Conjuntos, Aplicaciones y Relaciones

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Cap´ıtulo 2

Conjuntos, Aplicaciones y Relaciones

2.1. Conjuntos

Se partir´a, en esta introducci´on, de la existencia intuitiva de unos entes matem´aticos que se denominar´an conjuntos.

Definici´ on 3. Un conjunto es una colecci´on de objetos bien definidos y dife- renciables entre s´ı. A los objetos que constituyen un conjunto se les denomina elementos del mismo.

Los conjuntos se designan, habitualmente, por letras latinas may´ usculas:

A, B, . . . y los elementos por letras latinas min´ usculas: a, b, . . .; si a es un elemento del conjunto A, se dir´a que a pertenece al conjunto A, y se escribir´a a ∈ A. En caso contrario, se dir´a que el elemento no pertenece al conjunto y se denotar´a a 6∈ A. ¹

Al conjunto que carece de elementos se le denomina conjunto vac´ıo, y se denota por ∅ o por { }.

Ejemplo 17. La proposici´on “Todos los alumnos que aprobar´an Matem´aticas en junio” no define adecuadamente un conjunto puesto que, dado un alumno, no se puede afirmar de antemano si aprobar´a o no en junio.

Un conjunto puede ser definido por extensi´on, enumerando todos y cada uno de sus elementos, o por compresi´on, diciendo cu´al es la propiedad que los caracteriza.

1

Un conjunto A est´ a bien definido cuando, dado un elemento cualquiera x, es cierta una y s´olo una, de las proposiciones x ∈ A y x 6∈ A.

23

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B A

Figura 2.1: Inclusi´on de Conjuntos, A ⊂ B.

Ejemplo 18. Algunos conjuntos definidos por comprensi´on:

A = {x ∈ Z ; x ² ≤ 16}

B = {x ∈ N ; x divide a 20}

∅ = { }

Ejemplo 19. Los mismos conjuntos definidos por extensi´on:

A = {0, 1, 2, 3, 4, −1, −2, −3, −4}

B = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Como se aprecia en este ejemplo, se utilizan las llaves “{” y “}” para delimitar los elementos que componen un conjunto.

2.1.1. Inclusi´ on

Definici´ on 4. Dados dos conjuntos A y B, se dice que A es un subconjunto de B, y se expresa A ⊆ B, cuando todos los elementos de A son tambi´en elementos de B, es decir:

∀x [x ∈ A =⇒ x ∈ B]

se dir´a que A est´a inclu´ıdo o contenido en B. Cuando A no est´a contenido en B, se escribir´a A * B (lo cual quiere decir que existe a ∈ A tal que a 6∈ B).

Cualquier conjunto A, siempre admite como subconjuntos al conjunto vac´ıo ∅ y a A. Estos se denominan subconjuntos impropios o triviales. En otro caso, se dice que B es un subconjunto propio de A.

Si B ⊆ A y B 6= A, se dice que B est´a contenido estrictamente en A y se

denota B ⊂ A.

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2.1. CONJUNTOS 25

En la figura 2.1 se muestra, mediante Diagramas de Venn, ² un conjunto A subconjunto de otro B.

Definici´ on 5. El conjunto formado por todos los subconjuntos de uno dado A se denomina partes de A o conjunto potencia, y se denota P(A) o 2 ^A .

Ejemplo 20. Se exponen a continuaci´on dos conjuntos sencillos, y sus partes:

Si A = {a, b} ⇒ P(A) = ∅, {a}, {b}, A .

Si A = {a, b, c} ⇒ P(A) = ∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c , A}.

Debe quedar claro que si A y B son dos conjuntos cualesquiera, se verifica que

B ∈ P(A) ⇔ B ⊆ A

Ejemplo 21. Las afirmaciones I), III), IV ), V ), V III), IX) y XI) son ver- daderas.

i ) ∅ ⊆ ∅.

ii ) ∅ ∈ ∅ iii ) ∅ ⊆ {∅}

iv ) ∅ ∈ {∅}

v ) {a, b} ⊆ {a, b, c, {a, b, c}}

vi ) {a, b} ∈ {a, b, c, {a, b, c}}

vii ) {a, ∅} ⊆ {a, {a, ∅}}

viii ) {a, ∅} ∈ {a, {a, ∅}}

ix ) N ⊆ Z x ) N ∈ Z xi ) {2} ∈ P(Z) xii ) {2} ⊆ P(Z)

2

Los Diagramas de Venn fueron introducidos en 1880 por John Venn (1834–1923).

B´asicamente, se trata de una colecci´ on de curvas simples y cerradas, dibujadas en el plano.

Son muy ´ utiles para visualizar relaciones entre conjuntos.

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U

A

Figura 2.2: Complementario de A respecto a U.

Definici´ on 6. Un conjunto A es finito si tiene un n´ umero finito de elemen- tos; este n´ umero se llama cardinal y se denota |A| o #A. En caso contrario, se dice que A es no finito.

Es f´acil comprobar que si A es un conjunto finito, tambien lo es P(A) ³ y, adem´as, |P(A)| = 2 ^|A| .

Definici´ on 7. Dos conjuntos A y B son iguales si, simult´aneamente, se verifica A ⊆ B y B ⊆ A, es decir:

A = B ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A

2.2. Operaciones entre conjuntos

2.2.1. Complementaci´ on

Definici´ on 8. Dado un conjunto U ⁴ y un subconjunto A ⊆ U se llama com- plementario del conjunto A, y se denota ⁵ A, al subconjunto de U formado ¯ por todos los elementos que no pertenecen a A, es decir:

A = {x ∈ U ; x 6∈ A} ¯

Obs´ervese que la propiedad que determina al complementario de A es la negaci´on de la propiedad que determina a los elementos de A.

3

Si A = {a

, a

, . . . , a

} tiene n elementos, a cada uno de sus subconjuntos B le aso- ciamos una cadena c

de 0

s y 1

s de longitud n. Cada cadena binaria tendr´a un 1 en la posici´on i-´esima (i = 1, . . . , n) si, y s´ olo si, el elemento a

∈ B, con lo que el cardinal de P(A) es el n´ umero de cadenas binarias de longitud n, es decir 2

.

4

Cuando, en un contexto determinado, se consideran siempre conjuntos que son sub- conjuntos de uno dado U , a dicho conjunto de referencia U se le denomina conjunto universal o universo

5

Puede usarse tambien la notaci´ on A

o C

(A)

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2.2. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 27

A B

Figura 2.3: Uni´on de conjuntos:

A ∪ B.

A B

Figura 2.4: Intersecci´on de con- juntos: A ∩ B.

En la figura 2.2 en la p´agina anterior se muestra, en la zona rayada, el conjunto complementario de A respecto a U.

Propiedades 1. Dado un conjunto U y dos subconjuntos suyos A y B, se verifican las siguientes propiedades:

i ) ¯∅ = U.

ii ) ¯ U = ∅.

iii ) ¯¯ A = A.

iv ) A ⊆ B ⇔ ¯ B ⊆ ¯ A.

2.2.2. Uni´ on

Definici´ on 9. Dados dos conjuntos A y B se llama uni´ on de A y B, y se representa A ∪ B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B:

A ∪ B = {x ; x ∈ A ∨ x ∈ B}

En la figura 2.3, la zona rayada reprsenta el conjunto A ∪ B.

Propiedades 2. Dados los conjuntos A, B y C, subconjuntos de U, la uni´on de conjuntos verifica las siguientes propiedades:

i ) A ⊆ (A ∪ B) , B ⊆ (A ∪ B).

ii ) A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B.

iii ) A ⊆ C ∧ B ⊆ C ⇔ (A ∪ B) ⊆ C.

iv ) A ∪ A = A (Propiedad Idempotente).

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v ) A ∪ B = B ∪ A (Propiedad Conmutativa).

vi ) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (Propiedad Asociativa).

vii ) A ∪ U = U viii ) A ∪ ∅ = A.

2.2.3. Intersecci´ on

Definici´ on 10. Dados dos conjuntos A y B se llama intersecci´ on de A y B, y se representa A ∩ B, al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B, es decir:

A ∩ B = {x ; x ∈ A ∧ x ∈ B}

De la definici´on se sigue que un elemento pertenece a la intersecci´on si pertenece a los dos conjuntos. En la figura 2.4 en la p´agina anterior la zona rayada indica el conjunto intersecci´on A ∩ B.

Propiedades 3. Dados tres conjuntos A,B y C, subconjuntos de U, la in- tersecci´on verifica las siguientes propiedades:

i ) (A ∩ B) ⊆ A, (A ∩ B) ⊆ B.

ii ) A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A.

iii ) A ⊆ C ⇒ (A ∩ B) ⊆ C. ⁶

iv ) C ⊆ A ∧ C ⊆ B ⇔ C ⊆ (A ∩ B).

v ) A ∩ A = A (Propiedad Idempotente).

vi ) A ∩ B = B ∩ A (Propiedad Conmutativa).

vii ) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (Propiedad Asociativa).

viii ) A ∩ U = A (U es el conjunto universal).

ix ) A ∩ ∅ = ∅.

Propiedades 4. Con la notaci´on anterior, la uni´on y la intersecci´on verifi- can adem´as las siguientes propiedades conjuntas:

6

N´otese que puede suceder que A ∩ B ⊆ C y, sin embargo, A * C y B * C. Es el caso

de A = {a, x}, B = {b, x} y C = {x, y}.

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2.2. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS 29

A

B C

Figura 2.5: A ∪ (B ∩ C).

A

B C

Figura 2.6: A ∩ (B ∪ C).

i ) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (Ver figura 2.5).

ii ) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Ver figura 2.6).

iii ) A ∪ ¯ A = U.

iv ) A ∩ ¯ A = ∅.

v ) (A ∪ B) = ¯ A ∩ ¯ B (Primera Ley de De Morgan).

vi ) (A ∩ B) = ¯ A ∪ ¯ B (Segunda Ley de De Morgan).

Como consecuencia, si A, B ⊆ U son dos subconjuntos de U, se verifica que

A = A ∩ U = A ∩ (B ∪ ¯ B) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ ¯ B)

Definici´ on 11. Si dos conjuntos no tienen ning´ un elemento en com´ un, se dice que son disjuntos, es decir:

A y B son disjuntos ⇔ A ∩ B = ∅

2.2.4. Diferencia

Definici´ on 12. Dados dos conjuntos A y B se llama diferencia entre A y B, y se representa A\B o A − B , al conjunto formado por los elementos de A que no pertenecen a B:

A\B = {x ∈ A ; x 6∈ B}

En la figura 2.7(a) en la p´agina siguiente se muestran dos conjuntos A

y B y, representado por el ´area rayada, el conjunto A − B. Se aprecia con

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A B

A

(a) Diferencia: A\B.

A B

(b) Diferencia sim´etrica: A ⊕ B.

Figura 2.7: Diferencia de conjuntos

facilidad que A\B y B\A son, en general, distintos. Por otro lado, es claro que A\B = A ∩ ¯ B

Adem´as, se verifica que

A\B = A ⇔ A ⊆ ¯ B ⇔ A ∩ B = ∅ ⇔ B ⊆ ¯ A ⇔ B\A = B Definici´ on 13. Dados dos conjuntos A y B se llama diferencia sim´ etrica entre A y B, y se representa A ⊕ B, al conjunto de los elementos que est´an en uno y, s´olo uno de los conjuntos A o B.

A ⊕ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)

En la figura 2.7(b) se muestran dos conjuntos A y B, y en el ´area rayada, el conjunto diferencia sim´etrica A ⊕ B. Es f´acil ver que A ⊕ B = B ⊕ A y, adem´as:

A ⊕ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) = (A\B) ∪ (B\A)

Tambien se puede comprobar que A ⊕ ∅ = A, A ⊕ A = ∅, A ⊕ ¯ A = U y A ⊕ U = ¯ A.

2.2.5. Producto Cartesiano

Definici´ on 14. Dados dos conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A por B, y se denota A × B, al conjunto constituido por pares ordenados de elementos, el primero perteneciente al conjunto A y el segundo al B. Esto es:

A × B = {(a, b) ; a ∈ A ∧ b ∈ B}

Ejemplo 22. El producto cartesiano A × B de los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {a, b} es el conjunto:

A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

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2.3. APLICACIONES 31

A B

1 2 3

a b

b

(1, a)

b

(2, a)

b

(3, a)

b

(1, b)

b

(2, b)

b

(3, b)

Figura 2.8: Representaci´on gr´afica de A × B

Cuando sea posible, es ´ util representar gr´aficamente el producto carte- siano por medio de diagramas de coordenadas cartesianas. Para ello se toman dos rectas OX y OY , perpendiculares u oblicuas, de forma que el punto O es la intersecci´on de ambas. Este punto recibe el nombre de origen, la recta OX es el eje de abscisas y la OY es el eje de ordenadas. El conjunto A se representa linealmente en OX, y el B en OY . Los elementos (a, b) de A×B se representan por puntos resultantes de la intersecci´on de la paralela a OY por a con la paralela a OX por b. En la figura 2.8 se muestra la representaci´on en coordenadas cartesianas del ejemplo anterior.

Dos pares ordenados (a, b) y (c, d), elementos del producto cartesiano A×B, son iguales si a = c y b = d. Es claro que, en general, A×B 6= B ×A.

Se puede extender la definici´on de producto cartesiano a n conjuntos.

Definici´ on 15. Dados n conjuntos A 1 , A 2 , . . . , A n se define su producto cartesiano como:

A 1 × A 2 × · · · × A n = {(a 1 , a 2 , . . . , a n ) ; a i ∈ A i , ∀ i = 1, 2, . . . , n}

Finalmente, si A y B son conjuntos finitos, tambien lo es A × B y se tiene que:

|A × B| = |A|.|B|

2.3. Aplicaciones

El concepto de aplicaci´on (funci´on) es de gran importancia en Inform´ati-

ca. Una funci´on es el modo m´as natural de implementar la correspondencia

entre los datos y el resultado de un proceso de c´alculo en un ordenador. Los

llamados lenguajes funcionales como OCAML, HASKELL, etc., se funda-

mentan en este concepto y suelen identificar programa y funci´on.

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Definici´ on 16. Sean A y B dos conjuntos no vac´ıos. Una aplicaci´ on f de A en B es una regla que asocia a cada elemento a de A un ´ unico elemento de B que se denomina imagen de a y se denota f (a).

El conjunto A se llama conjunto inicial, y el B conjunto final. La relaci´on entre a y b debida a f se suele representar de la forma:

f : A −→ B

a f (a) = b

Se suele denominar funci´on ⁷ a la correspondencia f : A → B si A y B son conjuntos num´ericos. Con frecuencia, se utiliza la letra x para denotar los elementos del conjunto inicial de f , y la letra y para los elementos del conjunto final.

Hz·10 ¹⁴ 4, 28

rojo

4, 63 naranja

5, 17 amarillo

5, 35 verde

6, 12 azul

6, 97 violeta

7, 49

Figura 2.9: Aplicaci´on del espectro visible

Ejemplo 23. i ) Se puede considerar que el arco iris define una aplicaci´on que asocia a cada rango de frecuencias del espectro electromagn´etico, un color de los que percibimos tal como se muestra en la figura 2.9.

ii ) El horario de un ferrocarril define una aplicaci´on que asocia a cada estaci´on a, b, c, . . . un n´ umero que sirve para expresar la medida del tiempo (8h, 8h30m, 8h57m,. . .) que invertir´a el tren en llegar a cada estaci´on.

Puesto que a cada estaci´on s´olo le puede corresponder una hora de llegada del tren, esta correspondencia entre estaciones y horarios sea efectivamente una aplicaci´on.

iii ) Una tabla de seguros de vida es una funci´on que asocia cada edad del solicitante (1 a˜ no, 2 a˜ nos, 3 a˜ nos, etc.) el importe de las primas que ha de pagar para suscribir tal seguro.

7

En el contexto del An´ alisis Matem´ atico es frecuente utilizar la palabra funci´on para

referirse a una correspondencia f : A → B, es decir una regla que asocia a algunos

elementos de A un elemento en B. Esos elementos de A que tienen imagen en B forman un

subconjunto de A llamado dominio de f y que coincide con A cuando f es una aplicaci´ on.

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2.3. APLICACIONES 33

iv ) La regla que permite calcular el per´ımetro p de una circunferencia mul- tiplicando su di´ametro 2r (siendo r el radio) por la constante π, es una funci´on real de variable real, ya que el conjunto inicial es el de los n´ umeros reales, R, y coincide con el de llegada. Se representa:

p = f (r) = 2πr

Dos aplicaciones f : A → B y g : C → D son iguales si A = C, B = D y f (a) = g(a), para cualquier elemento a de A.

Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, se denota por B ^A al conjunto:

B ^A = {f : A → B ; f es una aplicaci´on}.

Cuando A y B son conjuntos son finitos, tambi´en lo es B ^A y se verifica que

|B ^A | = |B| ^|A| .

Definici´ on 17. Sea f : A → B una aplicaci´on y sean A 1 ⊆ A y B 1 ⊆ B dos subconjuntos de A y B respectivamente. Definimos la imagen por f del conjunto A 1 como:

f (A 1 ) := {f (a) ; a ∈ A 1 } ⊆ B y la imagen rec´ıproca por f del conjunto B 1 como:

f ⁻¹ (B 1 ) := {a ∈ A ; f (a) ∈ B 1 } ⊆ A

Si tomamos como A 1 = A, al conjunto f (A) = Imf le denominamos conjunto imagen.

Ejemplo 24. Sea f : A = {1, 2, 3} → B = {x, y, z, t} la aplicaci´on dada por f (1) = x, f (2) = z, f (3) = z. Es claro que

f ({1}) = {x}, f ({2}) = {z}, f ({3}) = {z}

y, por otro lado,

f ⁻¹ ({x, y}) = {1} y f ⁻¹ ({y, t}) = ∅.

Propiedades 5. Sea f : A → B una aplicaci´on y sean A 1 , A 2 ⊆ A y B 1 , B 2 ⊆ B subconjuntos de A y B respectivamente. Se verifica:

i ) f (∅) = ∅, f ⁻¹ (∅) = ∅ y f ⁻¹ (B) = A

ii ) Si A 1 ⊆ A 2 , entonces f (A 1 ) ⊆ f (A 2 )

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iii ) Si B 1 ⊆ B 2 , entonces f ⁻¹ (B 1 ) ⊆ f ⁻¹ (B 2 ) iv ) f (A 1 ∩ A 2 ) ⊆ f (A 1 ) ∩ f (A 2 )

La igualdad no es cierta, en general. Basta tomar A 1 = {2} y A 2 = {3}

en el el ejemplo 24.

v ) f (A 1 ∪ A 2 ) = f (A 1 ) ∪ f (A 2 )

vi ) f ⁻¹ (B 1 ∩ B 2 ) = f ⁻¹ (B 1 ) ∩ f ⁻¹ (B 2 ) vii ) f ⁻¹ (B 1 ∪ B 2 ) = f ⁻¹ (B 1 ) ∪ f ⁻¹ (B 2 ) viii ) A 1 ⊆ f ⁻¹ (f (A 1 ))

Si tomamos A 1 = {2} en el ejemplo 24 comprobamos que {2} ⊂ f ⁻¹ (f ({2}) = f ⁻¹ ({z}) = {2, 3}

ix ) f (f ⁻¹ (B 1 )) ⊆ B 1

Si tomamos B 1 = B = {x, y, z, t} en el ejemplo 24 comprobamos que f (f ⁻¹ ({x, y, z, t}) = f ({1, 2, 3}) = {x, z} ⊂ {x, y, z, t}.

Definici´ on 18. Sea f : A → B una aplicaci´on y sea A 1 ⊆ A un subconjunto de A. Llamamos restricci´ on de f a A 1 y denotamos f /A

a la aplicaci´on f restringida al conjunto A 1 , es decir, f definida s´olo para los elementos de A 1 .

Definici´ on 19. Se dice que una aplicaci´on f : A → B entre A y B es:

i ) inyectiva si dos elementos distintos de A tienen diferente imagen en B, esto es:

∀ a 1 , a 2 ∈ A [f (a 1 ) = f (a 2 ) =⇒ a 1 = a 2 ]

ii ) sobreyectiva, suprayectiva o exhaustiva si todo elemento de B es imagen, al menos, de un elemento de A, es decir:

∀b ∈ B, ∃ a ∈ A [f (a) = b]

iii ) biyectiva o biun´ıvoca si es a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Es interesante destacar que si los conjuntos A y B son finitos y f : A → B

es una aplicaci´on entre ellos, se verifica que:

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2.3. APLICACIONES 35

Si f es inyectiva ⁸ , entonces |A| ≤ |B|

Si f es sobreyectiva, entonces |A| ≥ |B|

Si f es biyectiva ⁹ , entonces |A| = |B|

Ejemplo 25. Una empresa proporciona a sus 513 empleados un c´odigo que consta de nueve cifras entre 0 y 9, por ejemplo 23/130/0467. Dos c´odigos son

“coincidentes en ceros” si, en cada posici´on, uno tiene un cero si, y s´olo si, lo tiene el otro. As´ı, los c´odigos 20/560/0503 y 10/730/0804 son coincidentes en ceros. Demuestra que al menos dos empleados tendr´an c´odigos de usuario coincidentes en ceros. ¹⁰

Adem´as, se verifica tambi´en el siguiente resultado que ser´a de utilidad en la pr´actica:

Proposici´ on 1. Si A y B son dos conjuntos finitos con el mismo cardinal y f : A → B es una aplicaci´on entre ellos, son equivalentes:

f es inyectiva f es sobreyectiva f es biyectiva

Demostraci´on. Si A = {a 1 , . . . , a n }, entonces f (A) = {f (a 1 ), . . . , f (a n )} y, al ser f inyectiva, |f (A)| = |A| = |B|. Puesto que f (A) ⊆ B y tienen el mismo cardinal, es obvio que f (A) = B, es decir f es sobreyectiva. Rec´ıprocamente, si f es sobreyectiva y f (a 1 ) = f (a 2 ) con a 1 6= a 2 , entonces |f (A)| < |A| = |B|, lo que contradice la sobreyectividad de f .

Definici´ on 20. Dados tres conjuntos A, B y C, y dos aplicaciones f y g tales que

f : A −→ B

a −→ f (a) = b

g : B −→ C

b −→ g (b) = c

8

Este principio se conoce como Principio de Palomar. Es claro que si tenemos un con- junto de n palomas y otro conjunto de m nidos, con n > m, y definimos una aplicaci´on entre ellos que consiste en enviar cada paloma a su nido, al menos dos palomas comparten un nido, es decir la aplicaci´ on no es inyectiva.

9

Conviene destacar que, si bien no todas las aplicaciones que se pueden definir entre conjuntos con el mismo cardinal son biyectivas, siempre es posible encontrar una aplicaci´on biyectiva entre ellos.

10

A cada empleado (paloma) le hacemos corresponder el subconjunto de {1, 2, . . . , 9}

(nido) correspondiente a las posiciones en las que su c´ odigo tiene un cero. Como hay m´as

palomas que nidos (el n´ umero de subconjuntos posibles es 2

= 512), dos palomas al menos

comparten el nido.

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se llama composici´ on de f con g a la aplicaci´on g ◦ f : A −→ C

a −→ (g ◦ f ) (a) = g [f (a)] = g (b) = c

Ejemplo 26. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} y sean f, g : A → A las aplicaciones definidas por f (1) = f (2) = f (3) = f (4) = f (5) = 1 y g(1) = 5, g(2) = 4, g(3) = 3, g(4) = 2 y g(5) = 1. Es evidente que (g◦f )(a) = 5 y (f ◦g)(a) = 1, para todo a ∈ A. Por lo tanto, g ◦ f 6= f ◦ g.

La composici´on de aplicaciones tiene la propiedad asociativa, es decir, dadas tres aplicaciones f : A −→ B, g : B −→ C y h : C −→ D :

h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f

Proposici´ on 2. Sean f : A → B y g : B → C dos aplicaciones cualesquiera.

Se verifica que:

Si f y g son inyectivas, tambi´en lo es g ◦ f Si f y g son sobreyectivas, tambi´en lo es g ◦ f Si f y g son biyectivas, tambi´en lo es g ◦ f

Demostraci´on. Si f y g son inyectivas y a 1 , a 2 son dos elementos de A tales que (g ◦ f )(a 1 ) = (g ◦ f )(a 2 ), entonces g(f (a 1 )) = g(f (a 2 )) (por definici´on de composici´on). Puesto que g es inyectiva, se verifica que f (a 1 ) = f (a 2 ) y, la inyectividad de f permite concluir que a 1 = a 2 .

La demostraci´on de las otras dos afirmaciones es un sencillo ejercicio.

Definici´ on 21. Se llama aplicaci´on identidad a una aplicaci´on I _A de A a A de la forma:

I A : A −→ A

a −→ I A (a) = a

Es inmediato comprobar que dada cualquier aplicaci´on f : A → B se verifica que f ◦ I _A = f = I _B ◦ f

Definici´ on 22. Sea f : A → B una aplicaci´on. Se llama aplicaci´ on in- versa de f , y se denota por f ⁻¹ , a una aplicaci´on f ⁻¹ : B → A tal que, si b es un elemento de B,

f ⁻¹ (b) = a ⇐⇒ b = f (a)

Puede que no exista aplicaci´on inversa de f .

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2.3. APLICACIONES 37

1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3

−1

−2

−3

N Z

b b b b b b b b

bbbbbb

Figura 2.10: Representaci´on gr´afica de la aplicaci´on γ : N → Z

Proposici´ on 3. Dada una aplicaci´on f : A → B, f admite inversa si, y s´olo si, f es biyectiva. Adem´as,

Si f es inversible, su inversa f ⁻¹ es la ´ unica aplicaci´on verificando f ◦ f ⁻¹ = I _B y f ⁻¹ ◦ f = I _A

Si f es inversible, su inversa f ⁻¹ tambi´en lo es y (f ⁻¹ ) ⁻¹ = f

Si f : A → B y g : B → C son dos aplicaciones inversibles, entonces g ◦ f tambi´en lo es y (g ◦ f ) ⁻¹ = f ⁻¹ ◦ g ⁻¹

2.3.1. Conjuntos numerables

Decimos que un conjunto A es numerable si es finito o existe una bi- yecci´on entre A y N. Se comprende f´acilmente que si A es finito y n = |A|, existe una biyecci´on entre el conjunto A y {1, . . . , n}.

Son numerables los conjuntos N y Z ya que la aplicaci´on γ : N −→ Z

n −→ γ (n) =

 n/2 , si n es par

− (n − 1) /2 , si n es impar es biyectiva.

En la figura 2.10 se muestra un diagrama en el que se aprecia el fun- cionamiento de esta aplicaci´on. Los naturales pares son asignados a los en- teros positivos, y los naturales impares a los enteros negativos. Es evidente, a la vista de la figura, que esta aplicaci´on no tiene por qu´e ser ´ unica.

Tambi´en es cierto que el conjunto de los n´ umeros racionales Q es nume-

rable. No son numerables ni R ni C.

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A B

1 2 3

a b

b b b

b b b

Figura 2.11: Representaci´on gr´afi- ca de R ⊂ A × B

R R

r

Figura 2.12: Representaci´on gr´afi- ca de C ⊂ R × R

2.4. Relaciones

Definici´ on 23. Dados dos conjuntos A y B, una relaci´ on binaria ¹¹ de A en B es un subconjunto cualquiera R del producto cartesiano A × B.

Si el par ordenado (a, b) pertenece a R, se dir´a que a est´a relacionado con b, y se denotar´a aRb.

Ejemplo 27. i ) Para los conjuntos A y B del ejemplo 22, se tiene que A × B = {(1, a) , (1, b) , (2, a) , (2, b) , (3, a) , (3, b)}.

Una posible relaci´on ser´ıa R = {(1, a) , (2, b) , (3, a)}.

En la figura 2.11 se muestran, mediante puntos, los elementos de A×B, y mediante c´ırculos los de R.

ii ) Para el producto cartesiano R × R, ser´an A = B = R. Una posible relaci´on podr´ıa ser C = {(x, y) ∈ R × R ; x ² + y ² = r ² }, siendo r un n´ umero real positivo.

En la figura 2.12 se muestran los conjuntos A y B (los ejes cartesianos), y toda la superficie del papel, en la que se encuentran los ejes, que constituye el producto cartesiano A × B = R × R = R ² . Los elementos de la relaci´on C ser´an los puntos de ese plano que verifiquen la ecuaci´on que la caracteriza. En la figura, esos puntos se encuentran sobre la l´ınea fina que, como se aprecia, forma una circunferencia de radio r.

iii ) El estado de una partida de un juego de barcos se determina, habitual- mente, en un tablero cuadrado de 100 casillas, ordenadas en 10 filas y

11

En general si tenemos n conjuntos, A

con i = 1, . . . , n, se dice que un subconjunto

R ⊆ A

× · · · × A

es una relacion n-aria sobre A

, A

, . . . , A

.

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2.4. RELACIONES 39

1 A

2 B

3

C

4

D

5

E

6

F

7

G

8

H

9

I

10

J

Figura 2.13: Tablero de una parti- da de barcos: X × Y .

1 A

2 B

3

C

4

D

5

E

6

F

7

G

8

H

9

I

10

J

Figura 2.14: Flota de barcos (F ) y torpedos disparados (T ) en un tablero de barcos (X × Y ).

10 columnas numeradas respectivamente del 1 al 10 y de la A a la J, tal como se muestra en la figura 2.13. Si llamamos X al conjunto de las filas del tablero e Y al de las columnas, las casillas del tablero ser´an pares ordenados de la forma (x, y) ∈ X × Y .

La situaci´on de la flota de barcos en el tablero bien puede considerarse una relaci´on F ⊂ X × Y . En concreto, los barcos que se muestran en el tablero de la figura 2.14 constituyen la relaci´on:

F = {(B, 2) , (B, 3) , (B, 4) , (E, 8) , (F, 8) , (G, 8) , (H, 3) , (H, 4) , (H, 5)}

Por otra parte, los sucesivos intentos de hundir la flota, indicados en la figura 2.14 mediante torpedos, constituyen otra relaci´on T de la forma:

T = {(D, 6) , (E, 2) , (F, 8) , (H, 5) , (I, 9)}

Los impactos que los torpedos han producido en los barcos, ser´an la relaci´on intersecci´on entre ambas: I = F ∩ T = {(F, 8), (H, 5)}.

Definici´ on 24. Dado un conjunto A, se llama relaci´ on binaria en A a cualquier subconjunto R de A × A. ¹²

Una relaci´on binaria en A es, por tanto, una relaci´on en la que coinciden el conjunto inicial y el final.

Si el conjunto A es finito, se puede representar una relaci´on binaria en A con un grafo dirigido. Para ello, se dibujan tantos puntos como elementos tenga A y una flecha de a a b si (a, b) ∈ R o, lo que es lo mismo, si aRb.

12

Si A es finito, el n´ umero de relaciones binarias en A es 2

.

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2.4.1. Propiedades de una relaci´ on binaria

Sea A un conjunto y R una relaci´on binaria en A, Se dice que R es i ) Reflexiva si

∀a ∈ A aRa ii ) Sim´ etrica si

∀a 1 , a 2 ∈ A [a 1 Ra 2 =⇒ a 2 Ra 1 ] iii ) Antisim´ etrica si

∀a 1 , a 2 ∈ A [(a 1 Ra 2 ) ∧ (a 2 Ra 1 ) =⇒ a 1 = a 2 ] iv ) Transitiva si

∀a 1 , a 2 , a 3 ∈ A [(a 1 Ra 2 ) ∧ (a 2 Ra 3 ) =⇒ a 1 Ra 3 ]

Ejemplo 28. i ) Dado cualquier conjunto A, la relaci´on (⊆) “estar con- tenido en” definida en P(A) es reflexiva, antisim´etrica y transitiva.

ii ) Si A = N, Z, Q o R, la relaci´on (≤) “ser menor o igual que” es tambi´en reflexiva, antisim´etrica y transitiva.

iii ) Dados dos n´ umeros enteros a y b, se dice que a divide a b y se denota a|b, si existe un n´ umero entero m tal que b = am. Es f´acil comprobar que es reflexiva y transitiva. Cuando la restringimos a un subconjunto A de n´ umeros enteros del mismo signo (es decir A ⊆ Z ⁺ o A ⊆ Z ⁻ ), verifica, adem´as la propiedad antisim´etrica.

2.4.2. Relaci´ on de Equivalencia

Definici´ on 25. Una relaci´ on de equivalencia en un conjunto A es una relaci´on binaria R que satisface las propiedades reflexiva, sim´etrica y transi- tiva.

En adelante, utilizaremos el s´ımbolo ∼ para referirnos a una relaci´on de equivalencia.

Ejemplo 29. En Z, la relaci´on:

a ≡ 2 b ⇐⇒ a − b es un m´ ultiplo de 2

es una relaci´on de equivalencia. Esta relaci´on se puede extender, consideran- do cualquier entero positivo m y definiendo:

a ≡ m b ⇐⇒ a − b es un m´ ultiplo de m

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2.4. RELACIONES 41

Las relaciones de equivalencia permiten agrupar elementos relacionados entre s´ı en subconjuntos llamados clases de equivalencia:

Definici´ on 26. Dado un conjunto A dotado de una relaci´on de equivalencia

∼, se llama clase de equivalencia del elemento a ∈ A, y se denota por [a]

al conjunto de los elementos de A que est´an relacionados con a mediante ∼, es decir:

[a] = {x ∈ A ; x ∼ a}

La relaci´on de equivalencia del ejemplo que hemos visto antes divide a los elementos del conjunto Z en dos clases de equivalencia, una formada por los n´ umeros pares, y la otra por los impares. Cuando la relaci´on es ≡ m , tenemos m clases de equivalencia ¹³ [0], [1], . . . , [m − 1].

Propiedades 6. Las clases de equivalencia verifican las siguientes propiedades:

i ) Dos elementos a 1 y a 2 est´an relacionados entre s´ı (a 1 ∼ a 2 ) si, y s´olo si, determinan la misma clase de equivalencia ([a 1 ] = [a 2 ]) ¹⁴ .

Demostraci´on. Si a 1 ∼ a 2 y a ∈ [a 1 ], entonces a ∼ a 1 y a 1 ∼ a 2 , nos permiten deducir que a ∼ a 2 , es decir a ∈ [a 2 ].

Rec´ıprocamente, si las clases coinciden, entonces a 1 ∈ [a 1 ] = [a 2 ], es decir a 1 ∼ a 2 .

ii ) Dos elementos a 1 y a 2 no est´an relacionados si, y s´olo si, [a 1 ]∩[a 2 ] = ∅.

Demostraci´on. Si a 1 6∼ a 2 y a ∈ [a 1 ] ∩ [a 2 ], entonces a 1 ∼ a y a ∼ a 2 , as´ı que a 1 ∼ a 2 , lo que contradice la hip´otesis de partida. El rec´ıproco es an´alogo.

Definici´ on 27. A una familia {A i } i∈I de subconjuntos no vac´ıos de A que verifica:

A = [

i∈I

A i

A _i ∩ A _j = ∅, para todo i 6= j se le llama partici´ on de A.

13

Un n´ umero entero x pertenece a la clase de equivalencia [r], con 0 ≤ r ≤ m − 1, si r es el resto de la divisi´ on de x entre m.

14

Teniendo esto en cuenta, una clase de equivalencia puede representarse por cualquiera

de sus elementos.

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Es f´acil comprobar que una partici´on define una relaci´on de equivalencia ¹⁵ y viceversa.

Definici´ on 28. Dada una relaci´on de equivalencia ∼ definida en un conjunto A, se llama conjunto cociente de A respecto a ∼, y se denota A/ ∼, al conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia determinadas en A por ∼. En el ejemplo que estamos manejando, el conjunto cociente Z/ ≡ m

tiene m elementos. Este conjunto se denota Z m y se llama conjunto de restos m´odulo m.

2.4.3. Relaci´ on de orden

Definici´ on 29. Si 4 es una relaci´on binaria en A reflexiva, antisim´etrica y transitiva, se dice que es una relaci´ on de orden. Si a 4 b se dice que a es anterior a b o menor o igual que ¹⁶ b.

Una relaci´on de orden 4 en un conjunto A es de orden total si dados dos elementos cualesquiera a, b de A, siempre se pueden comparar, es decir a 4 b o b 4 a. Un ejemplo de relaci´on de orden total es la relaci´on ≤ en N, Z, Q o R, mientras que las relaciones “ ⊆ ” y “divide a” definidas anteriormente no son de orden total.

Definici´ on 30. Un poset (A, 4) es un conjunto A y una relaci´on de orden 4 definida en ´el.

Ejemplo 30. i ) Son ejemplos de posets (P(A), ⊆) y (N, |).

ii ) Sea (L, ≤) un alfabeto, es decir un conjunto finito totalmente ordenado y sea L ^∗ el conjunto de palabras que se pueden formar con los elementos de L. El orden de L se puede extender a L ^∗ siendo la relaci´on de orden resultante de orden total y llamada orden lexicogr´afico por ser el orden del diccionario. As´ı, las palabras l 1 l 2 . . . l p y l ^′ 1 l ^′ 2 . . . l _q ^′ est´an relacionadas y verifican que l 1 l 2 . . . l p ≤ l ^′ ₁ l 2 ^′ . . . l _q ^′ , si ocurre:

para alg´ un k < p, se tiene que l i = l _i ^′ (con i = 1, . . . k), l k+1 ≤ l ^′ _k+1 y l k+1 6= l ^′ _k+1 (por ejemplo casa y caso)

p ≤ q y l i = l ^′ _i , para i = 1 . . . p (por ejemplo casa y casas).

15

Si {A

}

es una partici´ on de A y a, b ∈ A, se dice que a ∼ b si, y s´olo si, existe i ∈ I tal que a, b ∈ A

.

16

De la relaci´ on de orden nace, por ejemplo, el ordenamiento de los n´ umeros reales. No

es de extra˜ nar el parecido entre el s´ımbolo “4” y el s´ımbolo “≤” (o, a veces, “6”) utilizado

para ordenar de menor a mayor los n´ umeros reales.

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2.4. RELACIONES 43

Cuando (A, 4) es un poset finito, se puede representar con un diagrama de Hasse que consiste en un conjunto de v´ertices (denotando los elementos de A) y una serie de aristas (sin flecha). Dibujaremos una arista ascendente de x a y si y cubre a x, es decir, x ≤ y y no hay “elementos intermedios”

entre ambos, es decir, si z ∈ A es tal que x ≤ z ≤ y, entonces z = x o z = y.

Definici´ on 31. Dos posets (A, 4) y (B, ≤) son isomorfos si existe una aplicaci´on biyectiva f : A → B, de modo que:

a 4 a ^′ ⇐⇒ f (a) ≤ f (a ^′ ).

Ejemplo 31. Los posets (P({a, b, c}), ⊆), (D 30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}, |) ¹⁷ y ({0, 1} ³ , R) son isomorfos ¹⁸ .

D 30

1

2 3

5

6 10

15

30

2.4.4. Elementos distinguidos en un poset

Sea (P, ≤) un poset.

Definici´ on 32. Un elemento m ∈ P es un maximal si ¹⁹

¬∃p ∈ P [(m ≤ p) ∧ (m 6= p)],

es decir, no hay elementos en P “estrictamente mayores” que m.

Definici´ on 33. Un elemento n ∈ P es un minimal si ²⁰

¬∃p ∈ P [(p ≤ n) ∧ (n 6= p)],

es decir, no hay elementos en P “estrictamente menores” que n.

17

D

denota el conjunto de divisores positivos de m.

18

R es la relaci´on dada por (a, b, c) ≤ (a

, b

, c

) ⇔ (a ≤ a

) ∧ (b ≤ b

) ∧ (c ≤ c

)

19

Equivalentemente, ∀p ∈ P [(m ≤ p) → (m = p)].

20

Equivalentemente, ∀p ∈ P [(p ≤ n) → (n = p)].

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Un poset puede tener varios maximales y varios minimales y, si es finito, tiene al menos un maximal y al menos un minimal. Si P es un poset finito, dado p ∈ P existe al menos un maximal m de P (respectivamente, un minimal n de P ) tal que p ≤ m (respectivamente, n ≤ p).

Definici´ on 34. Un elemento M ∈ P es m´ aximo de P si p ≤ M, para todo p ∈ P .

Definici´ on 35. Un elemento m ∈ P es m´ınimo de P si m ≤ p, para todo p ∈ P .

Proposici´ on 4. Se verifican los siguientes enunciados:

i ) El m´aximo, si existe, es ´ unico.

ii ) El m´ınimo, si existe, es ´ unico.

iii ) Si P es finito, P tiene m´aximo si, y s´olo si, tiene un un ´ unico maximal.

iv ) Si P es finito, P tiene m´ınimo si, y s´olo si, tiene un un ´ unico minimal.

Sea ahora Q ⊆ P un subconjunto de P .

Definici´ on 36. Un elemento a ∈ P es una cota superior de Q en P si q ≤ a, para cualquier q ∈ Q.

Definici´ on 37. Un elemento b ∈ P es una cota inferior de Q en P si b ≤ q, para cualquier q ∈ Q.

Definici´ on 38. Un elemento a ∈ P es supremo de Q si

a es una cota superior de Q en P , es decir, q ≤ a, para todo q ∈ Q.

Si b es otra cota superior de Q en P , necesariamente a ≤ b.

Queda claro que, si el conjunto de cotas superiores de Q en P es no vac´ıo, entonces el supremo es el m´ınimo de dicho conjunto.

Definici´ on 39. Un elemento c ∈ P es ´ınfimo de Q si

c es una cota inferior de Q en P , es decir, c ≤ q, para todo q ∈ Q.

Si d es otra cota inferior de Q en P , necesariamente d ≤ c.

Igual que ocurre con el supremo, si el conjunto de cotas inferiores de Q en P es no vac´ıo, entonces el ´ınfimo es el m´aximo de dicho conjunto.

Proposici´ on 5. Se verifican los siguientes enunciados:

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2.4. RELACIONES 45

i ) El supremo de Q, si existe, es ´ unico.

ii ) El ´ınfimo de Q, si existe, es ´ unico.

iii ) Existe el m´aximo de Q si, y s´olo si, existe el supremo y ´este es un elemento de Q.

iv ) Existe el m´ınimo de Q si, y s´olo si, existe el ´ınfimo y ´este es un elemento de Q.

Ejemplo 32. En el conjunto P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 20}, se considera la relaci´on de orden parcial de divisibilidad y el subconjunto Q = {1, 2, 4, 10}.

Es f´acil ver que Q no tiene m´aximo porque tiene dos maximales (4 y 10). El supremo de Q en P es 20. Por otro lado, el ´ unico minimal 1 es m´ınimo e

´ınfimo. Por su parte, P tiene tres maximales (8, 12 y 20), no tiene m´aximo y su m´ınimo es 1.

P

1

3 2 5

6 10

12 8

4

20