Propiedades de las matrices de Toeplitz tridiagonales con entradas −1, 2, −1

Propiedades de las matrices de Toeplitz tridiagonales con entradas −1, 2, −1

Agradezco a Gabino S´anchez Arzate por estudiar juntos los temas presentados en estos apuntes.

1. La matriz de Toeplitz tridiagonal asociada al problema de Laplace–Dirichlet.

T₅=













2 −1 0 0 0

−1 2 −1 0 0

0 −1 2 −1 0

0 0 −1 2 −1

0 0 0 −1 2











 .

Formalmente, si j, k ∈{1, . . . , n},

(T_n)_j,k=







2, j = k;

−1, |j − k| = 1;

0, |j − k| ≥ 2.

2. Proposici´on (la inversa de la matriz de Toeplitz tridiagonal asociada al problema de Laplace–Dirichlet).

(T_n⁻¹)j,k =

















k(n + 1 − j)

n + 1 , j≥ k;

j(n + 1 − k)

n + 1 , k≥ j.

(1)

Demostraci´on. Denotemos por B_na la matriz cuya entrada (j, k) est´a definida por el lado derecho de (1). Si p ∈{2, . . . , n − 1}, entonces

(T_nB_n)_p,q= Xn

k=1

(T_n)_p,k(B_n)_p,q = −(B_n)_p−1,q+ 2(B_n)_p,q− (B_n)_p+1,q. (2)

En el caso p = 1 tenemos

(T_nB_n)_1,q= 2(B_n)_1,q− (B_n)_2,q = − (B_n)_0,q

| {z }

0

+2(B_n)_1,q− (B_n)_2,q,

Propiedades de matrices de Toeplitz tridiagonales, p´agina 1 de 4

y en el caso p = n tenemos

(T_nB_n)_n,q= −(B_n)_n−1,q+ 2(B_n)_n,q= −(B_n)_n−1,q+ 2(B_n)_n,q− (B_n)_n+1,q

| {z }

0

,

as´ı que la f´ormula (2) sigue siendo v´alida para p = 1 y para p = n.

Primero supongamos que p > q. Entonces todas las tres entradas de B_n que participan en (2) corresponden al primer caso de la f´ormula (1). Luego en este caso

(T_nB_n)_p,q= −q(n + 1 − p + 1)

n + 1 + 2q(n + 1 − p)

n + 1 −q(n + 1 − p − 1) n + 1 = 0.

Ahora supongamos que p = q. Entonces

(T_nB_n)_p,p− (B_n)_p−1,p+ 2(B_n)_p,p− (B_n)_p+1,p

= −(p − 1)(n + 1 − p)

n + 1 + 2p(n + 1 − p)

n + 1 − p(n + 1 − p − 1) n + 1

= n(−p + 1 + 2p − p) + (p − 1)²− 2p(p − 1) + p²

n + 1 = n + 1

n + 1 = 1.

Si p = 1, entonces

(T_nB_n)_p,q= 2(B_n)_1,q− (B_n)_2,q El caso p < q es similar al caso p > q.

3. Corolario (sobre la norma de la matriz T_n⁻¹ asociada a la norma–m´aximo vectorial).

kT_n⁻¹kmatr,∞≤ (n + 1)²

8 .

Demostraci´on. Se sabe que

kT_n⁻¹kmatr,∞ = max

1≤j≤n

Xn k=1

(T_n⁻¹)j,k. Consideremos la suma interior:

Xn k=1

(T_n⁻¹)j,k = Xj

k=1

k(n + 1 − j) n + 1 +

Xn k=j+1

j(n + 1 − k) n + 1

= n + 1 − j n + 1

Xj k=1

k + j n + 1

Xn k=j+1

(n + 1 − k)

= (n + 1 − j)j(j + 1)

2(n + 1) +j(n − j)(n + 1 − j)

2(n + 1) = j(n + 1 − j)

2 .

La ´ultima expresi´on se puede acotar as´ı:

j(a − j) = −(j²− aj) = − j − a

2

2

+a² 4 ≤ a²

4 .

Propiedades de matrices de Toeplitz tridiagonales, p´agina 2 de 4

4. La matriz de la Transformada Discreta de Seno.

S_n :=

r 2

n + 1



sen pqπ n + 1

n p,q=1

.

Es obvio que S_n es real y sim´etrica. Adem´as, se puede demostrar que S_n tiene propiedad involutiva: S²_n = In. Por lo tanto, Sn es una matriz ortogonal. En este curso no utilizamos esta propiedad.

5. Dos f´ormulas trigonom´etricas (repaso).

sen α + sen β = 2 senα + β

2 cosα − β

2 , (3)

1 −cos α = 2

 senα

2

2

. (4)

6. Proposici´on (los valores y vectores propios de la matriz tridiagonal de Toe- plitz con las entradas −1, 2, −1).

T_nS_n = S_ndiag(Λ_n), donde

Λ_n =λn,q

n

q=1, λ_n,q= 4



sen qπ 2(n + 1)

2

.

En otras palabras, las columnas de la matriz S_n son vectores propios de T_n, y los valores propios correspondientes son λ_n,1, . . . , λ_n,n.

Demostraci´on. Sea q ∈ {1, . . . , n}. Denotemos por v a la q-´esima columna de Sn, sin el coeficiente p2/(n + 1):

v =



sen pqπ n + 1

n p=1

.

Tenemos por demostrar que T_nv = λ_n,qv. Definimos v₀ = 0 y v_n+1 = 0. Esta definici´on est´a en concordancia con la f´ormula sen_n+1^pqπ. Calculemos la p-´esima entrada del producto S_nv:

(Tnv)p = −vp−1+ 2vp− vp+1 = 2sen pqπ

n + 1 −sen (p − 1)qπ

n + 1 −sen(p + 1)qπ n + 1 aplicamos la f´ormula (3), luego (4)

= 2sen pqπ n + 1



1 −cos qπ n + 1



= 4



sen qπ 2(n + 1)

2

sen pqπ

n + 1 = λn,qvp. Hemos demostrado que T_nv = λ_n,qv. El vector v, salvo un factor, fue la columna general de la matriz S_n. Por lo tanto, T_nS_n = S_ndiag(Λ_n).

Propiedades de matrices de Toeplitz tridiagonales, p´agina 3 de 4

7. Corolario (una cota superior de la norma de la inversa de la matriz tridia- gonal de Toeplitz con entradas −1, 2, −1).

kT_n⁻¹k_matr,2 ≤ (n + 1)²

4 .

Demostraci´on. Se sabe que kT_n⁻¹k = λ⁻¹_n,1 y que sen x ≥ 2

πx (x∈ [0, π]).

Por eso

kT_n⁻¹k_matr,2≤ 1 2sen _2(n+1)^π

!2

≤ π 4

2(n + 1) π

2

= (n + 1)²

4 .

Propiedades de matrices de Toeplitz tridiagonales, p´agina 4 de 4