Diseño y simulación de dos estrategias de control basado en espacio nulo y tipo PID para una formación de cuadricópteros

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(3) DECLARACIÓN. Nosotros, Pilar Estefanía Samaniego Villacrés y Esteban Alejandro Vaca Cerda, declaramos bajo juramento que el trabajo aquí descrito es de nuestra autoría; que no ha sido previamente presentada para ningún grado o calificación profesional; y, que hemos consultado las referencias bibliográficas que se incluyen en este documento. La. Escuela. Politécnica. Nacional. puede. hacer. uso. de. los. derechos. correspondientes a este trabajo, según lo establecido por la Ley de Propiedad Intelectual, por su Reglamento y por la normatividad institucional vigente.. Pilar Estefanía. Esteban Alejandro. Samaniego Villacrés. Vaca Cerda.

(4) CERTIFICACIÓN. Certifico que el presente trabajo fue desarrollado por Pilar Estefanía Samaniego Villacrés y Esteban Alejandro Vaca Cerda, bajo mi supervisión.. Ing. Paulo Leica, PhD.. Ing. Oscar Camacho, PhD. DIRECTOR DEL PROYECTO. CO-DIRECTOR DEL PROYECTO.

(5) AGRADECIMIENTOS A Dios porque siempre ha estado presente en mi vida brindándome las mejores oportunidades, y ha sido mi compañero en cada momento. A mi madre Pilar Lara quien me ha brindado su amor, motivación y apoyo incondicional para seguir adelante, es mi guía y consejera, la persona que ha compartido mis alegrías y tristezas, y quien me inculcó los verdaderos valores que ahora me permiten ser quien soy. A mi padre Juan Carlos Samaniego, por su cariño y guía en el transcurso de mi camino, junto con Mirian y mis hermanas han sido un apoyo fundamental en mi vida para ahora poder culminar esta etapa. A mis tíos especialmente Jaime A. y a toda mi familia, porque cada uno de ellos aportó con un granito de arena en mi vida, me brindaron su amor y me permitieron crecer día a día. A Pauli y Angie, que más que mis primas siempre fueron mis hermanas mayores, me acompañaron desde mi niñez brindándome su cariño y amor. A Esteban Vaca, mi mejor amigo, mi compañero en mi etapa Universitaria, quien ha sido mi apoyo incondicional, por su dedicación y esfuerzo para llevar a cabo este trabajo, juntos ahora culminaremos esta etapa en busca de nuevos propósitos para nuestras vidas. Al Dr. Paulo Leica, y Dr. Oscar Camacho, por su enseñanza, guía y dedicación para culminar con éxito este trabajo de titulación Al Dr. Danilo Chávez y Dr. Andrés Rosales, por contribuir en nuestra superación personal y profesional. A Leo Burbano, todos mis amigos y compañeros que compartieron conmigo esta vida Universitaria. Estefanía Samaniego.

(6) AGRADECIMIENTOS Agradezco a Dios por brindarme la vida, la fortaleza y las bendiciones recibidas en mi vida personal y académica que me han dado la oportunidad de crecer. A mi amada madre Marcia, gracias por el apoyo incondicional y a los sabios consejos en cada uno de los instantes de mi vida, que me han permitido llegar a ser una persona de bien. A mis familiares, especialmente a mis tías Susi y Michita, quienes me han brindado todo el cariño, amor y un sin número de enseñanzas ustedes junto a mi madre constituyen los pilares fundamentales de mi vida. A mis tutores, el Dr. Paulo Leica y el Dr. Oscar Camacho por su paciencia, apoyo y todo el tiempo dedicado para poder culminar este trabajo de titulación. A mis profesores por todas las enseñanzas impartidas a lo largo de esta carrera, especialmente al Dr. Danilo Chávez. y Dr. Andrés Rosales por su apoyo. académico y personal. A mi mejor amiga y compañera Estefi, gracias por todos los momentos durante nuestra etapa universitaria, por tu inmensa paciencia y tu incesante esfuerzo por hacer que este trabajo culmine de la mejor manera. A mis amigos y compañeros que han convertido este tiempo en una etapa llena de muy gratos recuerdos y que sin duda sin su apoyo y tiempo no habría sido tan especial.. Esteban.

(7) DEDICATORIA. A mi madre Pilar Lara, mi padre Juan Samaniego, mi familia y amigos.. Estefanía Samaniego.

(8) DEDICATORIA. Dedico este trabajo a mi madre y a mis tías Susi y Michita por enseñarme el valor de esforzarme en cada instante de mi vida, les amo. Esteban.

(9) ÍNDICE. RESUMEN................................................................................................................. I PRESENTACIÓN ..................................................................................................... II 1. CAPÍTULO 1 ...................................................................................................... 1 1.1. GENERALIDADES DE LOS CUADRICÓPTEROS .................................... 1 1.1.1. UAV (UNMANNED AERIAL VEHICLE) .............................................. 1 1.1.2. DEFINICIÓN DE CUADRICÓPTERO ................................................ 1 1.1.3. MOVIMIENTOS Y ROTACIONES BÁSICAS ..................................... 2 1.2. MODELO MATEMÁTICO DE LOS CUADRICÓPTEROS .......................... 4 1.2.1. SISTEMAS DE REFERENCIA [13] .................................................... 4 1.2.2. ROTACIONES [13] ............................................................................. 5 1.2.3. MODELO CINEMÁTICO [3]................................................................ 6 1.2.4. MODELO DINÁMICO [14] .................................................................. 8 1.3. FORMACIÓN DE UAV'S ........................................................................... 12 1.3.1. FORMACIÓN LÍDER-SEGUIDOR .................................................... 13 1.3.2. FORMACIÓN BASADA EN COMPORTAMIENTO .......................... 14 1.3.3. FORMACIÓN BASADA EN UNA ESTRUCTURA VIRTUAL ........... 14 1.4. CONTROLADORES .................................................................................. 15 1.4.1. CONTROLADORES TIPO PID [22] ................................................. 15 1.4.2. CONTROLADOR BASADO EN ESPACIO NULO ........................... 16 1.4.3. CONTROLADOR UTILIZANDO LINEALIZACIÓN EXACTA ........... 20 1.5. EVASIÓN DE OBSTÁCULOS MEDIANTE CAMPOS POTENCIALES .... 27 1.5.2. CAMPO POTENCIAL PARA DOS DIMENSIONES ......................... 27 1.5.3. CAMPO POTENCIAL PARA TRES DIMENSIONES ....................... 28 1.6. ESTABILIDAD DE LYAPUNOV [28] ......................................................... 30.

(10) 1.6.2. MÉTODO DIRECTO DE LYAPUNOV [28] ...................................... 31 1.7. MEDICIÓN DEL DESEMPEÑO DE UN SISTEMA CONTROLADO ........ 33 1.7.1. INTEGRAL DEL ERROR AL CUADRADO ISE ................................ 34 1.7.2. INTEGRAL DEL ERROR ABSOLUTO IAE ...................................... 35 2. CAPÍTULO 2 .................................................................................................... 36 2.1. MODELO CINEMÁTICO DE LA FORMACIÓN DE CUADRICÓPTEROS 36 2.2. VARIABLES. QUE. REPRESENTAN. LA. FORMACIÓN. DE. CUADRICÓPTEROS ........................................................................................ 37 2.3. CONTROLADOR. TIPO. PID. PARA. FORMACIÓN. DE. CUADRICÓPTEROS ........................................................................................ 43 2.3.1. JACOBIANO DE FORMA Y ORIENTACIÓN ................................... 43 2.3.2. JACOBIANO DE POSTURA............................................................. 44 2.3.3. CONTROLADOR EN TRES DIMENSIONES ................................... 44 2.3.4. CONTROLADOR EN DOS DIMENSIONES..................................... 45 2.3.5. ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DEL CONTROLADOR TIPO PID ..... 47 2.4. CONTROLADOR BASADO EN ESPACIO NULO PARA LA FORMACIÓN DE CUADRICÓPTEROS .................................................................................. 49 2.4.1. CONTROLADOR DE LA TAREA DE FORMA Y ORIENTACIÓN ... 50 2.4.2. CONTROLADOR PARA LA TAREA DE POSTURA (CONTROL DEL CENTROIDE) ............................................................................................... 51 2.4.3. CONTROLADOR PARA LA EVASIÓN DE OBSTÁCULOS ............ 52 2.4.4. CONTROLADOR CON PRIORIDAD EN FORMA-ORIENTACIÓN . 54 2.4.5. CONTROLADOR CON PRIORIDAD EN POSTURA ....................... 61 2.4.6. CONTROLADOR. CON. PRIORIDAD. EN. EVASIÓN. DE. OBSTÁCULOS............................................................................................. 68 2.5. CONTROLADOR DE FORMACIÓN DE CUADRICÓPTEROS BASADO EN ESPACIO NULO APLICADO AL MODELO DINÁMICO INDIVIDUAL ....... 74.

(11) 2.5.1. CONTROLADOR. TIPO. PID. PARA. UN. CUADRICÓPTERO. INDIVIDUAL ................................................................................................. 75 2.5.2. CONTROLADOR MEDIANTE LINEALIZACIÓN EXACTA PARA UN CUADRICÓPTERO INDIVIDUAL ................................................................ 80 3. CAPÍTULO 3 .................................................................................................... 87 3.2. DIAGRAMA DE BLOQUES DE LA INTERFAZ DE USUARIO ................. 87 3.3. DESCRIPCIÓN DE LA INTERFAZ DE USUARIO .................................... 88 3.3.1. PRESENTACIÓN.............................................................................. 89 3.3.2. SELECCIÓN DE CONTROLADORES ............................................. 89 3.3.3. CONTROLADOR INDIVIDUAL......................................................... 90 3.3.4. CONTROLADOR DE FORMACIÓN CON MODELO CINEMÁTICO 95 3.3.5. CONTROLADOR DE FORMACIÓN CON MODELO DINÁMICO.. 104 4. CAPÍTULO 4 .................................................................................................. 106 4.1. PRUEBA 1: COMPARACIÓN DEL CONTROLADOR DE FORMACIÓN DEL CONTROLADOR TIPO PID Y BASADO EN ESPACIO NULO (CBN)... 107 4.1.1. COMPARACIÓN DEL CONTROLADOR TIPO PID Y CBN EN 2D 108 4.1.2. COMPARACIÓN DEL CONTROLADOR TIPO PID Y CBN EN 3D 112 4.2. PRUEBA 2: COMPARACIÓN DEL CONTROLADOR BASADO EN ESPACIO. NULO. CON. EVASIÓN. DE. OBSTÁCULOS. FIJOS. PARA. DIFERENTE PRIORIDAD. .............................................................................. 120 4.2.1. CONTROLADOR BASADO EN ESPACIO NULO PARA DOS DIMENSIONES .......................................................................................... 121 4.2.2. CONTROLADOR BASADO EN ESPACIO NULO PARA TRES DIMENSIONES .......................................................................................... 129 4.3. PRUEBA 3: DESEMPEÑO DEL CONTROLADOR BASADO EN ESPACIO NULO CON EVASIÓN DE OBSTÁCULOS MÓVILES ................................... 143 4.3.1. CONTROLADOR DE EVASIÓN DE OBSTÁCULOS MÓVILES EN DOS DIMENSIONES ................................................................................. 143.

(12) 4.3.2. CONTROLADOR DE EVASIÓN DE OBSTÁCULOS MÓVILES EN TRES DIMENSIONES ............................................................................... 146 4.4. PRUEBA 4 ............................................................................................... 150 4.5. PRUEBA 5 ............................................................................................... 155 5. CAPÍTULO 5 .................................................................................................. 163 5.1. CONCLUSIONES .................................................................................... 163 5.2. RECOMENDACIONES ........................................................................... 166 REFERENCIAS .................................................................................................... 167.

(13) i. RESUMEN El control de UAV’s (Unmanned Aerial Vehicles) es un campo que ha sido ampliamente explorado en los últimos años, varias investigaciones como [1], [2], [3] se han enfocado en el control de vuelo de UAV individualmente. En el caso de formación de UAV’s trabajos como [4] y [5] presentan controladores multitareas y robustos que permiten el control de la forma y trayectoria de una formación. En el presente proyecto se inicia con un estudio de los modelos que rigen el comportamiento cinemático y dinámico de cuadricópteros individualmente, para el modelo dinámico individual se desarrolla un controlador tipo PID y un controlador mediante linealización exacta. Para el control de la formación de los cuadricópteros se ha desarrollado dos controladores que utilizan el modelo cinemático simplificado, el primer controlador es un controlador tipo PID que controla la forma y postura para la formación; el segundo es un controlador basado en espacio nulo, el mismo que consiste de tres tareas, una que se encarga del control de la forma, orientación, otro del control de postura y finalmente la tercera tarea de la evasión de obstáculos mediante campos potenciales, considerando los. modelos de evasión de obstáculos. mostrados en [6] y [7], dependiendo de la prioridad asignada al controlador en espacio nulo, se tienen diferentes modos de formación entre los que se contempla una formación rígida. Adicionalmente, se aplica el controlador de formación a una planta de cuadricópteros con su modelo dinámico, utilizando controladores individuales tipo PID o mediante linealización exacta, que se encuentran dentro del lazo de control de formación basado en espacio nulo para las tareas de forma, y postura. Los controladores de formación se desarrollan para dos y tres dimensiones, se evalúa el rendimiento de estos a partir de simulaciones en MATLAB-Simulink, y una interfaz gráfica, que permite observar el comportamiento de la formación, medir los factores de desempeño y realizar comparaciones entre controladores..

(14) ii. PRESENTACIÓN El desarrollo del presente proyecto de titulación consiste en el diseño de controladores para una formación de tres cuadricópteros y contempla cinco capítulos: En el capítulo 1,. se presentan de manera breve las generalidades de los. cuadricópteros, con una breve historia de su desarrollo, sus movimientos básicos, el modelo matemático cinemático y dinámico. Se realiza, una explicación de las formaciones de UAV’s, la evasión de obstáculos a través de campos potenciales, la teoría de los controladores que se desarrollan, la teoría de estabilidad de Lyapunov, y finalmente las mediciones de rendimiento de los controladores. En el capítulo 2, se detalla el diseño de cada uno de los controladores de formación (PID y controlador basado en espacio nulo) en dos y tres dimensiones, considerando inicialmente los controladores que utilizan el modelo cinemático simplificado de cada cuadricóptero, seguido de. los controladores internos. utilizando el modelo dinámico individual de los cuadricópteros, que se utilizan para llevar a cabo el controlador de formación basado en espacio nulo. En el capítulo 3 se presenta el desarrollo de la interfaz gráfica realizada en GUIDE-MATLAB, en la cual se tiene una breve explicación de cómo están distribuidos los controladores dentro de la interfaz y cuáles son los pasos para que el usuario pueda realizar la simulación, comparar , evaluar los controladores, visualizar errores, entre otros. En el capítulo 4 se analiza los resultados de los controladores, se muestra las curvas del desempeño de los controladores, así como los errores, y comparaciones entre ellos. En el capítulo 5 se presentan las conclusiones y recomendaciones que se han obtenido luego del estudio, diseño y simulación de los controladores de la formación de los cuadricópteros..

(15) 1. 1. CAPÍTU C ULO 1 MAR RCO TEÓ ÓRICO 1.1.. GENER RALIDA ADES DE LOS CUA ADRICÓ ÓPTEROS S. 1.1.11. UAV (U UNMANNE ED AERIAL L VEHICL LE) Un vvehículo aéreo no trripulado (U UAV) ver la a Figura 1.1, es un n término utilizado u para a describir dispositivo os emplead dos en aplicaciones militares y civiles de e última gene eración. Se S definen como ae eronaves sin s presencia a bord do de pilo otos, se utilizzan para llevar a ccabo labores de in nteligencia,, vigilancia a y misiones de reco onocimiento o. Proporccionando varias ve entajas so obre los sistemas s básicos tripu ulados, inclluyendo un na mayor maniobrab m ilidad, redu ucción de costos, red ducción de señales de radar, y menor m riesg go a las trip pulaciones [8].. Figura 1.1. Cuadriicóptero [9]. CÓPTERO O 1.1.22. DEFINIICIÓN DE CUADRIC Es un u helicópttero con cuatro c rotores, que d debido a su estructura simple, cuenta con grados de e libertad, es decir puede p movverse a lo largo de lo os ejes X, Y, Z, y girarr el cuerpo o de la aerronave obtteniendo lo os movimie entos de roll r (ĳ), pitcch (ș) y yaw (ȥ) [10]. Los rotores están dirigidos hacia arrriba y se colocan en una form mación cuadrada (90°° uno del otro) o con la a misma distancia d al centro de e masa. Sus configuracciones máss habituale es son “X” (equis) y la a “+” (plus)), ver Figurra 1.2. pteros son n útiles en n muchas formas, tienen t me enores cosstos en Los cuadricóp c los ve ehículos tripulados y no hay necesidad n de un pilo oto [11]. comparación con.

(16) 2. Se u utilizan en operacion nes de vigilancia, bú úsqueda, rescate, r co onstrucción n y otra varie edad de ap plicacioness.. a). b). Fig gura 1.2. Cuadricópter C ro configura ación en a) “X” y b) “+ +”. [12]. 1.1.33. MOVIM MIENTOS Y ROTAC CIONES BÁ ÁSICAS El cu uadricóptero es conttrolado ajus stando lass velocidad des angulares de los rotores y se estabiliza haciendo que las hélices gire en en direccción contraria, dos giran g en senttido horario o y las otrras dos en n sentido anti-horario a o como se representta en la Figu ura 1.3. [10 0]. Los roto ores se ide entifican co omo fronta al (1), izquiierdo (2), derecho d (3) y posteriorr (4). De esta e mane era, las en ntradas de el sistema se definen n como emp puje vertica al U1 y torq ques angullares para roll U2, pittch U3 y ya aw U4.. Figu ura 1.3. Cuadricóptero o configuracción “+”.. 1.1.33.1.. Emp puje Vertical. El e empuje verrtical deno otado com mo U1 es producido cuando lo os cuatro rotores incre ementan o disminuye en su veloccidad en el mismo po orcentaje [10] ..

(17) 3. Figura a 1.4. Empu uje Vertical. 1.1.33.2.. Movvimiento en n Roll. La ttorque an ngular de Roll U2. es prod ducido cua ando el ro otor dereccho (2). incre ementa su u velocidad d y el roto or izquierdo (3) la disminuye o viceverssa, pero amb bos en la misma m cantidad, de modo m que el torque global siga a siendo nulo n y el emp puje mantenga su valor.. Figura 1.5. 1 Movimie ento de Roll. 1.1.33.3.. Movvimiento en n Pitch. El to orque angu ular de pittch U3 es similar al de roll, ess producido cuando el rotor fronttal (1) incre ementa su u velocidad d y el rotorr posterior (4) disminuye o vicceversa, pero o ambos en n la misma a cantidad, de modo o que el torrque globa al continúe e siendo nulo y el empu uje mantenga su valo or. [10]..

(18) 4. Figura 1.6. Movimie ento de Pitc ch. 1.1.33.4.. Movvimiento en n Yaw. Para a el torque e angular de d yaw U4 4, el par de rotores (1) y (4) debe d aume entar su velocidad mien ntras el pa ar restante e (2) y (3)) debe dism minuirla, o viceversa a, en la ma cantida ad de man nera que no n se cam mbie el torq que globall, producie endo un mism movvimiento en n yaw, pero o mantenie endo el em mpuje vertic cal constan nte [10].. Figura 1.7. Movimie ento de Yaw w. 1.2.. MODE ELO MAT TEMÁTICO DE LOS L CUA ADRICÓP PTEROS. 1.2.11. SISTEM MAS DE RE EFERENC CIA [13] Para a modelar un cuadriicóptero es necesarrio tener dos d sistemas de refe erencia, como se mues stra en la Figura 1.8 8. El cuad dricóptero como un sólido rígid do está cara acterizado por un sistema s de e coorden nadas liga ado a su centro de e masa. xB está direccionado hacia deno otado com mo B {x B , yB , z B } . Donde D h el no orte, yB.

(19) 5. a ortogona al a xB sien ndo positivva hacia la a derecha en el plano horizonttal, y zB es la es o ortogonal al a plano fo ormado po or xB y yB . Por otro o lado, se tiene el sistema s inerccial con oriigen en la tierra Y {x, y, z} .. Figura 1.8. Sistemas de Referen ncia. 1.2.22. ROTAC CIONES [13] La posición del d cuadricóptero en e el sisttema inerrcial es Y [x y z ]T y su orien ntación po or el vecto or I [G R Z] . Los ángulos usados u para represe entar la orien ntación so on definid dos utiliza ando el formalismo f o de Taitt Bryan que q es amp pliamente utilizado u en n ingenieríía aeroesp pacial, difie ere de los ángulos de d Euler por u usar tres ejes e diferen ntes cuand do se forma a la rotació ón. -. Rotació ón en RO OLL: Esta rotación se produ uce alrededor del eje X, obtenien ndo la mattriz de rota ación. R (x , G ) :. ¯ 0 0 ¯° ¡x B ¯° ¡x1 ° ¡1 ¡y ° ¡0 coos G sin G ° ¡y ° ¡ 1° ¡ °¡ B° ¡ ° ¡ °¡ ° ¡¢z1 °± ¡¢0 siin G cos G °± ¡¢z B °± -. Rotació ón en PIT TCH:. (1.1). Estta rotación n se prod duce alred dedor del eje Y,. obtenien ndo la mattriz de rota ación. R (y , R ) :.

(20) 6. ¯ ¯ ¯ ¡x 2 ° ¡ cos R 0 sin R ° ¡x1 ° ¡y ° ¡ 0 1 0 °° ¡¡y1 °° ¡ 2° ¡ ¡ ° ¡ °¡ ° ¡¢z 2 °± ¡¢ sin R 0 cos R °± ¡¢z1 °± -. (1.2). Rotación en YAW: Esta rotación se produce alrededor del eje Z, obteniendo la matriz de rotación R (z , Z ) :. ¯ ¯ ¯ ¡x ° ¡cos Z sin Z 0° ¡x 2 ° ¡y ° ¡ sin Z cos Z 0° ¡y ° ¡ ° ¡ ° ¡ 2° ¡ ° ¡ °¡ ° 0 0 1 z ¡¢ °± ¡¢ °± ¡¢z2 °±. (1.3). Finalmente se obtiene la matriz de rotación completa R ( Z , R , G ) que relaciona B respecto a E y se utiliza para rotar un vector desde el sistema de referencia inercial al sistema de referencia fijo al cuadricóptero y viceversa. Considerando que esta matriz es ortogonal, su inversa es la matriz transpuesta R 1 RT . R ( Z , R , G ) R ( x , G ) R ( y , R ) R (z , Z ). (1.4). ¯ ¡cos Z cos R cos Z sin R sin G sin Z cos G cos Z sin R cos G sin Z sin G° R ¡¡ sin Z cos R sin Z sin R sin G cos Z cos G sin Z sin R cos G cos Z sin G °° ¡ ° cos R sin G cos R cos G ¡¢ sin R °±. (1.5). 1.2.3. MODELO CINEMÁTICO [3] El movimiento de traslación del cuadricóptero está definido por:. ¯ ¯ ¡xB ° ¡Vx ° ¡y ° ¡V ° ¡ B° ¡ y° ¡ ° ¡V ° ¡¢ z B ±° ¡¢ z °±. (1.6). Donde V [VX , Vy , Vz ] son las velocidades en el sistema de referencia del cuadricóptero, o acciones de control; y Y [x, y, z ] son las velocidades del cuadricóptero para los ejes x , y, z respectivamente. Para obtener las velocidades en el sistema inercial se utiliza la matriz de rotación R , obteniendo:. Y RV Considerando la ecuación (1.5):. (1.7).

(21) 7. ¯ ¯ ¡x ° ¡xB ° ¡y ° R(Z, R, G) ¡y ° ¡ ° ¡ B° ¡ ° ¡ ° z ¡¢ °± ¡¢z B °±. (1.8). ¯ ¯ ¯ ¡x ° ¡cos Z cos R cos Z sin R sin G sin Z cos G cos Z sin R cos G sin Z sin G° ¡xB ° ¡y ° ¡ sin Z cos R sin Z sin R sin G cos Z cos G sin Z sin R cos G cos Z sin G ° ¡y ° ¡ ° ¡ ° ¡ B° ¡ ° ¡ °¡ ° z sin cos sin cos cos R R G R G ¡¢ °± ¡¢ °± ¡¢zB °± Considerando que el ángulo de roll y pitch se mantiene muy cercanos a cero durante el tiempo de vuelo, se puede aplicar la reducción del ángulo pequeño, la cual establece que cos G 1, sin G 0 y cos R 1, sin R 0 , se tiene entonces el siguiente modelo cinemático simplificado:. ¯ ¯ ¯ ¡x ° ¡cos Z sin Z 0° ¡xB ° ¡y ° ¡ sin Z cos Z 0° . ¡y ° ¡ ° ¡ ° ¡ B° ¡ ° ¡ ° ¡ ° 0 0 1 z ¡¢ °± ¡¢ °± ¡¢zB °±. (1.9). El movimiento rotacional del cuadricóptero está descrito por las componentes de las velocidades angulares en los tres ejes X [p q r] , donde p q r son las T. velocidades angulares de balanceo, cabeceo y de guiñada (roll, pitch y yaw), sobre los ejes xB, yB, zB respectivamente. Para relacionar las velocidades angulares del cuerpo X y la variación en el T tiempo de los ángulos I [G, R, Z ] respecto al sistema inercial de tierra, se. debe considerar ciertas rotaciones, La primera rotación para Yaw aplicada al sistema inercial es sujeta a tres rotaciones en ( z , y , x ); la segunda rotación para Pitch es sujeta a dos transformaciones angulares sucesivas en ( y , x ). Finalmente, Roll es sujeto a una sola transformación alrededor de x .. X WI I Para lo cual se desarrolla W I considerando que:. (1.10).

(22) 8. ¯ ¯ ¡ 0° ¡p° ¡q ° R(x, G)R(y, R)R(z, Z) ¡ 0 ° ¡ ° ¡ ° ¡ ° ¡ ° r ¡¢Z °± ¡¢ °±. ¯ ¡0° R(x, G)R(y, R) ¡¡R°° ¡ ° ¡¢0°±. ¯ ¡G° R(x, G) ¡¡ 0 °° ¡ ° ¡¢ 0 °±. (1.11). ¯ sin R ¯° ¡ G ¯° 0 ¡ p ° ¡1 ¡q ° ¡0 cos G sin G cos R ° ¡ R ° ¡ ° ¡ °¡ ° ¡ ° ¡ °¡ ° ¡¢r °± ¡¢0 sin G cos G cos R°± ¡¢Z °±. (1.12). 0 sin R ¯° ¡1 WI ¡¡0 cos G sin G cos R °° ¡ ° ¡¢0 sin G cos G cos R °±. (1.13). Para obtener I WI1X , se encuentra que WI es invertible solo sí:. Rv. (2k 1)G ,(k ]) 2. (1.14). Obteniéndose: ¯ ¡ ¯ ¡G ° ¡ p ° ¡1 sin G tan R ¡ R ° W 1 ¡q ° ¡ 0 cos G ¡ ° ¡ ° ¡ I ¡ ° ¡ ° ¡ sin G ¡¢ Z °± ¡¢ r °± ¡ 0 ¡ cos R ¢¡. ¯ ° cos G tan R ° ¡ p ¯° ° sin G ° ¡¡q °° °¡ ° cos G ° ¡ r ° °¢ ± cos R ±°. (1.15). 1.2.4. MODELO DINÁMICO [14] El modelo es obtenido representando el cuadricóptero como un cuerpo sólido envuelto en el espacio 3D, sujeto a una fuerza y tres momentos angulares. La dinámica de los cuatro motores es relativamente rápida, por lo que se desprecia, así como la flexibilidad de las hélices, que se considerará invariante en el tiempo. El movimiento de un cuerpo rígido puede descomponerse en componentes rotacionales y de traslación. Para describir la dinámica del cuadricóptero, se asume que es un cuerpo rígido, y se plantean a continuación las ecuaciones de NEWTON EULER que gobiernan el movimiento lineal y angular..

(23) 9. F. d mVB dt. (1.16). Donde la masa m es la masa del cuadricóptero que se mantiene constante, F son las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, VB es la velocidad del cuadricóptero en su sistema de referencia. La fuerza externa se compone del empuje de las hélices, la fuerza gravitacional; la fuerza centrífuga y los efectos o pares aerodinámicos se consideran despreciables debido al tamaño de la aeronave. Para el empuje de las hélices, cada rotor. i tiene una velocidad angular 8i , la cual genera una fuerza referida al. 2 marco inercial del cuadricóptero fi [0 0 8i ] , así el empuje total TB es igual a. TB ¡0 0 U1 ¯° , siendo U1 el empuje generado en el eje ZB : ¢ ± 4. U 1 fi f1 i 0. f2. f3. f4 ,. fi b8i 2. (1.17). 4. U1 b 8i 2. (1.18). i 0. Donde b es el coeficiente de empuje que ejercen las hélices medido en [ N s 2 ]; El empuje total junto con la fuerza gravitacional, representan la fuerza total que actúa sobre el cuadricóptero.. F RT Fg. TB. (1.19). Reemplazando (1.19) en (1.16), el componente de traslación referido al sistema de referencia del cuerpo es:. mv B RT Fg. TB. (1.20). Para obtener la fuerza con referencia al sistema inercial, teniendo en cuenta que de la ecuación (1.7). Y R¸V se tiene:.

(24) 10. R(mVB ) R(RT Fg ). mY Fg. RTB. (1.21). RTB. (1.22). T Fg mgEz mg ¡0 0 1¯° ¢ ±. (1.23). ¯ ¯ ¯ ¡x° ¡0° ¡0° m ¡¡y°° R(Z, R, G) ¡¡ 0 °° mg ¡¡0°° ¡ ° ¡ ° ¡ ° ¡¢z °± ¡¢U1 °± ¡¢1°±. (1.24). Obteniéndose finalmente:. ¯ ¡x° U ¡ cos Z sin R cos G sin Z sin G Y ¡¡y°° 1 ¡¡ sin Z sin R cos G cos Z sin G ¡ ° m ¡ cos R cos G mg ¡ ¡¢z °± ¢. ¯ ° ° ° ° ° ±. (1.25). Para el componente rotacional, se considera que el cuadricóptero tiene una estructura simétrica con respecto a los ejes x, y, z , y se desprecia los efectos giroscópicos, por tanto, su matriz de inercia I será una matriz diagonal: ¡I xx I ¡¡ 0 ¡0 ¡¢. 0 I yy 0. 0 ¯° 0 °° I zz °° ±. (1.26). Para encontrar el momento total I , se debe considerar la variación del momento angular H IX , y se obtiene:. M. d (I X) X q(I X) dt. (1.27). El momento total del sistema M está definido por las torques rotacionales generadas por las hélices y están definidos por [5]: ¯ ¯ ¯ lb(822 842 ) ° ¡ UG ° ¡U 2 ° ¡ ¡ ° 2 2 ¡ ° ¡ ° M ¡ UR ° ¡U 3 ° ¡ lb(83 81 ) ° ° ¡ ° ¡ ° ¡ 2 2 2 2 ¡¢ U Z °± ¡¢U 4 °± ¡d (81 83 82 84 )° ¢ ±. (1.28).

(25) 11. Donde l es la longitud del brazo en metros del cuadricóptero hasta el centro de masa y d es el coeficiente de arrastre asociado a las hélices medido en [ N s 2 ]. Para encontrar las velocidades angulares de balanceo, cabeceo y de guiñada (roll, pitch y yaw), se desarrolla y reemplaza (1.26),(1.28) en la ecuación (1.27), se obtiene: p¯ I p¯ ¡ ° ¡ xx ° 1 X I ¡¡q °° q ¡¡ I yyq °° ¡ ° ¡ ° ¢¡ r ±° ¢¡ I zz r ±° ¯ ¡ I yy I zz qr ° ¡ ° I xx ¡ ° ¯ ¡ p ° ¡¡ I I pr °° xx ¡q ° ¡ zz ° ¡ ° ¡ ° I yy ¡ ° ¡ ° ¡¢ r °± ¡ ° I I pq ¡ xx ° yy ¡ ° ¡ ° I zz ¢ ±. ¬ M ®. (1.29). ¯ ¡ UG ° ¡ ° ¡ I xx ° ¡ ° ¡ UR ° ¡ ° ¡ I yy ° ¡ ° ¡ UZ ° ¡ ° ¡I ° ¢ zz ±. (1.30). Ahora, para obtener la aceleración angular en el sistema inercial se utiliza la ecuación (1.10) de la cual I WI1X , obteniéndose la derivada en el tiempo:. I . d d WI1X¯° ¡WI1 ¯° X WI1X ¡ ± dt ¢ ± dt ¢. (1.31). Reemplazando WI1 de la ecuación (1.15) y derivando: ¯ ¡0 G cos G tan R R sinG G sinG tan R R cos G ° ¯ p ¡ cos2 R cos2 R °° ¡ ° ¡ ¡ G sinG G cos G I ¡0 ° q° ¡ ° ¡¡ °° ¡ cos G sinG tan R sinG cos G tan R ° ¡r ° G R R ¡0 G °¢ ± cos R cos R cos R cos R ±° ¢¡. ¯ ° ¯ ¡ ¡1 sinG tan R cos G tan R° ¡p ° ¡ °¡ ° cos G sinG ° ¡q ° ¡0 ¡ °¡ ° ¡ sinG cos G ° ¡r ° ¡0 °¢ ± ¡¢ cos R cos R °±. (1.32). Para simplificar esta expresión, se aplica la aproximación del ángulo pequeño definida por:. G x 0 l cos G 1, sin G 0 R x 0 l cos R 1, sin R 0. (1.33). Esta consideración se puede utilizar, si las perturbaciones de vuelo estacionario son pequeñas. Obteniendo entonces de la ecuación (1.15) lo siguiente:.

(26) 12. ¯ ¯ ¯ ¡ G ° ¡1 0 0° ¡ p ° ¡ R ° ¡0 1 0° ¡q ° ¡ ° ¡ °¡ ° ¡ ° ¡ °¡ ° 0 0 1 Z °± ¡¢r °± ¢¡ °± ¡¢ Donde se obtiene que:. (1.34). X I, (p,q,r) (G, R, G), reduciendo (1.31) a: ¯ ¯ ¡ G ° ¡r R ° ¡ R ° ¡ r G ° ° ¡ ° ¡ ¡ ° ¡ ° Z ¡¢ °± ¡¢q G ±°. ¯ ¡ p ° ¡q ° ¡ ° ¡ ° ¡¢ r °±. (1.35). Reemplazando la ecuación (1.30) en (1.35) se tiene que:. ¯ ¯ ¡ G ° ¡r R ° ¡ R ° ¡ r G ° ° ¡ ° ¡ ¡ ° ¡ ° ¡¢Z °± ¡¢q G °±. ¡ I yy I zz qr ¡ I xx ¡ ¡ ¡ I zz I xx pr ¡ ¡ I yy ¡ ¡ I I pq ¡ xx yy ¡ ¡ I zz ¢. UG ¯° ° I xx ° ° UR ° °, I yy °° U Z °° ° I zz ° ±. (1.36). Finalmente se muestra a continuación las ecuaciones tanto de traslación y de rotación que definen el modelo dinámico del sistema:. ¯ ¯ ¡x° ¡U 1 cos Z sin R cos G sin Z sin G / m ° ¡y° ¡U sin Z sin R cos G cos Z sin G / m ° ° ¡ ° ¡ 1 ° ¡ ° ¡ U 1 cos R cos G / m g ° ¡¢z °± ¡¢ ± ¯ ¡ I yy I zz RZ U 2 °° RZ ¡ I xx I xx ° ¯ ¡ ° U ¡ G ° ¡¡ I I ZG ° xx ¡ R ° ¡ zz 3 ZG ° ¡ ° ¡ ° I yy I yy ¡ ° ¡ ° ¡¢ Z °± ¡ ° ¡ I xx I yy RG U 4 ° RG ° ¡ ¡ ° I zz I zz ¢ ±. 1.3.. (1.37). (1.38). FORMACIÓN DE UAV'S. Una formación, Figura 1.9 es un conjunto de robots o vehículos móviles que realizan acciones coordinadamente en el espacio 2D o 3D, con el fin de completar una acción o tarea que en conjunto es más sencilla que individualmente..

(27) 13. Las formaciones pueden n ser flexib bles si se consideran c n cambios en las disstancias entre e los elementos de la a formació ón, o rígida as cuando la distanciia entre un n par de robo ots perman nece fija en n el tiempo o [15]. Parra mantener la forma a de la forrmación es suficiente s m mantener la distancia entre pa ares de individuos, lo l cual ressulta en que la distancia entre tod dos los parres sea constante [16 6].. Figura F 1.9. Esquema de d la formacción de tress cuadricóptteros. El control de una forma ación se puede p conssiderar co omo un co onjunto de tareas; entre e las cuale es se encu uentran, el seguimien nto de trayectoria de punto A hacia h un puntto B; una segunda s ta area es ma antener lass posicione es relativass entre cad da robot dura ante el movvimiento, de d modo que se consserva la fo orma; una tercera t puede ser la evvasión de obstáculo os; y una cuarta c pod dría ser la a de dividirr la formación en cierttas circuns stancias [15 5]. Existen varias arquitectu uras o estrrategias de e control de d formació ón de UAV V´s que se detallan a continuació c ón [17]: 1.3.11. FORMA ACIÓN LÍD DER-SEGU UIDOR En esta estru uctura uno o de los agentes es e asignad do como líder, y el e resto gnados co omo seguidores. Loss seguidorres necesitan mante ener una p posición desig relattiva desead da con resspecto al líd der [18]. En esta e estrucctura, sólo el seguido or tiene la informació ón del líde er, por lo que q si el líderr falla no existe un mecanism mo para a asegurar que se log gre el obje etivo de conttrol. Sin em mbargo, esta estructu ura es fácil de entend der y aplica ar [19]..

(28) 14. Debido a su estructura de control puede ser afectado por una gran cantidad de interferencias, se deben aplicar métodos de control robusto, como control en modo deslizante, control adaptativo, entre otros. Esta formación es demasiado rígida y la habilidad de evadir obstáculos es insuficiente [17], por lo que no se la utiliza en el desarrollo del presente proyecto. 1.3.2. FORMACIÓN BASADA EN COMPORTAMIENTO En el control basado en el comportamiento, cada robot sigue algunas reglas para lograr la formación, está inspirada en el movimiento colectivo de animales, entre los primeros trabajos técnicos sobre esta estructura, se encuentra el modelo de comportamiento distribuido de Reynolds de 1987, que condujo a la creación de las primeras animaciones por ordenador de las bandadas de aves [20]. La idea principal es prescribir varios comportamientos deseados para cada agente, como mantener la forma, evitar colisiones y la búsqueda de objetivos, haciendo que cada acción de control tenga un peso promedio del control para cada comportamiento. El valor de comportamiento final deseado se puede alcanzar ajustando los pesos [21]. La ventaja de este método de control es que puede alcanzar múltiples objetivos de control simultáneamente. Sin embargo, el método tiene falta de rigidez y la formación es generalmente imprecisa [17], por lo que no se utiliza en el desarrollo del presente proyecto. 1.3.3. FORMACIÓN BASADA EN UNA ESTRUCTURA VIRTUAL La estructura virtual consiste en la sustitución de un agente líder de la formación, en la estructura de líder-seguidor, por uno virtual para coordinar otros vehículos aéreos no tripulados [20]. Este método evita las interferencias del modelo líder-seguidor. Sin embargo, al combinar la posición de líder virtual y transferirla a otros UAV’s se necesita una alta calidad de comunicación e intensiva potencia de cálculo [17]..

(29) 15. La vventaja que ofrece la a estructura virtual es e que tie ene realime entación del d líder virtual en cada a elemento o de la form mación y pu uede alcan nzar una fo ormación precisa., p esventaja es e que consume mu uchos cálculos y com municacion nes para siintetizar la de la e estructura virtual y seguir el punto de referencia [21], es sta estrate egia de form mación se desarrolla a a fondo o en el capítulo c dos, d donde e se deta alla las ecua aciones característica as de este modelo de e formació ón.. 1.4.. CONTROLADO ORES. Uno de los facctores esen nciales parra lograr la a formación n de UAV’ss es su cap pacidad de m mantener configuraci c ones geom métricas de eseadas, mediante m el e uso de técnicas de ccontrol apro opiadas. A co ontinuación n, se explicca la teoría a que defin ne a los co ontroladore es utilizado os en el siguiente traba ajo: 1.4.11. CONTR ROLADOR RES TIPO PID P [22] El controlador c r Proporcional- Integral-Deriva ativo PID es un método de control clásiico amplia amente utilizado. Tiene una esstructura típica Figurra 1.10, exxcelente estabilidad, rendimiento confiable y un ajustte sencillo. El control PID tiene e mayor utilid dad, cuand do la estrucctura y parámetros de d la plantta a contro olar no se pueden identificar con facilidad o no se puede p dete erminar un n modelo matemático m o claro, debido a la possibilidad de e ajustar sus paráme etros indep pendientem mente del modelo. m. Figura 1.10. Esquema E de el controlad dor PID. e(t) del sisteema, contieene los eleementos El co ontrolador PID se basa en los errores e prop porcional, integral i y derivativo,, que son independientes enttre sí y tie enen un.

(30) 16. factor de ajuste individual. Se puede elegir cualquiera de los tres o una combinación de ellos en base a la situación práctica. La ecuación característica de un controlador PID estándar se describe generalmente de la siguiente manera: u (t ) K pe t. K i ¨ e t dt 0. Kd. d e t dt. (1.39). Donde u es la salida del controlador que actúa sobre la planta y e es el error calculado como la diferencia de la salida de la planta y la referencia. La constante. K p es la ganancia proporcional, Ki es la ganancia integral y Kdes la ganancia derivativa. En ocasiones resulta más práctico utilizar constantes de tiempo equivalentes a las constantes integrales y derivativas siendo estas Ti la constante de tiempo integral y Td es la constante de tiempo derivativa.. 1 u(t) Kp ¡¡e(t) Ti ¢¡. ¨ e(t)dt. ¯ d Td e(t)°° dt ±°. (1.40). 1.4.2. CONTROLADOR BASADO EN ESPACIO NULO El comportamiento basado en espacio nulo, puede ser definido como un enfoque competitivo y cooperativo, siendo competitivo cuando se trata de combinar varias tareas para alcanzar diferentes objetivos (pero tiene dificultades para tareas en conflicto), y cooperativo cuando se lleva a cabo solo una tarea a la vez haciendo que el sistema sea subutilizado. Por lo tanto, con el espacio nulo se trata de superar ambas desventajas [23]. El control basado en espacio nulo se basa en el control de tareas prioritarias, lo que permite manejar diferentes tareas en conflicto, de modo que una tarea secundaria se cumple solo en caso de que no entre en conflicto con la tarea de nivel más alto..

(31) 17. 1.4.2.1.. Definición de espacio nulo [24]. El espacio nulo de una matriz A de dimensiones m q n , denotado como N ul (A ) , es el conjunto de todas las soluciones de la ecuación homogénea Ax 0 , la notación es: Nul A {x : x n y Ax 0}. (1.41). Cumpliéndose el siguiente teorema: El espacio. nulo de una matriz A m qn. es un subespacio de. n ,. equivalentemente el conjunto de todas las soluciones para un sistema Ax 0 de n m ecuaciones homogéneas con n variables perteneciente también a .. Para comprobar de este teorema se requiere verificar las tres propiedades de un subespacio vectorial: x. 0 Nul A : , Null 0 0, entonces 0 Nul A. x. Nul A cumple la propiedad aditiva: , Nul (u. x. v ) Nul (u ). Nul (v ) 0. 0 0, entonces u. v Nul A. Nul A cumple con la propiedad de multiplicación escalar. Sea Null(A) w y Nul (cA) cNul (A) cu c 0 w , entonces cw N ulA Para aplicar el espacio nulo como una estrategia de control, se considera una serie de tareas denotadas como v d , i , donde i es la i ésima tarea, siendo i 1 la tarea de mayor prioridad. Considerando n tareas, la solución basada en espacio nulo para la combinación de varias tareas puede ser formulada de manera iterativa como:. v (i ) vd ,i. N iv (i. , i 1,2...n. 1). (1.42).

(32) 18. N i Nul (J i ) Con v(1) vd , siendo para la tarea n. 1 : v (n. (1.43) 1). 0 ; donde Ji es el jacobiano de. cada tarea i , y Ni es la matriz de proyección en el espacio nulo del Jacobiano Ji , las cuales se explican a continuación: Para poder definir la matriz de proyección en el espacio nulo Ni es conveniente definir los siguientes conceptos de álgebra lineal: -. MATRIZ PSEUDOINVERSA:. Para la ecuación (1.43) se define la proyección en el espacio nulo como [23]:. Ni (I J i †J i ). (1.44). Donde Ji† es la matriz pseudoinversa n qm de Ji , también llamada inversa MoorePenrose de Ji . Y se define para todas las matrices Ji , incluso los que no son cuadradas, que tienen más columnas que filas, lo cual es muy común en control de formación, y tienen las siguientes propiedades: -. JJ †J J ,. -. J †JJ † J †, J† es una pseudoinversa externa de J. Si J. J † es una inversa generalizada de J. es una matriz de rango completo, y si tiene columnas linealmente. independientes entonces la matriz. J TJ. es invertible, y. J † puede. ser calculada de. la siguiente manera:. J † (JTJ )1JT. (1.45). Que se conoce como matriz pseudoinversa por la izquierda, cumpliéndose en este caso que J †J I . En el caso en el que J tiene filas linealmente independientes, entonces la matriz. JJ T es invertible, y J † se obtiene como:.

(33) 19. J † JT (JJT )1 Sien ndo J 1.4.22.1.. †. (1.46). la matriz m pseudoinversa a por la de erecha, y se e cumple que q JJ † I. Esqueema del con ntrolador basado b en espacio e nullo [23]. En esquema e d la figurra Figura 1.11 de 1 se muestra la representa r ación del enfoque e basa ado en esp pacio nulo o para el caso c de tre es tareas, cuya priorridad es assignada depe endiendo del d entorno o, donde la as tareas correspond dientes so on compue estas en base e a la ecua ación (1.42 uiente man nera: 2) de la sigu. vd vd,1. N1(vd,2. N2vd,3 ). (1.47). Figu ura 1.11. Esquema ba asado en Esspacio Nulo para 3 tare eas [23]. Por ejemplo, si se tie ene un manipulado m r en un ambiente con obsttáculos, a o más tareas en n la estrucctura de comportam c miento bassado en realizando una espa acio nulo; cuando el e robot es stá cercano a un ob bstáculo, para p prese ervar la integ gridad del mismo, se e puede assignar la máxima m prio oridad a la a tarea de evasión e de o obstáculos considerando compllementaria as a las otra as tareas. 1.4.22.2.. Interp pretación geométrica g del comportamiento basado en espacio nulo. La in nterpretación se realliza mediante el ejem mplo de un n robot mó óvil que se mueve en e el plano con dos grad dos de libe ertad. Se consideran c n dos tarea as, siendo v1 y v2 las velocidade v s correspo ondientes, lo cual se representa a en la Fig gura 1.12..

(34) 20. Figura 1.12. Composició ón de tarea as [23]. v g general de el espacio nulo es una suma ponderada p a de las La ssalida de velocidad tarea as de las velocidades v s v1 y v2 . En la a Figura 1..13 se reprresenta el control bassado en es spacio nulo o:. Fiigura 1.13. Control de tareas para a el caso de e comportam miento en espacio e nulo o [23]. En donde d la velocidad correspon ndiente a la segund da tarea se proyecta a en el espa acio nulo del d Jacobia ano de la primera p (N N1), por lo que los co omponente es de la velocidad 2 qu ue afectan a la tarea a principal se s elimina an y el com mponente restante r. v1 corresppondiente a la primerra tarea. v se añade a la velocidad 1.4.33. CONTR ROLADOR R UTILIZA ANDO LINE EALIZACIÓN EXAC CTA La linealizació ón por rea alimentació ón es un método de d control de sistem mas no linea ales, la idea principall es la de transforma t ar, de forma a parcial o total, la dinámica no liineal del sistema s a controlar en e una din námica line eal median nte un cam mbio de varia ables. El hecho h de obtener una u dinám mica resulta ante lineal, permite aplicar técnicas lineale es para ob btener el sistema en lazo cerrad do. mero se dan n a conoce er algunos conceptoss básicos [25]: [ Prim.

(35) 21. -. Jacobiano de una función vectorial ¡ sf1 ¡ sx ¡ 1 sf x %f x ¡¡ # sx ¡ sf ¡ n ¡ ¡¢ sx1. sf1 ¯° sx m °° % # °° sfn °° " ° sx m °± ". (1.48). Donde f x es una función vectorial del estado (n-dimensional), también llamada campo vectorial. -. Gradiente de una función escalar. h x . sh x sx. sh sh ¯° ... ¡¡ sxn °°± ¡¢ sx1. (1.49). Donde h x es una función escalar del estado (n-dimensional). -. Derivada Lie o Derivada Direccional: Lf f1. s sx 1. .... fn. s s , Lg g1 sx n sx 1. .... gn. s , sx n. (1.50). Las derivadas direccionales múltiples pueden definirse sucesivamente según:. Lof h h; Lif h Lf (Lif1h) i 1,2,... -. (1.51). Grado relativo [26]:. Si se considera un sistema no lineal SISO de la siguiente estructura:. x = f x + g x u. (1.52). y h x. (1.53). Donde las funciones f(x) f ,g(x) g y h(x) h son funciones infinitamente derivables. Y el vector de estados x(t) = x es un vector n-dimensional, la salida.

(36) 22. y(t) y no depende de manera explícita de u , los cambios de u afectan gradualmente a. y , a través de x . Para analizar el comportamiento. correspondiente para y se debe derivar la ecuación de salida:. y %h(x)x %h(x)(f (x) g(x)u). (1.54). Siendo % h el gradiente definido en (1.49), por tanto se obtiene que:. y %h(x)(f (x). g(x)u) Lf h(x). uLgh(x). (1.55). La derivada y depende directamente de u si y solo si Lgh(x) w 0 (por lo menos para algún x ), el sistema tendrá grado relativo 1 sí hxg w 0 . Ahora asumiendo que hxg w 0 . Se deriva una vez más para obtener y. y L2f h(x ). uLg Lf h(x ). (1.56). El sistema tendrá grado relativo 2 si LgLf h(x) w 0 , haciendo que y dependa directamente de u , de otro modo se debe continuar derivando:. y (i ) Lif h (x ) En donde y. (i ). uLg Lif1h (x ). representa la i esima derivada de y , con lo cual se define el. GRADO RELATIVO O como el menor entero positivo tal que: 1 Lg LO h(x ) w 0 f. (1.57). Se puede decir que un sistema tiene un GRADO RELATIVO COMPLETO si el grado relativo es igual al orden del sistema n [26]: O n. Con estos conceptos previamente definidos, se puede encontrar que para un sistema con un grado relativo O , su derivada O estará definida por la siguiente definición: y (O ) LOf h. uLg LOf 1h ; Lg LOf 1h v 0. (1.58). De lo cual, para realizar la linealización por realimentación, es posible despejar la entrada u de la ecuación (1.58) consiguiendo la siguiente ley de control:.

(37) 23. u. 1. v LOf h. 1 LgLO h f. (1.59). Donde O es la nueva entrada del sistema linealizado, teniendo la siguiente relación lineal:. y(O) v. (1.60). Cuando se aplica la ley de control mostrada en (1.59) y no se tiene un grado relativo completo se denomina linealización de entrada-salida y requiere que la dinámica cero del sistema sea estable (lo cual implica que cuando la salida y sus derivadas son cero, los demás estados del sistema tienen que ser estables), debido que para este caso de linealización solo una parte del sistema ha sido linealizado, y puede existir posibles partes no lineales en otros estados que afecten la estabilidad total del sistema. Para el caso en que el sistema tiene un grado relativo completo es decir O n la dinámica cero del sistema desaparece, y se puede realizar una linealización de entrada-estado o linealización exacta, para ello se debe aplicar el siguiente cambio de variables de estado:. z1 y,..., zn y(n 1). (1.61). 1.4.3.1. Linealización Exacta para un sistema MIMO [27] Si se considera le sistema no lineal: x f. n. g ju j. (1.62). j 1. y [y1, y2,..., ym ]T Donde. x \n. es el vector de estados,. u \m. (1.63) es una entrada de control,. y (x) \m es un vector de salidas y f (x ), gi (x ) \n son funciones vectoriales que definen al sistema. Considerando lo expuesto en [25], se encuentra que la linealización exacta de un sistema MIMO, existe si se puede encontrar una matriz % que no sea singular para el punto de equilibrio deseado, estando % definida como:.

(38) 24. v 1. 1 ¡ Lg1 Lf y1 ¡ ¡ L LO2 1y2 % ¡ g1 f ¡ # ¡ ¡ Om 1 ¡Lg1 Lf ym ¢. O 1 Lg Lf 1 y1 ¯° m ° O 1 ! Lg Lf 2 y2 ° m ° ° % # ° ° O 1 ! Lg Lf m ym ° m ±. O 1. !. Lg Lf 1 y1 2. O 1. Lg Lf 2 y2 2. # O 1. Lg Lf m ym 2. (1.64). Se denota Lkf yi como la k ésima Derivada Lie de yi en función de f , al igual que en el caso SISO, para que exista un cambio de estados a más de la condición de % , se debe cumplir que el grado relativo total del sistema tenga sea de igual valor. al orden del sistema. El grado relativo de un sistema MIMO se calcula a partir del grado relativo individual de cada salida Ok , teniéndose un grado relativo para todas las salidas expresado por O {O1,...., Om }. el grado relativo total del sistema queda. expresado como: OT 4O j n, con lo que se puede realizar el siguiente cambio de variables de estado: O 1. z1 y1, z 2 L1f y1, ... , z O Lf 1 y1 1. zO. 1. 1. y2 , z O. 1. 2. L1f y2, ... , z O. 1. O 1. O2. Lf 2 y2,.... (1.65). Transformando el sistema (1.62) en el siguiente sistema lineal equivalente:. z1 z 2,..., z O 1 z O ,zO vi , i. i. i 1,..., m. i. A través de la siguiente ley de control de realimentación:. u %1b %1v. (1.66). Donde v es el nuevo vector de las entradas de control, definiendo b como: O. O. O. b [Lf 1 y1, Lf 2 y 2 ,..., Lf m ym ]T. (1.67).

(39) 25. 1.4.33.2. Asignacción de Pollos del sisteema Linealiizado [25] Conssiderando un sistema linealizado como en e (1.60) y con el cambio de va ariables indiccado en la ecuación (1.61) la forma f norm mal del sis stema puede ser exp presada de la a siguiente e manera: z1 z 2 z2 z 3 # zO B(z ). (1.68) u C(z ). Dond de B(z ) LOf h y C(z ) Lg LOf 1h de lo cua al, para esttabilizar el sistema, se s debe establecer una a dinámica a deseada, para esto se utiliza el método de asigna ación de polos, que de escribe la dinámica deseada del d sistema lineal y para el caso c de estabilización, la ley de control co ompleta reemplazand do v en (1.59), se expresa e como: O. v c0r ci 1z i i 1. (1.69). Dond de ci son constantess que deb ben ser escogidas de e tal mane era que to odas las raíce es polos en lazo cerrrado resulltantes se encuentren estrictam mente en el e plano izquierdo del eje e imagina ario del dia agrama de polos y ce eros del sisstema, esttando la dinámica final del sistem ma en lazo cerrado c exxpresada por: p. y(O ). cO 1y(O 1). .... c0y c0r. (1.70). Defin niendo c (c0, c1, .... , cO1 ) , el sistema final linea alizado, co on asignacción de polos para esta abilización n, puede se er muestra a en la Figu ura 1.14:. Figura 1.14 4. Esquema a de controlador por lin nealización exacta para a estabilizacción.

(40) 26. Para el problema de asignación de polos conviene recurrir al análisis del comportamiento dinámico temporal de sistemas lineales, en la cual la dinámica del sistema se rige mayoritariamente por los polos dominantes del sistema. Para los sistemas de primer orden se tiene una ecuación general como:. 1. G s . Us. (1.71). 1. La dinámica del sistema está ligada directamente a la constante de tiempo del sistema U , que define al tiempo de establecimiento como:. ts(2%) . 4 U. (1.72). De lo cual se dice que un polo con una constante de tiempo Ua es dominante respecto a un polo con una constante Ub si se cumple que:. Ua Ub. (1.73). Para sistemas de segundo orden la dinámica general del sistema se define como:. G s . Xn2. s2. 2YXns. Xn2. (1.74). Donde Xn es la frecuencia natural del sistema y Y es el factor de amortiguamiento, para el diseño de la ubicación de los polos de sistemas de segundo orden se puede considerar como parámetros de diseño al tiempo de establecimiento y el máximo sobre pico de la respuesta transitoria M p , los cuales pueden ser calculados como: ts (2%) . Mp e. 4 Xn Y. (1.75). QY 1Y2. (1.76). Con lo que los polos deseados del sistema se pueden calcular partiendo de un tiempo de establecimiento y un sobre pico deseados, que sean adecuados para el.

(41) 27. sistema, encontrando el factor de amortiguamiento Y y la frecuencia natural Xn de (1.75) y (1.76) , y utilizando el polinomio característico de (1.74). Cuando el sistema a diseñar es de un orden superior se debe considerar una combinación entre sistemas de segundo y primer orden para lograr el orden deseado, tomando en cuenta que la dinámica que definirá mayormente el sistema estará regida por los polos dominantes.. 1.5.. EVASIÓN. DE. OBSTÁCULOS. MEDIANTE. CAMPOS. POTENCIALES Un obstáculo se puede definir como cualquier objeto que pueda afectar la integridad física de los cuadricópteros, gracias a que la teoría de espacio nulo permite el control de múltiples tareas simultáneamente, se considera, la evasión de obstáculos como un objetivo de control adicional al control de la postura y forma de la formación. 1.5.2. CAMPO POTENCIAL PARA DOS DIMENSIONES La evasión de obstáculos se basa en un campo potencial ficticio Gt , x , definiendo un campo potencial como una región de repulsión sobre los obstáculos móviles y fijos, la cual incluye la posición de los cuadricópteros en la formación y obstáculos externos a este, la forma del campo potencial se muestra en la Figura 1.15. Los cuadricópteros pueden moverse en posiciones en las cuales los campos potenciales sean iguales a cero. La función de campo formulado en [6] , refleja el. , ,Z como lx ,ly ,lz respectivamente, centrado en la tamaño de un obstáculo en XY posición x0, y0 , para lo cual la siguiente función será adoptada en el espacio 2D:. Gt ,x. j. 2 £ x x ¬2 y y ¬ ¦ o o ¦ ¦ lx ® ly ® ¦ ¤lze ¦ ¦ ¦ 0 ¦ ¥. F(x y )ro. ;C 1 ;C 2. (1.77).

(42) 28. Dond de F , es un valor muy pequ ueño que permite eliminar e la a singularid dad del campo, y mediante ro se consig gue que el e campo para finess de conttrol sea asinttótico a cero, para esste campo, se debe cumplir c las s siguientes condiciones: , F ro ;. y que 0 ro lz ;. Para a definir el e área do onde se define d el campo c se considera a que exisste una. \. , dista ancia mínima lxo y lyo en X ,Y limitad da por: C1 lx lxoo. ly lyo. ^. en. dond de el campo deja de e ser cero o y empiezza a afecta ar el moviimiento de el robot, mien ntras C2 \lx lxo ly lyo ^ es e el espaccio donde no existe campo c pottencial.. Figu ura 1.15. Fo orma de la función pottencial Gt , x para p un obsstáculo.. 1.5.33. CAMPO O POTENC CIAL PARA A TRES DIMENSIONES Para a el caso tridimensional convviene el uso u de un n campo potencial que se man nifieste de manera ra adial en tod das las dirrecciones, para lo cu ual se plantea una mod dificación del d campo potencial planteado en [7], donde el cam mpo se encuentra centtrado en la a posición Yo , con ra adio ro ; po or tanto, consideran c do las possiciones del ccuadricópte ero como. Gt,x j. Y. la funció ón de camp po es la sig guiente:. ro2 (Y Yo ) (Y Yo ) T. M(Y Yo )T (Y Yo ). (1.78).

(43) 29. Dond de M perm mite acota ar el camp po a una distancia de segurid dad dseg deseada d dond de el móvill empieza a sentir la existencia a del obstá áculo y perrmite evitar que el campo potenccial afecte en todo momento m a los demáss controlad dores; para a poder calcu ular el valo or de M se e realiza un n análisis del d límite donde d la distancia d del robot al ob bstáculo dUAV ce que Gt , x deje de ser s cero: U _obs hac dUAV _obbs (Y Yo )T (Y Yo ) dseg. Anallizando la función f completa se debe cumplir que a la distancia a dseg. Gt (dseg. r0 ) . ro2 (dseg. 2. r0 ). M(dseg. (1.79). r0. r0 :. r0 )2 0. (1.80). De lo o cual se puede p enco ontrar el va alor de M como: c. M. ro2 (dseg. (1.81). r0 )4. Al m momento que el UA AV, se en ncuentra fuera f del área defiinida por la segu uridad, el valor v de ca ampo es ce ero: Gt ,x 0; si dUAV _ obs dsegg j. r0. (1.82). En la a Figura 1..16 , se ob bserva una representación de este e campo o potenciall.. Figura 1.1 16. Campo potencial ra adial en doss dimension nes. de.

(44) 30. Se puede observar en la Figura 1.16 como el campo modifica la trayectoria del cuadricóptero, los vectores mostrados en azul representan la magnitud y dirección del campo potencial que actúa sobre el cuadricóptero en cada punto de la trayectoria. Cuando Gt,x v 0 los cuadricópteros adoptan una configuración que permita evadir los obstáculos. La energía potencial total de los obstáculos Gt , x es definida como la suma de las energías relativas de cada obstáculo dinámico, ya sea para el campo 2D o 3D: n. Gt,x Gt,x , j. j 1. £ ¦ ¦i {1,2,..., n} ¤ ¦ j {1,2,..., n} ¦ ¥. (1.83). Con la finalidad de acoplar el campo potencial con la teoría de espacio nulo, y encontrar la relación que asocie el campo potencial ficticio de cada obstáculo al movimiento de cada cuadricóptero es necesario derivar Gt , x obteniendo:. dGt,x dt Donde. dGt,x dt. . sGt,x sx. X. sGt,x. (1.84). st. es la variación en el tiempo de la energía potencial ficticia;. sGt,x sx. es la. derivada parcial de la energía potencial ficticia respecto de la posición de los cuadricópteros,. sGt,x st. es la derivada parcial de energía potencia ficticia respecto al. tiempo. La variable X es la posición de los cuadricópteros y X es la variación temporal de la posición de los cuadricópteros.. 1.6.. ESTABILIDAD DE LYAPUNOV [28]. El concepto de estabilidad es uno de los más importantes dentro del estudio de los sistemas de control, la teoría de estabilidad de Lyapunov es una herramienta estándar y una de las más importantes en el análisis de sistemas no lineales, puede ser aplicada como una estrategia para la construcción de controladores..

(45) 31. En lo os sistema as no linea ales existen múltipless puntos de d equilibrio, a difere encia de los ssistemas lineales en los cualess tienen un n solo puntto de equilibrio, por lo tanto, es necesario estudiar e la estabilidad d de los differentes pu untos de equilibrio, p para ello se tiene varias técnicass entre ellas el méttodo directto de Lyapunov el cual se estudiará en el presente trabajo. 1.6.22. MÉTOD DO DIREC CTO DE LY YAPUNOV V [28] Esta a teoría fue e introducid da por el matemático m o ruso A. Lyapunov en 1982. Se dice que un punto de equilib brio es esstable en e el sentido de Lyapu unov si todas las e nacen en e las cerccanías del punto de e equilibrio o permane ecen en soluciones que dicha as cercaníías, de otra a forma res sulta inesta able. El pu unto es as sintóticame ente estable si las so oluciones a más de permanece p er en las cerccanías del mismo, m tienden hacia a el punto de equilibrio a medida que tra anscurre el tie empo. En la Figura 1.17, se rep presentan ejemplos e d los punttos de equ de uilibrio:. Figura 1.17. Tip pos de puntos de equilibrio [29]. Los tipos de pu untos de equilibrio e so on [30]: -. Estable e: Si la tra ayectoria parte p de un na condición inicial xO dentro de una. BF . esfera BE y al evolucionar qu ueda dentrro de una esfera e dete erminada por p -. Inestab ble: Si la trrayectoria parte de una u condicción inicial xO dentro de una esfera BE y al evolucionar qu ueda fuera a de una es sfera deterrminada po or BF ..

(46) 32. -. Asintótticamente estable: Si S la trayecctoria parte e de una condición in nicial xO dentro de d una esffera BE y al a evolucio onar queda a dentro de e la misma a esfera determinada por BE tal que E l 0 .. A co ontinuación n, en la Fig gura 1.18 se s muestra a una repre esentación gráfica:. Figura 1.18. Estabilidad de Sisstemas no Lineales L [30 0]. El o objetivo de e Lyapuno ov es esta ablecer un na función de energ gía positivva V y analizar su derrivada: -. Cuando o. V 0. : la energ gía dismin nuye llega ando a un n valor pe equeño,. entonce es el punto o de equilib brio es esta able. -. Cuando o V. 0. : la energía a se increm menta de fo orma indeffinida ento onces el. sistema a es inestab ble -. Cuando o. V 0. : la energía no aum menta ni disminuye, d por lo ta anto, es. estable el sistema a. La F Figura 1.1 19 permite e compren nder el sig gno de la a variación n tempora al de la enerrgía:. Figura 1.19 9. Función de d energía [29].

(47) 33. En base a lo anterior el método directo de Lyapunov establece que: Un equilibrio. xO de un sistema. x f ( x ). es estable si existe una función V , que satisface para. todos los valores de x [28] :. V (xO ) 0 V(x) 0,. (1.85). x v xO. (1.86). dV (x ) d x dV (x ) d V (x ) f (x ) b 0 dt dx dt dx De lo cual. (1.85) y (1.86). significan que. V (x ). (1.87). es definida positiva y (1.87). significa que la derivada V ( x ) es semidefinida negativa. Para el caso de que un punto de equilibrio sea asintóticamente estable se debe cumplir a más de las condiciones establecidas en (1.85) , (1.86) y (1.87) la siguiente condición:. d V(x) 0, x x0 dt. (1.88). Lo que implica que la derivada de la función de Lyapunov es definida negativa. Finalmente conviene definir a un punto de equilibrio asintóticamente estable global, para el cual debe existir una función de Lyapunov que sea capaz de satisfacer todas las condiciones indicadas entre (1.85) y (1.88) y adicionalmente cumplir la condición de globalidad: V (x ) l d ,. 1.7.. MEDICIÓN. DEL. (1.89). cuando x l d. DESEMPEÑO. DE. UN. SISTEMA. CONTROLADO Las medidas de rendimiento sirven para evaluar la calidad del comportamiento del sistema controlado frente a una entrada, permiten valorar la respuesta del sistema respecto a cambios en los parámetros del controlador, adicionalmente permiten realizar. sintonizaciones. de. controladores. mediante. la. maximización. o. minimización de estos parámetros; para el caso de múltiples controladores estas.

(48) 34. med didas permiten compa arar que co ontrolador obtiene un n mejor ren ndimiento para un dete erminado sistema. Los principaless criterios de medición de rend dimiento son s el ISE y el IAE que q son pará ámetros de rendimiiento integrales, alternativam mente tam mbién se definen criterios prácticos de rendimiento basados en la resp puesta del sistema como c el ablecimien nto, el porccentaje de sobre pico o, tiemposs de crecim miento y tiempo de esta d oscilacción. A co ontinuación n, se deta alla los pa arámetros que se los periodos de d este pro oyecto. utilizzan en el desarrollo de 1.7.11. INTEGR RAL DEL ERROR AL A CUADR RADO ISE Este e parámetrro de rendimiento co onsiste com mo su nom mbre lo ind dica en evaluar la integ gral en el tiempo de el error ele evado al cu uadrado [3 31], el comportamie ento del ISE en el tiemp po se pued de observa ar en la Fig gura 1.20:. Fig gura 1.20. Evolución E de el ISE para un sistema a sub-amorttiguado. El cá álculo del ISE I se define como: d. ISE ¨ e2 t dt. (1.90). 0. Dond de. e (t ). re epresenta el error en e el tiem mpo, este parámetro o es insen nsible a. varia aciones pequeñas p de los errores, p pero los errores grandes aportan conssiderablem mente al valor final de e la integra al.

(49) 35. 1.7.22. INTEGR RAL DEL ERROR ABSOLUTO A O IAE Al ig gual que en e el ISE es una medida m de rendimien nto integra al, pero de el valor abso oluto del errror, es deccir: d. IAE ¨ e t dtt. (1.91). 0. El co omportamiento del IA AE puede observarse o e en la Figura 1.21:. Fig gura 1.21. Evolución E de el IAE para un sistema a sub-amorttiguado. A differencia de el ISE este e criterio ess más senssible a peq queños errrores, pero o menos senssible a erro ores más grandes. g.

(50) 36. 2. CAPÍTULO 2 DESARROLLO DE LOS ALGORITMOS DE CONTROL En el presente capítulo se diseña las técnicas de control aplicadas a una formación de cuadricópteros, la primera parte de diseño de los controladores se desarrolla utilizando el modelo cinemático reducido del cuadricóptero, el cual fue estudiado en el capítulo uno, en base a este modelo, se desarrolla para la formación en 2D y 3D del controlador tipo PID y el controlador basado en espacio nulo dentro del cual se incluye una tarea para la evasión de obstáculos. En la segunda parte se diseña dos controladores basados en espacio nulo aplicados a la formación, para lo cual se diseña controladores individuales, tipo PID o linealización exacta de los cuadricópteros utilizando el modelo dinámico, estos actúan como controladores internos dentro del controlador general de formación. A continuación, previo al desarrollo de los controladores se describe las ecuaciones que definen el modelo cinemático de la formación de tres cuadricópteros, y sus variables.. 2.1.. MODELO. CINEMÁTICO. DE. LA. FORMACIÓN. DE. CUADRICÓPTEROS En la sección 1.2.3, del modelo cinemático; considerando las ecuaciones de (1.7) a (1.9) y manteniendo la notación, siendo i. 1, 2, 3. , el valor que representa el. i ésimo cuadricóptero, se tiene:. Yi RV i i. (2.1). Entonces aplicando la reducción de ángulo pequeño aplicada en (1.33):. ¯ ¡xi ° ¡cos Zi sin Zi ¡y ° ¡ sin Z cos Zi ¡ i° ¡ i ¡ ° ¡ 0 ¡¢zi °± ¡¢ 0. 0¯° ¡VXi ¯° 0°° . ¡¡VYi °° ° ¡ ° 1° ¡VZi ° ± ¢ ±. (2.2).