El vector de posici´on r ≡ −−→OP de la part´ıcula P es

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Parcial de Noviembre (08/Noviembre/2013). Ampliaci´on de F´ısica (GITI)

SISTEMAS DE PART´ICULAS. Valor: 10 puntos. Duraci´on: 1 horas y 30 minutos.

Una part´ıcula P de masa m se encuentra vincu- lada de manera lisa a una superficie esf´erica de radio R y centro O, origen del sistema de refe- rencia inercial OXY Z de la figura. La part´ıcula est´a sometida a un campo gravitatorio constante (g = −guz) y se encuentra en el extremo de un resorte ideal AP de longitud natural nula, cons- tante el´astica k = λmg/R, dise˜nado de modo que −→AP ⊥ uz. Se recomienda el uso de las coor- denadas{ρ, θ, z} y la base {uρ, uθ, uz} cil´ındricas para el c´alculo de magnitudes cinem´aticas y cin´eticas.

1. El vector de posici´on r ≡ −−→OP de la part´ıcula P es...

Por la propia definici´on de las coordenadas cil´ındricas, es obvio que el vector de posici´on de la part´ıcula tiene componente radial ρ y componente vertical z, pero no tiene componente acimutal:

r = ρ uρ+ z uz

2. La velocidad v del punto P es...

La velocidad de una part´ıcula es la derivada temporal de su vector de posici´on. Pero al realizar dicha derivada hay que tener presente que el vector uρes variable en el tiempo porque depende de la coordenada acimutal θ de la part´ıcula:

uρ= cos θ ux+ sen θ uy =⇒ ˙uρ= [− sen θ ux+ cos θ uy] ˙θ = ˙θ uθ Por tanto:

v = ˙r = ˙ρ uρ+ ρ ˙uρ+ ˙z uz= ˙ρ uρ+ ρ ˙θ uθ+ ˙z uz

3. Una expresi´on de la fuerza vincular Φ ejercida por la superficie sobre P es...

Al estar la part´ıcula vinculada a la superficie esf´erica de radio R y centro O, sus coordenadas radial (ρ) y vertical (z) no son independientes. Ambas coordenadas pueden expresarse en funci´on del ´angulo auxiliar ϕ definido en la figura, y esto permite reescribir el vector de posici´on de la part´ıcula en funci´on de ϕ:

ρ = R sen ϕ ; z = R cos ϕ −→ r = ρ uρ+ z uz = R [sen ϕ uρ+ cos ϕ uz]

Normalizando el vector r, obtenemos el vector unitario que nos da la direcci´on normal a la superficie esf´erica en cada posici´on de la part´ıcula P (direcci´on del radio OP ):

ur= r/|r| = sen ϕ uρ+ cos ϕ uz

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y esa es precisamente la direcci´on que debemos asignar a la fuerza vincular ejercida por la superficie esf´erica sobre la part´ıcula P , ya que se trata de un v´ınculo liso:

Φ = Φ ur = Φ (sen ϕ uρ+ cos ϕ uz)

4. El momento cin´etico LO de la part´ıcula respecto al punto O es...

Aplicando la definici´on de momento cin´etico (respecto al punto O) y realizando el producto vectorial en coordenadas cil´ındricas, se obtiene:

LO = −OP ∧ mv = r ∧ mv =−→





uρ uθ uz

ρ 0 z

m ˙ρ mρ ˙θ m ˙z



= m

−zρ ˙θ uρ+ (z ˙ρ − ρ ˙z) uθ+ ρ2θ u˙ z

5. La expresi´on de su energ´ıa cin´etica T es...

Aplicando la definici´on de energ´ıa cin´etica y realizando el producto escalar en coordenadas cil´ındricas:

T = 1

2m v2 = 1

2m v · v = 1

2mρ˙2+ ρ2θ˙2+ ˙z2

y sustituyendo las expresiones de ρ, ˙ρ y ˙z en funci´on de ϕ y ˙ϕ:

ρ = R sen ϕ −→ ρ = R cos ϕ ˙ϕ˙ z = R cos ϕ −→ ˙z = −R sen ϕ ˙ϕ se obtiene finalmente:

T = m

2R2ϕ˙2(cos2ϕ + sen2ϕ) + ˙θ2sen2ϕ= m

2R2ϕ˙2+ ˙θ2sen2ϕ

6. La energ´ıa potencialV (ϕ) total del sistema ser´a...

Tanto el peso como la fuerza el´astica ejercida por el resorte son conservativas, y tienen por tanto energ´ıas potenciales asociadas.

La energ´ıa potencial asociada al peso (tomando el origen de potencial en z = 0) es:

Vg = mgz = mgR cos ϕ

y la energ´ıa potencial asociada a la fuerza el´astica (tomando el origen de potencial en ρ = 0) es:

Vk= 1

22= 1 2

λmg

R (R sen ϕ)2 = 1

2λmgR sen2ϕ Sumando se obtiene la energ´ıa potencial total:

V (ϕ) = Vg+ Vk = mgRcos ϕ + λ sen2ϕ /2

7. Una integral primera del sistema ser´a...

El movimiento de la part´ıcula tiene dos integrales primeras: la energ´ıa mec´anica, es decir, E = T + V = cte1 (porque la fuerza vincular no trabaja, y tanto el peso como la fuerza el´astica son conservativas), y la componente vertical del momento cin´etico respecto al punto O, es decir, LzO = cte2 (porque el peso es paralelo al eje fijo OZ, y tanto la fuerza vincular como la fuerza el´astica “cortan” a dicho eje).

En particular, conocemos ya la expresi´on de la componente vertical de LO (antes se calcul´o el vector LO):

LzO = mρ2θ = mR˙ 2sen2ϕ ˙θ = cte2

y eliminando la constante mR2, nos queda:

θ sen˙ 2ϕ = cte

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8. Una posici´on de equilibrio (ϕ = ϕe) del sistema cumplir´a que...

Al expresar las tres fuerzas, observamos que el peso es independiente de la posici´on de la part´ıcula, mientras que la fuerza el´astica y la fuerza vincular dependen de dicha posici´on a trav´es del ´angulo ϕ:

P = mg = −mg u z

Fk=−kρ uρ=−λmg

R R sen ϕ uρ=−λmg sen ϕ uρ

Φ = Φ (sen ϕ uρ+ cos ϕ uz)

En las posiciones de equilibrio (ϕ = ϕe), la fuerza neta actuante sobre la part´ıcula debe ser nula:

P +  Fk+ Φ = 0 −→

−λmg sen ϕe+ Φ sen ϕe= 0 −→ (−λmg + Φ) sen ϕe= 0 (1)

−mg + Φ cos ϕe= 0 (2)

La ecuaci´on (1) nos lleva a dos casos posibles: o bien sen ϕe = 0 (correspondiente a las dos posiciones de equilibrio ϕe = 0 y ϕe = π rad, es decir, la part´ıcula situada en los polos norte y sur de la superficie esf´erica), o bien (−λmg + Φ) = 0.

En este segundo caso, se obtiene que Φ = λmg. Y llevando este valor de Φ a la ecuaci´on (2), se obtiene que una tercera posici´on de equilibrio cumple:

−mg + λmg cos ϕe= 0 −→ mg (−1 + λ cos ϕe) = 0 −→ cos ϕe = 1/λ

9. En esta posici´on de equilibrio (ϕ = ϕe) el valor de la fuerza vincular cumplir´a que...

Tal como ya se ha visto en la respuesta del anterior apartado, la posici´on de equilibrio ϕ = ϕe que verifica cos ϕe = 1/λ corresponde al valor de la fuerza vincular:

Φ = λmg

10. Suponga que inicialmenteθ(0) = 0, ˙θ(0) = ω0; ϕ(0) = ϕ0, ˙ϕ(0) = 0 . El valor deω0 necesario para que el punto P se mueva permanentemente en un movimiento circular y uniforme cumplir´a que...

Para que, partiendo de estas condiciones iniciales, la part´ıcula se quede en el paralelo correspondiente a ϕ = ϕ0 realizando un movimiento circular uniforme de velocidad angular ω0, ser´a necesario que la fuerza neta que act´ue sobre ella en dicho paralelo sea precisamente la fuerza capaz de causarle la aceleraci´on centr´ıpeta que necesita:

an= ω02ρ0 = ω20R sen ϕ0

Esta aceleraci´on tendr´a direcci´on radial y sentido opuesto a uρ. As´ı que, aplicando la segunda ley de Newton:

P +  Fk+ Φ = ma

−λmg sen ϕ0+ Φ sen ϕ0 =−mω02R sen ϕ0 → −λmg + Φ = −mω02R (1)

−mg + Φ cos ϕ0 = 0 −→ Φ = mg/ cos ϕ0 (2)

Y sustituyendo (2) en (1), se obtiene la condici´on que ha de cumplir el valor de ω0:

−λmg + mg

cos ϕ0 =−mω20R −→ ω02= g R

λ − 1 cos ϕ0

Figure

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