1. La poblaci´ on de ratones campestres satisface la ecuaci´ on diferencial dp

Universidad de Pamplona Facultad de Ciencias B´ asicas Departamento de Matem´ aticas Taller Ecuaciones Diferenciales

Prof. Danny Bravo 27 de enero de 2016

Nombre: C´ odigo:

1. La poblaci´ on de ratones campestres satisface la ecuaci´ on diferencial dp

dt = 0,5p − 300

a) Encuentre el tiempo en el cu´ al la poblaci´ on comienza a extinguirse si p(0) = 450.

b) Encuentre el tiempo de extinci´ on si p(0) = p

0

, donde 0 < p

0

< 600.

c) Encuentre la poblaci´ on inicial p

₀

, si la poblaci´ on va a extinguirse en medio a˜ no.

2. Verificar que la funci´ on dada es soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial a) t

²

y

⁰⁰

+ 5ty

⁰

+ 4y = 0, t > 0; y(t) = t

⁻²

ln t.

b) u

_xx

+ u

_yy

= 0; u(x, y) = ln(x

²

+ y

²

).

c) y

⁰⁰

− y = 0, y(t) = cosh t.

d ) ty

⁰

− y = t

²

, y(t) = 3t + t

²

.

e) y

⁰⁰

+ y = sec t, y(t) = (cos t) ln cos t + t sen t.

3. Resolver las siguientes Ecuaciones Diferenciales a) dy

dt = y cos t 1 − 2y . b) dy

dt + e

^t−y

= 0.

c) (yt − y)dy − (y + 1)dt = 0.

d ) (1 + t

²

+ y

²

+ t

²

y

²

)dy = (1 + y

²

)dt.

e) 4ty dy

dt = t

²

+ 1.

f ) (y ln t)

⁻¹

dy dt =

 t y + 1



2

. g) dθ

dt = cos t(cos 2θ − cos

²

θ).

h) dy

dt = e

^−2t+3y

. i ) dy

dt = ty − 3y + t − 3 ty + 2y − t − 2 . j ) 2r − 1

t dr + r − 2r

²

t

²

− 1 dt = 0.

k ) 1 + e

^−3t

dy

dt = 0, y(0) = 1.

l ) dy

dt = 2t

y + t

²

y , y(0) = −2.

m) dy

dt = ty

³

(1 + t

²

)

^−1/2

, y(0) = 1.

n) dy

dt = at + b

ct + d Donde a, b, c y d son constantes.

˜ n) dy

dt = ay + b

cy + d Donde a, b, c y d son constantes.

4. Dado el siguiente problema de valores iniciales

y

⁰

+ y

²

− y = 0, y(2) = 4

a) Hallar su soluci´ on general, de ser implicita para la variable y, transformar a una expresi´ on explicita para esta variable.

b) Hallar su soluci´ on particular.

5. Dada la siguiente ecuaci´ on diferencial dy

dt = y − 4t t − y a) Determinar si es separable o no.

b) Si reemplaza la variable y por una nueva variable v definida por v = y/t, demuestre que es separable para las variables t y v.

c) Solucionar esta ´ ultima ecuaci´ on.

6. Cierta compa˜ nia produce un art´ıculo destinado a una poblaci´ on en la que hay un numero M de potenciales compradores. La compa˜ nia decide establecer una campa˜ na de publicidad para promocionar su producto. Los propietarios de la compa˜ nia han solicitado a su departamento de publicidad una medida del impacto de la publicidad. Para determinar esta medida de impacto, el departamento de publicidad se basa en la hipotesis que la velocidad con la que varia el numero de personas que conocen el producto es proporcional tanto al numero de personas que conocen el producto, como al de las que todav´ıa no lo conocen. Entonces

a) Plantee las posibles variables que genera la hipotesis.

b) Con ayuda de las variables planteadas, proponga un modelo matem´ atico para determinar la medida de impacto.

c) Represente cualitativamente el modelo planteado para cualquier instante de tiempo, ¿Qu´ e pa- sa con la soluci´ on en un tiempo lejano? .

d ) Resuelva analiticamente el modelo de medida de impacto . 7. Dada la ecuaci´ on diferencial

dy

dt = y

²

− 4y + 2

a) Graficar su campo direccional y mostrar sus curvas integrales.

b) Elaborar las lineas de fase, determine que punto de equilibrio es una fuente, un sumidero o un nodo y esbozar las posibles soluciones.

c) Describa el comportamiento a largo plazo de la soluci´ on de la ecuaci´ on diferencial con la

condici´ on inicial y(0) = −1 .