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TEMA 10: CÁLCULO DE PROBABILIDADES

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TEMA 10: CÁLCULO DE PROBABILIDADES

1. EXPERIMENTO ALEATORIO.

SUCESO

Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado depende del azar.

Al conjunto E (o ) de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama espacio muestral.

Un suceso, A, es un conjunto de resultados del espacio muestral, o con otras palabras un subconjunto del espacio muestral. Se llama suceso elemental a cada uno de los elementos del espacio muestral.

Se dice que un suceso se verifica, o que ocurre, cuando al realizar la experiencia aleatoria, el resultado es uno de los elementos de ese suceso.

El conjunto vacío ∅ y E mismo son subconjunto de E por lo tanto son sucesos. A

∅ se le llama suceso imposible (nunca se presenta) y al propio E suceso seguro (siempre se presenta).

Proposición: Si E tiene n elementos, el número de sucesos de E es 2ⁿ.

Ejemplo:

Sea el experimento "tirar un dado y observar el número que sale".

a) Describe el espacio muestral.

𝐸 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

b) Describe los sucesos: A=" Salir un número par"; B="Salir un número impar";

C="Salir un número primo".

𝐴 = {2, 4, 6}

𝐵 = {1, 3, 5}

𝐶 = {2, 3, 5}

(2)

c) Describe los sucesos:

- Salir par o número primo: {2, 3, 5, 6}

- Salir impar y primo: {3, 5}

- No salir primo: {1, 4, 6}

- Salir par y no primo: {1, 4, 6}

2. OPERACIONES CON SUCESOS

Como un suceso es un conjunto, podemos combinar sucesos para formar otros nuevos usando las operaciones con conjuntos:

2.1 Operaciones

Dados dos sucesos A y B, de un espacio muestral.

a) UNIÓN: 𝐴 ∪ 𝐵, es el suceso que ocurre si A ocurre u ocurre B (o ambos). Es el suceso formado por todos los elementos de A y B.

b) INTERSECCIÓN: 𝐴 ∩ 𝐵, es el suceso que ocurre si A ocurre y ocurre B. Es el suceso formado por todos los elementos de A y de B.

c) COMPLEMENTARIO O CONTRARIO DE A: 𝐴̅ = 𝐴 = 𝐴 𝑐 , es el suceso que ocurre si A no ocurre.

d) DIFERENCIA: 𝐴 − 𝐵, se verifica cuando lo hace A y no B. Es el suceso

formado por todos los elementos de A que no son de B.

(3)

Dos sucesos se dicen incompatibles, cuando no tienen ningún elemento en común. Es decir, 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅.

Los sucesos incompatibles no se pueden verificar simultáneamente.

Ejemplo:

Sea el experimento "tirar una moneda tres veces y observar la secuencia de caras (C) y cruces (+) que aparecen".

a) Describe el espacio muestral.

𝐸 = {𝑐𝑐𝑐, 𝑐𝑐+, 𝑐 + 𝑐, +𝑐𝑐, 𝑐 + +, +𝑐+, + + 𝑐, + + +}

b) Describe los sucesos: 𝐴 = "Dos o más caras aparecen consecutivamente"; 𝐵 =

“Todas las tiradas sean iguales".

𝐴 = {𝑐𝑐𝑐, 𝑐𝑐+, +𝑐𝑐}

𝐵 = {𝑐𝑐𝑐, + + +}

c) Describe los sucesos: 𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 − 𝐵, 𝐵 − 𝐴, 𝐴̅ . 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑐𝑐𝑐, 𝑐𝑐+, +𝑐𝑐, + + +}

𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑐𝑐𝑐}

𝐴 − 𝐵 = { 𝑐𝑐+, +𝑐𝑐}

𝐵 − 𝐴 = {+ + +}

𝐴̅ = {𝑐 + 𝑐, 𝑐 + +, +𝑐+, + + 𝑐, + + +}

2. 2 Propiedades de las operaciones con sucesos

a) D ISTRIBUTIVAS :

𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶) 𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)

b) S IMPLIFICACIÓN :

𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴

𝐴 ∩ (𝐴 ∪ 𝐵) = 𝐴

(4)

c) C OMPLEMENTARIO DEL COMPLEMENTARIO :

(𝐴 𝑐 ) 𝑐 = 𝐴 d) A    B A B c

e) L EYES DE M ORGAN :

(𝐴 ∪ 𝐵) 𝑐 = 𝐴 𝑐 ∩ 𝐵 𝑐 (𝐴 ∩ 𝐵) 𝑐 = 𝐴 𝑐 ∪ 𝐵 𝑐

3. FRECUENCIA Y PROBABILIDAD

Realizamos N veces una experiencia.

Se llama frecuencia absoluta de un suceso S, 𝐹 𝑎 , al número de veces que ocurre S.

Se llama frecuencia relativa de S, F r , a la proporción de veces que ocurre S.

  a  

r

F S F S

N

3.1 Ley de los grandes números

Al realizar reiteradamente una experiencia aleatoria, la frecuencia relativa de cierto suceso, F r , va tomando distintos valores. Estos valores al principio sufren grandes oscilaciones, pero poco a poco, se van estabilizando (oscilan cada vez menos). Cuando N crece mucho, se aproximan a un cierto valor que es la probabilidad de S, P(S).

   

P S lim r

N F S

 

3.2 Propiedades de la probabilidad

Axiomas: La probabilidad de un suceso es un número, que cumple los siguientes axiomas:

i) 𝑃(𝑆) ≥ 0

ii) Si dos sucesos son incompatibles, 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, entonces:

(5)

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵).

iii) 𝑃(𝐸) = 1.

Teoremas: La probabilidad cumple las siguientes propiedades:

1. 𝑃(𝐴 𝑐 ) = 1 − 𝑃(𝐴).

2. 𝑃(∅) = 0.

3. Si 𝐴 ⊂ 𝐵 ⇒ 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵). Se tiene por tanto que la probabilidad es un número entre 0 y 1.

4. Si 𝐴 ⊂ 𝐵 ⇒ 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵 − 𝐴).

5. Si 𝐴₁, 𝐴₂, … , 𝐴𝑘, son incompatibles dos a dos, 𝐴 𝑖 ∩ 𝐴 𝑗 = ∅, entonces:

𝑃(𝐴 1 ∪ 𝐴 2 ∪ … ∪ 𝐴 𝑘 ) = 𝑃(𝐴 1 ) + 𝑃(𝐴 2 ) + ⋯ + 𝑃(𝐴 𝑘 ) 6. 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵).

7. Si el espacio muestral es finito y un suceso es 𝑆 = {𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑘 } entonces:

𝑃(𝑆) = 𝑃(𝑥 1 ) + 𝑃(𝑥 2 ) + ⋯ + 𝑃(𝑥 𝑘 ) 8. 𝑃(𝐴 − 𝐵) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵).

9. 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 𝑐 ) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵).

Ejemplo:

Teniendo en cuenta que 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0.9, 𝑃(𝐵 𝑐 ) = 0.4 y 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.3. Calcula 𝑃(𝐴) y 𝑃(𝐴 𝑐 ∩ 𝐵).

𝑃(𝐵) = 1 − 𝑃(𝐵 𝑐 ) = 1 − 0.4 = 0.6

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵), Por lo que, 0.9 = 𝑃(𝐴) + 0.6 − 0.3 ⇒ 𝑃(𝐴) = 0.6

𝑃(𝐴 𝑐 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴⋂𝐵) = 0.6 − 0.3 = 0.3

4. LEY DE LAPLACE

La propiedad 7 permite calcular la probabilidad de un suceso S, conociendo la probabilidad de los sucesos elementales que lo componen.

Pero, si el espacio muestral consta de n sucesos elementales equiprobables, 1 n , entonces la probabilidad de S solo depende del número de sucesos elementales que lo componen:

 

Tantos sumandos como elementos tiene S

1 1 1 1

P S  n     n n n

(6)

Ley de Laplace: Si 𝐸 = {𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 } con 𝑃(𝑥 1 ) = 𝑃(𝑥 2 ) = ⋯ = 𝑃(𝑥 𝑛 ), entonces:

  Número de elementos de S Número de "casos favorables"

Número de "casos posibles"

P Sn

Esto es, la probabilidad de un suceso S, de un espacio muestral E, formado por sucesos elementales equiprobables, es igual al número de "casos favorables" entre el número de "casos posibles".

La Regla de Laplace solo se puede usar para instrumentos regulares y equiprobables.

Ejemplo:

En una baraja de 40 cartas, hallar:

a) 𝑃(𝐴𝑠) = 40 4 = 1

10 = 0.1 b) 𝑃(𝑂𝑟𝑜) = 10 40 = 1

4 = 0.25

5. DIAGRAMAS

5.1 Diagrama cartesiano

Un diagrama cartesiano es una tabla de doble entrada, que tiene la utilidad en algunos experimentos compuestos formados por dos simples. En la fila superior se colocan los sucesos elementales de un experimento simple, y en la columna de la izquierda, los sucesos elementales del otro experimento simple.

𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 ⋯ 𝑥 𝑛

𝑠 1 𝑠 2 𝑠 3

⋮ 𝑠 𝑘 Ejemplo:

María y Laura idean el siguiente juego: Cada una lanza un dado, si en los dos dados sale el mismo número, gana Laura; si la suma de ambos es 7, gana María;

y en cualquier otro caso hay empate.

(7)

a) Calcule la probabilidad de que gane Laura. 𝑃(𝐺𝑎𝑛𝑎 𝐿𝑎𝑢𝑟𝑎) = 6

36 = 1

6

b) Calcule la probabilidad de que gane María. 𝑃(𝐺𝑎𝑛𝑎 𝑀𝑎𝑟í𝑎) = 36 6 = 1

6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12

5. 2 Diagrama en árbol

Un diagrama en árbol es un gráfico que nace de un tronco, cuyos trazos se van ramificando como un árbol. Se llama así porque está formado de ramas.

Una rama es cada una de las flechas del diagrama. Siempre se debe escribir en ellas la probabilidad que corresponde a un experimento simple.

Un camino es el conjunto de ramas que van desde el principio al fin.

Ejemplo:

Calcula la probabilidad de que al lanzar dos monedas se obtengan dos caras.

Helado

Chocolate

Vainilla

Fresa

Barquillo

Vaso

Barquillo

Vaso

Barquillo

Vaso

(8)

𝑃(𝑐𝑐) = 0.5 · 0.5 = 0.25

5.3 Tabla de contingencia

Una tabla de contingencia es una tabla que permite organizar los elementos de una población según dos características. Se llama tabla de contingencia porque permite calcular todas las posibilidades o contingencias.

Se construye una tabla de contingencia escribiendo en primer lugar los datos conocidos, y luego se completa el resto.

Ejemplo:

En una universidad española el 30% de los estudiantes son extranjeros y, de estos, el 15% están becados. De los estudiantes españoles, sólo el 8% tienen beca. Si se elige al azar un alumno de esa universidad:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea español y no tenga beca?

b) Calcule la probabilidad de que sea extranjero, sabiendo que no tiene beca.

EXTRANJERO ESPAÑOL TOTAL

BECADO 15 8 23

NO BECADO 25 52 77

TOTAL 30 60 100

𝑃(𝐸𝑠𝑝𝑎ñ𝑜𝑙 𝑦 𝑁𝑜 𝑏𝑒𝑐𝑎) = 52

100 = 0.52 𝑃(𝐸𝑥𝑡𝑟𝑎𝑛𝑗𝑒𝑟𝑜/𝑏𝑒𝑐𝑎) = 15

23 ≃ 0.65 0.5

0.5

0.5

0.5 0.5

0.5

(9)

6. PROBABILIDAD

CONDICIONADA. SUCESOS INDEPENDIENTES

Ejemplo introductorio:

Supongamos que un candidato A obtiene un 52% de todos los votos, pero sólo el 46% del voto femenino.

𝑃(𝐴) = 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎 𝑣𝑜𝑡𝑒 𝑎 𝐴 = 0.52 𝑃(𝐴/𝑀) = 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑚𝑢𝑗𝑒𝑟 𝑣𝑜𝑡𝑒 𝑎 𝐴 = 0.46

A 𝑃(𝐴/𝑀) se le llama probabilidad de 𝐴 condicionada a 𝑀. 𝑃(𝐴/𝑀) sólo se fija en el espacio muestral reducido que se compone de mujeres.

El hecho de que 𝑃(𝐴) ≠ 𝑃(𝐴/𝑀) se denomina "la diferencia de género" en política. Por otra parte, si 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴/𝑀), entonces diremos que votar a A es independiente del género del votante.

Los sucesos A y B se llaman independientes si la probabilidad de uno de ellos no depende de que se haya verificado el otro. En otro caso se llaman dependientes.

Dados los sucesos A y B se llama probabilidad de A condicionada a B y se escribe 𝑃(𝐴/𝐵) a:

𝑃(𝐴/𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐵)

Consecuencia: De aquí se deduce que 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) ⋅ 𝑃(𝐴/𝐵).

Si dos suceso A y B son independientes 𝑷(𝑨) = 𝑷(𝑨/𝑩) y 𝑷(𝑩/𝑨) = 𝑷(𝑩).

Observación: Las probabilidades condicionadas son las segundas ramas y sucesivas de los árboles

Teorema: Cuando dos sucesos son independientes la probabilidad de la intersección es igual al producto de las probabilidades.

A y B independientes ⇒ 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵) Ejemplo:

Sean A y B dos sucesos independientes tales que 𝑃(𝐴) = 0.4 y 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.05.

(10)

a) Calcule P(B).

Como son independientes, 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) ⋅ 𝑃(𝐵) por lo que 0.05 = 0.4 · 𝑃(𝐵) ⇒ 𝑃(𝐵) = 0.125 b) Calcule 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 𝑐 ).

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 𝑐 ) = 𝑃(𝐴) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0.4 − 0.05 = 0.35

c) Calcule Sabiendo que no ha sucedido B, calcule la probabilidad de que suceda A.

𝑃(𝐴/𝐵 𝑐 ) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 𝑐 )

𝑃(𝐵 𝑐 ) = 0.35

1 − 0.125 = 0.4

7. EXTRACCIONES

En los experimentos de extracciones sucesivas de objetos de un montón, se suelen dar dos posibilidades.

7.1 Extracciones con reemplazamiento o "con devolución" o independientes

Se da este tipo de extracción cuando el objeto extraído se devuelve al montón antes de hacer cada extracción. En este caso, el resultado de cada experimento es independiente de los resultados anteriores.

7.2 Extracciones sin reemplazamiento o "sin devolución" o dependientes

Se consideran estas extracciones cuando el objeto extraído se mantiene fuera del montón al hacer las restantes extracciones. En este caso, el resultado de cada experimento es dependiente de los resultados anteriores

8. REGLA DEL PRODUCTO O DE LA PROBABILIDAD COMPUESTA

Si 𝐴 1 , 𝐴 2 , … , 𝐴 𝑛 son sucesos dependientes, entonces:

(11)

𝑃(𝐴 1 ∩ 𝐴 2 ∩ ⋯ ∩ 𝐴 𝑛 ) =

= 𝑃(𝐴 1 ) · 𝑃(𝐴 2 /𝐴 1 ) · 𝑃(𝐴 3 /𝐴 1 ∩ 𝐴 2 ) · ⋯ · 𝑃(𝐴 𝑛 /𝐴 1 ∩ 𝐴 2 ∩ ⋯ ∩ 𝐴 𝑛−1 )

En la práctica la regla del producto o de la probabilidad compuesta dice que la probabilidad de un camino es igual al producto de las probabilidades de las ramas que lo forman.

9. PROBABILIDAD TOTAL

Teorema: Tenemos n sucesos 𝐴 1 , 𝐴 2 , … , 𝐴 𝑛 incompatibles dos a dos, y tales que 𝐸 = 𝐴 1 ∪ 𝐴 2 ∪ ⋯ ∪ 𝐴 𝑛 . Entonces para cualquier suceso S se cumple que:

       

           

= / / /

n

n n

P S P A S P A S P A S

P A P S A P A P S A P A P S A

       

     

₁ ₂

₁ ₁ ₂ ₂

Demostración:

 1 2 3   1   2   3   

Disjuntos dos a dos

n n

S E

S S E S A A A A S A S A S A S A

              

Entonces:

   1   2   3   n

P SP SAP SAP SA   P SA

Como, P S A k P Ak S P A P S A    k · / k  , llegamos al resultado pedido.

Este resultado es especialmente útil para experiencias compuestas que suceden en el tiempo. En la práctica la regla de la probabilidad total dice que la probabilidad de varios caminos es igual a la suma de las probabilidades de cada una de los caminos.

Se aplica la regla cuando se pregunta por la probabilidad total de un suceso, S,

de la última experiencia y se conocen las probabilidades condicionadas de este

(12)

suceso a los sucesos de la primera experiencia. Es decir, se debe calcular la probabilidad de un suceso al que se puede llegar por varios caminos del árbol.

Los sucesos 𝐴 1 , 𝐴 2 , … , 𝐴 𝑛 son de la primera etapa e incompatibles dos a dos. S es un suceso de la segunda etapa. Se puede llegar a S pasando por 𝐴 1 , 𝐴 2 , … ó 𝐴 𝑛 . Ejemplo:

Entre las 7 bolas de una máquina de futbolín hay 2 rojas y 5 blancas; en cada partida, la máquina va sacando las bolas de una en una, de forma aleatoria, sin reemplazamiento. Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos:

a) "La primera bola es roja"

b) "Las dos primeras bolas son blancas"

c) "Las dos primeras bolas son de colores distintos"

a) 𝑃(𝑅) = 2 7 .

b) Por la regla de la probabilidad compuesta o regla del producto:

𝑃(𝐵 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵) · 𝑃 ( 𝐵 𝐵 ) = 5

7 · 4 6 = 10

21 c) Por el teorema de la probabilidad total:

𝑃(𝐷𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟) = 𝑃(𝑅 ∩ 𝐵) + 𝑃(𝐵 ∩ 𝑅) = = 2

7 · 5 6 + 5

7 · 2 6 = 10

21

10. PROBABILIDADES "A

POSTERIORI". FÓRMULA DE BAYES

Roja Roja

Blanca

Blanca Roja

Blanca

𝑃(𝑅) = 2/7

𝑃(𝑅/𝑅) = 1/6

𝑃(𝐵) = 5/7

𝑃(𝐵/𝑅) = 5/6 𝑃(𝑅/𝐵) = 2/6

𝑃(𝐵/𝐵) = 4/6

(13)

En una experiencia compuesta de dos, si A es un suceso correspondiente a la primera y S es un suceso correspondiente a la segunda, el resultado P(A/S) es interesante. Se puede llegar a S pasando por A o por otros sucesos. Si sabemos que finalmente ha ocurrido S, ¿Cuál es la probabilidad de que haya pasado por A?

Es decir, de las distintas formas en que se puede llegar a S, ¿en qué proporción de ellas se pasa por A?

Teorema (Fórmula de Bayes) Tenemos n sucesos 𝐴 1 , 𝐴 2 , … , 𝐴 𝑛 incompatibles dos a dos, y tales que 𝐸 = 𝐴 1 ∪ 𝐴 2 ∪ ⋯ ∪ 𝐴 𝑛 y un suceso S para el que se conocen las 𝑃(𝑆/𝐴 𝑖 ) entonces:

   

 

P A S

P A / S i i P S

 

desarrollándola

     

           

/ /

/ / /

i i

i

n n

P A P S A P A S

P A P S A P A P S A P A P S A

 

     

₁ ₁ ₂ ₂

Las 𝑃(𝐴 𝑖 ) se llaman "probabilidad a priori" porque se conocen.

Las 𝑃(𝑆/𝐴 𝑖 ) se llaman "verosimilitudes" porque se comprenden fácilmente.

Las 𝑃(𝐴 𝑖 /𝑆) se llaman "probabilidades a porsteriori" porque son las que hay que calcular.

En la práctica se aplica Bayes cuando se pregunta por la probabilidad de haber

recorrido un determinado camino del árbol para llegar a un suceso, S, de la

segunda experiencia en todos los caminos posibles que llevan al mismo suceso.

(14)

Ejemplo:

De los 150 coches de un concesionario, 90 tienen motor diésel y el resto gasolina.

De los coches con motor diésel, 72 son nuevos y el resto usados; mientras que de los coches con motor de gasolina hay el mismo número de coches nuevos que de usados. Se elige, al azar, un coche de dicho concesionario; Calcule la probabilidad de que:

a) Sea nuevo.

b) Tenga motor diésel, sabiendo que es usado.

a) Teorema de la probabilidad total

      90 72 · 60 30 · 17 0.68

150 90 150 60 25 P NP D NP G N    

b) Teorema de Bayes

   

 

90 18

· 3

150 90

/ 0.086

90 18 60 30 35

· ·

150 90 150 60 P D U

P D U

P U  

Diésel Nuevo

Usado

Gasolina Nuevo

Usado

𝑃(𝐷) = 90/150

𝑃(𝑁/𝐷) = 72/90

𝑃(𝐺) = 60/150

𝑃(𝑈/𝐷) = 18/90 𝑃(𝑁/𝐺) = 30/60

𝑃(𝑈/𝐺) = 30/60

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