Elementos de C´alculo en Varias Variables

(1)

Elementos de C´ alculo en Varias Variables

Departamento de Matem´aticas, CSI/ITESM 15 de octubre de 2009

´ Indice

13.1. Introducci´ on . . . . 1

13.2. Derivada parcial . . . . 1

13.3. El Jacobiano de una Funci´ on . . . . 5

13.4. Derivadas Superiores . . . . 5

13.5. Derivada Total . . . . 6

13.6. Derivada Direccional . . . . 6

13.7. El Gradiente de una Funci´ on . . . . 6

13.8. El Hessiano . . . . 7

13.9. Derivaci´ on de Funciones Compuestas . . . . 8

13.10.El Teorema de Taylor: Requisitos . . . . 9 13.1. Introducci´ on

En esta lectura se dará una revisi´ on r´ apida a algunos conceptos importantes en cálculo en varias variables que se requieren para el trabajo de optimizaci´ on. Dos sobre todo de mucha importancia: el concepto del Jacobiano de una funci´ on real y el de la matriz Hessiana de una funci´ on real. El Jacobiano es la generalización del concepto de primera derivada ya visto en cálculo pero en una variable, mientras que el de matriz Hessiana corresponde a la generalización de la segunda derivada parcial también en una variable. Al final de este resumen de conceptos viene un resultado te´ orico sobre el desarrollo de Taylor de una funci´ on en varias variables.

13.2. Derivada parcial

La definici´ on tradicional o formal de derivada y de derivada parcial se hace en base a l´ımites; est´a definici´ on es s´olo como marco de referencia pues es poco operativa y no se puede llevar a cabo salvo en ejemplos muy simples.

Definici´ on

Sea f : D → R ^m una funci´ on definida en un dominio D ⊆ R ⁿ , y sea a =< a ₁ , a ₂ , . . . , a _n > un punto en el interior de D. Suponga que se elije una de las variables x i (1 ≤ i ≤ n) si existe el l´ımite

h→0 l´ım

f (a + he i ) − f (a) h

entonces se dice que f tiene derivada parcial respecto a x i en el punto a. ´ Esta se representa por

∂f (a)

∂x i

El siguiente ejemplo s´olo pretende ilustrar el uso de la definici´ on en el c´alculo de derivadas parciales.

(2)

Ejemplo 1

Sea la funci´ on f : R ³ → R ² definida por la f´ ormula

f(< x, y, z >) =< x y, x ² + y z >

y sea P =< 1, 2, −1 >. De acuerdo a la definici´ on, determine ^∂f _∂x ^(P) y ^∂f(P) _∂z . Soluci´ on

Como f (P) = f (< 1, 2, −1 >) =< 2, −1 >:

∂f(P)

∂x = l´ım

h→0

f (< 1 + h, 2, −1 >) − f (< 1, 2, −1 >) h

= l´ım

h→0

< (1 + h) 2, (1 + h) ² + 2(−1) > − < 2, −1 >

h

= l´ım

h→0

< 2 h, 2 h + h ² >

h

= l´ım

h→0 < 2, 2 + h >

= < l´ım

h→0 2, l´ım

h→0 2 + h >

= < 2, 2 + 0 >=< 2, 2 >

En forma an´aloga,

∂f(P)

∂z = l´ım

h→0

f (< 1, 2, −1 + h >) − f (< 1, 2, −1 >) h

= l´ım

h→0

< 2, 1 + 2(−1 + h) > − < 2, −1 >

h

= l´ım

h→0

< 0, 2 h >

= l´ım h

h→0 < 0, 2 >

= < l´ım

h→0 0, l´ım

h→0 2 >

= < 0, 2 > _⋄ Nota

La regla importante sobre l´ımites en el caso de vectores dice que el l´ımite de un vector es el vector con el l´ımite de cada componentee:

h→h l´ım

o

x =< l´ım

h→h

o

x ₁ , . . . , l´ım

h→h

o

x _n > (1)

Ejercicio 1

Sea la funci´ on f : R ³ → R ³ definida por la f´ ormula

f (< x, y, z >) =< x ² − z, x ² − y, y + z >

y sea P =< 1, 2, −1 >. De acuerdo a la definici´ on, determine ^∂f _∂x ^(P) y ^∂f(P) _∂z . Nota

En lo siguiente, ya no utilizaremos la definici´ on de derivada parcial sino que utilizaremos las siguientes reglas b´asicas de derivaci´ on parcial:

La derivada parcial de un vector es el vector formado por las derivadas parciales de las componentes.

La derivada parcial de una expresi´ on se calcula como una derivada tradicional de una funci´ on respecto

a una variable considerando las variables restantes como constantes.

(3)

Para calcular una derivada parcial en un punto, se obtiene la derivada parcial en cualquier punto y posteriormente se evalua en el punto dado.

Ejemplo 2 Si f : R ³ → R y

f ((x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ^′ ) = x ₁ x ₂ ² + x ₂ x ₃ ³ Determine ^∂f(x) _∂x

i

para i = 1, 2, 3.

Soluci´ on Tenemos:

∂f(x)

∂x

1

= _∂x ^∂

1

x ₁ x ₂ ² + x ₂ x ₃ ² = _∂x ^∂

₁

x ₁ x ₂ ² + _∂x ^∂

₁

x ₂ x ₃ ² = x 2 2

∂f(x)

∂x

2

= _∂x ^∂

2

x ₁ x ₂ ² + x ₂ x ₃ ² = 2 x 1 x ₂ + x ₃ ³

∂f(x)

∂x

3

= _∂x ^∂

3

x ₁ x ₂ ² + x ₂ x ₃ ² = 3 x 2 x ₃ ² _⋄ Ejemplo 3

Si f : R ³ → R ² y

f (< x 1 , x 2 , x 3 >) =< x 1 x 2 , x 2 + x 3 2 >

Determine las f´ ormulas de ^∂f(x) _∂x

i

para i = 1, 2, 3 en cualquier punto.

Soluci´ on Tenemos:

∂f(x)

∂x

1

= _∂x ^∂

₁

< x 1 x 2 , x 2 + x 3 2 >=< _∂x ^∂

₁

(x 1 x 2 ), _∂x ^∂

₁

(x 2 + x 3 2 ) >=< x 2 , 0 >

∂f(x)

∂x

2

= _∂x ^∂

2

< x ₁ x ₂ , x ₂ + x ₃ ² >=< _∂x ^∂

2

(x ₁ x ₂ ), _∂x ^∂

2

(x ₂ + x ₃ ² ) >=< x ₁ , 1 >

∂f(x)

∂x

3

= _∂x ^∂

3

< x ₁ x ₂ , x ₂ + x ₃ ² >=< _∂x ^∂

3

(x ₁ x ₂ ), _∂x ^∂

3

(x ₂ + x ₃ ² ) >=< 0, 2 x ₃ > _⋄ Ejercicio 2

Sea la funci´ on f : R ² → R ² definida por la f´ ormula

f(< x, y >) =< e ^x−y cos(x ² + y ² ), log(x ² − sen(2πy)) >

y sea P =< 2, 1 >. Determine las f´ ormulas para las derivadas parciales de f en cualquier punto y posteriormente calcule ^∂f _∂x ^(P) y ^∂f(P) _∂y .

Ejemplo 4

Considere la funci´ on f : R ² → R definida por

f (x, y) = (1 − (−0.42x + 0.91y − 1 − (0.73x − 1 + 0.38y) ² ) ² ) (1 + (0.73x − 1 + 0.38y) ² + (−0.42x + 0.91y − 1) ² ) ² Grafique las derivadas parciales de f en (1, 2).

Ejercicio 3

Sea la funci´ on f : R ² → R ² definida por la f´ ormula

f(< x, y >) =< e ^x−y cos(x ² + y ² ), log(x ² − sen(2πy)) >

y sea P =< 2, 1 >. Grafique la funci´ on para 1.5 ≤ x ≤ 2.5 y 0.5 ≤ y ≤ 1.5 y posteriormente

grafique las l´ıneas en el espacio que corresponden a las rectas tangente referentes a las derivadas

parciales en el punto. Como sugerencia utilice Maple y los archivos de apoyo del curso.

(4)

-0.4 -1 -1

000 1

2 y 3 1 4

0.4

x 2 0.8

3

Figura 1: Gr´ afica de f (x, y)

-0.4 -1 -1

0 0

0 1

y 2

1 3

0.4

4

x 2

0.8

3

Figura 2: Parcial de f (x, y) respecto a x

-1 -1

-0.5

-1 0

00 1 2 y

0.5

3 1 4

1 x

1.5 2 3

Figura 3: Parcial de f (x, y) respecto a y

(5)

13.3. El Jacobiano de una Funci´ on

La generalizaci´on de la derivada de una variable a varias variables es la del Jacobiano:

Definici´ on

Sea f : D → R ^m una funci´ on definida en un dominio D ⊆ R ⁿ , sea x un punto en el interior de D, y adem´as suponga que

f =< f ₁ , f ₂ , . . . , f m >

El jacobiano de f en x es la matriz

J _f (x) =







∂f

1

(x)

∂x

1

∂f

1

(x)

∂x

2

· · · ^∂f _∂x

¹

^(x)

n

∂f

2

(x)

∂x

1

∂f

2

(x)

∂x

2

· · · ^∂f _∂x

²

^(x) ..

n

. .. . . .. .. .

∂f

m

(x)

∂x

1

∂f

m

(x)

∂x

2

· · · ^∂f _∂x

^m

^(x)

n







En la columna i de J f (x) aparece ^∂f(x) _∂x

i

. Ejemplo 5

Si f : R ³ → R ² y

f(< x ₁ , x ₂ , x ₃ >) =< x ₁ x ₂ , x ₂ + x ² ₃ >

Determine J f (x).

Soluci´ on

Por los c´alculos realizados en un ejemplo anterior, tenemos:

J _f (x) =

x ₂ x ₁ 0 0 1 2 x 3

⋄

Ejercicio 4

Si f : R ³ → R ² y

f(< x ₁ , x ₂ , x ₃ >) =< x ₁ ² cos(x ₂ ), e ^x

¹

^+x

³²

>

Determine el Jacobiano de f . 13.4. Derivadas Superiores

Las derivadas parciales de orden superior as´ı como derivadas cruzadas se definen similarmente al caso de funciones en una variable. Tambi´en la notaci´ on es similar:

∂ ² f (a)

∂x _i ² ´ o f x

_i

x

_i

(a), ∂ ² f (a)

∂x _i ∂x _j ´ o f x

_i

x

_j

(a) Ejemplo 6

Si f : R ³ → R ² y

f (< x 1 , x 2 , x 3 >) =< x 1 2 x 2 , x 2 + x ² ₃ >

Determine ^∂

²

_∂x ^f ^(x)

2 1

y f x

2

x

3

(x).

Soluci´ on

Directamente de la definici´ on de

∂

²

f (x)

∂x

²1

= _∂x ^∂

²2 1

f (x) = _∂x ^∂

²2 1

< x ₁ ² x ₂ , x ₂ + x ₃ ² >

= < _∂x ^∂

²2 1

(x ₁ ² x ₂ ), _∂x ^∂

²2 1

(x ₂ + x ₃ ² ) >=< 2 x ₂ , 0 >

(6)

∂

²

f (x)

∂x

2

∂x

3

= _∂x ^∂

₂²

_∂x

₃

f (x) = _∂x ^∂

₂²

_∂x

₃

< x 1 2 x 2 , x 2 + x 3 2 >

= < _∂x ^∂

²

2

∂x

3

(x ₁ ² x ₂ ), _∂x ^∂

²

2

∂x

3

(x ₂ + x ₃ ² ) >= = < 2 x ₂ , 0 >

13.5. Derivada Total Definici´ on

Sea f (x) una funci´ on real definida sobre D ⊆ R ⁿ , donde x = (x ₁ , x ₂ , . . . , x n ) ^′ . Suponga que las variables x ₁ , x ₂ , . . . , x n son funciones de t:

x _i = x _i (t)

Entonces, f es tambi´en una funci´ on de t. La derivada ordinaria de f en este caso se llama la derivada total de f . Esta derivada se puede calcular por la f´ ormula:

df dt =

n

X

i=1

∂f (x)

∂x _i dx i

dt .

Ejemplo 7 Si f : R ² → R y

f (< x ₁ , x ₂ >) = x ₁ ² − x ₂ ² y x ₁ = x ₁ (t) = t cos(t) y x ₂ = x ₁ (t) = cos(t) + sin(t).

Determine ^df _dt .

13.6. Derivada Direccional Definici´ on

Sea f : D → R ^m una funci´ on definida en un dominio D ⊆ R ⁿ , sea x = (x ₁ , x ₂ , . . . , x n ) ^′ un punto en el interior de D , y sea v un vector unitario en R ⁿ . La derivada direccional de f en el punto x y en la direcci´on v se define, si existe el l´ımite, como:

h→0 l´ım

f (x + hv) − f (x) h

Por resultado matem´ atico, la derivada direccional puede ser calculada como:

J _f (x) v Ejemplo

Si f : R ³ → R ² y

f (< x ₁ , x ₂ , x ₃ >) =

x ² ₁ + x ² ₂ + x ² ₃ x ² ₁ − x ₁ x ₂ + x ² ₃

Determine la derivada direccional de f en a =< 1, 2, 1 > en la direcci´on v =< √ ¹ 2 , − √ ¹

2 , 0 >.

13.7. El Gradiente de una Funci´ on

El gradiente es el caso particular del Jacobiano cuando la funci´ on tiene una sola componente.

Definici´ on

Sea f : D → R una funci´ on definida en un dominio D ⊆ R ⁿ . Si las derivadas parciales de f existen en un punto interior x de D , el vector

(∂f /∂x ₁ , ∂f /∂x ₂ , . . . , ∂f /∂x n ) ^′

(7)

-0.4 -1 -1

000 1

2 y

3

1 4

0.4

x 2

0.8

3

Figura 4: Gradiente de f (x, y) en (1, 2)

-0.4 -1

-1

000 1 y

2

3 4 1

x

0.4

2

3

0.8

Figura 5: Curva de corte en la direcci´on del gradiente

es llamado el gradiente de f en el punto x y es simbolizado por ∇f (x) Note que el gradiente es un vector en R ⁿ ; no est´a precisamente en D, pero, por aquello de que los vectores son trasladables , es posible trasladarlo y visualizarlo en el punto x.

Ejemplo Si f : R ² → R y

f (< x ₁ , x ₂ >) = x ² ₁ − x ₁ x ₂ + x ² ₂ Determine ∇f (x).

13.8. El Hessiano

La matriz Hessiana es la matriz de una funci´ on de una sola componente, es la matriz formada por las segundas parciales.

Definici´ on

Sea f : D → R una funci´ on definida en un dominio D ⊆ R ⁿ . Entonces, ∇f : D → R ⁿ . La matriz Jacobiana

(8)

de ∇f es llamada la matriz Hessiana de f y se simboliza por H f (x). As´ı, H f (x) = J _∇f (x) y

H f (x) =







∂

²

f(x)

∂x

1

∂x

1

∂

²

f (x)

∂x

2

∂x

1

· · · ^∂

2

f (x)

∂x

_n

∂x

1

∂

²

f(x)

∂x

1

∂x

2

∂

²

f (x)

∂x

2

∂x

2

· · · ^∂

2

f (x)

∂x

n

∂x

2

.. . .. . . .. .. .

∂

²

f(x)

∂x

1

∂x

n

∂

²

f (x)

∂x

2

∂x

n

· · · ^∂

2

f (x)

∂x

n

∂x

n







Ejemplo Si f : R ² → R y

f (< x ₁ , x ₂ >) = x ² ₁ − x ² ₁ x ₂ + x ³ ₂ Determine H f (x). Soluci´ on

Como ∂f

∂x

1

= 2 x ₁ − 2 x ₁ x ₂ , _∂x ^∂f

2

= −x ² ₁ + 3 x ² ₂

∂

²

f

∂x

12

= 2 − 2 x 2 , _∂x ^∂

₁²

_∂x ^f

₂

= −2 x 1 , _∂x ^∂

²

^f

22

= 6 x 2

Por tanto:

H _f (x) =

2 − 2 x ₂ −2 x ₁

− 2 x ₁ 6 x ₂

⋄

13.9. Derivaci´ on de Funciones Compuestas

Sea f : D ₁ → R ^m una funci´ on definida en un dominio D ₁ ⊆ R ⁿ . Sea g : D ₂ → R ^p una funci´ on definida en un dominio D ₂ ⊆ R ^m . Y sea x ₀ un punto interior a D ₁ tal que f (x ₀ ) es un punto interior de D ₂ . Si existe la matriz jacobiana m × n J _f (x ₀ ) , y si existe la matriz jacobiana p × m J _g (f (x ₀ )) entonces existe la matriz jacobiana p × n J h (x ₀ ) para la funci´ on compuesta h = g ◦ f y

J _h (x 0 ) = J g [f (x 0 )] J f (x 0 ) Ejemplo

Si f : R ² → R ³ definida como

f (< x 1 , x 2 >) =





x ² ₁ − x ₂ cos x ₁ x 1 x 2

x ³ ₁ + x ³ ₂



 y si g : R ³ → R definida como

g(< ξ ₁ , ξ ₂ , ξ ₃ >) = ξ ₁ − ξ ² ₂ + ξ ₃ Determine J _g◦f (x). Soluci´ on

Tenemos que:

J _g ((ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) ^′ ) = [1, −2 ξ 2 , 1]

J g (f (x ₁ , x ₂ , x ₃ )) = [1, −2 x ₁ x ₂ , 1]

y

J _f ((x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ^′ ) =





2 x ₁ + x ₂ sin(x ₁ ) −x ₂ cos(x ₁ )

x ₂ x ₁

3 x ₁ ² 3 x ₂ ²



 Por tanto

J _g◦f ((x 1 , x 2 , x 3 ) ^′ ) = J g (f ((x 1 , x 2 , x 3 ) ^′ )) · J f ((x 1 , x 2 , x 3 ) ^′ )

(9)

J _g◦f ((x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ^′ ) = [1, −2 x ₁ x ₂ , 1]





2 x ₁ + x ₂ sin(x ₁ ) −x ₂ cos(x ₁ )

x ₂ x ₁

3 x ₁ ² 3 x ₂ ²





=

2x ₁ + x ₂ sin(x ₁ ) − 2x ₁ x ₂ ² + 3x ₁ ²

− x 2 cos(x 1 ) − 2x 1 2 x 2 + 3x ² ₂

T

⋄

13.10. El Teorema de Taylor: Requisitos

Sea x = (x ₁ , x ₂ , . . . , x _n ) ^′ , se define el operador diferencial de primer orden x ^′ ∇ como:

x ^′ ∇ =

n

X

i=1

x _i ∂

∂x i

La aplicaci´on del operador x ^′ ∇ a una funci´ on f (x) ser´ıa:

(x ^′ ∇ )f (x) =

n

X

i=1

x i

∂f

∂x i

Por notaci´ on

(x ^′ ∇ )f (x ₀ ) representa (x ^′ ∇ )f (x) evaluando s´olo las parciales en x ₀ . Ejemplo

Si f : R ³ → R definida como

f ((x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ^′ ) = x ₁ − x ² ₂ + x ₃ Calcule (x ^′ ∇ )f (x) y (x ^′ ∇ )f (x ₀ = (0, 2, 1) ^′ ).

Soluci´ on Como

∂f

∂x 1

= 1, ∂f

∂x 2

= −2 x ₂ , ∂f

∂x 3

= 1 Tenemos:

(x ^′ ∇ )f (x) = x ₁ (1) + x ₂ ( − 2 x ₂ ) + x ₃ (1)

(x ^′ ∇ )f (x ₀ ) = x ₁ (1) + x ₂ ( − 4) + x ₃ (1) = x ₁ − 4 x ₂ + x ₃ El operador x ^′ ∇ se define para ´ ordenes superiores:

(x

^′

∇ )

^m

= X

k1,k2,...,kn

m

k

1

, k

2

, . . . , k

n

x

^k₁¹

x

^k₂²

· · · x

^k_nⁿ

∂

^m

∂x

^k₁¹

∂x

^k₂²

· · · ∂x

^knⁿ

Donde la sumatoria corre sobre todas las posibles n-uplas para las cuales

n

X

i=1

k i = m y

m

k ₁ , k ₂ , . . . , k n

= m!

k ₁ !k ₂ ! · · · k n ! La aplicaci´on del operador x ^′ ∇ a f (x) resulta en:

(x

^′

∇ )

^m

f (x) = X

k1,k2,...,kⁿ

m

k

1

, k

2

, . . . , k

n

x

^k₁¹

x

^k₂²

· · · x

^k_nⁿ

∂

^m

f (x)

∂x

^k₁¹

∂x

^k₂²

· · · ∂x

^knⁿ

Por notaci´ on

(x ^′ ∇ ) ^m f (x 0 ) representa (x ^′ ∇ ) ^m f (x) evaluando las parciales en x 0 .

(10)

Importante

El operador (x ^′ ∇ ) ^m f (x) s´olo es aplicable a funciones f : D ⊆ R ⁿ → R. Es decir a funciones de valor real.

Ejemplo

Si f : R ³ → R definida como

f ((x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ^′ ) = x ₁ − x ² ₂ + x ₃ Aplique el operador (x ^′ ∇ ) ² y (x ^′ ∇ ) ³ a f .

Soluci´ on

Para (x ^′ ∇ ) ² , las posibles tripletas (k ₁ , k ₂ , k ₃ ) (3 variables) que cumplen k ₁ + k ₂ + k ₃ = 2

son (2, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 2, 0), (0, 1, 1) y (0, 0, 2). Para determinar los t´erminos de cada suma debemos calcular todas las derivadas de orden 2, Las derivadas de primer orden son:

∂f

∂x 1

= 1, ∂f

∂x 2

= −2x ₂ , ∂f

∂x 3

= 1 y todas las de segundo orden son:

∂

²

f

∂x

1

∂x

1

= 0, _∂x ^∂

²

^f

1

∂x

2

= 0, _∂x ^∂

²

^f

1

∂x

3

= 0,

∂

²

f

∂x

2

∂x

2

= −2, _∂x ^∂

²

^f

2

∂x

3

= 0,

∂

²

f

∂x

3

∂x

3

= 0 Por tanto,

(x

^′

∇ )

²

f (x) = P

k1,k2,k3

2 k

1

, k

2

, k

3

x

^k₁¹

x

^k₂²

x

^k₃³ ^∂

2f(x)

∂x^k11 ∂x^k22 ∂x^k33

=

2 0, 2, 0

x

⁰₁

x

²₂

x

⁰₃

(−2) = −2 x

²₂

Para (x ^′ ∇ ) ³ , las posibles tripletas (k ₁ , k ₂ , k ₃ ) (3 variables) que cumplen k ₁ + k ₂ + k ₃ = 3

son (3, 0, 0), (2, 1, 0), (2, 0, 1), (1, 2, 0), (1, 1, 1),(1, 0, 2), (0, 3, 0), (0, 2, 1), (0, 1, 2), y (0, 0, 3). Como todas las correspondientes parciales son cero, (x ^′ ∇ ) ³ = 0 _⋄

Teorema 13.1

(Desarrollo de Taylor)

Sea f : D → R, donde D ⊆ R y sea x ₀ un punto en el interior de D. Si f y todas las derivadas parciales de f de orden ≤ r existen y son continuas en una bola abierta con centro en x ₀ , entonces para cualquier punto x en dicha bola:

f (x) = f (x 0 ) +

r−1

X

i=1

[(x − x ₀ )∇] ⁱ f (x ₀ )

i! + [(x − x ₀ )∇] ^r f (z) r!

para alg´ un z en el segmento que une x con x ₀ .

(11)

Ejemplo

Si f : R ² → R definida como

f ((x 1 , x 2 ) ^′ ) = x 1 x 2 + x ² ₁ + e ^x

¹

cos x 2

Desarrolle en x ₀ = (0, 0) ^′ hasta el orden r = 2. as parciales hasta orden 2 son:

∂f

∂x ₁ = x ₂ + 2 x ₁ + e ^x

¹

cos x ₂ , ∂f

∂x ₂ = x ₁ − e ^x

¹

sin x ₂

∂

²

f

∂x

1

∂x

1

= 2 x ₁ + e ^x

¹

cos x ₂

∂

²

f

∂x

1

∂x

2

= 1 − e ^x

¹

sin x ₂

∂

²

f

∂x

2

∂x

2

= −e ^x

¹

cos x 2 , Y las evaluaciones en (x 1 = 0, x 2 = 0) ^′ son

∂f

∂x

1

= 1, _∂x ^∂f

2

= 0

∂

²

f

∂x

1

∂x

1

= 1, _∂x ^∂

²

^f

1

∂x

2

= 1, _∂x ^∂

²

^f

2

∂x

2

Elementos de C´alculo en Varias Variables