0,8 ; 100 ; 3 420000Kg

t l cm K

= − − = = cm

2 2 2

1 2 3

6 2

10 10 20

4000 2000 2,1 10

A cm A cm A cm

Kg Kg

P Kg K E

cm cm

= = =

= = = ×

(25)

2 3

2

3

151200 201600 151200 201600

201600 268800 201600 268800

151200 201600 151200 201600 201600 268800 201600 268800

− −

⎡ ⎤

⎢ − − ⎥

⎢ ⎥

⎢− − ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Sistema de ecuaciones de equilibrio:

2 3

2 2

2

3 3

3

501200 201600 151200 201600 0

201600 268800 201600 268800

151200 201600 153200 201600 . 201600 268800 201600 351300

x

y

x

y

U U U U

− − ⎡ ⎤

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ − − ⎥ ⎢ ⎥ −

⎢ ⎥ ⎢ ⎥=

⎢− − ⎥

⎢ ⎥

⎢− − ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

4000 0 0

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Desplazamientos:

2

3

0, 0085714286 1,161547619 1, 500000000 0, 0152380952

x

y

x

y

U U U U

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ − ⎥

⎢ ⎥ ⎢= ⎥

⎢ ⎥ ⎢ − ⎥

⎢ ⎥ ⎢− ⎥

⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦

⎣ ⎦

Fuerzas en las barras:

( ) ( )

1 350000. 0, 0085714; 1,1615476 . 1; 0

F = ⎡⎣ − ⎤⎦

1 3000

F = Kg

( ) ( )

2 262500. 1, 5000; 0, 0152381 . 0;1

F = ⎡⎣ − − ⎤⎦

2 4000

F = Kg

( ) ( )

3 420000. 1, 508571;1,1463095 . 0, 6; 0,8

F = ⎡⎣ − − − ⎤⎦

3 5000

F = − Kg

( ) ( )

1

2

tan 0, 0188 tan 0, 0194

θ θ

=

= θ1

θ2

(26)

Fuerza en el resorte:

. 2000 1, 5 3000 R=K U = × = Kg Ejercicio Nº 6:

La torre arriostrada del croquis tiene una carga horizontal en la dirección del eje "y".

Determinar el esfuerzo en todas las barras.

2

1 2 3

2 4

0, 07065 2, 0

A A A cm

A cm

= = =

=

Longitudes en metros.

Nudo Coord. x Coord. y Coord. z

1 0,00 -4,47 0,00

2 4,00 2,00 0,00

3 -4,00 2,00 0,00

4 0,00 0,00 0,00

5 0,00 0,00 5,00

Barra 1:

(

^{0; 0;5}

) (

0; 4, 47; 0

) (

0; 4, 47;5, 00

)

670,80 ; A E. 221,18Kg

l cm K

l cm

− − =

= = =

4

5 z

1

2

3 4

5

x

y (1)

(2)

(3) (4)

4, 47

4, 00

2, 00

2, 00 100

5, 00

(27)

0 0 0 0 0 0

0 98, 3 109, 9 0 98,3 109, 9

0 109,9 122, 9 0 109, 9 122, 9

0 0 0 0 0 0

0 98,3 109, 9 0 98,3 109,9

0 109, 9 122, 9 0 109, 9 122,9

⎡ ⎤

⎢ − − ⎥

⎢ ⎥

⎢ − − ⎥

⎢ ⎥

⎢ − − ⎥

⎢ ⎥

− −

⎣ ⎦

Barra 2:

( ) ( ) ( )

1 2 3

0; 0;5 4; 2; 0 4; 2;5

670,80 ; . 221,18

0, 596 ; 0, 298 ; 0, 745

A E Kg

l cm K

l cm

γ γ γ

− = − −

= = =

= − = − =

78, 6 39,3 98, 3 78, 6 39, 3 98, 3 39,3 19, 67 49,15 39, 3 19, 67 49,15

98, 3 49,15 122,9 98, 3 49,15 122, 9 78, 6 39, 3 98, 3 78, 6 39, 3 98,3 39, 3 19, 67 49,15 39, 3 19, 67 49,15 98, 3 49,15 122, 9 98, 3 49,15 122,9

− − −

⎡ ⎤

⎢ − − − ⎥

⎢ ⎥

⎢ − − − ⎥

⎢ ⎥

⎢ − − − ⎥

⎢ ⎥

− − −

⎣ ⎦

Barra 3:

( ) ( ) ( )

1 2 3

0; 0;5 4; 2; 0 4; 2;5

670,80 ; . 221,18

0, 596 ; 0, 298 ; 0, 745

A E Kg

l cm K

l cm

γ γ γ

− − = −

= = =

= = − =

78, 6 39, 3 98, 3 78, 6 39, 3 98, 3 39, 3 19, 67 49,15 39, 3 19, 67 49,15 98, 3 49,15 122,9 98, 3 49,15 122, 9

78, 6 39,3 98, 3 78, 6 39, 3 98,3 39,3 19, 67 49,15 39, 3 19, 67 49,15

98, 3 49,15 122, 9 98, 3 49,15 122, 9

− − −

⎡ ⎤

⎢ − − − ⎥

⎢ ⎥

⎢ − − − ⎥

⎢ ⎥

⎢ − − − ⎥

⎢ ⎥

− − −

⎣ ⎦

Barra 4:

1 2 3

500 ; . 8400

0 ; 0 ; 1

A E Kg

l cm K

l cm

γ γ γ

= = =

(28)

0 0 0 0 0 0

0 0 8400 0 0 8400

0 0 0 0 0 0

0 0 8400 0 0 8400

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ − ⎥

⎢ ⎥

⎣ − ⎦

Sistema de ecuaciones de equilibrio del nudo 5:

157, 3 0 0 0

0 137, 6 11, 6 . 100

0 11, 6 8768 0

x

y

z

U U U

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢= − ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0, 0000 0, 72674 0, 00096

x

y

z

U U U

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⇒ ⎢ ⎥ ⎢= − ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Esfuerzos en las barras:

( ) ( )

1 1.1 221,18. 0, 00; 0, 7267; 0, 00096 . 0, 00; 0, 666; 0, 745

F =K e = ⎡⎣ − ⎤⎦

1 107, 0 F = − Kg

( ) ( )

2 2. 2 221,18. 0, 00; 0, 7267; 0, 00096 . 0, 596; 0, 298; 0, 745

F =K e = ⎡⎣ − − − ⎤⎦

2 48, 08

F = Kg

( ) ( )

3 3. 3 221,18. 0, 00; 0, 7267; 0, 00096 . 0,596; 0, 298; 0, 745

F =K e = ⎡⎣ − − ⎤⎦

3 48, 08

F = Kg

( ) ( )

4 4. 4 8400. 0, 00; 0, 7267; 0, 00096 . 0; 0;1

F =K e = ⎡⎣ − ⎤⎦

4 8, 06 F = Kg