Historia de la trigonometría
Breve revisión histórica de la trigonometría.
Algunas aplicaciones de la trigonometría en la antigüedad
Cuatro artículos interesantes que muestran distintas utilidades de la trigono- metría.
• El tiro con catapulta.
• Cómo Eratóstenes midió el radio de la tierra.
• Midiendo distancias.
• El túnel de Samos.
Claudio Tolomeo
Breve historia de este matemático y astrónomo griego del siglo
IId. de C.
Los cuerpos regulares y la astronomía
Se puede oír la forma de un tambor
La forma de un tambor le confiere un sonido especial. Y los sonidos se pueden
describir mediante funciones con muchos senos y cosenos.
HISTORIA DE LA TRIGONOMETRÍA Origen de la trigonometría
La astronomía de los matemáticos griegos antiguos (Pitágoras y sus primeros seguidores), en los siglos
VI,
Vy
IVa. de C., consistió fundamentalmente en des- cripciones y especulaciones aventuradas sobre los astros.
Más adelante, sin embargo, se fue poniendo de manifiesto que era necesario hacer de la astronomía una ciencia más exacta, fundada en mediciones y en una mate- mática apropiada, que permitiera predecir con precisión los eclipses y los movi- mientos de los astros, para hacer los calendarios más exactos y la navegación más segura. Así nació la trigonometría con Hiparco, un griego del siglo
IIa. de C.
Los tres matemáticos griegos a quienes más debe la astronomía antigua fueron Hiparco, del siglo
IIa. de C., Menelao, del siglo
Id. de C. y, sobre todo, Tolomeo del siglo
IId. de C., con quien la astronomía alcanza una de sus cumbres.
Tolomeo escribió un tratado que llamó Syntaxis Mathematica, es decir Colección Matemática, que los matemáticos árabes apreciaron tanto que se referían a él como La Gran Colección (Al Magesto), en griego, Megale Syntaxis.
Una gran parte de los teoremas de nuestra actual trigonometría eran perfectamen- te conocidos y utilizados con destreza por Tolomeo.
Desarrollo
La trigonometría se ocupa, principalmente, de estudiar la relación entre lados y ángulos de un triángulo, y surgió por razón de las necesidades de la astronomía, la cartografía (construcción de mapas), la artillería, ...
La trigonometría, que necesitó para su desarrollo de elementos de aritmética (para la configuración de tablas), álgebra (para establecer fórmulas que relacionan ángu- los y lados en un triángulo) y geometría, tuvo un florecimiento mucho más tardío que la geometría.
Es curioso que la trigonometría esférica, es decir, la que estudia los triángulos de
lados curvilíneos que, similares a los de la ilustración, se forman sobre la superfi-
cie de la esfera, se desarrollara antes que la trigonometría plana que hoy nos pare-
ce mucho más elemental.
Esto se debió al interés práctico más cercano de la esfera para cálculos astronómicos y de navegación. Indios y árabes se dedicaron de forma primordial al estudio de este aspecto y lo llevaron a cabo con notable éxito, de forma sistemática, hacia mediados del siglo
XIII.
Los protagonistas en Europa
La obra de los árabes llego a la Europa Occidental a través de España y, entre los personajes importantes de este proceso, se encuentra Jabir de Sevilla, quien en el siglo
XIobtuvo importantes resultados sobre triángulos esféricos.
El astrónomo prusiano Johann Müller (Regiomontano) en el siglo
XV, fue el pri- mer europeo en sistematizar los conocimientos trigonométricos. Más adelante, con el desarrollo de la aritmética y el álgebra, su obra fue notablemente simplifi- cada.
El teorema del coseno para la resolución de triángulos planos fue introducido por Vieta en el siglo
XVI.
Los logaritmos de Napier (o Neper) empezaron a hacer más fáciles los cálculos de la trigonometría a comienzos del siglo
XVII.
Se puede considerar que la trigonometría alcanza su punto culminante con la apa-
rición de las series de Fourier, a principios del siglo
XIX, con las que la trigonome-
tría se une estrechamente al análisis, proporcionando un instrumento sin prece-
dentes para la exploración de las vibraciones y movimientos periódicos que por
todas partes aparecen en la naturaleza.
ALGUNAS APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRÍA EN LA AN- TIGÜEDAD
El tiro con catapulta
Tales de Mileto aprendió de los egipcios a medir la altura de un árbol de forma similar a como tú lo has aprendido en este tema. No te hace falta subir a su copa y echar una cinta métrica desde arriba; basta medir la longitud de su sombra en el momento en que la altura de una estaca vertical clavada en el suelo es igual a la longitud de su sombra. O de otra forma: basta medir la longitud s de la sombra del árbol cuando la longitud de una estaca vertical es, por ejemplo, 4 veces la lon- gitud de su sombra. La altura del árbol es, entonces, 4s.
Un problema interesante con que Tales se encontró al volver a su ciudad de Mileto, en la costa griega, consistía en averiguar la distancia a que está un barco enemigo anclado frente a su costa. Si sabía la distancia, podría adivinar mejor con qué catapulta (la de largo, mediano o corto alcance), podría darle una buena pedrada.
Tales debió acordarse de los egipcios y pensó que el problema era muy parecido al de calcular la distancia desde la copa de un árbol al suelo (para el que poseía una receta); era una distancia inaccesible lo que había que medir, pero ahora desde un punto del mar a la costa.
— Si hubiera un sol debajo del agua que ofreciera una sombra... ¡Fantasías! Pero,
¿qué falta me hace el Sol?—pensó—. La línea de luz desde el barco a mi ojo también es una línea recta. Y puedo valerme del acantilado, que sé que mide 100 codos de altura sobre el mar.
Tales se situó en la cornisa del acantilado y miró al barco. Sacó una vara por la cornisa hasta que su punta coincidió, en la visual, con el barco. Midió la vara (10 codos), midió la altura de sus ojos sobre la vara (5 codos) y se dijo: — ¡Eureka!
La distancia es de 200 codos. Con mi catapulta de alcance medio... ¡Diana!
5 10
100
Cómo Eratóstenes midió el radio de la Tierra
Eratóstenes de Cirene, un griego del siglo
IIIa. de C., calculó por vez primera el radio de la Tierra con una exactitud extraordinaria para los métodos de que disponía.
La idea de su cálculo es muy sencilla: si se toman dos puntos, A y S, sobre un mismo meridiano y se puede medir el ángulo α y la distancia l medida sobre el arco AS del meridiano que pasa por los dos puntos, por una sencilla regla de tres:
= =
De este modo: R =
Lo difícil, por supuesto, era determinar el ángulo α y la distancia l.
Eratóstenes eligió como punto S una ciudad del sur de Egipto llamada antigua- mente Siena (la moderna Aswan, donde se ha construido recientemente, un em- balse del Nilo). Allí, había un profundo pozo cuyo fondo iluminaba el Sol un me- diodía de verano. El punto A era Alejandría, ciudad situada en el mismo
meridiano que Siena, el Sol no caía vertical, sino separándose de la plomada un ángulo que valía de la circunferencia.
Utilizando probablemente el tiempo de viaje de una caravana o, tal vez, medidores expresamente contratados para ello, determinó que la distancia entre Alejandría y Siena era de 5 000 estadios, es decir, 926 km. Por tanto el radio de la Tierra debía ser:
R = = 7 372 km
bastante aproximado a los 6 378 km que revelan las mediciones más modernas.
360
o2π 926 360/50 1
50
360
o2π l α
2πR 360
olongitud total merididano
360
ol
α
S A
l α
Midiendo distancias
A fin de realizar con precisión mapas topográficos para la construcción de carrete- ras, túneles, etc... se utiliza, con preferencia, el método de las triangulaciones.
Se basa en el hecho de que si en un triángulo se conocen un lado y dos de sus angúlos, o bien dos lados y uno de los ángulos, entonces, se pueden calcular fácil- mente los restantes elementos del triángulo.
Así, si se quiere calcular la distancia entre dos puntos A y B (por ejemplo los picos inaccesibles de dos montañas), se puede proceder como sigue:
En el valle se señalan dos puntos C y D cuya distancia se pueda medir fácil- mente con cinta métrica u otro método cómodo. Desde C se miden los ángulos ACD y ACB. Desde D se miden, también, los ángulos ADC y BDC. Ahora como en el triángulo ADC se conocen b, ACD y ADC, se calcula la distancia AC. También, como en el triángulo BCD se conocen b, BCD y BDC, se cal- cula la distancia BC. Finalmente como en el triángulo ABC tenemos calculados BC y AC y hemos medido el ángulo ACB, se puede calcular x.
El método de triangulación fue utilizado por los egipcios, griegos y otros pueblos de la antigüedad, pero midiendo los ángulos de forma muy rudimentaria.
El túnel de Samos
Una de las construcciones más notables de los griegos antiguos fue el túnel de Samos, en el que, indudablemente, emplearon la triangulación. Samos es la isla más oriental del Mediterráneo.
El túnel fue realizado en el siglo
VIa. de C. para llevar agua desde las fuentes del monte Castro a la ciudad, situada a la otra ladera del monte; tenía unos dos metros de diámetro, casi un kilómetro de longitud y se excavó partiendo simultá- neamente de los dos extremos, lo que suponía una planificación tecnológica sor- prendente. Aunque hubo un pequeño fallo de precisión y tuvieron que lograr la unión de los dos túneles con una pequeña curva, la construcción del túnel supuso una verdadera hazaña.
B A
C
b
x
D
