Rectas tangentes a la elipse paralelas a una dirección dada. Rectas tangentes a una elipse desde un punto exterior

Las 2 primeras están en el libro

CURVAS TÉCNICAS

Óvalo, ovoide, espiral

y

voluta.

Trazado como aplicación de tangencias

Objetivos

y

or

i

entaciones metodológicas

Se trata de una unidad temática corta y sencilla. El alumno aprenderá, al menos, un procedimiento de construcción de cada una de las curvas. El dibujo debe hacerse con precisión a fin de conseguir un correcto enlace entre los diversos arcos que forman las curvas, determinando los puntos de tangencia. Sin aumentar el trabajo manual, se indicarán algunas aplicaciones prácticas tanto en órganos de máquinas como en arquitectura.

El desarrollo de esta unidad temática puede hacerse en una clase.

Fig. 1. Aplicaciones de las curvas técnicas.

1. Óvalo

El óvalo es una curva cerrada formada por arcos de circunferencia y simétrica respecto a dos ejes perpendiculares. Su aplicación práctica más importante en dibujo industrial es el trazado de perspectivas, ya que puede sustituir a una elipse de forma aproximada.

2. Construcción de un óvalo dado el

eje mayor AB

(Fig. 2)

Se divide AB en tres partes iguales, con lo cual se obtienen los puntos 01 y Oz; con centro en estos puntos se trazan las circunferencias de radios 0l-A y Oz-B y los puntos de intersección 0₃ y 04 son los otros dos centros que permiten completar el óvalo.

A~,---~·B 3

Fig. 2.

DIBUJO TECNICO I • Bachillerato 77

c

' ______

______

_____

0 O

c

02 o O Fig. 3. f o A~--~----~--~~~---iB G Fig. 4. E A~----~---~~----~---4B Fig. 5.

78 DIBUJO TECNICO I -Bachillerato

3. Construcción de un óvalo dado el

eje menor CD

(Fig. 3)

Se construye la circunferencia de diámetro CD y se trazan dos diámetros perpendiculares. Los puntos 01'

°

2

.°

3 Y 04 son los centros de los arcos de

circunfe-rencia que permiten construir el óvalo.

4. Construcción de un óvalo de cuatro

centros conociendo los ejes

AB y

CD

Primer procedimiento (Fig. 4)

Se dibujan los ejes AB y CD perpendiculares y cortándose en el punto medio O; se toman en OB y OC dos segmentos iguales BF = CE; se une E con F y la mediatriz de EF corta en H a la prolongación del eje menor; se hallan los simétricos de F y H respecto de O y se tienen los puntos G e I. Los puntos F, H, Gel son los centros de los arcos.

Segundo procedimiento (Fig. 5)

Se sitúan como antes los dos ejes AB y CD; se traza la

circunferencia de diámetro AB y se lleva el lado del

hexágono inscrito AF; se une E conFy Fcon O; por ese traza la paralela a EF. la cual corta en G a AF, y por G, la

paralela a FO, que corta en 1 y 2 a los dos ejes del óvalo: los puntos 1 y 2 Y sus simétricos 3 y 4 son los centros de los arcos de circunferencia que permiten construir el óvalo.

Existen otras construcciones para hacer un óvalo con un mayor número de centros.

5. Ovoide

6. Construcción de un ovoide dado el

eje mayor

AB (Fig.

6)

Se divide AB en seis partes iguales y sobre la perpendicular a AB por la división 2 se toman cuatro partes en los dos sentidos. Los puntos 0" 0" 0, y 0, que indica la figura son los centros del ovoide.

7. Construcción de un ovoide dado el

eje menor

CD (Fig. 7)

Con

eD

como diámetro se traza la circunferencia de

la figura y el diámetro perpendicular a CD. Los puntos

°

1> 02' 03 Y o.~ son los centros de los arcos que forman el ovoide.

8. Voluta

La voluta es una curva formada por arcos de circunfe-rencias tangentes entre sí, siendo los centros sucesivos

de estos arcos los vértices de un polígono determinado,

p. ej., un triángulo, un cuadrado, etc.

9. Construcciones de la voluta

(Fig. 8) Se supone una circunferencia, p. ej., la de diámetro A-S y se construye el cuadrado 1-2-3-4, siendo el vértice 4 el centro de la circunferencia anterior. Los puntos 1,2, 3,4,5, etc., van a ser los centros de los arcos de circun-ferencia que forman la voluta. Con centro en 1 y radio

l-A se traza el arco AB, estando B en la prolongación del segmento 2-1; con centro en 2 y radio 2-B se traza el arco Be; con centro en 3, el arco CD, y así sucesivamente.

12 4 Fig. 9. B Fig. 6.

o

,

A 1---- - - - ')§í~--4B T Fig. 7. E A D,?---~3!i--{L+ 2 -1·5 B

e

Fig. 8.

10. Construcción de la espiral de

Arquí-medes

(Fig. 9)

Se considera un segmento OP que es el paso de la espiral. Con centro en Oy radio OPse traza la circun -ferencia de la figura, la cual se divide en un número

de partes iguales, p. ej., 16 partes. Se divide el paso en el mismo número de partes iguales; los puntos de la espiral se obtienen al cortarse las circunferenclas concéntricas con los radios que pasan por los mismos

puntos de división.

Los puntos se unen con plantilla de curvas.

3

.

La elipse. Definición, elementos

y

pro-piedades más importantes (Figs

. 7 y 8)

Dado el carácter eminentemente gráfico de este

estudio se indican solamente las propiedades más

importantes de las cónicas.

La elipse es una curva cerrada y plana cuyos puntos

constituyen un lugar geométrico que tiene la

propiedad de que la suma de distancias de cada uno de sus puntos a otros dos. fijos, Fy F', llamados

focos, es constante e igual a 2a, siendo 2a la longi-tud del eje mayor AB de la elipse (Fig. 7).

M

e

I r b _r'

a

,

e

a

e O

""

o a O Fig. 7.

Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medlO 0, centro de la curva. El eje mayor AS

se llama eje real y se representa por 2a. El eje

menor CD se representa por 2b. Los focos están en

el eje real. La distancia focal F-F' se representa por 2c.

Entre a, b y e existe la relación a2 _{= b}2

₊

_e2 .

La elipse es simétrica respecto de los dos ejes y, por tanto, respecto del centro O. Las rectas que unen un punto M de la curva con los focos se llaman radios

vectores r y r' y por la definición se verifica:

r

+

r' = 2a

La circunferencia principal

e

p de la elipse es la

que tiene por centro el de la elipse y radio a. Se define como el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas por los focos a cada una de las tangentes (Fig. 8) Las circunferencias

focales

el

y

el"

de la elipse tienen por centro uno de

los focos y radio 2a.

La elipse se puede definir también como el lugar geométrico de los centros de

circunfe-rencias que pasan por un foco y son tangentes

a la circunferencia focal del otro foco.

Si tenemos un diámetro de la elipse, el diámetro conjugado con él es el lugar geométrico de los puntos medios de todas las cuerdas paralelas al primero. Los ejes son dos diámetros conjugados y los únicos que son perpendiculares. En la circunferencia todas

las parejas de diámetros conjugados son

perpen-diculares (Fig. 14).

e,

\

t'

_e

~

.

"

P

\ ' F

o

F'

a

~a

o

<'"

e,

Fig. 8.

4. Construcción de la elipse por puntos

a partir de los ejes

(Fig.

9)

Se conocen los ejes AB

=

2a y CD

=

2b. Con centro en

CaD y radio a, se corta el eje mayor en Fy F', focos de la curva. b a

e

o

Fig. 9.

Se toma un punto N cualquiera en el eje mayor; con

radio AN y centro en F se traza el arco 2 y con radio NB y centro en F' se traza el arco 1; estos dos arcos se cortan en el punto M de la elipse. De esta forma, la suma de las distancias de M a F y F' es igual a AS = AN

+

NS = 2a. Repitiendo esta operación y tomando otros puntos en el eje mayor entre Fy F' se van determinando puntos de la curva, que se unen con plantilla.

DIBUJO TÉCNICO 1-Bachillerato 85

I

M2 Fig. 16. 5' 4' 3' 2' l' o F' Fig. 17. R e F' A a O

s

Fig. 18.

88 DIBUJO T~CNICO I -Bachillerato

2 3 N 2 N ~1' --<>2' 4' - - - - 5'

11. Construcción de la hipérbola por

puntos a partir de los ejes (FIQ

.

16) Los datos son 2a = AB Y 2c = Fr. Se toma un punto

N en el eje realABy con radios ANy BNy centros enFy F' se trazan dos arcos que se cortan en M, punto de la hipérbola; de esta forma. MF - MF' = 2a = AB. En la figura se obtienen otros puntos de la curva tomando los

puntos 1, 2 Y 3 del eje real.

12. Construcción de la hipérbola por

haces proyectivos

(Rg.17)

Se conocen 2a

=

AB Y 2c = FF'; se halla un punto cualquiera P de la curva y se construye el rectángulo

AMPN; se dlviden los lados MP y PN en un número cualquiera de partes iguales que se unen con los puntos A y F', respectivamente. Los puntos de intersección de

los rayos homónimos u homólogos de estos dos haces son puntos de la hlpérbola. Así, r-4 y A-4 se cortan en el punto T de la curva; de la misma forma se construye la

parte inferior de la curva.

13. Trazado de la hipérbola por

envol-ventes

(Fig. 18)

Se conocen los vértices A y B Y los focos F y F'; se

construye la circunferencia principal de centro O y radio

a = OA = OB. Al igual que en la elipse, basta tomar

puntos en la circunferencia principal, unirles con F y

trazar las correspondientes perpendiculares, que son tangentes a la curva. En la figura sólo está trazada una rama.

,

14.

La

parábola. Definición, elementos y

propiedades

más

importantes

(Fig. 19)

La parábola es una curva plana, abierta y de una

rama. Se define como el lugar geométrico de los

puntos del plano que eqUIdistan de un punto fijo F,

llamado foco, y de una recta fija d, llamada

directriz. Tiene un vértice V y un eje de simetría

que pasa por Vy por el foco y es perpendicular a la

directriz. La tangente en el vértice a la curva es paralela a la directriz.

El vértice, como otro punto cualquiera, equidista de

la directriz y del foco, es decir, VA = VF = p/2. Los

radios vectores del punto P son PN y PF.

Se llama parámetro 2p de la parábola, al igual que

en la elipse y en la hlpérbola, a la longltud de la

cuerda que es perpendicular al eje en el foco.

La directriz d de la curva hace de circunferencia

focal de la parábola, en este caso de radio infinito.

Según esto, la directriz es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco respecto de cada tangente.

La tangente en el vértice, que es una recta, hace

de circunferencia principal y se define como en

las curvas anteriores.

El foco equidista del punto de tangencia de una

tangente y del punto donde ésta corta al eje de la

curva.

15. Construcción de la parábola por

puntos

(Fig. 19)

Se conocen la directriz d, el eje y el foco. El vértice Ves

el punto medio del segmento AF. Se traza por un punto 1

del eje la perpendicular a éste y con centro en F y radio A---:J. = r se corta a dicha perpendicular, con lo cual se obtienen el punto Py su simétrico, que son puntos de la

curva; se tiene así r

=

PF

=

PN, según la definiclón de la

curva; esta operación se repite para obtener nuevos puntos, que se unen con plantilla de curvas,

N~---1--'---:V

d

Fig. 19.

16. Construcción de la parábola dados

el eje, el vértice y un punto de la

curva

(Fig. 20)

Se trazan la tangente en el vértice, VN, y la paralela PN

al eje; se dividen PN y VN en un número de partes

iguales; el rayo V-5 y la paralela por 5 al eje se cortan en

el punto M de la curva; de la misma forma se han obtenido otros puntos de la curva.

-6 N ·3 ·4 ·5 -6 Fig. 20. 4 5 P eíe

DIBUJO Ti:CNICO I - Bachillerato 89

CURVAS CÓNICAS

La elipse. La hipérbola

y

la parábola.

Tangencias

y

puntos de intersección con una recta.

Otros problemas de cónicas

TEMA7

Objetivos

y

orientaciones metodológicas

El curso pasado estudiamos las propiedades de estas curvas, los elementos que intervienen en ellas y la

construCCIÓn de las mismas. En esta unidad temátiCa se resuelven una sene de problemas relaciOnados con ellas con objeto de que el alumno tenga un conocimiento completo de las cónicas.

Al desarrollo de esta unidad temát1ca se pueden ded1car tres clases.

·-1.

Trazado de la tangente y la normal

en un punto de la elipse

(Fig. 1)

La tangente a la ehpse en un punto M de ella es la recta

t. biSeCtriz exterior del ángulo que forman los radios vectores

MFy MF' La normal a la elipse en M es la perpendJCularn a la tangente t. En la figura no se construye la elipse que está defm1da por los ejesAB y CD.

2. Tangentes a la elipse desde un

punto exterior P

(Fig. 2)

La ehpse está dada por el eJe mayor AB y los focosF y F'.

Sab1endo que la cncunferencia focal es el lugar

geométnco de los puntos simétricos del otro foco respecto de las tangentes, tenemos que buscar un punto en ella que, umdo con F', resulte ser una cuerda de la Circunfe

-rencia de centro Py rad10PF'.

Según esto, se trazan la circunferencia focal de centro

Fy la de centroPy rad10 hasta el otro focoF', las cuales se cortan en los puntos M y N; se unen estos puntos con

F' y se trazan las media trices de los segmentos F'-M y

F'-N, las cuales pasarán por Py serán las tangentes a la elipse. Los puntos de tangencia se obtienen al unir M y

N con el foco F. que es el centro de la focal

p

'

Fig. 3. ~ 1 :t.;.

1

F\

O

A

e /2 A F F' B "2

/''

D Fig. 4. R p

\

D' _D Fig. 5.

7 4 DIBUJO Tt.CNICO 11 - Bachillerato

e,

'

B

3

.

Tangentes a la elipse paralelas a

una dirección dada

d (Fig. 3)

Si las tangentes han de ser paralelas a una d!recc1ónd, el punto P de la figura antenor está en el mfimto y la cncunferenc1a de centroPy rad1o hasta el focoF'(que no es centro de la focal) t1ene rad1o mflmto, y se conv1erte en una recta que pasa por F' y es perpendicular a la dnecc1ón dada. Las mediatricest1 y t2 de los segmentos

F'-My F'-Nson las tangentes y los puntos T₁ y T2 son los de tangencia.

4

.

Puntos de intersección de una recta

con una elipse

(Fig. 4)

Sean la rectar y la elipse dada por sus elementos, focos y vértices. Sabiendo que la elipse es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que son tangentes a una focal y pasan por el otro foco, el problema se reduce a hallar los centros de estas circunferencias.

En la figura se traza la focal del focoF, de radio2a. y se halla el simétrico F'

1 del foco F' respecto a r; se traza una circunferencia aux1liar cualqmera de centro O en la rectar que pase por los puntos F' y Fí. la cual corta a la focal en los puntos 1 y 2, la cuerda 1-2 y la rectaF'-F'1 se

cortan en el centro radical

e;

desde

e

se trazan las tangentes a la focal y los puntos de tangenc1a T1 y T se unen con F, lo cual da los centros !1 y I en r, que son los puntos donde la rectar corta a la elipse y a la vez centros de circunferencias tangentes a la focal deFy que pasan por el otro foco F'

5. Problema: dada una elipse por una

pareja de diámetros conjugados A'B'

y

C'D',

hallar los ejes

(Fig. 5)

Por el centro O se traza la perpendicular a A'B' y se lleva OP = OA'; se une P con

e'

y se traza la cncunfe-rencla de centro 01 y diámetro Pe'; con centro en 01 y

1

' A.HJP.ÉRBQLA

8. Trazado de la tangente y la nonnal a

la hipérbola en

Wl punto

P de ella

(FIQ. 9)

La tangente a la hipérbola en un punto? es la recta t. bisectriz de los radios vectores r y r₁. La normal a la

curva en el punto P es la recta n, perpendicular a la tangente t.

.___/

f¡

F A

Fig. 9.

9.

Tangentes a la hipérbola desde

Wl

punto exterior

(Fig. 1 O)

Se trazan la cncunferencia focal de centro F y la Circunferencia de centro el punto?, dado, y que pasa por el otro focoF'; estas dos circunferencias se cortan en los puntos N y M, que, umdos conF', nos dan los segmentos

NF' y MF'; las med1atrices de estos segmentos pasan

por Py son las tangentes a la hipérbola. Los puntos de tangenc1a T y TL se obtienen uniendoF con N y M hasta que corten a las tangentes.

M

F' F

Fig. 1 O.

76 DIBUJO TtCNICO 11 -Bachillerato

10. Tangentes a la hipérbola paralelas

a una dirección dada

r

(FIQ. 11)

Como en la elipse, se traza por un foco F' la perpendiCular a la dnecc1ón r, la cual corta a la cncunferencia focal del focoFen los puntos N y M. Las tangentes t y t' son las med1atnces de los segmentos

F'M y F'N. En la figura se trazan tamb1én las asíntotas,

que son las mediatrices de los segmentosF'Q y F'R.

N

Fig. 11.

1

;

12

11. Trazado de las asíntotas de la

hipérbola a partir de la

circun-ferencia principal

(Fig. 12)

Las asíntotas pasan por el centro O de la curva; por lo tanto, se trata de trazar las tangentes a la hipérbola desde el punto O. La cncunferenc1a pnnc1pal, de centro O y radio a = OA, corta a la de diámetro OF' en los puntos N y N₁. Las rectas ONy ON son las asíntotas a y a'. También se obtienen umendo el punto O con los

puntos 1 y 2, donde corta a la circunferencia de diámetro

FF' (radio

=

e) la perpendicular por B al e)e real. El

tnángulo 1-B-0 es rectángulo y sus lados son a, by c.

F F'

S

..

a

lo la ro os y os ro El

12. Puntos de intersección de una recta

con una hipérbola

(Fig. 13)

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos que son centros de cucunferencias tangentes a una Circunferencia focal y que pasan por el otro foco que no es centro de la focal Es decir, los puntos de mtersecctón de la recta r y de la hipérbola son los centros de las ctrcunferenctas tangentes a la focal de F y que pasan por los puntosF' y F1, simétrico deF' respecto de la recta r En la figura se resuelve este problema de tangenctas ya estudiado. Los puntos de intersecctón son !

1 e !2•

Fig. 13.

13.

Problema

(Fig. 14)

Una hipérbola está determmada por la dtstancta focal

2c

=

50 mm y su e¡e real2a

=

35 mm Determmar los puntos de mtersecctón con una recta que pasa por un

';coy forma un ángulo de 22 '30' con el eje real

Solución: Como la recta pasa por un foco, el stmétnco

de él respecto de la recta es él mtsmo, con lo que se

reduce el problema a buscar los puntos de la rectar que son centros de cncunferenctas tangentes a la focal de

F', que pasan por F y son tangentes a la recta

perpendicular a la dada por F. Este problema se resuelve en la figura como un problema de tangencias. Los puntos

de intersecciÓn soni 1 e I2. ~2

c,

t

.

r,

Fig. 14.

14. Obtención de puntos de una

hipérbola definida por las asíntotas

y un punto

P

de ella

Primer procedimiento (Fig. 15)

Se traza por P una recta cualqUiera, que corta a las asíntotas en los puntos A y D, tomando De = PA se obtiene otro punto

e

de la curva De la mtsma forma,

otra recta que pase por Pcorta en N y M a las asíntotas, se toma MH = NP y se tiene otro puntoH de la curva.

a

a' _A

H

Fig. 15. Segundo procedimiento (Fig. 16)

Por el punto P se traza una recta cualqUiera MN, se trazan MD y NE paralelas a una dnecc1ón cualqUiera y el punto medio

e

del segmento DE es de la curva. De la mtsma forma, MA y NB, paralelas, y el punto medw G

del segmentoAB es de la curva; NF y MI, paralelas, y el punto medw S de FI es de la curva; lo m1smo ocurre con el punto O. Trazando por P las paralelas PL y PK a las asíntotas, se t1ene la rectaLK y la tangente a la hipérbola en Pes paralela a LK.

o

M a A E R 8 Fig. 16.

'-A.MB,ÁBPLA

15. Trazado de la tangente y la normal

en un

punto

M

de la parábola

(Fig. 17)

La tangente t en un punto M de la parábola es la b1sectnz de los rad1os vectores MN y MF; la normal n es perpendicular a la tangente.

d t,

Fig. 17.

16. Tangentes a la parábola desde un

punto exterior

(Fig. 18)

Sea el puntoP; se traza la circunferencia de rad1oPFy centro enP, la cual corta a la duectnzd, que en la parábola hace de cncunferenc1a focal de radio infinito, en los puntos 1 y 2. Las med1atnces de los segmentos 1-Fy 2-F son las tangentes t

1 y t2. Los puntos de tangencia T1 y T2

se obtienen trazando por 1 y 2los rad1os vectores que son paralelos al eje Las tangentes halladas cortan a la tangente t. en el vértice Ven los puntos3 y 4, que son los p1es de las perpendiculares trazadas por el foco a las

tangentes

p

Fig. 18.

7 8 DIBUJO Ti:CNICO 11 • Bachillerato

17. Tangente a la parábola paralela a

una dirección dada

(Rg. 19)

La tangente ha de ser paralela a la dnecc1onD. por el foco se traza la perpendicular aD, la cual corta enM a la d1rectnzd y en I a la tangente en el vért1ce t. La tangente pasa por el punto I y su punto de tangencia es T, en la

paralela por M al eJe de la curva

Obsérvese que la perpendicular por Fa la direcciónD es una circunferencia de radio infimto, precisamente la Circunferencia de radio PF de la Fig. 18, pero en este caso el punto Pes 1mprop10.

D

t,

Fig. 19.

18. Puntos de intersección de una recta

con una parábola

(Fig. 20)

El procedimiento es el mismo que para las otras cómcas ya estudiadas Con centro en un punto O de la rectar, se traza la circunferencia que pase por F y que pasará también por el Simétrico F de F respecto a r;

desde el punto

e,.

centro rad1cal, se traza la tangente e -Ty este segmento se lleva sobre la directnz 1 d, con lo