Resuelva por: a) Ecuaciones de movimiento lineal y/o angular b) Lagrange SOLUCION 1 GENERAL

Texto completo

(1)

1. Un disco uniforme de radio r y masa m, rueda sin deslizar sobre una barra recta, también uniforme, de masa M y longitud ℓ, que cuelga de dos cables inextensibles, de igual longitud y masa despreciable, conectados en sus extremos a un pivote fijo O. Determine la(s) ecuación(es) diferencial(es) del movimiento del sistema, suponiendo que todos los elementos permanecen en un plano vertical único en todo instante.

Resuelva por:

a) Ecuaciones de movimiento lineal y/o angular b) Lagrange

SOLUCION 1 GENERAL Grados de libertad

Sistema de dos grados de libertad: rotación del riel en torno al punto O y desplazamiento del disco a lo largo del riel.

Coordenadas generalizadas:

θ Rotación del riel

η Desplazamiento del centro del disco sobre el riel Procedimiento de solución:

Se estudiará el movimiento de cada uno de los elementos por separado

2 ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE LA BARRA

La barra describe un movimiento rotacional en torno al punto fijo O, por lo tanto sólo se escribirá la ecuación de movimiento rotacional.

2.1 Cinemática

Velocidad y aceleración angular de la barra:

2.2 Ecuación de Movimiento

En la figura se muestra el DCL de la barra sometida a las siguientes fuerzas:

• Peso Mg actuando en el centro de la barra

• Fuerzas de contacto con el disco: N en dirección normal (r) y H en dirección tangencial (η).

• Tensiones TA y TB en los cables de soporte Ecuación de movimiento rotacional en torno a O:

m, r O

a

M,

θ

x y

m, r O

a

M,

η

A

B D

θ θ ! Ω ! = !!

= Ω

B

N

eη

θ

x y

O

a

M,

η

A

D

TA

TB

H

er

Mg

θ

τ

O

= I

O

!!

(2)

τ

O : torque de las fuerzas en torno a O:

I

O : Momento de inercia del riel en torno al punto O:

Reemplazando y ordenando:

3 ECUACIONES DE MOVIMIENTO DEL DISCO 3.1 Cinemática

Posición del CM D del disco en coordenadas cartesianas.

Derivando se obtiene las componentes de la velocidad y aceleración:

⎟ ⎟

⎜ ⎜

⎛ +

= +

=

2

2 2

2

O

a

M 12 a

M 12 M

I 1

B

N eη

θ

x y

O

a

M,

η

A

D

H

er

mg

( )

( )

( ) ( )

( )

[ ] [ ( ) ]

( ) ( )

( )

[ θ θ η θ η θ ] θ θ [ η θ θ η ( θ ) θ η θ η θ θ ] η θ θ θ η θ θ η θ θ

θ θ

η θ

θ η θ θ

η η θ

θ θ

η θ θ η θ θ η θ θ η θ η θ θ

θ θ

θ θ η θ η θ θ

θ θ η θ η θ θ

cos 2

r a sin

r a

sin cos

cos cos

sin cos

r a sin

r a y

sin 2

r a cos

r a

cos sin

sin sin

cos sin

r a cos

r a x

cos sin

sin r

a y

sin cos

cos r

a x

2 2

2 2

D

2 2

2 2

D D D

! !

!

!!

!! !

!!

!

!!

! !

! !

! !!

!! !!

! !

!

!!

!! !

!!

!

!!

! !

! !

! !!

!! !!

! !

! !

! !

! !

+

− + +

− +

=

− +

+ +

+

− +

=

+

− +

− +

=

− +

=

+ +

=

− +

=

a H N

sin a

O

= − Mg θ − η +

τ

( ) 1

Ec 0

sin a Mg a H N

12 a

M

2

2

= +

⎟ +

⎜ ⎜

+ θ !! η θ

( )

( ) θ η θ

θ η θ

sin cos

r a y

cos sin

r a x

D D

+

=

+

=

(3)

La aceleración de D se puede escribir como:

Movimiento rotacional del disco

3.2 Ecuaciones de Movimiento

En la figura se muestra el DCL del disco sometido a las siguientes fuerzas:

• Peso mg actuando en el centro D

• Fuerzas de contacto con la barra: N en dirección normal (r) y H en dirección tangencial (η).

Movimiento lineal

( )

[

2

] [ ( )

2

]

r

D

a r e a r 2 e

a = − θ !! + η !! − η θ !

η

− η θ !! + − θ ! + η ! θ !

r r

D D

θ η θ η

!! !!

!

! !

= Ω

= Ω

( ) ( )

( ) [ ( ) ]

( )

[ ] ( )

( )

[ ]

( )

[ a r 2 g cos ] Ec . ( ) 3

m N

2 r

a m

N cos

mg :

r

2 . Ec sin

g r

a m H

r a m sin

mg H

:

e N cos

mg e

sin mg H

e mg e

N e H F

a m F

2

2 2

2

r y

r D

θ θ

η θ

θ η

θ η θ

θ η θ

θ θ

η η θ

θ η η θ θ

η

θ θ

η

η

+ +

− +

=

+

− +

=

+

− +

=

− +

= +

− +

+

=

=

=

! !

!

!!

! !

!

!!

!! !

!!

!! !

!!

(4)

Movimiento rotacional

4 ECUACIONES DE MOVIMIENTO DEL SISTEMA Reemplazando Ecs. (3) y (4) en Ec. (1) se tiene:

Arreglando términos, la primera EDM del sistema queda:

Combinando Ecs. (2) y (4) se tiene la segunda de las EDM del sistema

Ordenando términos:

( ) 4

r Ec 2 mr

H 1

mr r 2 r 1 H

2 mr I 1

r H I

2 2 D

D D D D

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎝

⎛ −

=

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎝

⎛ −

=

=

= Ω

=

θ η θ η τ

τ

!! !!

!! !!

!

( )

[ a r 2 g cos ] 2 1 mr r a Mg a sin 0

m 12 a

M

2 2

2

=

⎟⎟ +

⎜⎜ ⎝

⎛ − +

+ +

− +

⎟ +

⎜ ⎜

⎛ + η θ

θ η

θ θ

η θ

θ η

θ !! !! ! ! ! !! !!

( 2 a 3 r ) θ !! + 3 η !! 2 η θ !

2

+ 2 g sin θ = 0

(

a r

)

2m g

(

Masin m cos

)

0

m 2ma

m 1 2mra

a 1

M 12 2 2 2

2

= +

+ +

− +

⎥ −

⎢⎢

⎡ ⎟⎟+ +

⎜⎜

⎛ ℓ +

η θ

!!

η

!!

η θ

!

η η

!

θ

!

θ η θ

( )

[ θ η η θ θ ]

θ η m a r g sin

mr r 2

1

2

+

− +

⎟⎟ =

⎜⎜ ⎞

⎛ !! − !! !! !! !

(5)

5 LAGRANGE

5.1 Energía Cinética Barra

Disco

Sistema

5.2 Energía potencial sistema

La energía potencial es la energía potencial gravitatoria de todas las masas. Se considera V=0 a nivel del apoyo.

2 2 2

2 o

b

a

M 12 2 I 1

2

T 1 ! θ !

⎜ ⎜

⎛ +

= Ω

=

( )

( )

[ ] [ ( ( ) ) ]

( )

( )

( )

( ) ( )

[ ]

( )

( ) ( )

[

2 2 2 2 2 2

]

2 2 2

2 D

r D

y D x

2 D D 2

D D

3 r

3 a 2 2 2

r r a 2 4 m 1

mr r 2 1 2 r 1

a 2 m T 1

e e

r a v

o

e cos sin

r a e

sin cos

r a v

2 I mv 1

2 T 1

η η θ θ

η θ

θ η θ

η η

θ

θ η η

θ

θ θ η θ η

θ θ

θ η θ η

θ

η

!

! !

!

!

! !

! !

!

! !

!

! !

!

! !

!

!

+

− +

+ +

=

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎝

⎛ − +

+ +

=

− +

=

+ +

− +

− +

=

Ω +

=

( )

( θ η θ )

θ mg a r cos sin cos

a Mg y

mg y

Mg V

V

V =

b

+

D

=

b

+

D

= − − − −

( )

(

2 2

)

2

[

2 2

( )

2

]

2 2 D

b

m 2 2 2 a 3 r 3

4 r 1

r a 2 m 12 a

M 4 2 T 1 T

T ℓ θ ! η θ ! θ ! η ! η !

+

− +

⎥ +

⎢ ⎢

⎡ ⎟ ⎟ + − +

⎜ ⎜

⎛ +

= +

=

(6)

5.3 Ecuaciones de Lagrange:

Para θ:

( )

( ) [ ( ) ]

( )

( ) [ ( ) ]

( )

( )

( )

( ) [ ( ) ]

( )

( a r sin cos ) 0

mg sin

a Mg

r 3 a 2 4

2 m m 1

2 r r a 2 m 12 a

M 2 2 1

cos sin

r a mg sin

a V Mg

T L

r 3 a 2 4

2 m m 1

2 r r a 2 m 12 a

M 2 2 1 L dt

d

r 3 a 2 2

2 m r 1

r a 2 m 12 a

M 2 2 1 T L

L 0 L

dt d

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

= +

− +

+

+

− +

⎥ +

⎢ ⎢

⎡ ⎟ ⎟ + − + +

⎜ ⎜

⎛ +

+

∂ =

− ∂

= ∂

− + +

⎥ ⎥

⎢ ⎢

⎡ ⎟ ⎟ + − + +

⎜ ⎜

⎛ +

⎟⎟ =

⎜⎜ ⎞

− +

⎥ +

⎢ ⎢

⎡ ⎟ ⎟ + − +

⎜ ⎜

⎛ +

∂ =

= ∂

∂ =

− ∂

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎝

θ η θ θ

η θ

η η θ

η

θ η θ θ θ

θ θ

η θ

η η θ

θ η

η θ

η θ θ

θ

θ θ

! !!

!! ! ℓ

! !!

!! ! ℓ

!

! ! ℓ !

!

!

!

(7)

Para η:

Nótese que la segunda ecuación es la misma obtenida anteriormente.

La primera ecuación obtenida por Lagrange es diferente a la obtenida mediante las ecuaciones de movimiento. Sin embargo, si se restan ambas ecuaciones, se obtiene una expresión que es igual a la segunda EDM, y que por lo tanto es nula, con lo que se demuestra que las EDM por ambos métodos son equivalentes.

( )

[ ]

( )

[ ]

[ ]

( 2 a 3 r ) 3 2 2 g sin 0

sin mg 4

4 m 1 V T

L

6 r

3 a 2 2 4 m 1 T

dt d L

dt d

6 r

3 a 2 2 4 m 1 T L

L 0 L

dt d

2 2

= +

− +

∂ =

− ∂

= ∂

+

⎟⎟ =

⎜⎜ ⎝

= ∂

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎝

+

∂ =

= ∂

∂ =

− ∂

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎝

θ θ

η η θ

θ θ

η η η

η

η η θ

η

η η θ

η

η η

!! !

!!

!

!! !!

!

!

! !

!

!

!

(8)

ITEM PUNTAJE Base Sub

total Asignado Sub total

(1) GENERAL 04

Identificación grados de libertad, definición de coordenadas absolutas y generalizadas 02

Planteamiento solución separando sistema en sus partes 02

(2) ECUACIONES DE MOVIMIENTO BARRA

Definición procedimiento solución: rotación en torno a punto fijo o ecuaciones generales 02 02

(2.1) Cinemática 03

Velocidad y aceleración angular barra más velocidad y aceleración CM si corresponde 03

(2.2) Ecuación de movimiento 11

DCL – Identificación fuerzas: Peso, Fuerzas contacto con disco, Tensiones cable 02 Ecuación de movimiento rotacional en torno a punto O, o ecuaciones de movimiento

lineal del CM y rotacionel en torno al CM 05

Cálculo inercia de la barra respecto a punto de rotación (o o CM) 02

Expresiones de ecuaciones de movimiento 02

(3) ECUACIONES DE MOVIMIENTO DEL DISCO

(3.1) Cinemática 06

Velocidad y aceleración del CM 03

Velocidad y aceleración angular 03

(3.2) Ecuación de movimiento 11

DCL – Identificación fuerzas: Peso, Fuerzas contacto con barra 02

Ecuaciones de movimiento lineal del CM 03

Ecuación de movimiento rotacionel en torno al CM 03

Cálculo inercia del disco respecto a su CM 01

Expresiones de ecuaciones de movimiento 02

(4) ECUACIONES DE MOVIMIENTO DEL SISTEMA 03

Obtención EDM del sistema para las coordenadas generalizadas 03 (5) ECUACIONES DE LAGRANGE

(5.1) Energía cinética sistema 05

Energía cinética barra 02

Energía cinética disco 02

Energía cinética sistema 01

(5.2) Energía potencial sistema 02 02

(5.3) Obtención EDM 03 03

TOTAL 50 50

(9)

2. La barra uniforme AB de masa m y longitud ℓ de la figura está conectada a un pivote fijo en A, y desliza libremente en el otro extremo B a lo largo de un riel que permanece vertical en todo instante.

Los extremos del riel están conectados a una pared fija por resortes horizontales de rigidez K.

Suponiendo que en la posición horizontal de la barra AB los resortes están indeformados, y que todos los elementos del sistema permanecen en un plano vertical único en todo instante, determine:

a) Ecuación diferencial de movimiento del sistema mediante ecuaciones de movimiento lineal y angular

b) Repita (a) usando ecuaciones de Lagrange

c) Revise la posibilidad que el sistema responda como un oscilador simple en respuesta libre

SOLUCION 1 GENERAL Grados de libertad

Sistema de un grado de libertad: rotación de la barra en torno al punto fijo A.

Coordenadas generalizadas:

θ Rotación de la barra Procedimiento de solución:

Se estudiará el movimiento rotacional de la barra en torno al pivote A

2 ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE LA BARRA

La barra describe un movimiento rotacional en torno al punto fijo A, por lo tanto sólo se escribirá la ecuación de movimiento rotacional.

2.1 Cinemática

Velocidad y aceleración angular de la barra:

A

m

,ℓ

B

K

K

A

m

,ℓ

B

K

K θ

( ) 1

. θ Ec

θ ! Ω ! = !!

=

Ω

(10)

2.2 Ecuación de Movimiento

En la figura se muestra el DCL de la barra sometida a las siguientes fuerzas:

• Peso mg actuando en el centro de la barra

• Reacciones HA y VA en el pivote de apoyo Fuerza horizontal Fe de contacto con el riel

Ecuación de movimiento rotacional en torno a A

τ

A : torque de las fuerzas en torno a A:

I

A : Momento de inercia de la barra en torno al punto A:

Reemplazando se tiene la EDM del sistema:

Re-ordenando se tiene:

3 LAGRANGE

3.1 Energía Cinética

A

m

,ℓ

B θ

Fe

HA

VA

mg

2

A

m

3 I = 1

θ τ

A

= I

A

!!

( ) 3

. Ec sin

F 2 cos

mg

e

A

θ θ

τ ℓ ℓ

=

( 1 cos ) sin 2 3 g cos 0 Ec ( ) 4

m

6 K − − =

+ θ θ θ

θ "" ℓ

( 1 cos ) Ec . ( ) 2

K 2

F

e

= ℓ − θ

( θ ) θ θ

θ ℓ ℓ ℓ !!

m

2

3 sin 1 cos

1 K 2 2 cos

mg − − =

2 2 2

2 2

A

b

m

6 m 1

3 1 2 I 1

2

T = 1 Ω ! = ℓ θ ! = ℓ θ !

(11)

3.2 Energía potencial sistema

La energía potencial es la energía potencial gravitatoria de la barra más la de deformación de los resortes

3.3 Ecuación de Lagrange:

Re-ordenando se tiene:

que es el mismo resultado anterior.

Nótese que esta ecuación no representa un oscilador simple.

( )

[ 1 cos ]

2

mg 2 sin K

2

( 1 cos )

2

2 K 2 1 2 sin

mg

V = − θ + − θ = − ℓ θ + ℓ − θ

ℓ ℓ

( )

( 1 cos ) sin 0

K 2 2 cos

mg 3 m

1

sin cos 1 K 2 2 cos

V mg T

L

3 m 1 L dt

d

3 m 1 T L

L 0 L

dt d

2 2

2 2

2

⎥ =

⎢ ⎤

⎡ − + −

+

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎡ − + −

∂ =

− ∂

= ∂

⎟⎟ =

⎜⎜ ⎝

∂ =

= ∂

∂ =

− ∂

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎝

θ θ θ

θ

θ θ θ θ

θ θ

θ θ θ θ θ

θ θ

ℓ ℓ

""

ℓ ℓ

""

" ℓ

"

" ℓ

"

"

( 1 cos ) sin 2 3 g cos 0 Ec ( ) 5

m

6 K − − =

+ θ θ θ

θ "" ℓ

(12)

4 CASO RESPUESTA COMO OSCILADOR SIMPLE

Se verificará si el sistema puede responder en oscilaciones simples en torno a la posición de equilibrio estático Supóngase que la posición de equilibrio estático está

definida por el ángulo β, y el sistema responde con rotaciones ϕ en torno a la posición de equilibrio estático

Reemplazando en la EDM obtenida antes:

Se estudiará el caso de respuesta de pequeñas amplitudes, es decir, ϕ <<

Reemplazando en la EDM:

Agrupando términos y despreciando los de segundo orden se obtiene la EDM del sistema:

A

m

,ℓ

HA

B

Fe VA

mg

β ϕ

( )

(

1 cos

) (

sin

)

23 gcos

( )

0

m

6 K − + + − + =

+

=

=

⇒ +

=

ϕ β ϕ

β ϕ

β ϕ

ϕ θ ϕ

θ ϕ

β θ

"" ℓ

""

""

"

"

( )

( )

( )

( β ϕ ) β ϕ β

β ϕ β ϕ

β

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ β ϕ

β ϕ

β

β ϕ ϕ

β ϕ

β ϕ β θ

sin cos

cos

cos sin

sin

1 cos sin

Pero

sin sin cos

cos cos

cos sin cos

sin sin

= +

+

≈ +

<<

= +

+

= +

⇒ +

=

( 1 cos sin )( sin cos ) 2 3 g ( cos sin ) 0

m

6 K − + + − − =

+ β ϕ β β ϕ β β ϕ β

ϕ "" ℓ

( )( ) ( )

( ) ( )

(

cos cos sin

)

23 g sin 6mK

(

1 cos

)

sin 23 g

(

cos

)

0

m 6 K

0 sin

g cos 2 cos 3

sin sin

cos cos

sin cos

m sin 6 K

0 sin

g cos 2 cos 3

sin sin

cos m 1

6 K

2 2

2 2

2

= +

⎥ =

⎢ ⎤

⎡ − + +

+

=

− +

+

− +

+

=

− +

+

− +

β β

β ϕ

β β

β β

ϕ

β ϕ β β

β ϕ

β ϕ

β ϕ

β β β

ϕ β ϕ

β ϕ β β

ϕ β β

ϕ β ϕ

"" ℓ

"" ℓ

"" ℓ

(13)

Posición de equilibrio estático

Examinando la ecuación de equilibrio estático de torque en torno al pivote A se tiene, para la posición de equilibrio estático β se tiene:

La fuerza en el pasador es:

Reemplazando se tiene:

Arreglando se obtiene la expresión que define la posición de equilibrio estático:

Dado que el lado derecho de la ecuación es siempre positivo, existe solución para β en el rango (0,π/2) (rango abierto, no incluye los extremos), para mg/4Kℓ entre 0 e ∞.

Reemplazando en la EDM se tiene:

Arreglando términos:

Esta corresponde a la EDM de un oscilador simple con una frecuencia angular ω igual a:

Se aprecia claramente como existe una solución para β en el rango (0,π/2), la frecuencia angular existe y el sistema responde como oscilador simple para oscilaciones pequeñas.

( ) xx

. Ec sin

F 2 cos

mg

0 ℓ β

e

ℓ β

=

( 1 cos β )

K 2

F

e

= ℓ −

( 1 cos ) sin Ec . ( ) xx

K 2 2 cos

mg

0 ℓ β ℓ β ℓ β

=

( 1 cos β ) tan β = 4 mg K Ec . ( ) xx

( )

[

cos cos tan sin

]

0

m 6 K

tan cos

m 1 K 4 g

2 + =

− +

=

ϕ β β β

β ϕ

β β

!!

cos 0 cos 1 m 6 K

3

⎥ =

⎢ ⎣

+ ⎡ − ϕ

β ϕ !! β

⎥ ⎦

⎢ ⎤

= ⎡ −

β ω β

cos cos 1 m 6 K

3 2

(14)

ITEM PUNTAJE Base Sub

total Asignado Sub total

(1) GENERAL 04

Identificación grado de libertad, definición de coordenadas absolutas y generalizada 02

Planteamiento solución separando sistema en sus partes 02

(2) ECUACIONES DE MOVIMIENTO BARRA 03

Definición procedimiento solución: rotación en torno a punto fijo o ecuaciones generales 03

(2.1) Cinemática 03

Velocidad y aceleración angular barra más velocidad y aceleración CM si corresponde 03

(2.2) Ecuación de movimiento 14

DCL – Identificación fuerzas: Peso, Fuerza contacto con riel, Reacciones en pivote 02 Cálculo fuerza contacto en riel en función coord. generalizada (fuerzas en resortes) 03 Ecuación de movimiento rotacional en torno a pivote, o ecuaciones de movimiento lineal

del CM y rotacionel en torno al CM 05

Cálculo inercia de la barra respecto a punto de rotación (o o CM) 01

Ecuación de movimiento 03

(3) ECUACIONES DE LAGRANGE 10

(3.1) Energía cinética sistema 04

(3.2) Energía potencial sistema 03

(3.3) Obtención EDM 03

(4) RESPUESTA COMO OSCILADOR SIMPLE 16

Plantear movimiento en torno a posición equlibrio estático 2

Definición coordenada c/r posición equilibrio estático 2

Planteamiento EDM en términos de la nueva coordenada 2

Imponer condición de pequeños desplazamientos 2

Obtención EDM del movimiento para la coordenada 2

Obtención posición equilibrio estático 3

Definición de condición para que solución sea posible 3

TOTAL 50 50

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