1. Grafique la familia de curvas que representa la solución general de la ecuación diferencial: y' y

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(1)

1. Grafique la familia de curvas que representa la solución general de la ecuación diferencial: y' y 0 Solución: la ecuación diferencial se la puede resolver por variables

separables, como se ve.

' 0 dy 1 ln x

y y y dy dx c y x c y ke

dx y

     

 

      

Para graficar la familia de curvas se procederá a signar valores a la constante, de donde se hallan las siguientes curvas.

2. Dada la ecuación diferencial xy' y, determine la solución general en función de k, grafique las curvas integrales y encuentre la solución particular que verifica y(1)2.

Solución: la solución se la puede hallar por el método de variables separables, como se observa.

1 1

' dy ln ln

xy y x y dy dx c y xk y xk

dx y x

   

    

Determinado la solución particular para las condiciones dadas.

(1) 2 2 2 2

1

y y y xk k y x

x

 

         Graficando la familia de curvas:

3. Dada la ecuación diferencial xy' 4 y0, determine la solución general, grafique las curvas integrales y encuentre la solución particular para: (1) 3

y  2

Solución: resolviendo por el método de variables separables, se tiene:

1 1 1 1

' 4 0 ' 4 4 0

4 4

xy y xy y dyx y dy dx dy dx

dx y x y x

             

Procediendo a integral y simplificando: 1 1 1 1 4 1

0 ln ln ln 4 ln ln ln

4 dy dx 4 y x c y x c y x c

yx          

  

4 4 4

1 1

lnylnx  c lnx y c lnkx yk....Solucion gral_ . 0

1 1

2 2

x

k k

k y ke

k k

 

  

  

  

 

(2)

Hallando la solución particular para la condición y reemplazando en la solución general

 

4

4

3 1 3 3

(1) 3 1

2 2 2

2

3... _ .

2 x

y k k

y

x y Solución Part

   

       

 

La gráfica de la solución particular será:

4. Resolver la ecuación diferencial por variables separables.

1 2

dy x

dx xy

 

Solución: separando variables ya que tiene la forma de f x dx( ) g y dy( ) .

2 2 2

1 1 1

dy x x x 0

ydy dx dx ydy

dx xy x x

  

     

Procediendo a integrar:

2 2

1 1 2

0 0 ln

2

x x

dx ydy x dx ydy x y c

x x

            

     

Ordenando y simplificando al máximo: 2 ln 2 2 ln 2 2 ln 2 ln 2 2 ln x2

x x y c k x y x k x y

k

 

            

  5. Resolver la siguiente ecuación diferencial

y2xy2

y'x2yx2 0

Solución. Si factorizamos términos semejantes, podemos emplear el método de ecuación diferencial de variables separables ya que tiene la forma f x dx( ) g y dy( ) .

2 2

' 2 2 0 2(1 ) 2

1

2 2 ...

1 1

y x

y xy y x yx y x dy x y dx dy dx c A

y x

            

 

 

Integrando por cambio de variable en ambas integrales tenemos:

 

2

     

2

2 1 2 (1 )2 2 1

ln 2 ln 1 2 1

1 1 2 1 2

v y y

y y v v y

dy dy dv v v dy y y

dv dy

y y v y

  

 

                

   

   

 

2

   

2 1 2 ( 1)2 2 2 1

2 ln 2 1 ln 1

1 1 2 1 2

u x x

x x u u x

dx dx du u u dx x x

du dx

x x u x

  

 

            

   

   

Reemplazando las últimas dos integrales en la ecuación A, empleando propiedades y simplificando.

           

 

2 2

2 2

1 1 1

ln 1 2 1 2 1 ln 1 2 ln 2( )

2 2 1

2 ln 1 ( ) 2

1

y x x

y y x x c x y x y c

y

x x y x y c

y

 

      

                   

  

       

(3)

6. Resolver la ecuación diferencial por variables separables. 3 3

2 4 8

dy xy x y

dx xy x y

  

   

Solución: factorizando en el denominador y denominador, y separando variables ya que tiene la forma de f x dx( ) g y dy( ) .

3 3 ( 1) 3( 1) ( 1)( 3) 2 1

2 4 8 ( 2) 4( 2) ( 2)( 4) 3 4 ...

dy xy x y y x x dy x y y x

dy dx c A

dx xy x y x y y dx y x y x

         

      

       

Resolviendo las integrales por separado.

2 2 3 2

1 5ln( 3)

3 3 3 3 3

y y

dy dy dy y y

y y y y y

 

              

  

1 1 4 1

1 5ln( 4)

4 4 4 4 4

x x

dx dx dx x x

x x x x x

            

        

  

Reemplazando las anteriores integrales en A.

4 4 5

5ln( 3) 5ln( 4) 5ln

3 3

x x x y

y y x x c x y c ke

y y

     

               

7. Resolver la ecuación diferencial homogénea

y2x2

dxxydy0.

Solución: para resolver la ecuación diferencial, se hará el siguiente cambio de variable por ser una ecuación diferencial homogénea que tiene la forma ' y

y f x

    .

2 2

 

2 2

 

2 2 2

2 2

2

1 1 2

0

y ux

y x u x x

dy du u du u

y x dx xydy dy du x u x

dx xy x u dx ux u dx u

dx dx

 

    

               

Separando las variables e integrando se tiene:

2

2 2

2 2 1 4

1 2 1 1 4 1 1 1

ln(1 2 ) ln 1 2

1 2 4 1 2 4

du u u u

x du dx c du dx c u kx u k

dx u u x u x x

 

             

  

   

Volviendo a las variables originales, según y ux , se tiene.

2 2 2

2 2 4

1

1 4 4 1

2

1 2 y 1 1 x y k 2

k x y k x

x x x

  

         

8. Resolver la ecuación diferencial homogénea 0

y y

x x

x ye dx xe dy

 

  

 

  , si y(1)0.

Solución: como se observa la ecuación diferencial es homogénea, ya que tiene la forma de ' x x f

y

   

 . Por lo tanto se hará el siguiente cambio de variable con su respectiva derivada.

1 1

2

1 1 1

0

y

y y x u u

x x

y

x u u u

x uy

dx xe du uye ue du u

x ye dx xe dy dx du y u y

dy y u dy dy

x ye dy dy uy ye u e u e

 

              

   

      

(4)

Separando variables e integrando, se tiene:

1

1 1 1

2

1 2 2

1 1 1 1

ln ln ln( )

u

u u u

u

du u u e

y du dy c e du dy c u e ky kuy e

dy u y u u y

u e

 

 

                 

 

   

Volviendo a las variables originales, se tiene: ln( )

y

x x

x uy u kx e

   y

Determinando el valor de k para las condiciones iniciales: 1 0

(1) 0 ln( ) ln( ) 1

0

y

x x

y k e k e x e

y

 

          9. Resolver la ecuación diferencial homogénea cos y sin y cos y

y x dx x dy

x x x

          

      

  .

Solución: como se observa la ecuación diferencial es homogénea, ya que tiene la forma de ' x x f

y

   

 . Ordenando y realizando el cambio de variable para una E.D. homogénea:

   

cos sin

cos sin cos tan

cos

1 1 1 1

tan tan 0

tan tan

y y

y x y ux

x x

y y y y y dy

y x dx x dy dx dy dy du

x x x y x x dx x u

x dx dx

x

du du

u u x u u x dx du dx du

dx dx x u x u

        

 

                      

             

       

         

De la última expresión procediendo a integrar:

1 1 1 cos

0 0 ln ln sin ln ln

tan sin sin sin

u x x

dx du dx du x u c c k k

xu   xu      u    u

     

Volviendo a las variables originales, se tiene: sin

sin

y x y

y ux u k x k

x y x

x

      

10. Resolver la siguiente ecuación diferencial reduciéndolas a homogéneas.

x4y9

dx

4x y 2

dy0

Solución: la ecuación diferencial tiene la forma 1 1 1

2 2 2

' a x b y c y f

a x b y c

   

    por lo que es posible reducirla a una ecuación homogénea. Hallando el punto en común entre las rectas, y haciendo los cambios de variable respectivos se tiene:

     

 

4 9 0 1 ,

4 9

4 9 4 2 0 (1, 2)

4 2 0 2 ,

4 2

4 4

x y x u dx du

x y

x y dx x y dy dy P

x y y v dy dv

dx x y

dv u v

du u v

     

   

                     

  

Reduciendo la última ecuación a homogénea con un cambio de variable, además de separar variables, se tiene.

(5)

     

2

2

2 2 2

4 4 1 4 1

4 4 4 4

4 1 4 2 1 1

4 arctan ln 1 ln

1 1 2 1 2

v wu

dv u v dw u wu dw w dw w

u w u w u

dv dw

du u v u w du u wu du w du w

du du

w w

dw du c dw du c w w u c

w u w w u

 

    

                   

 

                

 

    

   

Llevando en función de las variables originales, se tiene:

 

2 2

2 1 2

4 arctan ln 1 ln 1

1 1 2 1

1

v y

v wu w y y

x c

u x

x x

u x

   

                

11. Resolver la siguiente ecuación diferencial reduciéndolas a homogéneas 6 12

' 6 12

x y

y x y

  

 

Solución: la ecuación diferencial tiene la forma 1 1 1

2 2 2

' a x b y c y f

a x b y c

   

    por lo que es posible reducirla a una ecuación homogénea. Primero se debe hallar el punto en común entre las rectas, y segundo se debe hacer los cambios de variable respectivos:

6 12 0 2 ,

6 12 6

' (2, 0)

6 12 0 ,

6 12 6

x y x u dx du

dy x y dv u v

y P

x y y v dy dv

dx x y du u v

     

 

  

              

Tenemos una ecuación homogénea, por lo que se debe recurrir a otro cambio de variable.

  

  

2 3 2

6 6 6 5 6

6 6 6 6 6

6 1

3 2 ...

v wu

w w

dv u v dw w dw w dw w w

u w u w u

dv dw

du u v u w du w du w du w w

du du

w dw du c A

w w u

   

     

                  

  

 

 

La primera integral se procederá a resolver mediante fracciones parciales.

  

    

    

 

 

3 3

4

2

lim 3 6 3

3 2

6 3 4 3

3 2 3 2 6 3 2 ln 2

lim 2 4

3 2

w

w

a w w

w w

w a b w

dw dw dw

w w w w w w w w

b w

w w

     

    

   

      

          

   

    

  

  

Reemplazando la última integral en A y volviendo a las variables originales, se tiene:

 

 

 

     

   

3

3 3 3

2

4 4 4 4

3 3 2 3 3 6

ln ln 2 2 2

2 2 2 2 2 4

2 v y y

w w w x y x

ku ku u x k x k x

w w u x y y x

x

  

  

                   

          

(6)

12. Resolver la siguiente ecuación diferencial reduciéndolas a homogéneas 3 5

' 1

x y

y x y

 

  

Solución: la ecuación diferencial tiene la forma 1 1 1

2 2 2

' a x b y c y f

a x b y c

   

    por lo que es posible reducirla a una ecuación homogénea. Primero se debe hallar el punto en común entre las rectas, y segundo se debe hacer los cambios de variable respectivos:

3 5 0 2 ,

3 5 3

' (2,1)

1 0 1 ,

1

x y x u dx du

dy x y dv u v

y P

x y y v dy dv

dx x y du u v

     

 

  

                Tenemos una ecuación homogénea, por lo que recurrimos a otro cambio de variable.

2 2

2 2

3 3 1 3 1 3 2 1 2 1

1 1 1 1

1 1 1 1

2 1 2 1 0

v wu

dv u v dw u wu w dw w w w dw w w

u w u w u

dv dw

du u v u w du u wu w du w w du w

du du

w w

dw du dw du

w w u w w u

 

        

                    

 

   

   

De la última expresión procediendo a integrar: 21 1

0....

2 1

w dw du A

w w u

  

 

  

Resolviendo la integral por separado, se tiene:

 

2

 

2

 

2 2 2

1 1 1 1 2 2 1 2 2

ln ln 1

2 1 1 1 1

w z

w w w z

dw dw dw dz dz z w

dw dz

w w w w z z z z w

  

                   

       

    

Reemplazando las integrales anteriores en A, se tiene:

    

1

2 2 2

ln 1 ln ln 1 ln ln ln

1 1 1

w u

w u c w u c k

w w k w

 

                   Volviendo a las variables originales:

1

2 1 21 1

2

2 3 2

2

ln 2 ln ln

1 1 3

2 1

2

y x

v y

w u w x x y x

u x

k w k y k x y

u x

x

     

    

 

                  

         

        

13. Resolver la siguiente ecuación diferencial

2xy3ycosx dx

3x y2 2sinx dy

0.

Solución:

Verificando si es una ecuación diferencial exacta para ello debe cumplirse con ( , ) ( , ) 0 P Q P x y dx Q x y dy

x x

 

   

  , esto

se da siempre y cuando ( , ) ( , ) F F

P x y dx Q x y dy dx dy

x y

 

  

  , donde F esF 0y es solución de la ecuación diferencial.

2 3 cos

 

3 2 2 sin

0 6 2 cos , 6 2 cos

P Q

P Q

xy y x dx x y x dy xy x xy x

y x

 

        

 

Como es una ecuación diferencial exacta, podemos hallar la solución F integrando P respecto de x, como se ve.

3 3 2 3

2 cos (2 cos ) ( ) sin ( )

Pxyy x F

xyy x x k y   F x yy x k y

(7)

Ahora determinemos k(y) derivando F respecto de y e igualando a Q.

2 2 2 2 2 2 2 3

3 sin 3 sin 3 sin ( ) sin 0

F dk dk

x y x Q x y x x y x k y c F x y y x c

y dy dy

                

14. Resolver la siguiente ecuación diferencial 2

2 2 2 2

1 1 1

x y x 0

dx dy

x y y y

x y x y

   

        

     

   

.

Solución:

Verificando si es una ecuación diferencial exacta para ello debe cumplirse con ( , ) ( , ) 0 P Q P x y dx Q x y dy

x x

 

   

  , esto

se da siempre y cuando ( , ) ( , ) F F

P x y dx Q x y dy dx dy

x y

 

  

  , donde F esF 0y es solución de la ecuación diferencial.

3 3

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1

0 ,

P Q

x y x P xy Q xy

dx dy

x y y y y y x y

x y x y x y x y

     

               

         

   

Como es una ecuación diferencial exacta, podemos hallar la solución F integrando P respecto de x, como se ve.

2 2

2 2 2 2

1 1 1 1

( ) ln ( )

x x x

P F x k y F x y x k y

x y x y y

x y x y

 

 

     

           

Ahora determinemos k(y) derivando F respecto de y e igualando a Q.

2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1

F y x dk y x dk y x dk ln

Q k y c

y x y y dy x y y dy x y y y dy y

               

   

Reemplazando klny c en F, se tiene: 2 2 ln x ln 0

F x y x y c

     y  

15. Resolver la siguiente ecuación diferencial ( siny xsin )y dx( cosx ycos )x dy0.

Solución. Si introducimos el signo negativo dentro del paréntesis obtenemos una ecuación diferencial exacta ya que cumple

con ( , ) ( , ) 0 P Q

P x y dx Q x y dy

x x

 

   

  , esto se da siempre y cuando ( , ) ( , ) F F P x y dx Q x y dy dx dy

x y

 

  

  ,

donde F esF 0y es solución de la ecuación diferencial.

( sin sin ) ( cos cos ) 0 sin cos , cos sin

P Q

P Q

y x y dx x y x dy x y y x

y x

 

          

 

Como es una ecuación diferencial exacta, podemos hallar la solución F integrando P respecto de x, como se ve.

( sin sin ) ( sin sin ) ( ) cos sin ( )

Py xy  F

y xy x k y    F y xx yk y Ahora determinemos k(y) derivando F respecto de y e igualando a Q.

cos cos cos cos cos cos ( ) cos sin 0

F dk dk

x x y Q x x y x y x k y c F y x x y c

y dy dy

                    

(8)

16. Resolver la ecuación diferencial xdx(x y2 4 )y dy0, para y(4)0

Solución: determinemos si la ecuación diferencial es exacta. P 0, Q 2 P Q

y x xy y x

     

   

Como no es exacta debemos hallar un factor que transforme la ecuación diferencial en exacta, para ello aplicamos la siguiente formula.

 

( ) 2 2

1 1

( ) P Q 0 2 2 ( ) f y dy ydy ( ) y

f y xy y u y e e u y e

P y x x

    

              Multiplicando este factor a las funciones P y Q, obteniendo así una ecuación diferencial exacta

2

2 2

2

2

2

( 4 ) 0

2

y

y y

P Q y

P xye

P Q

e x dx e x y y dy y

y x

Q xye x

 

  

        

 

Ahora procediendo a resolver de la misma manera que el anterior ejercicio, se tiene.

2 2 2 2

( ) ( )

2

y y y x

Pe x F

e x x k y  F ek y

Derivando F respecto de y e igualando a Q se obtiene la solución de la ecuación diferencial.

 

2 2 2 2 2 2 2

2 2

4 4 ( ) 2 2 0

2

y y y y y y

F dk dk x

x ye e x y y ye k y e c F e e c

y dy dy

              

Determinando el valor de c, de acuerdo a las condiciones iniciales. 2 2

0 2

(4) 0 10 2 10 0

4 2

y y

y x

y c e e

x

 

         

17. Resolver la siguiente ecuación diferencial lineal xdy(y2yx22 )x dx0 Solución: para que sea una ecuación diferencial lineal, debe tener la forma: dy yP( )x Q( )x

dx 

2

2 1 2

( 2 2 ) 0 dy x 2

xdy y yx x dx y

dx x

       

Como se observa tiene la forma de una ecuación diferencial lineal, por lo que para resolverla emplearemos la siguiente formula que nos permitirá hallar la solución, en donde solo debemos identificar las funciones P y Q.

 

( ) ( )

( )

x x

P dx P dx

ye

eQ dx cx

 

 

2 2

2 2

1 1

1 2 1 2 2 2 ln ln

2 2 2

x dx x dx x x dx x x dx x x x x

x x

y e e dx c e e dx c e e dx c

       

       

   

 

Empleando propiedades de logaritmos en el exponencial, se tiene.

lnx x2

lnx x22

1 x2

x22

1 x2

x22

1 x2

x2

y e e dx c e xe dx c e e xdx c e e c

x x x

 

 

  

De donde la solución de la ecuación diferencial será:

2

1 1 x

y ce

x

  

(9)

18. Resolver la siguiente ecuación diferencial lineal Ldi Ri E

dt   , para i(0)i0.

Solución: dividiendo la ecuación entre L, de tal manera que se asemeje a una ecuación diferencial lineal dy yP( )x Q( )x

dx  .

di di R E

L Ri E i

dt    dtLL

Empleando la formula yeP( )xdx

eP( )xdxQ dx c( )x

en donde se hará la siguiente analogía iy x, t.

 

( ) ( )

( )

t t

P dt P dt

ie

eQ dttc

R R R R R R R

dt dt t t t t t

L L E L L E L E L E L

i e e dt c e e dt c e e c i ce

L L R R

      

            

 

    

La constante c se puede calcular mediante las condiciones iniciales (0) 0 0 0 0 0

i i E E

i i i c c i

t R R

   

        

0

Rt

E E L

i i e

R R

  

     

19. Resuelva la siguiente ecuación diferencial de Bernoulli 2 'y  y (x1)y3.

Solución. Para que sea una ecuación diferencial de Bernoulli debe tener la siguiente forma. dy yP( )x y Q( )x dx

  , esta

ecuación se hace lineal valiéndose de la sustitución zy1

1 3 2

3 3

3 2

3

1 1 1 1

2 ' ( 1) ( 1) 1 2 ( 1)

2

2 2

z y y

dy dy

y y x y y x y dz dy x

dx y dx y

dx y dx

  

               

Llevando la ecuación diferencial en función de las nuevas variables.

( 1) dz z x dx   

En donde esta ultima ecuación diferencial es un ecuación lineal, empelando la formula para hallar la solución.

 1dx

 1dx(1 )

x

x(1 )

x

 

x

x

ze 

ex dx c e

ex dx c e xe    c z x ce Llevando en función de las variables originales, se tiene.

2 2 x 2 1

z y z y x ce y x

x ce

      

(10)

20. Resuelva la siguiente ecuación diferencial de Bernoulli

5

2 2

3 dy 6 2 0

x xy y

dx   .

Solución: para que sea una ecuación diferencial de Bernoulli debe tener la forma dy yP( )x y Q( )x dx

  , esta ecuación se hace lineal valiéndose de la sustitución zy1

5 3

1

5 3

2 2

5 2 5 2

2 2 2

2 5 2

2

2 3 1

3 6 2 0 2 3

3 3 2

2

z y y

dy dy y y dy y

x xy y y

dz dy

dx dx x x dx x x

dx y dx

  

           

  

 Llevando en función de la nueva variable.

2

3 1 dz z dxxx

En donde esta ultima ecuación diferencial es un ecuación lineal, empelando la formula para hallar la solución.

 

3 3 2 2

3ln 3ln

2 2 3 3 3

1 1 1 1 1

2 2

dx dx

x x

x x x x

z e e dx c e e dx c xdx c c z c

x x x x x

         

               

     

 

Llevando en función de las variables originales:

3 2 3 3 3 3

2 2 2

3 2 2 2

3

1 1 2 2

2 1

2

x x x

y z c y y

x x x k x k

x c

 

            

 

21. Hallar la ecuación de la curva, para la cual, el segmento interceptado por la tangente en el eje de abscisas es igual al cuadrado de la ordenada del punto de contacto.

Solución: la gráfica según el problema tendrá la siguiente forma, sea c la curva que se desea hallar.

El segmento interceptado será la siguiente ecuación dx x y

dy Y el cuadrado de la ordenada en el punto de contacto será y2

dx 2 dx x

x y y y

dy dy y

     

De donde tenemos una ecuación diferencial lineal de primer orden.

   

     

( ) ( )

1 1

( )

ln1

ln 1

y y

dy dy

P dy P dy y y

y

y y

x e e Q dy c e e y dy c

x e e y dy c y y dy c y y c

y

 

     

      

 

 

   

 

          

 

 

 

 

 

De donde la solución esta compuesta por una familia de parábolas:  y2 x cy0

(11)

1. Resuelva la ecuación diferencial: yxy'0 grafique la familia de curvas asociadas a la solución general.

Luego identifique la curva que pasa por el punto (1,-1).

Solución: 1 1

' 0 dy ln lnk k

y xy x y dy dx c y y

dx y x x x

     

 

     Identificando la curva que pasa por (1,-1), tenemos: 1 1

1 k x

y y

y

x y

 

       De donde se puede obtener la gráfica siguiente.

2. Si P=P(t) determine la solución de la ecuación diferencial: dP 2 1

dtP  luego derive la solución y retorne a la ecuación diferencial.

Solución:

  

2

2

1 1 1 1 1

1 1 1 1 2 1 1

dP P dP dt c dP t c dP t c

dt P P p P P

 

  

 

 

    

      

2 2

2

1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 2ln 1 1 1

t t

t

P P ke

dP t c t c ke P

P P P P ke

  

            

        

   

Derivando la anterior ecuación para comprobar si es solución:

 

2

2

2 2

1 1 1

1 1 1

t

t

t t

ke P P

P ke k

ke P P e

  

    

  

3. Resuelva la ecuación diferencialx y2 'xy x 1utilizando variación de la constante. Derive la solución y retorne a la ecuación diferencial original.

Solución: 2 21

' 1 ' y x ' y 0 k

x y xy x y y y

x x x x

            Derivando y reemplazando en la ecuación diferencial:

2 2 2

' 1 ' 1 ln

' ' y k

k x k k

x x x x k x x k x x c

k x k x x

y x

  

           

 

 

Reemplazando en y se tiene la solución: x lnx c

y x

 

Comprobando y si es solución: y x lnx c

xy x lnx

' c' y xy' 1 1 0 x y2 ' xy x 1

x x

 

             

 

 

       

 

   

 

2 2 2

2

2 2 2

2 2

' 1 1 ' 1 2

1 0 ' 1 ' 1 2 1 0

1 1

2 ' 2 1 ' 1

t t t

t t

P P e P P e P e

P k P P P P P

P e P e

P P P P

    

          

 

    

(12)

4. Resuelva el PVI:

y22xy2

dx 

x y

2dy0, (1) 1y

Solución: es una ecuación diferencial exacta: P 2 2 Q 2 2

y x x y

y x

 

    

 

2 2 2

( ) 2 2 2 ( )

F

yxy  x k y  F xyx yx k y

Derivando respecto a y e igualando a Q 2 2 '

 

2 ' 2 1 3

3

F xy x k x y k y k y c

y

          

De donde tenemos el resultado: 2 2 1 3 1 13 2 2 1 3 13

2 0 2 0

1

3 3 3 3

F xy x y x y c y k x y x y x y

x

 

                 5. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 v a un circuito en serie en el que la resistencia es de 200 ohms y la

capacitancia es de 10-4 farads.

 Escriba la ecuación diferencial asociada.

 Encuentre la carga q(t) en el capacitor si q(0)=0

 Encuentre la corriente i(t)

Solución: sumando la caída de tensión en los componentes e igualando a la fuente:

50 1 2

q dq q dq q V dq

Ri V R V q

c dt c dt Rc R dt

          

Aplicando la solución mediante la fórmula de la ecuación lineal. ( ) 1 50 100 q t  ce t

Si q(0)=0, se tiene. ( ) 1

1 50

100 q t  e t

Derivando para hallar la corriente 1

50 50

1 50

100 2

t t

i dq e i e

dt

   

6. Una taza de café se enfría de 80 ºC a 60 ºC en cinco minutos a una temperatura ambiente de 10 ºC.

 Planteé la ecuación diferencial y resuélvala

 ¿Cuál es la temperatura de la taza a los 20 minutos?

 ¿En cuánto tiempo la temperatura llega a 20 ºC?

Solución:

m

m kt 10 kt

dT k T T T T Ce T Ce

dt

        

Si en t=0 la temperatura de la taza es 80 ºC, se tiene. 80 10   C C 70 T 10 70 ekt

Si después de 5 minutos la temperatura es 60 ºC, se tiene. 60 10 70  ek5  k 0.067 T 10 70 e0.067t La temperatura de la taza la los 20 minutos será: T 10 70 e0.067*20T 28.33ºC

El tiempo en el cual la temperatura llega a 20 ºC: 20 10 70  e0.067t  t 29.04 min.

(13)

7. Si y Bx( x2) 1 donde B es una constante, es solución de una ecuación diferencial de primer orden, escriba la ecuación diferencial.

Solución: despejando B, y derivando se tiene.

   

 

2 2

2 2

2

2 2

2 2 3 2 2 3 2 2

2 ' 1 '

( ) 1 ' 1 ' 0

2 ' ' ' 0 ' '

xy x y xy x y y xy y Bx x B x y

xy xy

x y y x y x yy x y y x yy xy x y y xy y

x

   

  

      

 

           

1. Resuelva la ecuación diferencial

 

y' 2 4y y grafique la familia de curvas asociada a la solución general. Luego identifique la curva que pasa por el punto (1,4)

Solución:

 

y' 2 4yy' 2 y y      x c y

c x

2

Graficando las curvas para (1,4):

 

2 1 1,3

1

2,

3

2

4

y c x x c y x y x

y

 

          

2. Si P=P(t), determine la solución de la ecuación diferencial dP P

1 P

dt   , luego derive la solución y retorne a la ecuación diferencial original.

Solución:

1

1 1 ln

1 1 1 1

t t

t

dP P P ke

P P dp dt c t c ke P

dt P P P P ke

   

  

    

            Derivando:

       

 

 

2

' 1 ' 1

0 ' 1 ' 1 0 ' (1 )

1 1

t t t

t t

P P e P P e P e

P k P P PP P P P P P

P e P e

    

           

 

3. Resuelva la ecuación diferencial y' 3 x y2 10x2utilizando variación de la constante. Derive la solución y retorne a la ecuación diferencial.

Solución: 2 1 3 3

' 3 0 x

y x y dy x dx c y ke

y

  

 

  

Derivando y reemplazando en la ED:

   

3 3 3 3 3 3

3 3

2 2 2 2

2

' ' ( 3 ) ' ( 3 ) 3 10

' 10 10

3

x x x x x x

x x

y ke y k e k x e k e k x e x ke x

k x e k e c

         

   

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