cos y sen del ´ angulo
π4(ejercicios)
Objetivos. Vamos a recordar el razonamiento geom´etrico que permite calcular los valores del cos y sen del ´angulo π4.
Requisitos. Teorema de Pit´agoras, suma de los ´angulos de un tri´angulo, tri´angulos is´osce- les, criterio de tri´angulo is´osceles.
Preliminares de geometr´ıa
1. Teorema de Pit´agoras. Denotemos por a y b las longitudes de los catetos de un tri´angulo rect´angulo y por c la longitud de su hipotenusa.
b
a c
Complete la f´ormula:
a2+ b2 =
| {z }
?
2. Suma de los ´angulos de un tri´angulo. En un tri´angulo arbitrario ABC,
∠BAC + ∠ABC + ∠BCA =
| {z }
?
3. Un criterio del tri´angulo is´osceles. Sea 4ABC un tri´angulo con dos ´angulos iguales:
∠BAC = ∠ABC.
Entonces este tri´angulo es is´osceles. Escriba cu´ales de sus lados son iguales:
| {z }
?
=
| {z }
?
Estudio del tri´ angulo rect´ angulo con ´ angulo agudo
π4En los siguientes ejercicios se considera un tri´angulo ABC con
∠ACB = π
2, ∠BAC = π
4, AB = 1.
π 4
x 1
C B
A 4. En cualquier tri´angulo, la suma de todos sus ´angulos es
| {z }
?
(en radianes).
En particular, Para el tri´angulo en consideraci´on,
∠ABC + ∠BCA + ∠CAB =
| {z }
?
.
5. Calcule ∠ABC.
6. Notamos que en el tri´angulo ABC los ´angulos
| {z }
?
y
| {z }
?
son iguales.
Por lo tanto, el tri´angulo es is´osceles, a saber, son iguales sus lados
| {z }
?
y
| {z }
?
.
Denotemos su longitud por x:
x =
| {z }
¿cu´al lado?
=
| {z }
¿cu´al lado?
.
7. Aplique el teorema de Pit´agoras al tri´angulo ABC:
| {z }
?
2
+
| {z }
?
2
=
| {z }
?
2
.
8. Simplifique la ecuaci´on anterior y calcule x.
cos and sen del ´angulo π4, ejercicios, p´agina 2 de 6
cos y sen del ´ angulo
π49. Otra vez aplique el teorema de Pit´agoras al tri´angulo en el dibujo y otra vez calcule x.
π 4 π
4
x
x 1
10. Recuerde la definici´on de coseno y seno (en t´erminos de la hipotenusa y catetos).
Calcule cosπ4 y senπ4.
11. Resumen.
cosπ
4 = senπ
4 =
cos y sen en la circunferencia unitaria
12. Escriba las definiciones de cos y sen del ´angulo HOPα del tri´angulo HOPα, es decir, exprese cos α y sen α a trav´es de OH y HPα.
α
Pα
O H
1
cos α =
sen α =
13. Indique correspondencias correctas con flechitas:
cos α
sen α
ordenada del punto Pα
abscisa del punto Pα
cos and sen del ´angulo π4, ejercicios, p´agina 4 de 6
cos y sen de los ´ angulos m´ ultiplos de
π2(repaso)
14. Con ayuda de la circunferencia unitaria recuerde los valores de cos y sen en los ´angulos m´ultiplos de π2:
cos 0 = sen 0 =
cosπ
2 = senπ
2 =
cos π = sen π =
cos3π
2 = sen3π
2 =
cos y sen del ´ angulo
π4en la circunferencia unitaria
15. Otra vez aplique el teorema de Pit´agoras y otra vez calcule x.
π 4
Pπ
4
O H
1
x 1
x
16. Otra vez escriba la respuesta:
cosπ
4 = senπ
4 =
cos and sen del ´angulo π4, ejercicios, p´agina 6 de 6
