Vectores: Producto Punto o Producto Escalar

Texto completo

(1)

Producto Punto o Producto Escalar

El producto escalar entre un par de vectores recibe ese nombre porque dicha operación entre vectores no da como resultado un nuevo vector, un ente matemático de la misma categoría, sino un escalar, que como se sabe es una magnitud física con tan solo valor numérico y referencia dimensional (explicita o no), mientras que una magnitud

vectorial requiere

necesariamente también de una referencia de direccionalidad. Debido a que se representa como , entre cualquier par de vectores y también se le denomina Producto Punto.

A

B

C

y x z ϕ1 ϕ2 ϕ3 θ1 θ2 θ3

Vectores: Producto Punto o Producto Escalar

α

A . ⃗B

A

B

Dado que dos vectores en el espacio, que operan entre sí, siempre determinan un plano en el espacio (figura sombreada), el Producto Escalar se puede evaluar

(2)

Vectores: Producto Punto o Producto Escalar

B

A

B

A

α α A cos α B B cos α A

El Producto Punto entre dos vectores y se define como:

Como se deduce fácilmente, el producto de las magnitudes de los vectores (valores escalares) con el coseno del ángulo entre ellos (α) cuando los vectores comparten el mismo origen (como en un Sistema de Coordenadas), es un simple producto aritmético entre escalares y su resultado es un escalar. Como el orden de los factores no altera el producto, desde ya se ve que el producto punto cumple la propiedad conmutativa, es decir:

El producto punto tiene una interpretación geométrica interesante, como es de esperar entre los vectores (objetos geométricos) y es, que consiste de una operación que cuantifica el grado de semejanza (paralelismo) entre dos vectores.

B

A

A . ⃗B=|⃗A||⃗B|cosα=A B cosα

(3)

Vectores: Producto Punto o Producto Escalar

B

A

B

A

α α A cos α B B cos α A

En otras palabras, el Producto Escalar compara el grado de semejanza entre dos vectores, que se evidencia en la “cercanía” que existe entre sus direcciones (paralelismo). Este rasgo del Producto Punto, le da la posibilidad de tener aplicaciones más allá de la Matemática y la Física, como en la visión artificial dentro del ámbito de la robótica.

Como se observa en las gráficas de la izquierda, valorar el grado de paralelismo entre los dos vectores, parte de proyectar ortonormalmente un vector sobre el otro (no importa cual de los dos pues se verifica la propiedad conmutativa) a través del ángulo común a ambos (α) y efectuar el producto de los tres factores de los que depende ese paralelismo: la magnitud de cada uno por aparte y el coseno del ángulo entre ellos, que es máximo cuando son totalmente paralelos (vale 1) o antiparalelos (vale -1). ⃗A . ⃗B= A B cosα=⃗B . ⃗A=B A cosα

(4)

Vectores: Producto Punto o Producto Escalar

B

A

B

A

α α A cos α B B cos α A

Otra forma de decir lo mismo, es que se multiplica el factor que representa la magnitud de la proyección perpendicular de un vector (componente) sobre el otro (vectores negros en las figuras de la izquierda) con la magnitud del vector correspondiente sobre el que se hace la proyección del otro.

Obsérvese, que el Producto Punto de un vector consigo mismo es:

El Producto Punto tiene una aplicación física importante en la descripción del trabajo W realizado por una fuerza. Como se verá más adelante, el trabajo W efectuado sobre un objeto por una fuerza , se define como el producto de la magnitud (longitud) del desplzamiento y de la componente de a lo largo de la dirección del desplazamiento. Si la fuerza se aplica con un ángulo θ con respecto al desplazamiento.

A . ⃗B= A B cosα=⃗B . ⃗A=B A cosα

F

d

F

(5)

Vectores: Producto Punto o Producto Escalar

B

A

α A

Entonces (figura superior de la izquierda):

W = (F cos θ) d

Ahora, asumiendo que tanto la fuerza como el desplazamiento se pueden escribir como vectores:

Otra aplicación interesante del Producto Punto, directamente en la Trigonometría, es que permite deducir el Teorema del Coseno para un Triángulo Plano. Como ya se dijo, dos vectores que comparten el origen definen automáticamente un plano en el espacio, entonces ese par de vectores y su suma, forman un triángulo plano (figura inferior de la izquierda). De hecho, los lados del triángulo son las magnitudes (longitudes) de los correspondientes vectores y el ángulo opuesto al lado C (θ) es el ángulo suplementario al ángulo (α) que se forma entre los dos vectores generadores y .

W =⃗F . ⃗d θ

C=⃗

A +⃗

B

B C

A

B

(6)

La prueba de esta Ley, utilizando vectores, es elegante. Puesto que:

Aplicando el Producto Punto al vector consigo mismo, se obtiene:

Vectores: Producto Punto o Producto Escalar

B

A

α

A Se observa que el ángulo (α) queda como un ángulo externo del triángulo, en el vértice opuesto al lado C y el ángulo interno (θ), es el que viene en la expresión de la Ley del Coseno. Así, siguiendo la notación de la figura a la izquierda, se sabe que la Ley de los Cosenos es:

C2 = A2 + B2 – 2 A B cos θ θ

C=⃗

A +⃗

B

B C

C=⃗

A +⃗

B

C

C . ⃗C=(⃗A+⃗B).(⃗A +⃗B)C . ⃗C=⃗A . ⃗A+⃗A . ⃗B+⃗B. ⃗A +⃗B . ⃗BC . ⃗C=⃗A . ⃗A+⃗B . ⃗B+2(⃗A . ⃗B) C2=A2+B2+2( A . B) cosα

Ahora bien, como θ y α son suplementarios, - cos θ = cos α, con lo que la ecuación queda finalmente:

(7)

Producto Punto o Producto Escalar por Componentes Unitarios.

Una forma alternativa de operar el Producto Punto es utilizando la representación óptima por Componentes unitarios.

Para ello es importante notar que el producto punto entre los propios vectores unitarios del Sistema de Coordenadas Cartesianas, se cumple de la siguiente manera:

A

B

C

y x z ϕ1 ϕ2 ϕ3 θ1 θ2 θ3

Vectores: Producto Punto o Producto Escalar

αi. ⃗i=1 .1 .cos 0°=1ijki. ⃗j=⃗j . ⃗i=1. 1. cos 90 °=0j. ⃗j=1 .1 .cos 0°=1i. ⃗k=⃗k . ⃗i=1. 1. cos 90 °=0k . ⃗k=1 .1 .cos 0°=1j. ⃗k=⃗k . ⃗j=1. 1. cos 90 °=0

(8)

Expresando y en términos de sus componentes unitarios, expandiendo el producto y utilizando los productos de los vectores unitarios:

Aplicando las relaciones obtenidas para los vectores unitarios, se deduce que seis de los términos anteriores dan 0 y con los tres restantes, se obtiene que:

A

B

C

y x z ϕ1 ϕ2 ϕ3 θ1 θ2 θ3

Vectores: Producto Punto o Producto Escalar

αijkAB

Entonces el Producto Escalar de dos vectores, es la suma de los productos de sus respectivas componentes.

(9)

Queda claro entonces que el Producto Punto entre un par de vectores y , en general cumple la siguiente igualdad:

Esta relación muestra que el Producto Escala permite calcular directamente el ángulo α entre los dos vectores y , cuyas componentes son conocidas. A partir de esa misma ecuación, dicho Producto Escalar, también es igual a ABcosα. Las magnitudes A y B se pueden obtener a partir de las ecuaciones ya vistas para los vectores representados por componentes unitarios. Por tanto, sin preocuparse cuál sea la disposición de los vectores en el espacio (figura a la derecha) es posible hallar el

A

B

C

y x z ϕ1 ϕ2 ϕ3 θ1 θ2 θ3

Vectores: Producto Punto o Producto Escalar

αijkABA . ⃗B= AxBx+AyBy+AzBz=A B cosαBA

(10)

Ejemplo 1

Determinar el ángulo entre el siguiente par de vectores:

Y

Solución

Utilizando la ecuación mostrada en la parte superior derecha de la figura al costado derecho:

(10.0 U).(-7.0 U) + (-5.8 U). (8.3 U) + (9.6 U).(5.1 U)= (15 U).(12 U).cosα = (-69.2 U2) = (180 U2).cosα Entonces, cosα = -(69.2 U2 / 180 U2) =

(-⃗

A

B

C

y x z ϕ1 ϕ2 ϕ3 θ1 θ2 θ3

Vectores: Producto Punto o Producto Escalar

αijkA . ⃗B= A xBx+Ay By+Az Bz=A B cosα ⃗A=(10.0 U ) ^i+(5.8 U )(−^j)+(9.6 U ) ^kB=(7.0 U )(−^i)+(8.3 U ) ^j+(5.1 U ) ^kC=(3.8 U ) ^i+(3.2 U ) ^j+(8.7 U ) ^kA=(10.0 U ) ^i+(5.8 U )(−^j)+(9.6U ) ^k

B=(7.0 U )(−^i)+(8.3 U ) ^j+(5.1 U ) ^k

Ax Bx+AyBy+Az Bz=A B cosα

(11)

Ejemplo 2

Determinar el ángulo entre el siguiente par de vectores:

Y

Solución

Utilizando la ecuación mostrada en la parte superior derecha de la figura al costado derecho:

(-7.0 U).(3.8 U) + (8.3 U). (3.2 U) + (5.1 U).(8.7 U)= (12 U).(10 U).cosβ = (44.3 U2) = (120 U2).cosβ Entonces, cosβ = (44.3 U2 / 120 U2) =

A

B

C

y x z ϕ1 ϕ2 ϕ3 θ1 θ2 θ3

Vectores: Producto Punto o Producto Escalar

αijkB . ⃗C=BxCx+ByCy+BzCz=B C cosβ ⃗A=(10.0 U ) ^i+(5.8 U )(−^j)+(9.6 U ) ^kB=(7.0 U )(−^i)+(8.3 U ) ^j+(5.1 U ) ^kC=(3.8 U ) ^i+(3.2 U ) ^j+(8.7 U ) ^kB=(7.0 U )(−^i)+(8.3 U ) ^j+(5.1 U ) ^k BxCx+ByCy+BzCz=B C cosβ αC=(3.8 U ) ^i+(3.2 U ) ^j+(8.7 U ) ^k

(12)

Ejercicios Propuestos

Resolverlos de acuerdo con los vectores dados en la parte inferior derecha de la figura al costado derecho.

1. Determinar el ángulo entre el par de vectores y .

2. Determinar el ángulo entre el par de vectores y . 3. Determinar el ángulo entre el par de vectores y . 4. Determinar el ángulo entre el par de vectores y .

5. Determinar el ángulo entre el par de vectores y .

A

B

C

y x z ϕ1 ϕ2 ϕ3 θ1 θ2 θ3

Vectores: Producto Punto o Producto Escalar

αijkA ⃗CA=(10.0 U ) ^i+(5.8 U )(−^j)+(9.6 U ) ^kB=(7.0 U )(−^i)+(8.3 U ) ^j+(5.1 U ) ^k αC=(3.8 U ) ^i+(3.2 U ) ^j+(8.7 U ) ^kA +⃗BA−⃗BA +⃗B+⃗CBA−⃗BBA +⃗B−⃗CB−⃗C

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :