MATEMÁTICA. MATEMÁTICA F.C.E.Q. y N. U.Na.M. [

F. C. E. Q. y N . – U .N a. 20 2 2

M ATEMÁTIC

[El presente Cuadernillo contiene el Programa de Contenidos del Requisito de Ingreso MATEMÁTICA. Lo puedes encontrar en el Aula Virtual de la F.C.E.Q. y N. o bien en el Centro de Estudiantes de la Facultad.

MATEMÁTICA F.C.E.Q. y N. – U.Na.M.

[email protected] [www.fceqyn.unam.edu.ar]

Secretaría Académica F.C.E.Q. y N. – U.Na.M.: Tel. 376 – 4435099 / 4422186 int. 148 [email protected] // [email protected]

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BIENVENIDOS

El presente material correspondiente al área MATEMÁTICA fue elaborado para que el Aspirante a Ingresar en la Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales de la Universidad Nacional de Misiones, pueda acceder al Programa de Contenidos de mínimos de Matemática, exigidos para ingresar a las carreras de esta facultad y cuente con un material de estudio básico –con conceptos y actividades- que lo ayude en su preparación para el examen de admisión a la F.C.E.Q. y N.

La MATEMÁTICA es una disciplina, cuya enseñanza y aprendizaje es indispensable y está presente en los programas de ingreso para cualquier carrera que el estudiante se disponga a iniciar; sin embargo, es bien conocido que en los últimos años, los aspirantes a seguir estudios universitarios tropiezan con dificultades severas en el proceso de construcción de los conocimientos matemáticos exigidos, muchas de ellas, atribuibles a una deficiente formación previa.

Contribuir a enfrentar los nuevos desafíos y mejorar las condiciones con que ingresan los estudiantes y así aumentar sus posibilidades de éxito es uno de los propósitos de este curso, el cual forma parte de todo, un sistema diseñado para facilitar la transición entre la escuela media y la universidad.

El equipo Docente del Departamento de Matemática que coordina las acciones referidas al Área Matemática del Ingreso 2022 son:

 Coordinadores Curso de Matemática. Sede Posadas y Puerto Rico:

 Prof. ROXANA VERÓNICA OPERUK.

 Prof. ALEJANDRO MORENO.

 Coordinadora Curso de Matemática Sede Apóstoles:

 Prof. NORMA BEATRIZ MARTYNIUK

El equipo docente que estuvo a cargo de la elaboración del presente material ha sido:

Alicia I. ABRAVANEL; Julia M. ANSÍN ANTILLE; Marys M. ARLETTAZ; Silvia CARONÍA; Adriana G. DUARTE, Nancy E. JAGOU; Julieta E. KORNEL; Luisa L.

RIVERO; Graciela E. SKLEPEK.

Actualizaciones: FERNÁNDEZ, Eduardo, FREAZA, Nora; LAGRAÑA, Claudia;

MORENO, Alejandro; RIVERO, Marta.

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3 Los Contenidos a abordar se presentan a través de 4(cuatro) unidades temáticas que, junto con la portada, constituyen las partes del Cuaderno de Ingreso de Matemática.

PROGRAMA:

Tema 1: Conjuntos Numéricos

Números: Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales y Reales. Operaciones y propiedades. Notación científica. Orden. Representación en la recta numérica.

Aplicación de las propiedades de las resoluciones de ecuaciones e inecuaciones.

Número complejos. Forma binómica.

Tema 2: Funciones Polinómicas

Forma general. Grado. Análisis de gráficos de funciones polinómicas. Intersección con los ejes coordenados. Operaciones con polinomios. Divisibilidad de polinomios:

Teorema del Resto y Teorema del factor. Factoreo. Simplificación de expresiones racionales. Resolución de ecuaciones racionales.

Tema 3: Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones Lineales

Ecuaciones de primer grado con una y con dos variables. Solución analítica y gráfica. Sistemas de dos ecuaciones con dos variables. Resolución analítica por igualación, sustitución o eliminación. Interpretación geométrica de las distintas soluciones.

Tema 4: Trigonometría

Sistemas de medición de ángulos. Relaciones trigonométricas de un ángulo.

Relación fundamental de la trigonometría. Círculo trigonométrico. Funciones trigonométricas. Representación gráfica. Identidades trigonométricas. Aplicaciones:

Resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos, Forma trigonométrica de los

números complejos.

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4 OTRA INFORMACIÓN DE INTERÉS:

Las carreras de grado y pregrado de la F.C.E.Q. y N. son:

1. Analista en Sistemas de Computación. (**) 2. Bioquímica.

3. Enfermería Universitaria. (*) 4. Farmacia.

5. Ingeniería en Alimentos.

6. Ingeniería Química.

7. Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos.

8. Licenciatura en Enfermería. (*) 9. Licenciatura en Genética.

10. Licenciatura en Sistemas de Información. (**) 11. Profesorado en Biología.

12. Profesorado en Física.

13. Profesorado en Matemática.

14. Tecnicatura Universitaria en Celulosa y Papel.

(*) Se dicta en la Escuela de Enfermería en Posadas.

(**) Se dicta en la sede F.C.E.Q. y N. en Apóstoles.

REQUISITOS ACADÉMICOS DE INGRESO:

El Ingreso de la F.C.E.Q. y N. (U.Na.M.) se compone de dos Modalidades:

 Modalidad OPTATIVA y VIRTUAL: Modulo de Estrategia de Aprendizajes.

 Modalidad OBLIGATORIA: Febrero a marzo.

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5 REQUISITOS ADMINISTRATIVOS:

a) Preinscripción:

a. 1. Se realizará utilizando la plataforma virtual del SIU adaptada al Sito de Secretaría Académica (desde los domicilios o cualquier PC conectada a Internet).

a. 2. Se realizará en Atención Personalizada en Ventanilla de Acceso al Depto.

Alumnos de la Dirección Área Enseñanza en el 1er piso de la F.C.E.Q. y N. – Félix de Azara y Edificio de F.C.E.Q. y N. en Apóstoles.

En ambos casos se concretará por el rellenado del Formulario on line Sur-1;

documentación que acredite estar cursando el último año del Secundario (o bien haber finalizado, enviando Título del Secundario) y el DNI en fotocopia (ventanilla) o escaneado y enviado por email (a los aspirantes no residentes en Posadas).

b) Inscripción Definitiva o Matriculación: Son requisitos para la inscripción definitiva:

• Módulos o Cursos de Ingreso, aprobados.

• 2 Fotos 4 x 4.

• CUIL.

• Fotocopia de DNI.

• Partida de Nacimiento Legalizada.

• Título Nivel Medio Legalizado. En su defecto, Certificado de Título en Trámite.

• Certificado de Título Secundario o Nivel Medio convalidado por el Ministerio de Educación de la Nación Argentina (para Extranjeros).

• Carpeta Colgante.

ATENCION: Hay fechas límites para la Preinscripción y la Inscripción definitiva o Matriculación ESTAR MUY ATENTOS a la página web y el Aula

Virtual.

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Estimados Ingresantes

Están Ustedes comenzando a recorrer una nueva etapa de sus vidas, la que comprende la realización de estudios universitarios. Para hacerlo han elegido como vía la Universidad Nacional de Misiones, lo cual nos halaga y enorgullece.

Queremos decirles que quienes pertenecemos a esta casa de estudios, asumimos el compromiso de ayudarlos a transitar el camino de su formación, tratando de que lo hagan de la mejor manera posible, para llegar a la ansiada meta de lograr el título universitario que desean. No obstante, para ello deben prepararse apropiadamente. Esto debe entenderse desde el mismo inicio.

Orgullosamente pertenecemos al conjunto de Universidades Públicas de la República Argentina. Esto implica el deber de llevar a cabo una serie de actividades que conforman nuestra razón de ser. La más conocida e importante de ellas es la enseñanza. Se trata no solamente de la introducción de conocimientos, habilidades, prácticas o, en general, competencias exclusivamente propias de cada profesión, también consiste en procurar la formación y el desarrollo de valores característicos de las sociedades justas, tales como la solidaridad, la libertad y la dignidad. Todo esto representa una serie de desafíos que debemos enfrentar mancomunadamente para poder lograrlos.

Entre Ustedes y nosotros debemos llevar adelante el proceso enseñanza y aprendizaje. Insistimos, Ustedes y nosotros, con la participación de sólo una de las partes no alcanza.

Desde el primer día deben saber que los estudios superiores involucran trabajo intelectual que requieren de mucho esfuerzo y dedicación. El logro de los objetivos será posible si se comprometen con el estudio. ¡Creemos que esto es posible!

Queremos decirles que, además del cuadernillo que consta de cuatro módulos, ponemos a disposición de Ustedes la posibilidad del “encuentro virtual” con nosotros a través del aula virtual donde podrán plantear sus inquietudes y/o realizar consultas relacionadas con su preparación matemática, los conceptos y actividades del cuaderno de ingreso y nosotros intentaremos dar respuestas a las mismas. Utilizaremos para esta interacción el foro o e-mail.

¡Bienvenidos entonces y comencemos la labor!

Equipo Docente de Matemática

1 CAMPOS NUMÉRICOS

Actividades

Ejercicio Nº1: a) En una panadería, venden cada factura a dos pesos con 40 centavos, y el kilo de pan a $9,60. María compró una cierta cantidad de facturas y 1 kilogramo de pan. Cuando fue a pagar se dio cuenta de que había gastado lo mismo que el día anterior, que había comprado la mitad de facturas y el doble de pan. ¿Cuántas facturas compró cada día? ¿Cuánto pagó en total, cada día?

b) Inmediatamente Clara, una de las alumnas, se puso a probar con diversos valores. Organizó los datos y obtuvo estas dos tablas:

Primer Día Segundo Día

Facturas Precio Facturas Precio

1 2,40 + 19,20 = 21,6 2 4,80+9,60 = 14,40

2 24 4 19,20

3 26,40 6 24

4 28,80 8 28,80

5 31,20

¿Podría Ud. explicar cómo razonó Clara para armar estas tablas? ¿son correctas? ¿están completas?

Ejercicio Nº2: Establezca si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) es un elemento de

. ____ i) –4 es un elemento de

, pero –4

.____

b) 2



1 es un elemento de Q .____ j)  es un elemento de C, pero 

. ____

c) 2 es un número racional. ____ k) Todo número irracional es número real. ____

d) 3 es un elemento de

.____ l) Todo número entero es número racional. ____

e) 0,1333... es un número irracional. ___ m) Todo número decimal es número real. ____

f) 1,5 es un número racional. ____ n) La intersección del conj. de números racio nales y el

conj. de los irracionales es el conj. __

g) 0,121212... es un número racional. ___ o) No existen números que no sean reales. ____

h) 0

8 es un elemento de Q .____ p) Algunos números irracionales son enteros. __

Ejercicio Nº3: a) i) Indique el conjunto de los números enteros x que verifiquen 2  x  5 . ¿Cuál es el menor de los elementos de este conjunto? ¿Y el mayor?

ii) Considere el conjunto de los números racionales x que verifiquen 2  x  5 .

¿Cuál es el menor de los elementos de este conjunto? ¿Y el mayor?

b) Indique cuando sea posible:

i) El mayor número entero x que verifica:

10 , 3

ii) El mayor número racional x que verifica: x  10

iii) El mayor número racional x que verifica:

10 , 3

iv) El mayor número racional x que verifica: x  10

2 c) Encuentre:

i) Dos números racionales entre 1 y 3. Excluya a 1 y a 3.

ii) Dos números irracionales entre 1 y 3. Excluya a 1 y a 3.

iii) El mayor número racional menor o igual a 1/3.

iv) El menor número irracional mayor o igual 5

c) Indique en cada caso, cuáles son los números enteros que verifican:

a)  3  x   2 d)

3 , 105

1 , 995 b)  3  x   2 e)

2 , 999

2 , 0001 c)

3 , 1

1 , 9 f)

2 , 999

2 , 0001 Ejercicio Nº4:

a) Indique si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas i) Existen cuatro números reales entre 3 y 6 (incluidos 3 y 6).

ii) Existen infinitos números entre 8 y 10.

iii) 7,55 es menor que 7,51 iv) 2,5 es mayor que 2,5

b) Para cada número proponer otra escritura diferente a la dada:

...

2,34555...

...

1,666...

… .

…

= 4 1,

… .

…

= 0,32

… .

…

= 7/5

… .

…

=

3   

c) Señale cuál o cuáles de los siguientes números son racionales:

8 ) 2 3 ) v)0,1333

… ..

21 )0,3213213 i

4 - ) i 1/2 - ) i

i)1/3 i ii v vi vii

d) Dé dos expresiones decimales distintas para el número 5/4.

Ejercicio Nº5:

a) Coloque el signo “

” entre cada pareja de números.

1/2 ...…3/10

3/10 …..1/3 0,7………..

9

7

9ˆ

5



4

3



2

9ˆ

2.619 …….2.6 5/2 ………2,5

b) Ordene de menor a mayor los siguientes números y represéntelos en una recta numérica:

4 0, 1,32;

; 5 , 2 3;

; 4 2

; 378 , 0

; 1

; 1 2;

; 1

0 







c) Indique si los siguientes números son positivos o negativos:

i) Si x

1 , entonces x + 1 es………

ii) Si

2

x , entonces x + 4 es…………

iii) Si 2

x

3 entonces x - 2 es…………y x – 3 es………

d) En cada caso, ubique los números dados en las rectas numéricas propuestas:

3 i) -3 , 1,5 , 9/2 ; -7/5 , 2

ii) -3 , 1,5 , 9/2 ; -7/5 , 2

iii) -3 , 1,5 , 9/2 ; -7/5 , 2

Ejercicio Nº6: Señale en una recta numérica el lugar donde puede ubicarse un número “a”, sabiendo que es un negativo. ¿Dónde ubicaría el número –a? ¿y -a-1? ¿y a+1?

Ejercicio Nº7: a) ¿Es posible encontrar a y b enteros de manera que a+b < a? Halle ejemplos en caso de ser posible o justificar en caso de ser imposible.

b) Encuentre, si es posible, dos ejemplos distintos de números enteros a y b de manera que la expresión (1+a)(1+b) resulte mayor que 1+a+b.

c) Encontrar ahora, si es posible, dos ejemplos de manera que (1+a)(1+b)<1+a+b y dos ejemplos donde sea igual.

d) ¿Cuáles son todos los casos posibles para que (1+a)(1+a+b) < 1+a+b?

Ejercicio Nº8: Teniendo en cuenta los siguientes gráficos:

a) Exprese el área total del cuadrado.

b) Sabiendo que  A  B 

 A

 2 AB  B

, descomponga un cuadrado de tal manera que represente esta expresión.

Ejercicio Nº9:

a) Expresa en notación científica los siguientes números:

i) La longitud de la línea del Ecuador que es 4000000000 m.

ii) El tamaño del virus del resfrío común es 0,0000000022 m.

iii) La distancia del Sol a Plutón es aproximadamente 5895000000 km.

b) i) Calcule el radio en metros de una molécula si su volumen es de 32 Å

(1 Amstrong = 10

cm).

ii) El frasco de solución fisiológica dice que 20 gotas equivalen a 1 cm

. ¿Cuántos cm3 tiene cada gota? ¿Y cuántos ml?

A

A

A

A B

B

B

B

4 iii) El tamaño del virus del resfrío común es 0,0000000022 m. ¿Cuántos mm tiene?

c) ¿Cuáles de las siguientes expresiones son verdaderas?

i) 0,0025 x 10

= 2,5 x 10

ii) 0,0025 x 10

= 0,25 x 100 iii) 75 = 7,5 x 100 d) La tierra tiene aproximadamente 1,3.104 km de diámetro y la luna 3,5.102 km. i) ¿cuántas veces es el diámetro de la tierra respecto del de la luna? ii) ¿Qué porcentaje representa el diámetro de la tierra respecto del de la luna? iii) Calcule el diámetro aproximado del sol si es 100 veces el de la tierra.

e) Estime la cantidad kilos de basura que genera diariamente cada habitante en un país si se sabe que la producción total anual es de 15,5 millones de toneladas y que el total de habitantes es de 23 millones.

Ejercicio Nº10: a) Con una botella de 1 ½ litro ¿Cuántos vasos de ¼ litro se pueden llenar?

b) José, por descuido, derramó buena parte del contenido de la botella, y quedó solo 1 litro, ahora debe llenar vasos de 2/5 litro:

i) ¿Cuántos vasos necesita para vaciar la botella?

ii) ¿Cuánto líquido, en litros, contendrá el último vaso?

iii) Considerando que cada vaso puede contener 2/5 de litro, en el último vaso que intenta llenarse,

¿qué fracción del vaso se cubre?

Ejercicio Nº11: En el siguiente gráfico a cada región le asociamos su área. Al cuadrado externo se le asocia el área 1 y las divisiones de los lados se realizan en partes iguales.

i) ¿Qué número corresponde al área de la región sombreada? Escribe el procedimiento que ha realizado.

ii) ¿El número que le corresponde a esta área será racional? ¿Por qué?

Ejercicio Nº 12: Analice si las siguientes afirmaciones son verdaderas. Justifique su respuesta.

a)

b) c)

d) e)

f)

g) h) i)

2 5 3 . 2

3 . 5

j) ⁴  ¹  ³     ^{1 . 5}  ⁴  ³  ⁵

k) 2

5 3 2

3

5





l) ²

5 0 . 2

0

.

5

5 Ejercicio Nº 13: Indique si las siguientes afirmaciones son correctas o no, realizando los cálculos correspondientes:

i) es un número irracional.

ii) es un número entero.

iii) iv)

Ejercicio Nº 14: Indique si las igualdades siguientes son correctas, siendo a y b números reales. Si no lo son, corríjalas:

i) ii)

iii) iv)

v) vi)

vii) viii)

Ejercicio Nº 15: Establezca si la expresión de la izquierda es menor, mayor o igual a la expresión de la derecha, según corresponda. Detalle las propiedades que ha utilizado para establecer las relaciones solicitadas: i) iv)

ii) v)

iii) vi) Ejercicio Nº 16: Sabiendo que determine

Ejercicio Nº 17: y ¿Son iguales o distintos? Justifique.

Ejercicio Nº 18: a) Una con flechas las expresiones equivalentes:

6 b) Verifique si las expresiones siguientes son equivalentes. En caso de no serlo, realice las correcciones necesarias para que lo sean:

a) 



 



 c

b .

log

a es equivalente a log

a

log

b

log

c

b) log a + 3log b – (1/5 log c) es equivalente a

5 3

c ) b . a log(

c) log

2b – ln c es equivalente a (log 2b)

– ln c

c) Encuentre el número dado, sin utilizar calculadora.

(1) log

0 , 000001 (2) log

1

64 (3)

32

log

1 (4) log

49 (5) log

16 (6) ln

(7) ln ( e . e

. e

) (8) ln

(9) 10

(10) 25

(11) e

(12) e

Logaritmo Potencia

log

16 = 4 10

= 0,01

log 1000 = 3 e

= 1

log 0 3

= 81

ln 1 = 0 2

= 16

log

81 = 4 1/2

= 8

log 0,01 = -2 10

= 1000

log

8 = -3 No está definido

7 CAMPOS NUMÉRICOS

Síntesis Teórica

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

Adición y multiplicación

El conjunto de los números reales R junto con las operaciones de adición y multiplicación se llama sistema de números reales. Las reglas básicas del álgebra para este sistema nos permiten expresar hechos matemáticos en formas simples y concisas, y resolver ecuaciones para encontrar respuestas a preguntas matemáticas. Las propiedades básicas del sistema de números reales con respecto a las operaciones de la adición y la multiplicación están en una lista en el siguiente recuadro, donde a, b y c representan números reales.

Adición

1. Ley clausurativa

(i) a + b es un número real 2. Ley asociativa

(i) a + (b + c) = (a + b) + c 3. Ley conmutativa

(i) a + b = b + a 4. Propiedad de identidad

El número real 0 es llamado identidad aditiva, ya que para todo número real a:

(i) a + 0 = a = 0 + a 5. Propiedad del inverso

Para todo número real a, existe un único número real (llamado opuesto, o inverso aditivo de a), representado

por –a, tal que

(i) a + (-a) = 0 = (-a) + a

Multiplicación

(ii) ab es un número real (ii) a(bc) = (ab)c

(ii) ab = ba

El número real 1 es llamado

, ya que para todo número real a:

(ii) a .1 = a = 1 . a

Para todo número real

0 , existe un único número real (llamado recíproco o inverso multiplicativo de a), representado por 1 /

, de tal forma que

(ii) a

a a  a   1 

1 1

6. Propiedad distributiva

(i) a( b + c ) = ab + ac (ii) ( a + b )c = ac + bc

Muchas propiedades adicionales pueden derivarse delas propiedades básicas como en el caso de las siguientes propiedades:

7. Ley cancelativa

(i) Si a + c = b + c , entonces a = b (ii) Si ac = bc y

0 , entonces a = b

8 8. Ley de la multiplicación por 0

(i)

0

0

0

(ii) Si

0 , entonces a = 0 ó b = 0 (o ambas)

Es posible definir las operaciones de sustracción y división en términos de la adición y de la multiplicación, respectivamente.

Para los números reales a y b, la diferencia, a – b se define como a – b = a + (-b).

Si

0 , entonces el cociente,

se define como



 







 



 

 b

a a b

b

a

1

A continuación presentamos una lista de las propiedades importantes de la sustracción, relacionadas con negativos y fraccionarios:

9. Propiedades de la sustracción y de los negativos (i) -(-a) = a

(ii) -(ab) = (-a)b = a(-b) (iii) -a = (-1)a

(iv) (-a)(-b) = ab

Para todas las fracciones a/b y c/d, donde b  y d  0 : 10. Fracciones equivalentes

ad bc

d c b

a  si y solo si  11. Regla de los signos

b a b

a b a

 

 



12. Cancelativa  , c  0

b a bc ac

13. Adición y sustracción con común denominador

b c a b c b

a   

14. Adición y sustracción con distintos denominadores

bd cb ad d c b

a   

15. Multiplicación

bd ac d

c

b

a  

9 16. División

bc ad c d b a d c

b a d c b

a     

/ /

17. División de 0 y división por 0

(i) 0 , 0

0   b 

b b (ii)

0 0 0

0   es indefinido (iii)

0 0 a

a   es indefinido,

0

Exponentes

 Exponentes enteros

Así como el producto es un forma más conveniente de expresar una suma repetida, los exponentes nos permiten escribir el producto repetido

de manera más efectiva utilizando exponentes. En general, para cualquier número real x y para cualquier número positivo n, el símbolo

representa el producto de n factores de x.

Así,

 





n

x x x

x     

A continuación se listan las reglas que permiten combinar potencias, llamadas leyes de los exponentes:

Leyes de los exponentes Sean x y y números reales y m y n enteros. Entonces,

(i)

(iv)

n n n

y x y

x 



 





(ii)   ^x

^{ x}

^(v)

^x

x

x 

(iii) ( xy )

 x

y

dado que cada expresión representa un número real.

 Notación científica

Los exponentes enteros con frecuencia se utilizan para escribir números muy grandes o muy pequeños de una forma conveniente.

Cualquier número real positivo puede escribirse en la forma

donde 1

10 y n es un entero. Decimos que un número escrito así está en notación científica.

Por ejemplo,

10

1 000 . 000 .

1

10

37 , 5 0000000537 ,

0  

 Radicales

En general, las raícesde números reales se definen por el enunciado x

r r

x

n

 si y sólo si 

donde x y r son números reales no negativos y n es un entero positivo, o x y r son números reales

negativos y n es un número positivo impar.

10 Las siguientes propiedades se pueden usar frecuentemente para simplificar expresiones que contengan radicales.

Leyes de los radicales Sean x y y números reales y m y n enteros positivos. Entonces,

(i)  

^x

^{ x (iv)}

y x y x 

(ii)





par es si ,

impar es si ,

n x

n x x

n n

(v)

(iii)

siempre y cuando los radicales representen números reales.

 Exponentes racionales

El concepto de la raíz enésima de un número nos permite ampliar la definición de

de exponentes enteros a exponentes racionales; y, como veremos, con frecuencia es más fácil trabajar con exponentes racionales que con radicales.

Para cualquier número real x y para cualquier entero positivo n, definimos

n n

x x¹ 

dado que

x sea un número real. Así, definimos

 

n

m x

x ^/  ^1/

para cualquier entero m tal que m/n sea la expresión mínima.

A continuación se generalizan las leyes de los exponentes en caso de que éstos sean números racionales.

Leyes de los exponentes racionales Sean x y y números reales y r y s números racionales. Entonces, (i) x

x

 x

(iv)

r r r

y x y

x  



 





(ii)  

 

^(v)

x

x _



(iii) (

)

dado que cada expresión representa un número real.

Logaritmos

El logaritmo en base a dada (positiva y distinta de 1) de un número M es el exponente a que hay que elevar a a para que resulte igual a M.

En símbolos, log

.

11 Por ejemplo, la pregunta ¿a qué exponente se debe elevar 2 para obtener 16?, equivale a la expresión log

16 . La respuesta es 4 ya que 2

 16 .

Si se desea saber ¿a qué exponente se debe elevar 3 para obtener 1/9?, la operación matemática y su resultado son los siguientes:

9 2

log

1   porque

9 1 3 3 1

2

2

 



 



 



.

Casos particulares:

 El logaritmo de la base s 1, es decir: log

a  1 pues

.

 El logaritmo de 1 en cualquier base es cero, es decir: log

1

0 pues a

 1 .

Las siguientes propiedades son útiles en la resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas.

Leyes de los logaritmos Para cualquier par de números reales positivos M y N:

(i) log

MN  log

M  log

N

(ii) M N

N M

b b

b

log log

log  

(iii) log

log

, para cualquier número real c

Si se desea encontrar la raíz cuadrada de –16, se plantearía la siguiente situación 16

16



pero resulta que el cuadrado de un número real nunca es negativo, por lo tanto este problema no tiene solución en R.

Con el fin de dar solución a planteos de este tipo se crean nuevos entes: los números imaginarios. La unidad para estos números es

1 .

Entonces, para resolver el problema anterior se podría proceder de la siguiente manera:

x i x x

x        





16 16 ( 1 ) 16 1 4

El resultado no corresponde a un número real, sino al número imaginario 4i (cuatro veces la unidad imaginaria i).

Con los números reales y los números imaginarios se compone un nuevo campo numérico llamado Números Complejos. Sus elementos son de la forma:

 

imaginario real

bi a 

donde a y b son números reales y se denominan parte o componente real y parte o componente imaginaria, respectivamente.

En caso de que a = 0, el número complejo es un imaginario puro, y si b = 0, el número complejo es un real puro.

La suma y producto entre números complejo se definen de manera tal que siguen siendo

válidas las operaciones y propiedades en R.

12 Adición

La suma de dos números complejos es otro complejo cuya componente real es la suma de las componentes reales consideradas y su componente imaginaria es la suma de las componentes imaginarias de los complejos dados. Simbólicamente,

i d c b a di c bi

a ) ( ) ( ) ( )

(       

Como se indico anteriormente, la suma de complejos verifica las mismas propiedades que la suma de números reales.

Multiplicación

Para realizar el producto de números complejos se puede utilizar la propiedad conmutativa del producto con respecto a la suma. Por ejemplo,

) 21 ( 7 6 2 ) 3 ( ) 7 ( 1 ) 7 ( 3 2 1 2 ) 3 1 ( ) 7 2

(

pero ⁱ

^   ^{ 1}

^{  1} , por lo tanto se tendría

i i

i i

i            

 7 ) ( 1 3 ) 2 ( 21 )( 1 ) 2 21 23 2

(

tal resultado es otro número complejo.

El producto se podría formalizar en la siguiente expresión:

i c b d a d b c a di c bi

a ) ( ) ( ) ( )

(           

Nuevamente se tiene que el producto cumple con las propiedades que verifica en R,

respetando también la propiedad distributiva con respecto a la suma.

13 FUNCIONES POLINÓMICAS

Actividades

1. Para cada una de las funciones polinómicas indicar grado, coeficiente principal y el punto en que la gráfica interseca al eje de las ordenadas:

a) b) c) d) e)

2. Dados los siguientes polinomios:

Encontrar los resultados de las operaciones que se indican, reduciéndolos a su mínima expresión:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

3. Se dan los siguientes polinomios:

Se pide, obtener mediante operaciones entre los mismos, un polinomio con las características indicadas en cada caso:

a) De dos términos b) De grado 3.

c) De grado 5. d) Nulo.

e) Sea un monomio en “x” con coeficientes positivos

f) Sea un cuatrinomio de tercer grado.

4. Utilizar el algoritmo de la división para encontrar el cociente y el resto de las siguientes divisiones entre polinomios, en los casos en los que sea posible, utilizar la regla de Ruffini para hallar cociente y resto:

a) b) c) d) e)

i- Verifique cada resultado teniendo en cuenta la relación entre dividendo, divisor, cociente y resto:

14 ii- Escribir el resultado de las divisiones dadas teniendo en cuenta que:

5. a) ¿Es x

– 32 divisible por (x+2)

b) ¿Es x

– 3x

+ 3x – 1 múltiplo de (x-1)?

6. Completar el factor que hace falta para que se cumplan las igualdades:

a) b)

c) d)

7. Factorear el polinomio extrayendo como factor común el indicado en cada caso:

b) c) 8. Dadas las siguientes divisiones:

a) b)

c) d)

e) f)

i- Utilizar el teorema del resto para establecer si el polinomio dividendo es divisible por el polinomio divisor.

ii- Cuando sea posible, factorearlo en termino del divisor, aplicando la regla de Ruffini para encontrar el cociente.

9. Teniendo en cuenta que: “un polinomio tiene un factor , si y sólo si ” (Teorema del factor).

i-Establecer si el binomio dado es un factor del polinomio . Si lo es, factorice . a)

b) c) d)

ii- Establecer si existe un factor para los siguientes binomios. En caso afirmativo, factorizar los binomios dados en término del factor encontrado.

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

15 10. Para cada polinomio de segundo grado, encontrar los factores .

a) d)

b) e)

c) f)

i- Factorear los polinomios dados en termino de uno de los factores encontrados.

ii-Escribir los polinomios dados como producto de sus factores.

iii-Dar la expresión general de la forma factoreada del polinomio de segundo grado.

11. Proponer una función polinómica f que cumpla, en cada caso, las condiciones que se indican:

a) Que sea de primer grado y verifique que p(0)=2 y p(2)= 3 b) Es de grado 3 y sus únicas raíces son -2, 1 y 3.

c) Sus únicas raíces son 2, -1 y 0 y f(-2)= -8

d) Es de grado 4 y sus únicas raíces son 2/3, -4 y 1.

e) x= -4 es raíz doble; f(3) = 0; x

+ 2 es uno de sus factores y su gráfico interseca al eje de ordenadas en 8.

12. Sabiendo que la forma general de la función polinómica es:

i-Determinar a partir del gráfico:

a) El valor de “ ” y completarla.

b) Las raíces reales de cada función polinómica.

ii-Verificar las raíces halladas, resolviendo las ecuaciones , a partir de la factorización de las funciones polinómicas dadas. Individualizar las raíces múltiples.

a) b)

c) d)

16

e) f)

g) h)

i) j)

17

k) l)

13. Para cada una de las siguientes funciones polinómicas, hallar todas sus raíces, escribir la expresión factorizada, dar el conjunto de positividad y de negatividad y trazar un gráfico aproximado:

a) b) c)

d) -2x

+4x

e) f)

14. Proponer, si es posible, dos funciones polinómicas f y g que verifiquen:

a) Cada una es de grado 6 y su suma es una función polinómica de grado 2.

b) grado(f) = 3, grado(g) = 2 y grado(f.g)=6

c) f tiene grado 3 y raíces x= 1, x= -2 y x= 3 ; g tiene grado 5, las mismas raíces que f y además verifica g(0)= 7

15. Simplificar las siguientes expresiones racionales:

a) a) g)

b) b) h)

c) c) i)

d) d)

e) e)

18 OPERACIONES CON POLINOMIOS

Síntesis Teórica

La expresión 5 x

 7 x

 4 x  12 recibe el nombre de polinomio en la variable x. Es de tercer grado, porque la tercera es la máxima potencia de la variable x que aparece en él. Los términos de este polinomio son: 5 x

,  7 x

, 4 x y -12. Los coeficientes son 5, -7, 4, y -12.

Todos los exponentes de la variables de un polinomio deben ser enteros no negativos. Por consiguiente , las expresiones x

 x

y x

 3 x  1 no son polinomios, por los exponentes fraccionarios y negativos.

Cualquier constante diferente de cero, como 7, se clasifica como un polinomio de grado cero, ya que: 7  7 x . También al número cero nos referimos como una constante polinomial, pero

no se le asigna grado alguno.

Los polinomios que tienen sólo uno, dos o tres términos reciben nombres especiales:

Números de términos Nombre del polinomio Ejemplo

uno monomio 17 x

dos binomio

2 3

6

tres trinomio x

 x

 2

La variable x en el polinomio representa cualquier número real. Por este motivo expresiones como 2 x ,

3 y x

 x representan también números reales, cuyo valor depende del que tome x.

Por ejemplo si

3 los valores de las expresiones dadas serán 6, 6 y 12 respectivamente.

Ya que cada símbolo de un polinomio es un número real, se pueden usar las propiedades del sistema de los números reales para operar con ellos.

OPERACIONES ENTRE POLINOMIOS

Suma o resta de polinomios: se puede sumar o restar dos polinomios en x mediante la suma o resta de los coeficientes de potencias iguales. Por ejemplo:

Sumar 2 x

  x 1 y 3

2 Solución:

 ²

¹ 

^{ 3}

^{2 } se suprime paréntesis utilizando la regla de supresión de paréntesis,

2 x

   x 1 3 x  2 se agrupan los términos semejantes haciendo uso de las propiedades conmutativa y asociativa,

 3  1 2

2

se suman los coeficientes de las potencias iguales de x.

2 x

 4 x  1

¿Por qué no es válido sumar los términos 2 x y

4 x ?

Para restar se deberá tener en cuenta que al suprimir los paréntesis cambiarán los signos de

cada término del polinomio sustraendo.

19 Producto entre polinomios: para hallar el producto de dos polinomios, se utilizan la propiedad distributiva y las leyes de los exponentes, como muestra el siguiente ejemplo:

Multiplicar x

 3 x  1 y 2 x

 4 x  5 . Solución:



³

¹  ^{. 2}

⁴

⁵ 



³

¹    ^{. 2}

³

¹  ^{. }

^{4 }



³

¹  ^{.   5}

 x x x x x x x x

 ²

⁶

²

 

⁴

¹²

⁴  

⁵

¹⁵

⁵ 

 x x x x x x x x

Combinando términos semejantes, se encuentra el producto 5 19 14

11 4

2

Cuando se multiplican dos polinomios debemos multiplicar cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio. Se puede usar un formato vertical (con tal que conservemos los términos semejantes alineados) como una forma de organizar los datos. Se procede de la siguiente manera:

1

3

 3 x  x

 2 x

 4 x  5 5

15 5 x

 x   4 x

 12 x

 4 x

2 3

5

6 2

2

5 19 14

11 4

2

^{ 5 .}  ^x

^{ 3 x  1} 

^{  4 x .}  ^x

^{ 3 x  1} 

^{ 2 x}

^.  ^x

^{ 3 x  1} 

División de polinomios: 1) la división de un polinomio por un monomio usa las propiedades de las fracciones y las leyes de los exponentes como se muestra a continuación.

Dividir 15

25

35

por 5x

Solución:

2 2 2

3 2

4 2

2 3

4

5 35 5

25 5

15 5

35 25

15

x x x

x x

x x

x x

x     

 3 x

 5 x  7

Observación: es válido hacer notar que el monomio divisor debe ser de grado menor o igual al grado del dividendo para asegurar que el cociente sea un polinomio. Por ejemplo:

Dividir 15

25

35

por 5x

Solución:

5 2 5

3 5

4 5

2 3

4

5 35 5

25 5

15 5

35 25

15

x x x

x x

x x

x x

x     

3 2

7 5 3

x x  x 

 esta expresión algebraica no es polinómica.

2) La división de polinomios se realiza con un algoritmo similar al de la

división entera. Se explicará con un ejemplo.

20 Dividir el polinomio x

 2 x

 8 por x

 2

Solución:

Dividendo

2

8

2

divisor x

 2 x

x

 4

Cociente

 4 x

 8



4

8

0

Residuo El procedimiento es el siguiente:

1. Se divide x

(el primer término del dividendo) por x

(el primer término del divisor), para obtener x

(el primer término del cociente).

2. Se multiplica x

 2 (el divisor) por x

y se escribe el producto x

 2 x

debajo de los términos correspondientes en el dividendo.

3. Se resta para obtener  4 x

 8 , el cual se trata como el nuevo dividendo.

4. Se divide 4 x (el primer término del nuevo dividendo) por x

, se obtiene -4 (el segundo término del cociente).

5. Se multiplica x

 2 por -4 y se resta el producto del nuevo dividendo.

6. Obsérvese que la diferencia anterior es 0, representa el resto de la división e indica que el polinomio dividendo es múltiplo del divisor.

Analizar el siguiente ejemplo:

Dividir el polinomio 3 x

 x

 2 x  6 por x

 x Solución:

Dividendo

3 x

 x

 2 x  6 

divisor 3 x

 3 x

3

4

Cociente

 4 x

 2 x  6  4 x

 4 x

2

6

Residuo

En este caso el resto es 2

6 y su grado es menor que el grado del divisor, por lo tanto la división está terminada. El polinomio dividendo no es múltiplo del divisor.

Recordar que en la división entera se cumple que

.

, es decir que el dividendo (D) es igual al divisor (d) por el cociente (C) más el resto (R), lo cual proporciona una prueba para la división de polinomios.

TEOREMA DEL RESTO Y FACTOREO

El siguiente teorema relaciona el residuo R obtenido por la división de un polinomio P(x) por x – c y el valor del polinomio en x = c.

“Cuando un polinomio P(x) se divide por x – c, el residuo R es el valor del polinomio en x = c,

R = P(c).”

21 De acuerdo a lo expresado y retomando la expresión para la division entera de poloinomios, se tiene que el polinomio P(x) podrá ser escrito como

P(x) = ( x – c).C(x) + R (1)

donde C(x) es el cociente de dividir P(x) por x – c y el residuo R es igual a P(c).

Por ejemplo, si P(x) = x

–3. x

+ 4, es posible anticipar cuál será el resto de dividirlo por x – 1, ya que según el teorema se tendrá: R = P(1)

R = 1

– 3.1

+ 4 R = 2

También se puede escribir P(x) en términos de x – 1 encontrando el cociente C(x) y utilizando la expresión (1):

P(x) = ( x – 1).C(x) + 2

Si P(c) = 0, entonces x = c se constituye en una raíz de P(x) resultando de (1) la siguiente expresión:

P(x) = ( x – c).C(x)

donde P(x) queda escrito como un producto, es decir P(x) está factoreado.

Así, si x = 2, se tiene que P(2) = 2

– 3.2

+ 4 = 0 y x – 2 será un factor de P(x) y podrá ser factoreado de la siguiente manera:

P(x) = ( x – 2).(x

– x – 2 ) donde C(x) = x

– x – 2 .

APLICACIÓN DEL FACTOREO

El cociente de dos polinomios P(x) y Q(x) se denomina expresión racional. Si estos polinomios tienen en común algún factor entonces es posible simplificarlo y escribir

) (

) (

x Q

x P

en forma más sencilla.

Por ejemplo en la expresión

1 6 5

3 2





 x

x

x

se tiene que x = -1 es raíz del numerador y del denominador. Así ambos podrán ser escritos como producto donde uno de los factores será x – (–1), es decir x + 1:

1 6 )

1 )(

1 (

) 6 )(

1 ( 1

6 5

2 2

3 2





 









 







x x

x x

x x

x x x

x x

El numerador tiene una raíz x = 6 y el denominador tiene raíces complejas conjugadas.

Como no comparten raíces, carecen de factores comunes y no es posible simplificar más la última expresión. Finalmente se obtiene que

1 para

1 6 1

6 5

2 3

2 





 





 x

x x

x x

x x

Nota: La condición

1 debe ser considerada porque las expresiones en ambos miembros son

equivalentes para cualquier valor de x excepto para x = –1, donde la expresión original no está

definida.

22 ECUACIONES y SISTEMAS DE ECUACIONES

Actividades

1. Hallar los valores de “x” que satisfagan las siguientes relaciones:

a)

6 4

3

2 



 x x

d) ₁ ²

4



x

b)

e) 2

4 3 5

  x

c)

f)

6 9 8 2

7  

 x

x

2. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas a) 2

. 2

 8 b) 2

4

c) 10

. 100

 1000 d) 3

 3

e) 1 5

log



 





x

f) 2 . log

x  1 g) ln

3 h) log

2 i) 1

1000

log 1  



 





3. Dadas las siguientes ecuaciones, analizar si tienen solución en R, si no la tienen, explicar por qué.

a)

9 b)

9 c) x

 16 / 27

d) 1  x

 5 e) x

 3   7 f)  2 x

 200 4. Resolver los siguientes problemas:

a) En un taller de confección disponen de 4 piezas de tela de 50 m cada una. Con ellas van a confeccionar 20 trajes que necesitan 3m de tela cada uno. Con el resto de la tela piensan hacer abrigos que necesitan 4m cada uno. ¿Cuántos abrigos pueden hacerse?

b) Un estudiante recibió de sus padres una cierta cantidad de dinero para comer durante 40 días.

Sin embargo, encontró sitios en donde pudo ahorrar $ 4 al día en la comida. De esta forma, el presupuesto inicial le duró 60 días. ¿Cuánto dinero recibió?.

c) Un grupo de amigos cenan juntos y, a la hora de pagar la cuenta resulta que 3 de ellos no tienen dinero por lo que cada uno de los restantes debe pagar $30 más de lo que le correspondía.

Sabiendo que la cuenta ascendía a un total de $2700. Calcular el número total de amigos que han cenado.

5. Responder a los interrogantes planteados:

a) ¿Cuánto dinero llevaba M. Boussac cuando entró a la librería?”

“Martin Boussac era un matemático en cuya cabeza germinaban las ideas más estrafalarias.

En la ciudad ya todos lo conocían, así que sus extravagancias no llamaban la atención a

nadie. Un día entró en una librería y le dijo al dueño: présteme tanto dinero como el que

ahora tengo en la billetera y gastaré $100. El librero aceptó la proposición de Martín quién

gastó $100 luego el matemático se dirigió a una perfumería y dijo a la dueña: présteme tanto