SISTEMAS DE ECUACIONES
1. DEFINICIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, x1 , x2, ···, xn es un conjunto de m igualdades de la forma:
a x a x • • • • • • a x b a x a x • • • • • • a x b
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • a x a x • • • • • • a x b
11 1 12 2 1n n 1
21 1 22 2 2n n 2
m1 1 m2 2 mn n m
+ + + =
+ + + =
+ + + =
Donde aij , bi
aij son los coeficientes
bi los términos independientes.
2.
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Resolver un sistema, es encontrar todas sus soluciones. Según el número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales se pueden clasificar así:
→
ados indetermin
os determinad s
compatible Homogéneos
les incompatib
ados indetermin
os determinad s
compatible homogéneos
No Sistemas
3.
SISTEMAS EQUIVALENTES
Se dice que dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
Las siguientes transformaciones nos permiten obtener sistemas equivalentes:
a) Si en un sistema se multiplica una ecuación por un número no nulo, resulta un sistema equivalente al primero.
b) Si en un sistema se intercambian ecuaciones se obtiene un sistema equivalente al anterior.
c) Si en un sistema de ecuaciones se suprime o añade una ecuación que sea combinación lineal1de las demás, se obtiene un sistema equivalente al dado.
1 Dados los vectores:u u un , ...
, , 2
1 de un espacio vectorial V y r1, r2 ... rn . Al vector v
formado del siguiente modo
n nu r u
r u r
v
+ + +
= 1 1 2 2 ... se le llama combinación lineal de estos vectores
un
u
u
, ...
, , 2
1
Si u = (2,-1,3), v
= (1,0,2). El vector w
= (9,-2,16) es combinación lineal de u y v
ya que:
v u
w
5 2 +
=
d) Si a una ecuación se le añade una combinación lineal de las otras, se obtiene un sistema equivalente.
EJEMPLO:
Resuelve por reducción el sistema:
=
−
= +
9 y x
4 y 3 x 2
−
= +
−
= +
18 y 2 x 2
4 y 3 x 2
−
=
= +
14 y 5
4 y 3 x 2
y= -14/5 x= 31/5
Si al sistema anterior le añadimos o suprimimos una ecuación que es suma de las otras dos (C.L. de ellas) el sistema es equivalente
=
−
= +
= +
=
−
= +
9 y x
4 y 3 x es 2 equivalent Son
13 y 2 x 3
9 y x
4 y 3 x 2
4.
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS POR EL METODO DE GAUSS EJEMPLO 1
-2(1)+(2) (1)+(3)
x 2z + 3y = 1+
− − = −
+ = −
6 7 4
3 5 1
z y
z y
y 6
3 2
= −
= − ,3z 10 1 z 9
3 3
− = − → = = ; x= − + →6 6 1 x= 1Sistema compatible y determinado.
Como cada ecuación representa un plano en el espacio, estos tres planos se cortarán en un punto
Otra forma de colocarlo: Matriz asociada a un sistema de ecuaciones (1) x 3y 2z 1
(2) 2x y 2z 2
(3) x 2y z 2
+ + =
− − = −
− + + = −
x 3y 2z 1
7y 6z 4
5y 3z 1
+ + =
− − = −
+ = −
x 2z 3y 1 3z 5y 1 2(2) + (3) 3y 6
+ + =
+ = −
= −
x 2z 3y 1 (2) 3z 5y 1
6z 7y 4
+ + =
+ = −
− − = −
( )3 a)
2ªec+1ªec b)
1 3 2
2 1 2
1 2 1
1 2 2
1 3 2
0 7 6
0 5 3
1 4 1
1 2 3
0 3 5
0 6 7
1 1 4
x y z x z y
− −
− −
−
−
→ − − −
−
→
− −
−
−
1 2 3 0 3 5 0 0 3
1 1 6
−
−
→
+ + =
+ = −
= −
x 2z 3y 1
3z 5y 1
3y 6
3y = - 6 y= - 2 3z - 10 = -13z = 9 z = 3 x + 6-6 =1; x = 1
Cuando la matriz asociada al sistema adopta esta forma:
∇ representa números cualesquiera ℜ representa números distintos de cero
Hay tantas ecuaciones válidas como incógnitas
De forma escalonada vamos obteniendo un valor numérico para cada incógnita.
Sistema Compatible Determinado S.C.D.≡ Solución única EJEMPLO 2
x 2y 5z 4
2x y 3
3x 2y z 4
+ − =
− + = −
− + =
⇒
−
−
−
−
→
1 2 5
2 1 0
3 2 1
4 3 4
1 2 5
2 1 0
3 2 1
4 3 4
1 2 5
0 5 10
0 8 16
4 5 8
1 2 5
0 1 2
0 1 2
4 1 1
1 2 5
0 1 2
0 0 0
4 1 0
−
−
−
−
→
−
−
− −
→
−
−
− −
→
−
−
x 2y 5z 4
y 2z 1 z
+ − =
− =
→ = λ
y =1+2
x= −4 2λ + 5z= − −4 2 4λ + 5λ = +2 λ Solución
(2+ λ,1 2+ λ λ, )
Sistema Compatible Indeterminado S.C.I ≡ infinitas soluciones Cuando la matriz asociada al sistema adopta esta forma
ℜ ∇ ∇ ℜ ∇ ℜ
∇
∇
∇
0
0 0
Hay menos ecuaciones válidas que incógnitas.
Las incógnitas que están de más toman valores arbitrarios (λ )
El sistema tiene infinitas soluciones S COMPATIBLE INDETERMINADO Interpretación geométrica: Los tres planos se cortan en una recta
EJEMPLO 3 x 5y z 5 2x 3y 4z 1
x 2y 3z 2 .
+ − =
+ − =
− − =
−
−
−
− 2
1 5 3 4 1 2 3 5 1 2 1
−
−
−
−
−
−
−
3 9 5 2 2 1 7 7 5 0 0 1
−
−
−
−
6 9 5 0
2 1 0
7 5 0 0 1
→
x 5y z 5
7y 2z 9
0 6
+ − =
− − = −
=
0 6≠ ⇒ no hay solución.
Sistema incompatible.
Interpretación geométrica: Los planos se cortan dos a dos
Cuando la matriz asociada al sistema adopta esta forma:
Esto significa que hay una ecuación:
0x1+0x2+...+0xu=K; 0≠ K, siendo K Es una igualdad imposible.
El sistema no tiene solución⇒ SISTEMA INCOMPATIBLE ℜ ∇ ∇
ℜ ∇
∇
∇
0
− − − −
− − − −
− − − −
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
− ℜ
0 0 0 0
5.
RANGO DE UNA MATRIZ
5.1 DEFINICIÓN
Las filas y columnas de una matriz pueden considerarse como vectores, de ahí que:
Rango fila de una matriz es el mayor número de filas linealmente independientes2. Rango columna de una matriz es el mayor número de columnas linealmente independientes.
El rango fila y rango columna de una matriz coincide, esto permite trabajar con las filas o con las columnas indistintamente a la hora de hallar el rango de una matriz.
5.2 PROPIEDADES
a) Si en una matriz A, se intercambian entre sí dos filas ( columnas) se obtiene otra matriz A1 ( distinta del anterior) pero rango (A) = rango (A1) .
b) Si a una matriz A se suprime una fila (columna) que es combinación lineal de otras se obtiene una matriz A1 tal que rango (A) = rango (A1).
c) Si a una fila (columna) de una matriz A se le añade una combinación lineal de otras varias se obtiene una matriz A1 tal que rango (A) = rango (A1) .
d) Si a una matriz A se suprime una fila (columna) que esta formada toda por ceros se obtiene una matriz A1 tal que rango (A) = rango (A1).
e) Si reducimos la matriz A a la forma escalonada A1 aplicando las transformaciones anteriores, el rango de A1 es el número de filas distintas de cero.
EJEMPLO
Hallar el rango de A.
A =
−
−
−
−
0 2 3 3 1
22 10 7 17 6
8 4 3 5 2
1 3 4 2 1
→
−
−
−
−
−
1 1 1 1 0
16 8 17 5 0
6 2 5 1 0
1 3 4 2 1
2 Dado un conjunto de vectores, no nulos,u u→ →1 2 u→n
, ,..., se dice que es un conjunto libre o los vectores son linealmente independientes cuando ningún vector del conjunto es combinación lineal de los demás.
Dado un conjunto de vectores, no nulos u u→ →1 2 u→n
, ,..., , se dice que es un conjunto ligado o los vectores son linealmente dependientes cuando alguno de ellos es combinación lineal de los demás.
EjerciciosComplementaros nº 3
−
−
−
−
−
−
7 1 4 0 0
14 2 8 0 0
6 2 5 1 0
1 3 4 2 1
→
−
−
−
−
0 0 0 0 0
14 2 8 0 0
6 2 5 1 0
1 3 4 2 1
rango (A)=3
Ejercicios Complementarios: 1, 2, 6, 6.
FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES El siguiente sistema de ecuaciones:
= +
+ +
= +
+ +
= +
+ +
m n mn 2
2 m 1 1 m
2 n n 2 2
22 1 21
1 n n 1 2
12 1 11
b x a ...
x a x a
...
...
...
...
b x a ...
x a x a
b x a ...
x a x
a es equivalente a la siguiente ecuación
a a ... a
a a ... a
.... .... .... ....
a a ... a
• x x . . x
b b . . b
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
1 2
n
1 2
m
=
o simplemente A·X = B donde A = (aij), X = (xi) y B = (bi)
A la matriz A se le llama matriz de coeficientes del sistema y a la matriz (A/B)
(A/B)=
a a ... a b
a a ... a b
... ... ... ... ...
a a ... a b
11 12 1n 1
21 22 2n 2
m1 m2 mn m
se la llama matriz ampliada (es la matriz A a
la que se añade la columna de los términos independientes).
7.
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS POR MEDIO DE LA INVERSA El sistema (1) de la pregunta anterior podría resolverse de la siguiente forma:
1) Expresándolo matricialmente
a a ... a
a a ... a
.... .... .... ....
a a ... a
• x x . . x
b b . . b
11 12 1n
21 22 2n
m1 m2 mn
1 2
n
1 2
m
=
o simplemente A.X = B 2) Calculando A-1
3) Multiplicando la expresión A.X = B por A-1se obtiene:
A-1(A.X) = A-1.B I.X = A-1.B
X = A-1.B
Ejercicios Selectividad: 2, 8, 12, 14,
8.
TEOREMA DE ROUCHÉ - FRÖBENIUS.
Sea el sistema:
a x a x ... a x b
a x a x ... a x b
...
a x a x ... a x b
11 1 12 2 1n n 1
21 1 22 2 2n n 2
m1 1 m2 2 mn n m
+ + + =
+ + + =
+ + + =
(1)
y sea:
(A)
a a .... a a a .... a ...
a a .... a
y (A / B)
a a .... a b a a .... a b ...
a a .... a b
11 12 1n 21 22 2n
m1 m2 mn
11 12 1n 1 21 22 2n
m1 m2 mn m
= 2
=
La condición necesaria y suficiente para que el sistema (1) tenga solución es que rango(A) = rango(A/B)
a) Si rango (A) = rango (A/B) = n (n es el número de incógnitas) el sistema es compatible y determinado.
b) Si rango (A) = rango (A/B) = p < n. Es un sistema Compatible Indeterminado, de grado de indeterminación n-p (Las soluciones estarán en función de n – p
parámetros.
RESUMIENDO:
Rango (A)= rango (A / B) COMPATIBLE
Rango ( A )
≠
rango ( A / B ) INCOMPATIBLE.Ejercicios: Selectividad: 3. 36
Complementarios: 4(por det o por Gauss)
rango(A) rango(A / B) n Determinado rango(A) rango(A / B) n Indeterminado
= =
= <
9.- REGLA DE CRAMER.
Sirve para obtener la solución de un sistema de ecuaciones lineales.
9.1 EN SISTEMAS COMPATIBLES Y DETERMINADOS Tenemos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.
= +
+
= +
+
= +
+
b3 x3 a33 x2 a32 x1
a3121x1 a22x2 a23x3 b2 aa11x1 a12x2 a13x3 b1
Puesto que |A| ≠ 0 Ran (A)=3=Ran(A/B) el sistema
es compatible determinado.
Si llamamos:
Ax al resultado de sustituir en |A| la columna de los coeficientes de x por la de los términos independientes.
Ay al resultado de sustituir en |A| la columna de los coeficientes de y por la de los términos independientes.
Az al resultado de sustituir en |A| la columna de los coeficientes de z por la de los términos independientes
Su solución es:
A z A A
y A A
x = Ax = y = z
Esta regla se puede generalizar a los sistemas de n ecuaciones con n incógnitas.
Ejercicios Selectividad: 3 (Resolver por Cramer y por Gauss), 20, 21, 23, 28
9.2 EN SISTEMAS COMPATIBLES E INDETERMINADOS Consideramos un sistema de m ecuaciones y n incógnitas
Como |A|=0 Ran (A) = Ran (A/B)= p< n sobran m-p ecuaciones que se quitan (nos quedamos con aquellas que son independientes) y n – p incógnitas que se toman como parámetros y se pasan a la columna de los términos independientes.
Ejercicios Selectividad: 4, 5, 7, 10, 15,16, 18, 19, 24, 25, 26, 29, 30, 32, 33, 34, 35,
10.- SISTEMAS HOMOGENEOS
Un sistema de ecuaciones lineales, tal que todos sus términos independientes son nulos, se llama sistema homogéneo.
a x a x ... a x 0
a x a x ... a x 0
...
a x a x ... a x 0
11 1 12 2 1n n
21 1 22 2 2n n
m1 1 m2 2 mn n
+ + + =
+ + + =
+ + + =
S
Todo sistema homogéneo cumple las propiedades:
- tiene solución, pues se verifica para: x1=x2=....=xn.=0 Esta es la solución trivial (0,0,...0).
- Para que tenga otras soluciones distintas de la trivial, es necesario y suficiente que Ran (A) < número de incógnitas.
Ejercicios Selectividad :13,17, 27, 31 Ejercicios Selectividad : 41, 40, 39,...
EJERCICIOS SELECTIVIDAD
1.- Pon tres ejemplos de sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas que sean
respectivamente compatibles determinado, compatible indeterminado e incompatible.
Interpreta geométricamente cada uno.
2.- representa en la forma matricial AX=B el siguiente sistema de ecuaciones y construye y resuelve a continuación el sistema de ecuaciones representado por:
−
=
−
= +
4 y 2 x 2
2 y x
3.- Encuentra el conjunto de soluciones del sistema
= + +
= + +
=
− +
2 z 21 y 13 x
0 z 2 y 6 x 2
0 z 3 y x
(1995)
4.- Resuelve el sistema:
= +
−
= + +
−
= + +
2 az y x 2
5 z y 2 x
7 z y
x , sólo en el caso en que el sistema tenga
infinitas soluciones. En ese caso, interpreta geométricamente el significado de cada ecuación y del sistema.
5.- Considera el sistema de ecuaciones:
= + +
= + +
= + +
7 mz y 3 x
5 z 3 y 2 x
3 z 2 y x
. Determina:
a) el valor de m para que el sistema tenga soluciones. Para este valor de m calcula todas las soluciones del sistema.
b) Los valores de m para los que el sistema carece de solución. ( Junio 1996- Junio 1999)
6.- Resuelve el sistema
= +
= +
= + +
4 z 2 x 4
2 z x 2
2 z y x
Supongamos que S es el conjunto de soluciones
obtenido, y que:
S1 es el conjunto de soluciones de x+y+z=2 S2 es el conjunto de soluciones de 2x+z=2 S3 es el conjunto de soluciones de 4x+2z=4.
Razona cuales de las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas:
S S S ) d
S S S ) c
S S ) b
S S S ) a
3 1
3 2
3 2
3 2 1
=
⊂
=
⊂
∩
∩
∩
(Sep 1996)
7.-Estudiar, según los valores del parámetro λ, el sistema de ecuaciones lineales
= + +
= +
= +
1 z y 2 x
1 z x
1 y x λ λ
λ . Resolverlo en los casos en que sea compatible. (Junio 1997)
8.- Resuelve los sistemas de ecuaciones:
=
−
= +
0 y x
1 y 3 x
2
=
−
= +
1 y x
0 y 3 x
2 . Encuentra la
relación entre las soluciones obtenidas y la matriz inversa de la matriz de los coeficientes
− 1 1
3
2 .(Junio 1997)
9.- Resuelve los sistemas:
=
−
= +
=
−
= +
1 y x
0 y x 2 0
y x
1 y x
2 y encuentra la relación entre
las soluciones anteriores y las soluciones del sistema:
=
−
= +
b y x
a y x
2 justificando la relación obtenida bien por matrices o por otro método. (Sep 1997)
10.- Estudiar, según los valores del parámetro λ, del sistema de ecuaciones lineales:
= +
=
− +
= +
− λ λ
λ λ
λ λ z y
z y x
z y x
No es necesario resolver el sistema para ningún valor de λ.
11.-Resolver el sistema formado por las tres ecuaciones:
x+y+z =3; 2x – y =1; - x+2y+z =2
y justificar si tiene o no las mismas soluciones que el sistema:
x+y+z = 3; 2x – y =1.
12.- Obtén la inversa de la matriz de los coeficientes de las incógnitas del sistema:
= +
=
− 3 y x
2 y
x y utiliza esta matriz para resolver el sistema.
Si la matriz cuadrada A verifica que A2+7A=I, encontrar razonadamente la inversa A- 1
13.- Indica el valor de a para que el sistema de ecuaciones lineales:
= +
= + +
= + +
0 az x
0 z 3 y x 2
0 z y
x tenga soluciones distintas de (0,0,0), y en este caso halla todas
las soluciones del sistema, interpretando el resultado obtenido como una intersección de planos. (Sep 1998)
14.- Representa matricialmente los sistemas:
= +
= +
= +
= +
1 y 4 x 11
0 y x 3 0
y 4 x 11
1 y x
3 . Calcula las soluciones y mira si existe alguna
relación entre las soluciones obtenidas y la inversa de la matriz
4 11
1
3 . Justifica la relación obtenida. (Sep 1999)
15.- calcula el valor de λ para que admita infinitas soluciones el sistema:
=
− +
= + +
= + +
4 z 3 y x 2
5 z y 2 x
3 z 2 y x
λ . Obtén todas las soluciones e interpreta geométricamente el
resultado obtenido, recordando que cada ecuación del sistema representa un plano.
(Sep 1999)
16.- Averigua para que valores de λ tiene una única solución el sistema:
= + +
= + +
= + +
λ λz y 4 x 3
3 z 3 y 2 x
1 z y
x y obtener razonadamente para que valores de λ el sistema tiene
infinitas soluciones. Dar el significado geométrico de que el sistema tenga infinitas soluciones, recordando que cada una de las ecuaciones del sistema representa un plano. (Junio 2000)
17.- Calcular el valor de λ para el que tiene infinitas soluciones el sistema:
= +
= + +
=
− +
0 y x
0 z y x 2
0 z y x
λ
. Obtener todas las soluciones correspondientes a ese valor de λ e
interpretar geométricamente por qué el sistema tiene infinitas soluciones. (Sep 2000)
18.- Obtener el función de λ las soluciones del sistema:
= +
−
−
=
− +
= + +
2 z 3 x
2 y 3 x
3 z y
x λ
. Explica la
relación entre el conjunto de soluciones obtenidas y la intersección de los planos:
π2 : x – 3y= - 2 y π3 : - x+3z=2 (Sep 2000)
19.- Dado el sistema de ecuaciones lineales
= λ + +
= +
+
λ
= + +
1 z y
5 x 3
2 z 5 y 3 x 2
z y x
2
, dependiente
del parámetro λ, se pide:
i) Determinar para que valores de λ el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. (1,3 puntos)
ii) Obtener el conjunto S de soluciones del sistema para el caso compatible indeterminado (1 punto)
iii) Obtener el vector de S ortogonal (perpendicular) al vector (1,1,2). (1 punt) (Sep 2002)
20.- Dado el sistema de ecuaciones lineales , 5 z y 3 x
z y
0 z 2 x
= + +
λ
=
− λ
= + λ
dependiente del parámetro λ, se pide:
a) Determinar para que valores de λ el sistema es: compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. (1,3 puntos)
b) Obtener las soluciones en los casos compatible determinado y compatible indeterminado. (2 puntos) (Junio 2003)
21.- Dado el sistema de ecuaciones lineales λ λ
λ λ
λ
con 6 z 2 y x 2
3 z y 2 x
z y x
=
− +
=
− +
= +
−
parámetro real, se pide:
a) Determinar razonadamente para qué valores de λ es compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. (1.3 puntos)
b) Hallar el conjunto de soluciones del sistema para el caso compatible determinado.
(1 punto)
c) Hallar el conjunto de soluciones del sistema para el caso compatible
indeterminado. (1 punto) (Junio 2004)
22.- Calculeu tots els valors reals x, y ,z ,t per als quals es verifica AX=XA, on X =
t z
y
x i A= .
4 3
2 1
Set 2004 Sol:
+ 3/2y x
y 2 / 3
y x
23.- El sistema de ecuaciones lineales depende del parámetro real “a”. Discutir para qué valores de “a” es incompatible, compatible determinado y compatible indeterminado (2 puntos), y resuélvelo en los casos compatibles ( 1,3 puntos)
= + +
= + +
= + +
2 2 2
2
a z a y a x
a az ay x
1 z a ay
x (Junio 2005)
24.- Dado el sistema de ecuaciones con incógnitas x, y, z
= +
−
=
− +
=
− +
1 7 2
2 11 6 2
3 2
z y x
z y x
z y
x α
, se pide:
a) Determinar razonadamente el valor de α para el cual el sistema es compatible (1,2 p)
b) Para ese valor obtenido en a) de α, calcular el conjunto de soluciones del sistema.
(1,3p)
c) Explicar la posición relativa de los tres planos definidos por cada una de las tres ecuaciones del sistema, en función de los valores de α. (0,8 p) Junio 2006
25.- Dado el sistema de ecuaciones lineales
= + +
= + +
= + +
9 z y ax
9 z y 5 x 3
9 z ay
x , se pide:
a) Probar que siempre es compatible, obteniendo los valores de “a” para los que es indeterminado (2 puntos)
b) Resolver el sistema anterior para a=7. (1,3 puntos) Junio 2007
26.- Dado el sistema de ecuaciones lineales
α
= + +
= + +
= + +
z 2 y 3 x
3 z 6 y 4 x 3
5 z 2 y 3 x
6 , se pide:
a) Justificar que para cualquier valor del parámetro real α, el sistema tiene solución única. (1 punto)
b) Hallar la solución del sistema en función del parámetro α.(1,3 puntos) c) Determinar el valor de α para que la solución (x,y,z) del sistema satisfaga x+y+z=1 (1 punto) Septiembre 2007
27.- Dadas las matrices A=
−1 1
4
6 y X=
y
x , se pide:
a) Obtener razonadamente los valores de α para los que
0
0 es la única solución de la ecuación matricial AX= αX. (1,5 puntos)
b) Resolver la ecuación matricial AX= 2X (1,8 puntos) Septiembre 2007
28.- Dado el sistema dependiente del parámetro real α,
= α + +
= + α +
= + + α
1 z y x
1 z y x
1 z y x
, se pide:
a) Determinar, razonadamente, los valores de α para los que el sistema es compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. (1,3 puntos)
b) Resolver el sistema cuando es compatible determinado. (1,3 puntos)
c) Obtener, razonadamente, la solución del sistema cuando α = 0 (0,7 p) Junio 2008
29.- Dado el sistema de ecuaciones lineales
= + +
+
= +
−
+
= + +
4 z 2 ay x 3
1 a z y x 2
3 a z y
x , se pide:
a) Probar que es compatible para todo valor de “a”. (1,3 puntos)
b) Obtener razonadamente el valor de “a” para el que el sistema es indeterminado.
(1 punto)
c) resolver el sistema cuando a = 0, escribiendo los cálculos necesarios para ello.
(1 punto) Septiembre 08
30.- Dado el sistema de ecuaciones lineales
=
−
− α +
= + α
−
−
=
−
− + α
4 z 2 y ) 3 ( x 2
2 z ) 2 ( y 2 x
4 z 2 y 4 x ) 3
( , se pide, razonando las respuestas:
a) Justificar que para α =0 el sistema es incompatible. (1,1 puntos).
b) Determinar los valores del parámetro α para que el sistema sea compatible determinado. (1,1 puntos).
c) Resolver el sistema para los valores del parámetro α para el cual es compatible
indeterminado. (1,1 puntos). Junio 2009
x + y + z = 0 31.- Dado el sistema de ecuaciones lineales: 2x+ 3y +4z =0 5x +7y +αz = 0 se pide:
a) Deducir, razonadamente, para qué valores de α el sistema solo admite la solución (x, y, z) =(0, 0, 0) (1,5 Puntos)
b) Resolver, razonadamente, el sistema para el valor de α que lo hace indeterminado (1,8 Puntos) Septiembre 2009
32.- Dado el sistema de ecuaciones que depende de los parámetros a, b y c
2 a x b yz =3 c 3 x−2 b y−2 c z=a5 a x−2 yc z =−4 b
, se pide:a) Justificar razonadamente que para los valores de los parámetros a=0, b=-1 y c=2 es incompatible. (3 puntos)
b) Determinar razonadamente los valores de los parámetros a, b y c, para los que se verifica (x, y, z) = (1,2, 3) es solución del sistema. (4 puntos)
c) Justificar si la solución (x, y, z) = (1,2, 3) del sistema del apartado b) es, o no,
única. (3 puntos) Junio 2010
α x+ α3y + z = 1 33.- Dado el sistema de ecuaciones lineales α x + αy + z = 1
α3 x + αy + z = 1 donde α es un parámetro real, se pide:
a) Deducir, razonadamente, para qué valores de α es compatible determinado.
(4 puntos).
b) Deducir, razonadamente, para qué valores de α es compatible indeter- minado. (3 puntos).
c) Resolver el sistema en todos los casos en que sea compatible indeter-
minado. (3 puntos). Septiembre 2010
34.- Sea el sistema de ecuaciones
S:
2 x3 z=2 m1x yz =m x3 ym−2z=m−1
Donde m es un parámetro real. Obtener razonadamente:
a)Todas las soluciones del sistema S cuando m = 2. (4 puntos)
b)Todos los valores de m para los que el sistema S tiene una solución única (2 puntos) c)El valor de m para el que el sistema S admite la solución (x,y,z)=(3/2, - 1/2 , 0).
(4 puntos) Junio 2011
2x + α2z = 5
35.-Se da el sistema de ecuaciones x + (1- α)y +z = 1 , donde α es un parámetro x + 2y + α2z = 1
real. Obtener razonadamente:
a) La solución del sistema S cuando α =0. (3 puntos).
b)Todas las soluciones del sistema S cuando α= -1 (4 puntos).
c) El valor de α para el que el sistema S es incompatible. (3 puntos). Jun 2012 36.- Obtener razonadamente:
a) Todas las soluciones
xyz
de la ecuación
111 −101 231
xyz
=
−113
(4 puntos) b) El determinante de la matriz cuadrada B de dos filas, que tiene matriz inversa yque verifica la ecuación B2 = B. (3 puntos)
c) El determinante de la matriz cuadrada A que tiene cuatro filas y que verifica la ecuación:
A2−9
1000 0100 0010 0001
=
0000 0000 0000 0000
Sabiendo además que el determinante de es positivo. (3 puntos). Jun 2012
x -2y -3z = 0
37.- Siga el sistema d'equacions S: 3x + 10y – z = 0 , on α és un paràmetre real.
x + 14y + αz = 0 Obteniu raonadament:
a) La solució del sistema S quan α = 0. ( 4 punts)
b) El valor de α per al qual el sistema S té infinites solucions. (4 punts).
c) Totes les solucions del sistema S quan es dóna a α el valor obtingut en l'apartat b).
(2 punts) A.Setembre 2012.
2x + 5y = a
38.- Es té el sistema d'equacions: -x - 4y = b , on a, b i c són nombres reals.
2x+ y = c
Calculeu raonadament, escrivint tots els passos del raonament:
a) La relació que han de verificar els nombres a, b, i c perquè el sistema siga compatible (4 punts)
b) La solució del sistema quan a =-1, b = 2, c = 3. (2 punts).
c) La solució del sistema quan els nombres a, b i c verifiquen la relació a = c = -2b.
(4 punts) A. Juny 2013.
αx + y + z = 1
39.- Es dona el sistema d'equacions: x + αy + z = 1 on α és un paràmetre real.
3x + 5y +z = 1
Calcula raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:
a) Totes les soucions del sistema quan α = 7. (4 punts)
b) Els valors de α per als quals el sistema és compatible indeterminat. (3 punts).
c) Els valors de α per als quals el sistema és compatible determinat. (3 punts).
B. Juliol 2013.
x + 3y + 2z = -1
40.-Donat el sistema d'equacions: 2x + 4y + 5z = k -2 , on k és un paràmetre real, x + k2y + 3z = 2k
es demana:
a) Discutir,d'una manera raonada, el sistema segons els valors de k. (4 punts).
b) Obtenir, d'una manera raonada, escrivint tots els passos del raonament utilitzat, totes les solucions del sistema quan k = -1. (3 punts).
c) Resoldre d'una manera raonada el sistema quan k = 0. (3 punts).
A. Juny 2014.
(1- α) x + 2y + z = 4
41.- Tenim el sistema d'equacions : x + y - 2z = -4 , on α és un paràmetre real, x + 4y - (α + 1) z = -2α
Obteniu raonadament,escrivint tots els passos del raonament utilitzat:
a) Els valors del paràmetre α per als quals el sistema és incompatible.(3 punts).
b) Els valors del paràmetre α per als quals el sistema és compatible i determi- nat. (3 punts).
c) Totes les solucions del sistema quan a = 2. (4 punts). B. Juliol 2014.
(1- α) x + (2α + 1) y + (2α + 2) z = α 42.- Se da el sistema de ecuaciones: α x + α y = 2α + 2
2 x + (α + 1) y + (α – 1) z = α2 - 2α + 9
donde α es un parámetro real. Obtener razonadamenta, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) Todas las soluciones del sistema cuando α = 1. ( 3 puntos).
b) La justificación razonada de si el sistema es compatible o incompatible
cuando α = 2. ( 3
puntos).
c) Los valores de α para los que el sistema es compatible y determinado. ( 4 puntos).
B. Juny 2015.
x + 3y + z = α 43.- Se da el sistema de ecuaciones: x + y - αz = 1
2x + αy – z =2 α + 3 Donde α es un parámetro real.
Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) La solución del sistema cuando α −= 1. (3 puntos) b) Todas las soluciones del sistema cuando α = 0 (3 puntos)
c) El valor de α para el que el sistema es incompatible. (4 puntos) A. Juliol 2015.
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS SISTEMAS DE ECUACIONES 1.- Calcula el rango de las siguientes matrices
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
1 5 1 2
4 1 3 1
3 0 2 1 ) 4 9 7 8 0
0 2 3 1 1
2 1 1 2 0
1 1 2 0 1 ) 8 10 1
5 1 2
1 3 1 ) 0 2 2
2 3 1
1 4 1
) b c d
a
Soluciones: 3, 2, 3, 2
2.- Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro a
=
−
−
=
1 1
3 1 0
0 1 1
2 4 2
1 2 1
a a N a
a M
3.- Comprueba si las siguientes vectores son L.D. o L.I.
a) (3,0,1,0) , (2,-1,5,0) , (0,0,1,1) , (4,-2,0,-5) b) (3,0,1,0) , (2,-1,5,0) , (0,0,1,1), (0,0,0,1) c) (2,-4,7) , (1,0,2) , (0,1,2)
d) (1,0,0) , (1,1,0) , (0,0,0)
4.- Aplica el teorema de Rouché para averiguar si los siguientes sistemas son compatibles o incompatibles. Resuélvelos cuando sea posible:
= +
=
−
= +
= +
−
−
= +
−
= + +
=
−
−
= +
=
−
4 11 7
0 2
7 5 4 6
4 4 3
1 4 3
7 2
3 2
2 3
5 2 3
y x
y x
y x t
z y x
t y x
z y x
y x
y x
y x
5.- Estudia el rango de las siguientes matrices:
− − −
=
−
=
5 5 7 3
1 1 1 1
3 3 5 1
1 1 3 1
29 6 1 1
11 5 3 2
2 1 1 1
B A
