Demostraci´ on a trav´ es de una funci´ on n-lineal alternante

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Determinante del producto de dos matrices cuadradas

Objetivos. Demostrar el teorema sobre el determinante del producto de dos matrices cuadradas: para cualesquiera A, B ∈ Mn(F),

det(AB) = det(A) det(B).

Requisitos. Determinante es una funci´on n-lineal alternante, cualquier funci´on n-lineal alternante se expresa a trav´es del determinante, determinante y operaciones elementales.

Demostraci´ on a trav´ es de una funci´ on n-lineal alternante

1. Determinante considerado como una funci´on de n columnas de la matriz (repaso). Denotamos por Det(c1, . . . , cn) el determinante de la matriz formada de las columnas c1, . . . , cn:

Det(c1, . . . , cn) := det(cj)in i,j=1 =

| |

c1 . . . cn

| |

.

Por el teorema sobre el determinante de la matriz transpuesta, es lo mismo que el deter- minante de la matriz formada de los renglones c>1, . . . , c>n:

Det(c1, . . . , cn) := det(ci)jn i,j=1 =

− c>1 − . . .

− c>n − .

Ya sabemos que la funci´on Det es n-lineal y alternante.

2. Teorema sobre la expresi´on de una funci´on n-lineal alternante (Fn)n → F a trav´es de la funci´on determinante (repaso). Sea f : (Fn)n → F una funci´on n-lineal alternante y sean v1, . . . , vn∈ Fn. Entonces

f (v1, . . . , vn) = Det(v1, . . . , vn)f (e1, . . . , en).

3. Columnas del producto de dos matrices (repaso). Sean A ∈ Mm,n(F), B ∈ Mn,p(F), j ∈ {1, . . . , p}. Entonces la j-´esima columna del producto AB es igual al pro- ducto de la matriz A por la j-´esima columna de la matriz B:

(AB)∗,j = AB∗,j.

Determinante del producto, p´agina 1 de 4

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4. Demostraci´on del teorema sobre el determinante del producto, a trav´es de una funci´on n-lineal alternante. Consideremos la funci´on f : (Fn)n → F definida mediante la siguiente regla:

f (b1, . . . , bn) := det

A

| |

b1 . . . bn

| |

.

Usando el hecho que la j-´esima columna del ´ultimo producto de matrices es igual al producto Abj, por eso

f (b1, . . . , bn) = det

| |

Ab1 . . . Abn

| |

= Det(Ab1, . . . , Abn).

De las propiedades de operaciones con matrices y de la propiedad n-lineal de la funci´on Det sigue que f es n-lineal. En realidad, si k ∈ {1, . . . , n} y en lugar del k-´esimo argumento de f ponemos u + λv, entonces

f (b1, . . . , u + λv

| {z }

k-´esimo argumento

, . . . , bn) = Det(Ab1, . . . , A(u + λv), . . . , Abn)

= Det(Ab1, . . . , Au + λAv, . . . , Abn)

= Det(Ab1, . . . , Au, . . . , Abn) + λ Det(Ab1, . . . , Av, . . . , Abn)

= f (b1, . . . , u, . . . , bn) + λf (b1, . . . , v, . . . , bn).

Adem´as de esto, la funci´on f es alternante: si p, q ∈ {1, . . . , n}, p < q y bp = bq, entonces Abp = Abq y de la propiedad alternante de Det sigue que f se anula:

f (b1, . . . , bp, . . . , bq, . . . , bn) = Det(Ab1, . . . , Abp, . . . , Abq, . . . , Abn) = 0.

Por el teorema sobre la representaci´on de una funci´on n-lineal alternante a trav´es del determinante (teorema 2 de este archivo),

f (b1, . . . , bn) = Det(b1, . . . , bn)f (e1, . . . , en) = Det(b1, . . . , bn) det(A).

Sustituyendo los vectores b1, . . . , bn por las columnas de la matriz B obtenemos que det(AB) = f (B∗,1, . . . , B∗,n) = det(B) det(A).

Determinante del producto, p´agina 2 de 4

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Demostraci´ on a trav´ es de matrices elementales

5. Lema. Sea A ∈ Mn(F) una matriz no invertible. Entonces det(A) = 0.

Demostraci´on. Como A no es invertible, los renglones de A son linealmente dependientes.

Por el criterio de vectores linealmente dependientes, existe un p ∈ {1, . . . , n} tal que el p-´esimo rengl´on de A es una combinaci´on lineal de los anteriores:

Ap,∗ =

p−1

X

k=1

λkAk,∗.

Aplicando el hecho que la funci´on Det es polilineal y alternante obtenemos que det(A) = Det(A1,∗, . . . , Ap−1,∗,

p−1

X

k=1

λkAk,∗, Ap+1,∗, . . .)

=

p−1

X

k=1

λkDet(A1,∗, . . . , Ap−1,∗, Ak,∗, Ap+1,∗, . . .) = 0.

En la ´ultima suma todos los sumandos son cero porque el rengl´on Ak,∗ (1 ≤ k ≤ p − 1) coincide con uno de los renglones A1,∗, . . . , Ap−1,∗ y el determinante correspondiente se anula.

6. Lema. Sea B ∈ Mn(F) una matriz cuadrada arbitraria y sea E ∈ Mn(F) una matriz elemental. Entonces det(EB) = det(E) det(B).

Demostraci´on. Para comprender esta demostraci´on se recomienda repasar c´omo afectan las operaciones elementales al determinante.

Consideremos todos los tres tipos de matrices elementales:

1. Sea E = E(p, q). Entonces E se obtiene de la matriz In al aplicar la operaci´on elemental Rp ↔ Rq, por lo tanto det(E) = − det(In) = −1. Adem´as la matriz EB se obtiene de B al aplicar la operaci´on elemental Rp ↔ Rq, por lo tanto det(EB) = − det(B).

Podemos concluir que

det(EB) = − det(B) = det(E) det(B).

2. Sea E = E(p, λ). En este caso

In −−−−→ E,Rp∗= λ det(E) = λ det(In) = λ.

Por otro lado,

B −−−−→ EB,Rp∗= λ det(EB) = λ det(B).

Conclusi´on: det(EB) = det(E) det(B).

3. Sea E = E+(p, q, λ). Entonces det(E) = 1, B −−−−−−→ EB,Rp+= λRq det(EB) = det(B) = det(E) det(B).

Determinante del producto, p´agina 3 de 4

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7. Demostraci´on del teorema sobre el determinante del producto de dos matri- ces cuadradas, a trav´es de matrices elementales. Primer caso: A no es invertible. En este caso los renglones de A son linealmente dependientes. Entonces los renglones del pro- ducto AB tambi´en son linealmente dependientes. Por el Lema 5 tenemos que det(A) = 0 y det(AB) = 0, as´ı que la f´ormula se cumple.

Segundo caso: A invertible. En este caso la matriz A se puede escribir como un producto de matrices elementales: A = E1· . . . · Ek. Aplicando el Lema 6 obtenemos lo siguiente:

det(AB) = det(E1· · · EkB)

= det(E1) · · · det(Ek) det(B)

= det(E1· · · Ek) det(B)

= det(A) det(B).

Corolarios

8. Corolario (determinante de la matriz inversa). Sea A ∈ Mn(F) una matriz invertible. Entonces det(A) 6= 0 y

det(A−1) = 1 det(A).

9. Corolario (determinante de la matriz asociada a un operador lineal no de- pende de la base). Sean V un espacio vectorial de dimensi´on finita, T ∈ L(V ), A y B algunas bases de V . Entonces

det(TA) = det(TB).

Demostraci´on. Sigue del teorema y de la f´ormula TB = PA,B−1TAPA,B.

10. Definici´on (determinante de una transformaci´on lineal). Sea V un espacios vectorial de dimensi´on finita y sea T ∈ L(V ). El determinante de T se define mediante la regla

det(T ) := det(TB),

donde B es alguna base de V . El corolario anterior muestra que esta definici´on es correcta, es decir, no depende de B.

11. Ejercicio. Sea A ∈ Mn(F) una matriz nilpotente, esto es, Ap = 0 para alguna potencia entera positiva p. Calcule det(A).

12. Ejercicio. Sea A ∈ Mn(F) una matriz idempotente: A2 = A. ¿Qu´e valores puede tomar det(A)? Para cada uno de los valores posibles d´e un ejemplo.

13. Ejercicio. Sea A ∈ Mn(R) una matriz con propiedad A2 = In. ¿Qu´e valores puede tomar det(A)? Para cada uno de los valores posibles d´e un ejemplo.

Determinante del producto, p´agina 4 de 4

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