8.06 Sistemas de conductores
En el capítulo anterior se han estudiado algunas propiedades de un conductor en el vacío; pero en el caso más general se presenta un conjunto o sistema de conductores, igualmente en el vacío, cuyas propiedades vamos a estudiar.
El comportamiento de los conductores en presencia de dieléctricos se verá más adelante después de anali-zar las propiedades de los dieléctricos.
8.06-1 Coeficientes de potencial
Supongamos un sistema de n conductores cargados, respectiva-mente, con cargas q1, q2,...,qn.
Por las propiedades estudiadas en el comportamiento eléctrico de la materia [Tema 6], sabemos que la carga de cada conductor se encuentra repartida sobre su superficie, con una densidad super-ficial que, en general, no será constante, sino que variará de unos puntos a otros dependiendo de la forma geométrica de cada con-ductor y de su posición respecto de los restantes concon-ductores.
Consideremos, para simplificar, un sistema de tres conductores. Los resultados que se obtengan se pueden generalizar fácilmen-te para un sisfácilmen-tema de n conductores
r r’1
r’3
r’2
El potencial eléctrico en un punto cualquiera, P, fijado por el vector de posición r, será la suma algebráica de los potenciales cre-ados en dicho punto por cada uno de los conductores, y puede cal-cularse a partir de VP = 1 4πε0 σ1(r1 ')da1' r− r1 ' S
∫
1 + 1 4πε0 σ2(r2 ')da2' r− r2 ' S∫
2 + 1 4πε0 σ3(r3 ')da3' r− r3 ' S∫
3 = 1 4πε0 σi(ri ')dai' r− ri ' S∫
i i=1 3∑
Evidentemente, el punto P se puede elegir sobre la superficie de cualquier conductor, por ejemplo el con-ductor i, de forma que su potencial vendrá expresado por:
Vi= 1 4πε0 σj(rj ')daj' r− rj ' S
∫
j j=1 n∑
siendo j = 1,2,…n FIG. 8.06-1 PEn el sumatorio del segundo miembro está incluido el término correspondiente al valor i = j que represen-ta el potencial del conductor j debido a su propia carga.
Nos interesa expresar la ecuación [3], que engloba un sistema de n ecuaciones, en función de las cargas totales qi de los conductores presentes.
Para ello basta hacer las siguientes consideraciones:
a) El valor promedio de la densidad superficial de carga de cada conductor se obtiene dividiendo la carga total de dicho conductor por su superficie:
b) La densidad superficial real de carga de cualquier conductor en un determinado punto no es igual, en general, a la densidad promedio, sino que será una cierta fracción de ésta, que dependerá de la posición de dicho punto en el conductor en cuestión:
<σj > =qj Sj σj(rj ') = fj(rj') < σj > = fj(rj ')qj Sj donde fj(rj ')
sino que será una función de la posición de dicho punto. Sustituyendo [5] en [3] se obtiene:
que representa la fracción de la carga promedio, no es igual para cada punto de un conductor, [1]
[2]
[3]
[4]
[5] Generalizando para un sistema de n conductores:
Vi= 1 4πε0 j=1 n
∑
σj(rj ')daj' r − rj' S∫
j = 1 4πε0 j=1 n∑
fj(rj')qj Sj daj' r − rj' S∫
j + 1 4πε0 qj Sj j=1 n∑
fj(rj') daj ' r − rj' S∫
3relación que se puede escribir en la forma:
Vi= 1 4πε0Sj j=1 n
∑
fj(rj') daj' r − rj' S∫
3 qj donde, llamando pij= 1 4πε0Sj fj(rj ') daj' r − rj' S∫
3 queda finalmente Vi= pijqj j=1 n∑
Los coeficientes pij definidos en [8], que reciben el nombre de coeficientes de potencial, no dependen de la carga ni del potencial de cada conductor. Estos coeficientes, como se deduce de dicha relación, dependen sola-mente de la forma geométrica de los conductores y de su posición relativa. Es decir, dependen solasola-mente de la configuración geométrica del sistema.
La relación [9] representa el sistema de n ecuaciones:
V1= p11q1+ p12q2+…p1nqn V2 = p21q1+ p22q2+…p2nqn ... Vn= p21q1+ pn2q2+…pnnqn de donde se deduce que
El potencial de cualquier conductor depende linealmente de las cargas de todos los conductores.
Si se mantienen constantes las cargas de todos los conductores excepto la del conductor j, de la ecuación [9] se obtiene: ∂Vi ∂qj q1,q2,…qj−1,qj+1,…qn = pij de modo que:
El coeficiente pij representa la relación que hay entre la variación del potencial del conductor iy la variación de la carga del conductor j.
8.06-2 Propiedades de los coeficientes de potencial
Los coeficientes de potencial pij tienen las siguientes propiedades:
pij = pji pij > 0 pii≥ pij para todo j
p
ij =p
ji [6
−1
1
]p
ij >0
[6
−1
2
]p
ii≥
p
ijpara todo
j
[6
−1
3
] [6] [7] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [8]La primera de estas propiedades se deduce a partir de las siguientes consideraciones: Igualando los segundos miembros de [3] y [9]:
Por ota parte, qi= σi(ri ')dai S
∫
iMultiplicando ahora, miembro a miembro,
pijqjqi= 1 4πε0 σj(rj ')daj' r − rj' S
∫
j σi(ri ')dai S∫
i = σj(rj ')σi(ri')daidaj' r − rj' Sj∫
Si∫
[16] [17]Repitiendo el razonamiento anterior cambiando los subíndices i y j, se obtiene:
pjiqjqi = 1 4πε0 σi(ri ')dai' rj − ri' S
∫
j σj(rj ')daj S∫
i = σj(rj ')σi(ri ')dajdai' rj − ri' Sj∫
Si∫
[18]Las integrales de [8.17] y [8.18] son independientes, puesto que están extendidas a superficies distintas, y además, ri − rj' = rj − ri'
de modo que se puede cambiar el orden de integración en [7.18], y en consecuencia, los primeros miembros de [17] y [18] son iguales. De modo que,
pij = pji Las propiedades [8] y [19] permiten establecer que
Si un conductor i está cargado con una carga qy crea un potencial Ven el conductor j, cuando el conductor j esté cargado con la misma carga q, creará el mismo potencial Ven el conductor i.
Los coeficientes de potencial pij se calculan normalmente a partir de la relación [8].
La deducción de las propiedades [12] y [13] puede verse en Foundations of electromagnetic theory, 1ª edi-ción, John R. Reitz y Frederick J. Milford, Reading, Massachusetts, Addison-Wesley, 1962, página 111-112.
8.06-3 Coeficientes de capacidad e inducción
De la relación [10] se pueden despejar las cargas en función de los potenciales, obteniendo el sistema de ecuaciones lineales: qi = cijVj j=1 n
∑
q1= c11V1+c12V2+…c1nVn q2= c21V1+c22V2+…c2nVn ... qn = c21V1+cn2V2+…cnnVn 8.06-4 Propiedades de los coeficientes de capacidad e inducción
Las propiedades de los coeficientes de capacidad e inducción se deducen de las propiedades de los coefi-cientes de potencial: [19] [20] [21] pijqj= 1 4πε0 σj(rj ')daj' r − rj' S
∫
j [15]Los coeficientes cii de [20], reciben el nombre de coeficientes de capacidad, y los cij, el de coeficientes de
inducción. Estos coeficientes no dependen de la carga ni del potencial de cada conductor; dependen
solamen-te de la forma geométrica de los conductores y de su posición relativa. Es decir, dependen solamensolamen-te de la configuración geométrica del sistema. La relación [8-20] representa el sistema de n ecuaciones:
Esta nueva magnitud depende solamente de la configuración geométrica del conductor y de la naturaleza del medio material en el cual se encuentre situado, que, por ahora, supondremos que es el vacío.
La capacidad de un conductor depende solamente de su forma y tamaño, y del medio material que le rodea.
A partir de la definición de la capacidad puede parecer sorprendente que esta magnitud no dependa de ninguna de las dos magnitudes eléctricas que intervienen en su definición: carga eléctrica y potencial eléctri-co. No obstante, se puede comprobar fácilmente la propiedad anterior en el caso de un conductor esférico uni-formemente cargado.
En efecto: Se ha deducido anteriormente que el potencial de un conductor esférico de radio R uniforme-mente cargado con una carga Q y situado en el vacío, viene dado por:
V = 1
4πε0
Q R
Así pues, mientras no cambie la geometría del conductor esférico, es decir, su radio R su capacidad será la misma independientemente de cuál sea su carga o su potencial. A partir de la expresión de la capacidad se puede despejar el potencial:
V = Q C
relación que indica que, según cuál sea la carga Q que se comunica al conductor, así será su potencial V. O bien, si se despeja la carga, se obtiene:
Q =CV
[26]
[27]
[28] que sustituido en la expresión de la capacidad da
C = Q V = Q 1 4πε0 Q R = 4πε0R
expresión que permite calcular la carga Q que se debe comunicar a un conductor para que su potencial alcan-ce un valor dado V.
El siguiente símil puede, de una forma aproximada, ayudar a comprender mejor las relaciones de depen-dencia entre la capacidad, la carga y el potencial de un conductor:
Un recipiente cualquiera, por ejemplo un vaso, tiene una capacidad que viene determinada por la forma y tamaño que le ha dado el fabricante. Es decir, queda establecida, al igual que ocurre con un conductor, por su “configuración geométrica”.
Si se vierte agua en el vaso, la altura que alcanzará el líquido dependerá de la cantidad de agua vertida. O bien, si se desea que el líquido alcance una cierta altura, habrá que verter una determinada cantidad de agua.
Se comprende fácilmente que en esta comparación el vaso representa al conductor, la cantidad de agua a la cantidad de carga eléctrica y la altura del líquido al potencial eléctrico. No obstante, este símil no refleja exactamente el comportamiento de un conductor porque mientras el recipiente solamente puede contener una cantidad determinada de agua, un conductor, al menos en teoría, puede almacenar cualquier cantidad de carga, limitada solamente por problemas de aislamiento eléctrico.
La unidad de capacidad en el sistema internacional de unidades se denomina faradio y se define como la capacidad de un conductor que con la carga de 1 coulomb adquiere el potencial de 1 voltio.
Para hacerse una idea de la magnitud que representa 1 faradio basta considerar la capacidad correspon-diente a un conductor esférico del tamaño de la Tierra. Según la expresión de la capacidad de un conductor esférico obtenida anteriormente:
Se llama, por definición, capacidad de un conductor, a la relación que existe entre la carga de dicho con-ductor y su potencial. Es decir:
En el caso de un único conductor la relación [8.9] se convierte en:
Si en un sistema de conductores, un conductor (1) está totalmente rodeado por otro conductor (2), como indica la figura 8.06-2, es decir,
Si un conductor se encuentra en el interior de la cavidad de otro conductor hueco, se puede demostrar que ambos conductores pueden almacenar cargas iguales y opuestas independientemente de las cargas de los restantes conductores.
En tal situación, suponiendo que el conductor (1) se ha cargado positivamente, todas las líneas de fuerza del campo eléctrico que parten de las cargas positivas que se encuentran en la superficie de dicho conductor van a parar a las cargas negativas de la superficie interior del conductor (2).
Cuando se da esta situación se dice que hay una influencia total en el comportamiento eléctrico de ambos conductores, y se dice entonces, que ambos conductores forman un condensador.
Puede considerarse, pues, que:
Un condensador es un sistema de dos conductores que son capaces de almacenar cargas iguales y opuestas, y, como se verá más adelante, energía electrostática.
Como ya se ha visto al estudiar la distribución de carga en un conductor en equilibrio, si el conductor (1) tiene una carga +q en su superficie, aparece una carga -q en la superficie interior del con-ductor (2).
Las cargas q3, q4, q5y q6, pueden ser positivas, negativas o nulas. FIG. 8.06-2 8.06-6 Condensador
Para que un conductor esférico tuviese una capacidad de 1 faradio debería tener un radio de
R = C 4πε0 = 1 9.109 = 9.10 9metros
En la práctica el faradio resulta excesivamente grande, y por ello se utilizan frecuentemente los siguientes submúltiplos: 1 microfaradio: 1 µf = 10-6 f 1 nanofaradio: 1 nf = 10-9 f 1 picofaradio: 1 pf = 10-12 f [29] [30] [31] [32] V = p11Q
que, comparada con [27], se deduce que
p11=V
Q =
1
C
y, comparando [20] con [28], se deduce que
Q = c11V de donde,
c11= C
8.06-7 Capacidad de un condensador
Se define la capacidad de un condensador por la expresión:
C = q
V1− V2
[33] es decir, como la relación entre el valor absoluto de la carga de cualquiera de los conductores (1) o (2) y la diferencia de potencial entre el conductor (1) y el (2), es decir, entre el conductor cargado positivamente y el conductor cargado negativamente.
La capacidad de un condensador es un valor esencialmente positivo que depende solamente, al igual que la capacidad de un conductor, de la forma, tamaño y posición relativa de los conductores que lo forman, así como del medio material interpuesto entre ellos. Por consiguiente, en el caso más general, la capacidad de un condensador deberá determinarse experimentalmente. Sin embargo, si la geometría del condensador es parti-cularmente sencilla, es posible calcularla teóricamente. Tal situación se presenta en el caso de que el conden-sador sea esférico, cilíndrico o plano.
Aplicando a un condensador la relación [9] se obtiene:
V1−V2= (p11− 2p12+ p22)q
C = 1
p11− 2p12+ p22
El símbolo que se utiliza para representar cualquier tipo de condensador es el que muestra la Fig. 8.06-3. Los dos trazos verticales representan las “armaduras” del condensador, es decir, cada uno de los dos conductores que lo constituyen, y los trazos horizontales representan los hilos con-ductores, idealmente de resistencia nula, que se unen al dispositivo por medio del cual se carga el condensador.
En cuanto al proceso de carga del condensador, suele decirse que éste tiene lugar al establecer una dife-rencia de potencial entre sus armaduras. Normalmente se lleva a cabo conectando un generador de f.e.m. con-tinua, aunque no es éste el único procedimiento.
Como indica la Fig. 8.06-4, se conectan las armaduras del condensador a los bornes de un generador de f.e.m. continua por medio de hilos conductores que se supondrá que carecen de resistencia eléctrica.
FIG. 8.06-3
El generador establece una diferencia de potencial entre las armaduras b y a, que deter-mina la salida de un cierto número de electrones libres de la armadura b que está unida al borne positivo del generador, y los hace circular a través del mismo hasta la armadura a que está unida al borne negativo. Con lo cual la armadura b queda con un exceso de carga posi-tiva +q, y la armadura a con un exceso de carga negaposi-tiva –q. De modo que cada armadura queda cargada con la misma cantidad de carga pero de signo contrario.
El generador actúa como un dispositivo que aspira o succiona electrones libres de la arma-dura que está unida a su borne positivo y los impulsa hacia la armaarma-dura que está conecta-da a su borne negativo. El generador no produce cargas positivas que envía a la armadura
b y cargas negativas que envía a la armadura a.
V1= p11q + p12(−q) = p11q − p12q V2= p21q + p22(−q) = p21q − p22q Restando miembro a miembro
[35] y, comparándola con [33] se obtiene
[34]
[36]
La carga negativa -qque sale de una armadura va a parar íntegramente a la otra armadura.
La cantidad de carga negativa que sale de la armadura b viene determinada, en valor absoluto, por la rela-ción [33]:
q = C(Vb-Va)
Una vez que ha pasado esta cantidad de carga de la armadura b a la armadura a, cesa el paso de electro-nes libres, de modo que el condensador no adquiere más carga por el hecho de que el generador continúe conec-tado a sus armaduras.
Este proceso de carga no es instantáneo ya que la resistencia eléctrica de los hilos conductores empleados en las conexiones entre las armaduras y el generador no es realmente nula. Su duración es muy pequeña, y durante este corto intervalo de tiempo la circulación de los electrones libres que tiene lugar desde la armadu-ra b hacia la armaduarmadu-ra a constituye una corriente eléctrica tarmadu-ransitoria que circula convencionalmente desde la armadura a, a través del generador, hacia la armadura b.
Veamos ahora cómo se obtiene la expresión de la capacidad de algunos condensadores cuya estructura geo-métrica es particularmente sencilla.
a b b a b a i i i FIG.
8.06-8.06-8 Capacidad de un condensador esférico
Un condensador esférico está formado por un conductor esférico de radio R1 situado concéntricamente en la cavidad de otro conductor esférico hueco de radios R2 y R3.
-Como se verá más adelante, el radio R3no interviene en la expresión de la capacidad, y, por consiguiente, es indiferente cuál sea el grosor radial R3–R2del conductor esférico exterior.
El condensador esférico es el modelo ideal de condensador porque en él se da la condición de que un con-ductor está rodeado completamente por el otro, y además su configuración geométrica permite calcular fácil-mente su capacidad.
El proceso de carga se realiza estableciendo una diferencia de potencial por medio de un generador de f.e.m. continua como indica la figura 8.06-5.
El hilo conductor que está conectado al conductor esférico interior atraviesa el conductor exterior debida-mente aislado, a través de un orificio que se supone que es suficientedebida-mente pequeño para no deshacer la sime-tría central del conjunto.
La diferencia de potencial establecida por el generador hace circular una cierta cantidad de carga negati-va -q, formada por electrones libres, que negati-va desde el conductor interior, que está unido al borne positivo del generador, hacia el conductor exterior, que está unido al borne negativo.
Con lo cual, el conductor interior queda con un exceso de carga positiva +q, debido a la salida de electrones libres, que queda repar-tida uniformemente sobre su superficie de radio R1. Y el conductor exterior recibe el exceso de carga negativa -q que ha salido del con-ductor interior, y queda repartida asimismo, de una manera uniforme sobre su superficie interior de radio R2, atraída por la carga positiva del conductor interior. En la superficie exterior de radio R3no queda depositada ninguna carga.
El campo eléctrico existe solamente en el espacio vacío que hay entre ambos conductores y las líneas de fuerza van dirigidas radial-mente, como muestra la figura, desde las cargas positivas repartidas sobre la superficie de radio R1 del conductor interior hasta las cargas negativas depositadas sobre la superficie interior de radio R2del con-ductor exterior.
FIG. 8.06-5
C = q Va−Vb
donde la diferencia de potencial Va -Vb entre el conductor interior y el exterior se calcula a partir de: Para calcular la expresión de la capacidad, se parte de la definición [33]:
Va−Vb = − E dr b a
∫
y puesto que la integral que aparece en el segundo miembro se puede calcular a lo largo de cualquier trayec-toria por ser el campo electrostático un campo conservativo, nos interesa calcularla a lo largo de una linea de fuerza del campo. Con lo cual, el vector campoE y cualquier desplazamiento elemental dr formarán
constan-temente un ángulo de 0º: Va−Vb = − E dr b a
∫
= E dr a b∫
=∫
abEdr cos0º=∫
abEdrPara ello basta calcular el flujo del campo electrostático a tra-vés de una superficie esférica S, de radio r, concéntrica con ambos conductores, tal que R1 < r < R2,, y aplicar después el teorema de Gauss a dicha superficie:
[37] [38] a b i Φ = E da S
∫
= Eda cos0º= S∫
Eda S∫
donde, por simetría, el módulo del campo eléctrico es el mismo en todos los puntos de la superficie gaussiana, de modo que la expre-sión anterior del flujo queda en la forma:
Φ = Eda S
∫
= E da S∫
= E.4πr2 FIG. 8.06-6Los límites a y b de la integral son meramente indicativos ya que, en principio, ignoramos cuál es la varia-ble que va a quedar en el integrando. Ahora hay que calcular la expresión del módulo E del campo en la región de vacío existente entre ambos conductores.
y por otra parte, aplicando el teorema de Gauss a la superficie S:
Φ = 1
ε0Σqi = 1 ε0q
expresión que depende exclusivamente de los radios R1y R2. Es decir, que, como se ha indicado repetidamen-te, la expresión de la capacidad depende exclusivamente de la configuración geométrica del condensador y de la naturaleza del medio material interpuesto entre las dos armaduras, del condensador.
igualando ahora los segundos miembros de las expresiones anteriores del flujo y despejando el módulo del campo eléctrico E = 1 4πε0 q r2 Va−Vb =
∫
abEdr= 1 4πε0 q r2dr R1 R2∫
= q 4πε0 dr r2 R1 R2∫
= q 4πε0 − 1 r R1 R2 = q 4πε0 − 1 R2 + 1 R1 = q 4πε0 R2− R1 R1R2de modo que sustituyendo en el integrando de [38]
y sustituyendo en la expresión [33] de la capacidad queda finalmente
C = 4πε0 R1R2
R2− R1 [39]
8.06-9 Capacidad de un condensador cilíndrico
−
Un condensador cilíndrico está formado por un conductor cilíndrico de radio R1, rodeado coaxialmente por otro conduc-tor cilíndrico hueco de radios R2 y R3 y de la misma longitud que el anterior, siendo ésta muy grande comparada con la sepa-ración radial R2-R1. El radio R3de la superficie exterior del con-ductor cilíndrico exterior no influye en la expresión de la capa-cidad, como sucede con el condensador esférico.[Fig. 8.06-5].
El proceso de carga es igual que el descrito en el caso del condensador esférico:
La diferencia de potencial establecida por el generador de f.e.m. continua hace salir una cierta cantidad de carga negati-va -q del conductor interior, formada por electrones libres de dicho conductor, y los hace circular desde el conductor interior, a través del generador, hacia el conductor exterior.
Con lo cual, el conductor interior queda con un exceso de carga positiva +q, debido a la salida de electrones libres, que queda repartida uniformemente sobre su superficie de radio R1, debido a la simetría axial del sistema. Y el conductor exterior recibe la carga negativa -q que ha salido del conductor interior, y queda repartida uniformemente sobre su superficie interior de radio R2, atraída por la carga positiva del conductor interior. En la superficie exterior de radio R3 no queda depositada nin-guna carga.
En este caso el conductor interior no está totalmente rode-ado por el conductor exterior, de forma que no se cumple la condición de influencia total. Es decir, las lineas de fuerza del campo eléctrico en las regiones próximas a los extremos de los conductores se dispersan, situación que se denomina efecto de borde del condensador.
El campo eléctrico existe solamente en el espacio vacío que hay entre ambos conductores y las lineas de fuerza van dirigidas radialmente, como muestra la figura 6-, desde las cargas positivas repartidas sobre la superficie de radio R1 del conductor interior hasta las cargas negativas depositadas sobre la superficie interior de radio R2 del conductor exterior.
Para calcular la expresión de la capacidad se parte, como se hizo en el estudio del condensador esférico, de la definición de capacidad:
C = q
Va −Vb
dondela diferencia de potencial Va-Vb entre el conductor interior y el exterior se calcula a partir de:
Va−Vb= − E dr b a
∫
y puesto que la integral que aparece en el segundo miembro se puede calcular a lo largo de cualquier trayec-toria por ser el campo electrostático un campo conservativo, nos interesa calcularla a lo largo de una linea de fuerza del campo. Con lo cual, el vector campoE y cualquier desplazamiento elemental dr formarán
constan-temente un ángulo de 0º: Va−Vb = − E dr b a
∫
= E dr a b∫
=∫
abEdr cos0º=∫
abEdrLos límites a y b de la integral son meramente indicativos ya que, en principio, ignoramos cuál es la variable que va a quedar en el integrando.
Ahora hay que calcular la expresión del módulo E del campo en la región de vacío existente entre ambos conductores. Para ello basta calcular el flujo del campo electrostático a través de una superficie cilíndrica S, de radio r, concéntrica con ambos conductores, tal que R1< r < R2, de igual longitud L, y aplicar después el teorema de Gauss a dicha superficie:
FIG. 8.06-8 Φ = E da S
∫
De modo que, como la integral definida tiene propiedad aditiva respecto del dominio de integración, se puede descomponer en la suma:
Eda S
∫
= E 1da 1+ S∫
1 E2da 2+ S∫
2 ELda L S∫
LLa superficie gaussiana S, a la que está extendida la integral del flujo, es la superficie total del cilindro de radio r, que, evi-dentemente, está formada por las superficies de las bases S1 y S2 y por la superfice lateral SL.
S = S1+S2+ SL
Estas superficies no se encuentran en las mismas condiciones físicas respecto del campo eléctrico.
donde E1, E2 y EL representan los campos electrostáticos existentes en puntos de las bases S1, S2 y en la superficie lateral SL, y da1,da2ydaL, vectores normales a elementos de área de las mencionadas superficies, respectivamente.
Debido a la simetría axial del condensador y, puesto que se considera despreciable la dispersión de las líne-as de fuerza del campo, los vectores que representan cualquier elemento de área de llíne-as blíne-ases S1 y S2, tales como da1 yda2, son ortogonales a los vectores campo en dichos elementos. Y el vector que representa a cual-quier elemento de área daLde la superficie lateral, es de igual dirección y sentido que el vector campo exis-tente en dicho elemento. Por consiguiente, la expresión del flujo a través de la superficie S es:
Φ = E da S
∫
= E 1da 1+ S∫
1 E2da 2+ S∫
2 ELda L S∫
L = E1da1cos90º+ S∫
1 E2da2cos90º+ S∫
2 ELdaL S∫
L cos0º= ELdaL S∫
Ly debido a la simetría axial del sistema, el módulo ELdel campo en todos los puntos de la superficie lateral gaussiana es constante, por consiguiente:
Y por otra parte, según el teorema de Gauss, el flujo Φ a través de la superficie S, es, Φ = 1 ε0Σqi= 1 ε0 λL siendo λ la densidad lineal de carga del cilindro interior.
Igualando los segundos miembros de las expresiones anteriores del flujo, simplificando y despejando EL
EL= λ 2πε0r
sustituyendo ahora EL en la expresión de la diferencia de potencial
Va−Vb =
∫
abEdr= λ 2πε0rdr R1 R2∫
= λ 2πε0 dr r R1 R2∫
= λ 2πε0 lnr R1 R2 = λ 2πε0 lnR2− ln R1 =2πελ 0 lnR2 R1 [41]y como la carga del cilindro interior es q = λL, sustituyendo este valor y la diferencia de potencial [41] en la expresión de la capacidad del condensador,
C = q Va−Vb = λL λ 2πε0ln R2 R1 =2πε0L lnR2 R1
De modo que la capacidad de un condensador cilíndrico de radios R1y R2, y longitud L, existiendo el vacío entre sus armaduras, es:
C =2πε0L lnR2
R1
[42]
8.06-10 Capacidad de un condensador plano
Un condensador plano está formado por dos láminas planas conductoras, a y b paralelas e iguales, de área A, y separadas una distancia d que se supone que es muy pequeña comparada con el tamaño de las mis-mas.
El proceso de carga se produce estableciendo una diferencia de potencial Va - Vb entre dichas placas por medio de un generador de fuerza electromotriz continua, como muestra la figura 8.06-9.
Dicha diferencia de potencial hace salir electrones libres, que se encuen-tran inicialmente en la placa conductora a, y los hace circular a través del generador hasta la placa b. En la placa a queda un exceso de carga positi-va +q, que queda depositada en su cara interna, debido a la salida de elec-trones libres, y la placa b adquiere un exceso de carga negativa -q, debi-da a la llegadebi-da de los electrones libres que han salido de la placa a.
Estos electrones que recibe la placa b afluyen a su cara interna debido a la atracción que ejercen sobre ellos las cargas positivas que han quedado abandonadas en la placa a.
En este tipo de condensador, como ocurre con el condensador cilíndrico, uno de los conductores no está totalmente rodeado por el otro, y las cargas no quedan repartidas uniformemente en las caras de ambas placas que que-dan enfrentadas.
Esto produce una dispersión de las líneas de fuerza del campo electros-tático en las regiones próximas a los bordes de las placas, y por consiguien-te, no se cumple la condición de influencia total y el campo no es uniforme. FIG.8.06-9
Pero de forma similar a lo que ocurre en el caso de un condensador cilíndrico, si la separación entre las placas es muy pequeña comparada con su tamaño, la dispersión de las líneas de fuerza es muy pequeña y se puede considerar despreciable. En estas condiciones el campo es uniforme y como las caras internas de las pla-cas conductoras son superficies equipotenciales, sus líneas de fuerza son normales a ellas y van desde las car-gas positivas de la placa a hasta las carcar-gas negativas de la placa b, como indica la figura 8.06-10.
Va-Vb
a b
i
a b
donde la diferencia de potencial Va - Vb entre las placas conductoras se calcu-la a partir de su recalcu-lación con el campo existente en calcu-la región de vacío que hay entre ellas: C = q Va−Vb Va −Vb = − E dl b a
∫
La integral del segundo miembro se puede calcular a lo largo de cualquier trayectoria desde un punto de la placa a, hasta un punto de la placa b, por ser el campo conservativo.
Nos interesa efectuar el cálculo a lo largo de cualquier línea de fuerza que va desde la cara interna de a hasta la cara interna de b, de modo que los vec-tores E y dl son, en todo punto del recorrido, de igual dirección y sentido. Por
lo tanto: FIG. 8.06-10
Para hallar la expresión de la capacidad de un condensador plano, se parte de la definición de capacidad:
Va −Vb = − E dl b a
∫
= E dl a b∫
=∫
abEdl cos0º=∫
abEdlPara hallar el módulo del campo electrostático en la región de vacío que hay entre las placas conductoras basta tener en cuenta que su separación d es muy pequeña comparada con el tamaño de las mismas. De forma que desde cualquier punto interior al condensador plano se verán las placas como superficies de extensión infinita.
Por consiguiente, el campo en cualquier punto interior es la suma vectorial de los campos E+yE- creados en dicho punto por las cargas positivas y negativas, que se encuentran repartidas uniformemente en las caras internas de las placas a y b, respectivamente, con una densidad superficial de carga σ= q/S.
Si se aplica el teorema de Gauss para calcular el campo creado por una superficie plana conductora, uni-formemente cargada con una densidad superficial σ, se obtiene como resultado un vector con las siguientes características:
* Su dirección es normal a la superficie cargada.
* Su sentido es tal, que se aleja de la superficie si está cargada positivamente, o se dirige hacia ella si está cargada negativamente.
* Su módulo no depende de la distancia a la superficie cargada, y tiene por expresión:
E = σ
2ε0
Por lo tanto, el campo creado en cualquier punto interior al condensador es: E = E ++ E −
Y puesto que ambos campos son de igual dirección y sentido, [Fig. 8.06-11], como se deduce de la aplicación del teorema de Gauss, el módulo del campo resultante es la suma de sus módulos:
E = E++ E−= σ 2ε0+ σ 2ε0 = σ ε0
Sustituyendo este valor en la expresión [43] de la diferencia de potencial
Va−Vb =
∫
abEdl= σ ε0dl a b∫
=σ ε0d FIG. 8.06-11y teniendo en cuenta que q =σA, sustituyendo en la expresión de la capacidad se obtiene
C = ε0A
d
que depende exclusivamente del área A de las placas conductoras, de su separación d y de la constante ε0. Es decir, de su configuración geométrica y de la constante ε0.
8.06-11 Asociación de condensadores
En la práctica surge a menudo el problema de tener que instalar en un montaje eléctrico un condensador que tenga una capacidad mayor o menor que la de los condensadores disponibles. Si se asocian conveniente-mente se puede obtener la capacidad adecuada.
Los casos que más frecuentemente se plantean son aquéllos en los que los condensadores se conectan en serie, en paralelo o derivación, o formando una combinación cualquiera de series y derivaciones. Ahora bien, no siempre se encuentran asociados los condensadores de estas formas.
8.06-12 Condensador equivalente
Es un condensador que, conectado entre los mismos puntos que una asociación, con la misma dife-rencia de potencial, produce los mismos efectos eléctricos.
Su capacidad es la capacidad equivalente a la de la asociación.
Veamos cuáles son las características, propiedades y capacidad equivalente de las asociaciones de conden-sadores en serie y en paralelo, o derivación.
Se supondrá en todo lo que sigue que entre las armaduras de los condensadores que intervengan en cual-quier asociación existe el vacío y están inicialmente descargados. Supondremos igualmente, que la resistencia de los hilos conductores empleados en las conexiones tienen una resistencia eléctrica despreciable.
[44]
8.06-13 Asociación de condensadores en serie
Para simplificar nuestro estudio, consideraremos una asociación de tres condensadores de capacidades res-pectivas C1, C2 y C3, conectados como indica la figura 8.06-12, en la que aparece un generador de f.e.m. con-tinua conectado a las armaduras extremas a y d.
Una vez obtenida la capacidad equivalente de estos tres condensadores se puede generalizar fácilmente para un número cualquiera n de condensa-dores.
Hay que advertir que para que puedan considerarse conectados en serie varios condensadores, debe estar unida la segunda armadura de cada con-densador con la primera del siguiente por medio de un hilo conductor que no debe hacer contacto eléctrico, a su vez, con ninguna armadura de cual-quier otro condensador.
Los condensadores C1, C2 y C3de la figura 8.06-13 están conectados en serie entre los puntos b y e. En cambio, el condensador C1 no está conecta-do en serie con C2 ni con C5, y éste tampoco está en serie con C4.
Se trata de una asociación mixta cuya capacidad equivalente se calcula haciendo sustituciones parciales como se verá más adelante.
Veamos cuál es el proceso de carga de los condensadores conectados en serie de la figura 8.06-12.
La diferencia de potencial que establece el generador de f.e.m. continua entre las armaduras a y d de los condensadores C1 y C3, respectivamente, hace salir electrones libres de la armadura a de C1, que está conectada al borne positivo del generador, y los hace circular a su través hasta la arma-dura d del condensador C3, que está unida al borne negativo del generador. FIG.8.06-12
FIG. 8.06-13
Como consecuencia, la armadura a se queda con un exceso de carga positiva +q, debido a la salida de elec-trones libres que se encontraban inicialmente en dicho conductor, y la armadura d adquiere un exceso de carga negativa -q debido a la llegada de los electrones libres que han salido de a.
Por consiguiente, se mantendrá en estado neutro, es decir sin exceso de carga, y el número de sus electrones libre será igual al de protones en los núcleos de los átomos que forman dicho cuerpo conductor.
Ahora bien, un cierto número del total de estos electrones libres que están compensados por un número igual de protones, hasta totalizar una carga negativa -q, son atraídos por la carga positiva que ha quedado en exceso depositada sobre la armadura a del condensador C1 y aparecen en la cara interna de la armadura de dicho condensador que está unida al
punto b. FIG. 8.06-14
Las restantes armaduras se cargan siguiendo el siguiente proceso:
Las armaduras de los condensadores C1 y C2que están conectadas al punto b, junto con el hilo conductor que las une, forman un cuerpo conductor, aislado eléctricamente del resto, y que, inicialmente, estaba descar-gado, es decir, sin exceso de carga. Este conjunto conductor no puede, por tanto, intercambiar electrones libres con ningún otro conductor.
Con lo cual sobre la cara interna de la armadura del condensador C2 que está unida al punto b aparece una cantidad igual de carga positiva +q , puesto que, como se ha indicado anteriormente, las dos armaduras conectadas al punto b forman un cuerpo conductor cuyo exceso de carga debe ser necesariamente nulo ya que está totalmente aislado del resto del dispositivo.
En otras palabras, entre dichas armaduras se produce una redistribución de los electrones libres.
Este proceso se ve favorecido por el hecho de que, a su vez, en el conjunto formado por las armaduras que están unidas al punto c, se produce exactamente la misma redistribución de electrones libres, alcanzándose la situación final que muestra la figura 8.06-15.
De forma que:
En una asociación de condensadores en serie la carga de la armadura unida al borne positivo del gene-rador, o lo que es igual, al punto de mayor potencial, es siempre positiva, y la de la armadura que está conectada al borne negativo, o al punto de menor potencial, es siempre negativa y de igual valor abso-luto.
Las cargas de las restantes armaduras son alternativamente negativas y positivas, y de igual valor absoluto.
Hay que destacar que,
En una asociación de condensadores en serie, aunque las capacidades de los condensadores sean distintas, la carga de cada condensador es la misma, entendiendo por tal, la carga de cualquiera de sus armaduras en valor absoluto.
Y la diferencia de potencial entre las armaduras extremas es la suma de las diferencias de potencial que existe entre las armaduras de cada condensador.
En la asociación de la figura 8.06-15 se verifica:
Va−Vd = (Va−Vb)+(Vb−Vc)+(Vc−Vd) = q C1+ q C2 + q C3 = q 1 C1+ 1 C2+ 1 C3 Veamos qué significado tiene, y cómo se calcula la capacidad del condensador equivalente.
Un condensador que sea equivalente a una asociación de condensadores en serie debe producir los mismos efectos eléctricos que produce la asociación, en la parte del circuito comprendida entre los puntos a los que está conectada, siendo, por tanto, la diferencia de potencial entre las armaduras del condensador equivalente la misma que existe entre las armaduras extremas de la asociación.
En el caso de la figura 8.06-15, se trata, pues, de sustituir la asociación formada por los condensadores C1,
C2 y C3 por un único condensador Ceq, conectándolo a los bornes a y d, del mismo generador, de forma que en la parte de circuito comprendida desde el punto a, a través del generador, hasta el punto d, produzca los mismos efectos eléctricos que produce la asociación.
y teniendo en cuenta la relación que existe entre la diferencia de potencial de las armaduras de un condensa-dor, su carga y su capacidad, se puede escribir la relación anterior en la forma,
Basta desconectar el conjunto de condensadores C1, C2 y C3, de la figura 8.06-14, con lo cual queda en la forma que indica la figura 8.06-15, y en su lugar, conec-tar el condensador equivalente, como indica la figura 8.06-16, y si este condensador debe producir los mismos efectos eléctricos que los que produce la asociación, debe-rá hacer circular desde el borne “a” a través del generador, hasta el borne “d”, la misma cantidad de carga que ha hecho circular la asociación, es decir, una cantidad de electrones libres que totalicen una carga negativa -q.
Estos electrones libres, evidentemente, deben salir de la armadura del condensa-dor equivalente que está conectada al borne a del generacondensa-dor y, circulando a través del mismo, dirigirse hacia la armadura que está conectada al borne d.
De esta forma, puesto que las armaduras del condensador equivalente se supo-nen inicialmente descargadas, quedan con un exceso de carga +q y -q, respectiva-mente.
Por esta razón,
La carga del condensador equivalente a una asociación de condensadores en serie es la misma que la de cualquiera de los condensadores de la asociación. La diferencia de potencial entre las armadura del condensador equivalente es la misma que la que existe entre las armaduras extremas de la asociación y, por lo tanto, es la suma de las diferencias de potencial de cada condensador que forma la asociación.
FIG. 8.06-15
FIG. 8.06-16
Se suele interpretar erróneamente la equivalencia de un condensador, en el sentido de que es capaz de alma-cenar una cantidad de carga igual a la carga total de la asociación, es decir, una carga numéricamente igual a la suma de los valores absolutos de las cargas de cada condensador de la asociación. Ésta no es la interpre-tación de su equivalencia.
En algún caso, como ocurre en una asociación de condensadores en paralelo, es cierto que la carga del con-densador equivalente es la suma de las cargas de cada concon-densador de la asociación pero no es más que una consecuencia de la aplicación correcta del concepto de condensador equivalente.
De una forma general, como ya se ha indicado anteriormente,
Un condensador que sea equivalente a cualquier tipo de asociación de condensadores debe producir los mismos efectos eléctricos que produce dicha asociación, en la parte del circuito comprendida
entre los puntos a los que está conectada, siendo la diferencia de potencial entre las armaduras del
condensador equivalente la misma que existe entre las armaduras extremas de la asociación.
El hecho de “producir los mismos efectos eléctricos que produce dicha asociación” se refiere, evidentemen-te, a la circulación de la misma cantidad de carga negativa -q a través del generador de f.e.m. continua que normalmente se utiliza para cargar la asociación de condensadores, aunque ya se ha indicado que no es éste el único procedimiento.
Por tanto, cuando se menciona “la parte de circuito comprendida entre los puntos a los que está conecta-da” se hace referencia a la parte de circuito que contiene al generador de f.e.m. continua.
En la figura 8-14, si se suprime la asociación de condensadores queda como indica la figura 8.06-15. Es esa parte del circuito a la que se refiere la equivalencia.
Las cargas que aparecen indicadas corresponden a los electrones libres que totalizan la carga -q, que cir-cula en el sentido que muestra la figura.
La intensidad i representa la intensidad de la corriente transitoria que circula convencionalmente en senti-do contrario al de circulación de los electrones libres. Esta corriente, en tosenti-dos los procesos de carga de con-densadores circula solamente durante el intervalo de tiempo que tarda en cargarse la asociación de condensa-dores, o el condensador que esté conectado a los puntos a y d, y que, normalmente, es un intervalo muy corto. De todo lo expuesto anteriormente, se deduce que la capacidad del condensador equivalente, en cualquier caso, es:
Ceq = q
Va−Vb
siendo Va-Vbla diferencia de potencial entre los puntos a los cuales está conectada la asociación de conden-sadores, y q el valor absoluto de la cantidad de carga correspondiente a los electrones libres que intercambian las armaduras extremas de la asociación, y que circulan desde el punto a que se encuentra a mayor potencial hacia el punto b de menor potencial, a través del generador que establece dicha diferencia de potencial.
Ya se ha indicado repetidamente que no siempre es éste el mecanismo de carga de un condensador. Hay situaciones, que discutiremos al final de este punto, en las cuales no interviene un generador de f.e.m. conti-nua. Por ejemplo, un condensador puede cargarse conectando directamente sus armaduras a las de otro con-densador que esté inicialmente cargado.
De la relación anterior se deduce que la diferencia de potencial entre las armaduras del condensador equi-valente de la figura 8.06-16 es:
Va−Vd = q
Ceq
y puesto que la diferencia de potencial entre las armaduras a y d, es según [46]
Va−Vd = q 1 C1+ 1 C2 + 1 C3 igualando los segundos miembros de [46] y [47],
q Ceq = q 1 C1+ 1 C2+ 1 C3 de donde se obtiene 1 Ceq = 1 C1 + 1 C2+ 1 C3
y generalizando para una asociación de n condensadores en serie,
[48] 1 Ceq = 1 Ci i=1 n
∑
Es decirLa inversa de la capacidad equivalente a una asociación en serie de cualquier número de condensadores es igual a la suma de las inversas de las capacidades de dichos condensadores.
La capacidad equivalente que se obtiene con una asociación en serie es siempre más pequeña que la menor de las capacidades de los condensadores que forman la asociación.
8.06-14 Asociación de condensadores en paralelo
Para simplificar , consideraremos una asociación de tres condensadores de capacidades respectivas C1, C2 y C3, conectados como indica la figura 8.06-17, en la que aparece un generador de f.e.m. continua conectado a los terminales a y b.
Se debe tener en cuenta que para que varios condensadores puedan considerarse conectados en derivación, o en paralelo, deben estar conectadas entre sí, una armadura de cada condensador, de forma que pueda haber intercambio de electrones libres entre ellas si las condiciones eléctricas del sistema así lo requieren, y el grupo formado por las restantes armaduras, asimismo una de cada condensador, debe estar igualmente en contacto eléctrico.
FIG. 8.06-17
Los condensadores C1, C2 y C3 de la figura 8.06-17 cumplen con los requi-sitos anteriores y, por lo tanto, están conectados en paralelo.
En la figura 8.06-13, en cambio, no hay ningún condensador que esté conec-tado en paralelo.
Una vez obtenida la capacidad equivalente de estos tres condensadores se puede generalizar fácilmente para un número cualquiera, n, de condensadores.
Veamos cuál es el proceso de carga de los condensadores de la figura 8.06-17.
Se supondrá que la resistencia eléctrica de los hilos conductores utilizados en las conexiones es muy pequeña y, por lo tanto, despreciable.
Por esta razón, el potencial de los puntos designados como a es el mismo que el del borne positivo del gene-rador, y los puntos designados como b se encuentran al mismo potencial que el borne negativo del mismo.
FIG. 8.06-18
De modo que al conectar un generador a una asociación de condensadores en paralelo, éste establece la misma diferencia de potencial Va–Vb entre las armaduras de cada condensador.
Esta diferencia de potencial hace salir electrones libres de cada una de las armaduras conectadas al punto a, es decir al borne positivo del generador, y las hace circular hacia el borne negativo b.
Ahora bien, puesto que las capacidades de los condensadores son distintas, aunque la diferencia de potencial entre las armaduras de cada condensador es la misma, la cantidad de carga negativa que saldrá de cada armadura será dife-rente.
Sus valores absolutos son:
q1 = C1(Va - Vb)
q2 = C2(Va - Vb)
q3 = C3(Va - Vb)
Las armaduras de los condensadores C1, C2 y C3 que están conectadas al punto a quedan con un exceso de carga positiva +q1, +q2 y +q3, respectivamente. Y las cargas negativas que han salido de ellas confluyen en el punto a de unión de los hilos conductores que parten de las armaduras y a partir de dicho punto circu-la a través del generador hasta el punto b, circu-la cantidad de carga negativa -(q1+q2+q3).
Al llegar esta carga al punto b, confluencia de los hilos que conectan el otro grupo de armaduras, la can-tidad de carga -q1 es atraída por la carga positiva +q1 de la armadura del condensador C1 que está unida al punto a, y las cargas +q2y +q3 de las armaduras de los condensadores C2y C3, que están unidas igualmen-te al punto a, atraen, a su vez, a las cargas -q2 y -q3.
La situación final de equilibrio es la que aparece indicada en la figura 8.06-19.
La carga total negativa que se ha desplazado desde las armaduras conectadas al punto a, a través del gene-rador, hasta las armaduras conectadas al punto b, es, en valor absoluto:
q1+q2+q3= (C1+C2+C3)(Va−Vb)
FIG. 8.06-19
Veamos ahora cómo se calcula la capacidad equivalente a una asociación de condensadores en derivación
Como ya ha quedado establecido anteriormente, el condensador equivalente debe producir los mismos efectos eléctricos que produce la asociación de con-densadores en la parte del circuito comprendida desde el punto a, a través del generador, hasta el punto b.
En este caso, el efecto eléctrico que ha producido la asociación es el que ha determinado el paso de electrones libres desde las armaduras conectadas al borne a, hacia las armaduras conectadas al borne b, hasta totalizar la cantidad de carga negativa −(q1+q2+q3).
Por consiguiente, para que un condensador, conectado a los bornes a y b del mismo generador, sea equivalente a la asociación de condensadores, debe per-mitir que circule la misma cantidad de carga negativa, desde el punto a, a tra-vés del generador, hasta el punto b, como indica la figura 8.06-20.
Esta carga negativa, −(q1+q2+q3), debe salir de la armadura que está conec-tada al borne a, y circulando a través del generador, dirigirse a la armadura que está conectada al borne b.
Las armaduras quedan con un exceso de carga positiva, q1+q2+q3, y nega-tiva, −(q1+q2+q3), respectivamente, como indica la figura 8.06-20.
De la definición de capacidad, se deduce para el condensador equivalente: FIG.8.06-20 [49] C1 C2 C3 −q1 −q2 −q3 −q1 −q2 −q3 -(q1+q2+q3) a b a b -(q1+q2+q3) i −q1 −q2 −q3 +q1 +q2 +q3 a b a b C1 C2 C3 a b a b q1+q2+q3 −(q 1+q2+q3) Ceq=q1+q2+q3 Va−Vb de donde se obtiene, q1+q2+q3= Ceq(Va−Vb)
y teniendo en cuenta que los primeros miembros de [49] y de [50] son iguales, se deduce que:
[50]
Ceq =C1+C2+C3 Ceq= Ci i=1 n
∑
y generalizando para una asociación de n condensadores en derivación,
[51]
Es decir,
La capacidad equivalente de un número cualquiera de condensadores asociados en paralelo es la suma de las capacidades de dichos condensadores.
La capacidad equivalente que se obtiene en una asociación en paralelo es mayor que la de cualquiera de los condensadores que forman dicha asociación.
8.06-15 Asociación mixtas de condensadores
Los condensadores que aparecen en muchos dispositivos eléctricos suelen estar conectados formando aso-ciaciones mixtas. Es decir, no están todos conectados en serie, o todos conectados en paralelo.
En tal caso no es posible calcular directamente la capacidad equivalente a la asociación, sino que es nece-sario ir efectuando sustituciones parciales hasta llegar a un único condensador equivalente a todo el conjunto de condensadores.
Tomemos como ejemplo la asociación de condensadores de la figura 8.06-13.
En la figura 8.06-21 se ha repetido la misma asociación, salvo que el generador de f.e.m. continua no apa-rece conectado. 1 Ceq1 = 1 C1+ 1 C2 + 1 C3 = C1C2+C1C3+C2C3 C1C2C3
con lo cual, la asociación queda en la forma que muestra la figura 8.06-22. Después de esta sustitución, los condensadores C5 y Ceq1 quedan conectados en paralelo y, por consiguiente, se pueden sustituir por un condensador equiva-lente, conectado entre los puntos b y e, cuya capacidad es:
FIG. 8.06-21
Cuando no aparezca representado el generador de f.e.m., se supone que está conectado entre los terminales que quedan “sueltos” en la figura. Veamos cómo se calcula en este caso la capacidad del condensador equivalente.
De la observación de la figura se deduce que los condensadores C2, C3 y C4 están conectados en serie y, por tanto, se pueden sustituir por un condensador conectado entre los puntos b y e, cuya capacidad equivalente Ceq1 se calcula a partir de:
FIG.8.06-22
Ceq2= C5+Ceq1= C5+ C1C2C3
C1C2+C1C3+C2C3
Sustituyendo nuevamente se obtiene la figura 7-23, en la que, finalmente, los condensadores C1y Ceq2 están conectados en serie, con lo cual se pueden susti-tuir por un condensador equivalente cuya capacidad se calcula a partir de:
FIG. 8.06-23 1 Ceq = 1 C1+ 1 Ceq 2 = C1+Ceq 2 C1Ceq 2 de donde, Ceq= C1Ceq2 C1+Ceq2 y sustituyendo la capacidad Ceq2, queda finalmente:
