Matemáticas II

(1)

Matemáticas II

Manuel Palacios

Profesor Titular de Universidad Dep. de Matemática Aplicada.

EINA

Lección 8. Espacios con producto escalar

(2)

Contenido de esta lección

1 Lección 8. Espacios con producto escalar 8.1.- Definiciones y ejemplos

8.2.- Bases ortonormales

8.3.- Cambio de bases ortonormadas; matrices ortogonales 8.4.- Factorización Q R

Resolución de sistemas lineales

8.5.- Proyección ortogonal. Mejor aproximación

Proyección ortogonal Series de Fourier Mínimos cuadrados

Prestar especial atención a:

Producto escalar, cambio de bases ortonormadas, proyección ortogonal, cosenos directores, método de Gram-Schmidt, factorización Q R, ...

Conceptos: norma, distancia, ángulo, ortogonalidad, matrices ortogonales, transformaciones ortogonales, proyección ortogonal, mejor aproximación, mínimos cuadrados

(3)

Lección 8. Espacios con producto escalar 8.1.- Definiciones y ejemplos

Producto escalar

F : V × V −→ IR forma bilineal simétrica y definida positiva Un producto escalar

Si V = IRn[x ],

F (p(x ), q(x )) = Z 1

−1

w (x ) p(x ) q(x ) dx , w (x ) ≥ 0

Espacio (vectorial) euclídeo

Cualquier espacio vectorial V sobre IR de dimensión finita con un producto escalar, es decir, al par (V, F).

(4)

Matriz coordenada

de un producto escalar respecto de una base a la matriz coordenada de la aplicación F que lo define.

Ejemplo

Las matrices coordenadas del producto escalar anterior respecto de la base canónica y respecto de la base {1, x , −1 + 3 x²} en el caso w (x ) = 1 son, respectivamente:

A =





2 0 2/3

0 2/3 0

2/3 0 2/5



, B =





2 0 0

0 2/3 0

0 0 8/45



 que se corresponden con las expresiones coordenadas siguientes:

F (x , y ) = X^T A Y = 2 x²+4

3x z +2

3y²+2 5z² F (x , y ) = ¯X^T B ¯Y = 2 ¯x²+2

3x ¯¯y + 8 45y¯²

(5)

Norma (euclídea)

(o longitud) de un vector x de un espacio euclídeo, y la denotaremos por ||x ||, a la aplicación:

|| · || : V −→ IR⁺,definida por || x || = +p

F (x , x ) Ejemplo

En el ejemplo anterior, la norma del vector v = 1 + x + x²es

||v || = ( Z 1

−1

(1 + x + x²)²dx )^1/2= ((111) A (111)^T)^1/2= (56 15)^1/2 Desigualdad de Schwarz (Poland, 1843)

|F (x, y )| ≤ ||x|| ||y ||

Dem.: Basta tener en cuenta:

0 ≤ F (t x + y , t x + y ) = t²F (x , x ) + 2 t F (x , y ) + F (y , y ) =

=t²||x||²+2 t F (x , y ) + ||y ||²

(6)

Propiedades características

1) ||x || ≥ 0, 2) ||x || = 0 ⇐⇒ x = 0,

3) ||t x || = |t| ||x ||, 4) ||x + y || ≤ ||x || + ||y ||(desig. triangular) También haynormas no eucídeas, es decir, no asociadas a un producto escalar. Por ejemplo, la norma de Chebyshev (Russia, 1821) o la norma uniforme.

Distancia

del vector x al vector y a la norma del vector diferencia, es decir, d (x , y ) = ||x − y ||

Propiedades

1) d (x , y ) ≥ 0, 2) d (x , y ) = 0 ⇐⇒ x = y , 3) d (x , y ) = d (y , x ), 4) d (x , y ) ≤ d (x , z) + d (z, y )

(7)

Ángulo de dos vectores x , y

al número real ang(x , y ) = α ∈ [−π, π] tal que cos α = F (x , y )

||x|| ||y ||

Ejemplo

Con el producto escalar F de IR₂[x ], el ángulo α entre v = 1 + x + x²y w = 1 + x es

cos α = F (x , y )

||x|| ||y || = 10/3

56/15 8/3 = 75 224 Consecuencias

1) F (x , y ) = ||x || ||y || cos α

2) El vector proyección de y sobre x es:

proy~_xy = (||y || cos α) x

||x|| = F (x , y )

||x||

x

||x||

3) ||x − y ||²= ||x ||²+ ||y ||²− 2 ||x|| ||y || cos α (Teor. del coseno)

(8)

Lección 8. Espacios con producto escalar 8.2.- Bases ortonormales

Vectores ortogonales En (V, F), si F (x , y ) = 0

Familia ortogonal de vectores {x₁, ...,xp} F (x_i,x_k) =0, ∀i 6= k

Ejemplos: polin. ortog. de Legendre (Paris, 1752), Chebyshev, Laguerre (Francia, 1834), Hermite (Francia, 1832).

Polinomios de Chebyshev

Polinomios Tn(x ) ortogonales en el intervalo [-1,1] con w (x ) = 1/√

1 − x², es decir, F (T_n(x ), T_m(x )) =

Z 1

−1

√ 1

1 − x²T_n(x ) T_m(x ) dx Fórmula de Rodrigues (Bordeaux, 1795), :

Tn(x ) = 2 x T_n−1(x ) − T_n−2(x ), n = 2, 3, ...

T₀(x ) = 1, T₁(x ) = x , T₂(x ) = 2 x²− 1, T₃(x ) = 4 x³− 3 x, ...

(9)

Propiedad

Toda familia ortogonal de vectores no nulos es libre.

Base {e_i} ortogonal

Es una familia ortogonal. Base ortonormada si es ortogonal y sus vectores son unitarios, es decir, si

F (e_i,e_k) = δ_{i k} (deltas de Krönecker, (Poland, 1823))

Por ejemplo, las familias compuestas por los n+1 primeros polinomios ortogonales son bases ortogonales y, convenientemente

normalizadas, también son bases ortonormadas.

Coordenadas euclídeas o cartesianas

Coordenadas de cualquier vector respecto de una base ortonormada y elsistema coordenado cartesiano.

Observación. Si la base fuese ortonormada resultaría:

a_ik =F (e_i,e_k) = δi k, es decir, F (x , y ) = X^T Y = x · y

(10)

Propiedad

La coordenada i-ésima de un vector x respecto de una base ortonormada {e_i} está dada por xi =x · e_i.

Corolario

Si x es un vector unitario cualquiera, x_i=cos(x , e_i).

Cosenos directores

de un vector unitario son sus coordenadas en una base ortonormada.

¿Cómo encontrar unabase ortonormada?.

Teorema

Dado un vector a ∈ V , a 6= 0, para cada x ∈ V , existen un solo t ∈ IR y un solo vector v ∈ V tales que

x = ta + v y a · v = 0

(11)

Método de ortogonalización de Gram-Schmidt (Dinamarca, 1850;

Estonia, 1876)

Una familia ortogonal {a₁, ...,ap}, p ≤ n = dimV , puede completarse hasta formar una base ortogonal de V.

Dem.: Por el teorema de la base incompleta, si p < n, existe un vector b_p+1de modo que {a₁, ...,ap,b_p+1} es libre. Entonces, elegimos el vector a_p+1de la forma siguiente:

a_p+1=b_p+1−b_p+1· a1

||a1||

a₁

||a1|| − ... − b_p+1· ap

||ap||

ap

||ap||

Se repite el proceso r veces hasta que p + r = n, y encontrar una base ortogonal.

(12)

Corolario

Una base ortonormada {v₁, · · · ,vr} de un subespacio S de V puede completarse con vectores {v_{r +1}, · · · ,v_n} hasta formar una base ortonormada de V.

Definición

Los vectores {v_{r +1}, · · · ,vn} componen una base ortonormada de un subespacio S^⊥de V denominadocomplemento ortogonal de S.

Ejercicio V = IR²y A =

1 2 2 5

la matriz asociada a cierta aplicación bilineal F. Se pide:

i) Probar que es un producto escalar;

ii) encontrar el producto escalar de los vectores x = (5,2), y = (1,2);

iii) encontrar una base en la que la matriz asociada a F sea la unidad.

(13)

Lección 8. Espacios con producto escalar 8.3.- Cambio de bases ortonormadas; matrices ortogonales

En (V, F), sean bases ortonormadas, Bv y B¯v. Sea P la matriz tal que X = P ¯X . Entonces:

F (x , y ) = x ·y = X^TY = ¯X^TP^T P ¯X , luego P^T P = I, es decir,P^T =P⁻¹(∗)

Matriz ortogonal

Una matriz real que cumple (*) Propiedad

1) P ortogonal ⇐⇒ sus columnas (y sus filas) forman una base ortonormada

2) Si P es ortogonal =⇒ det P = ±1 Propiedad

El conjunto O(n) de las matrices ortogonales de orden n es grupo con respecto al producto de matrices, denominadogrupo ortogonal.

(14)

Lección 8. Espacios con producto escalar 8.3.- Cambio de bases ortonormadas; matrices ortogonales

Transformación ortogonal (o isometría)

Una aplicación lineal definida por una matriz ortogonal Teorema

Las transformaciones ortogonales conservan la norma de vectores, es decir, ||h(x )|| = ||x ||.

Las isometrías del plano euclídeo son las rotaciones y las simetrías.

(15)

Lección 8. Espacios con producto escalar 8.4.- Factorización Q R

Una familia libre {a_j}^p₁+ Gram-Schmidt =⇒ {v_j} ortogonal + normalización =⇒ {q_j = v_j

||v_j||} ortonormada.

v1=a1= ||v1|| q1 a1=q1R11, v2=a2−a2· v1

v1· v1

v1, a2=q1R12+q2R22,

v3=a3−a3· v1

v1· v1

v1−a3· v2

v2· v2

v2, a3=q1R13+q2R23+q3R33, . . .

R11= ||v1||, R22= ||v2||, R33= ||v3||, ...

R12=a2· v1

||v1||, R13= a3· v1

||v1||, R23= a3· v2

||v2||, ...

A = [a1...ap] = [q1...qp]







R11 R12 . . . R1p

0 R22 . . . R2p

. . . 0 0 . . . Rpp







=Q R

(16)

Ejercicio Griffel, t.2, pg. 88

Obtener la factorización Q R de la matriz A =







1 −1 1

1 0 0

1 1 1

1 2 0





 Solución: Por Gram-Schmidt

v1=a1= (1, 1, 1, 1), ||v1|| = 2, q1= v1

||v1||= (1 2,1

2,1 2,1

2) v2=a2−a2· v1

v1· v1

v1= (−3 2, −1

2,1 2,3

2), q2= v2

||v2|| = (− 3 2√

5, − 1 2√

5, 1 2√

5, 3 2√

5) v3=a3−a3· v1

v1· v1

v1−a3· v2

v2· v2

v2= (1 5, −3

5,3 5, −1

5), q3= ( 1 2√

5, − 3 2√

5, 3 2√

5, − 1 2√

5)

Q =







1

2 − ³

2√ 5

1 2√ 1 5

2 − ¹

2√

5 − ³

2√ 1 5

2 1 2√ 5

3 2√ 1 5

2 3 2√

5 − ¹

2√ 5







, R =







2 1 1

0 √

5 −^√¹

5

0 0 ^√²

5







(17)

Resolver el sistema A X = B mediante factorización Q R, siendo

A =





1 1 0 1 2 2 0 2 5



, b =



 3 3

−1



 Solución:

v1=a1= (1, 1, 0), ||v1|| =√

2, q1= v1

||v1|| = ( 1

√2, 1

√2,0)

v2=a2−a2· v1

v1· v1

v1= (−1 2,1

2,2), q2= v2

||v2||= (− 1 3√

2, 1 3√

2,2√ 2 3 ) v3=a3−a3· v1

v1· v1

v1−a3· v2

v2· v2

v2= (2 9, −2

9,1

9), q3= (2 3, −2

3,1 3)

Q =







√1

2 − ¹

3√ 2

2 3

√1 2

1 3

√ 2 −²₃

0 ²

√ 2 3

1 3





, R =







√2 ^√³

2

√2 0 ^√³

2 11√

2 3

0 0 ¹₃







A X = B ⇔ R X = Q^TB, Q^Tb =



 3√

2

−²

√ 2 3

−¹₃



=⇒



 x y x



=



 1 2

−1



.

(18)

Otras opciones de la factorización Q R Método de Householder

Cálculo de valores y vectores propios.

(19)

Lección 8. Espacios con producto escalar 8.5.- Proyección ortogonal. Mejor aproximación

Proyección ortogonal del vector v sobre un subespacio S es el vector

x =

r

X

i=1

proy~ _v

iv , siendo proy~ _v

iv = v · v_i

||v_i||²v_i y {v_i}^r₁una base ortogonal de S

Mejor aproximación en el subespacio S del vector v del espacio euclídeo V

al vector x de S que hace mínima ||v − x ||

Teorema

Sea S ≤ V , e. v.euclídeo, v ∈ V y x ∈ S, entonces, son equivalentes:

i) v − x ⊥ S

ii) x es una mejor aproximación a v sobre S.

(20)

Aproximar f (x ) = sen x en [-1,1] por c₁x + c₂x³+c₃x⁵

Solución: Considerando el producto escalar f · h =

Z 1

−1

f (x ) h(x ) dx , S =< x , x³,x⁵>

Las ecuaciones normales:

c₁x · x^2j−1+c₂x³· x^2j−1+c₃x⁵· x^2j−1=f · x^2j−1, j = 1, 2, 3 Es un sistema lineal A c = b,

A =





2/3 2/5 2/7 2/5 2/7 2/9 2/7 2/9 2/11



, b =





−2Cos[1] + 2Sin[1]

10Cos[1] − 6Sin[1]

−202Cos[1] + 130Sin[1]





Resolviendo el sistema: c = (0.999984, −0.166524, 0.00801811).

(21)

Aproximar f (x ) = sen x en [-1,1] por c₁x + c₂x³+c₃x⁵ Solución:

(22)

Aproximación por series de Fourier (Francia, 1768).

Obtener la mejor aproximación g(x ) de la función f (x ) = {−1, si x < 0; 1, si x > 0}

en el subespacio S =< 1, cos x , sen x , cos 2x , sen 2x >

Solución: La base es ortogonal considerando el producto escalar

f · h = Z π

−π

f (x ) h(x ) dx , g(x ) = a0+a1cos x + b1sen x + a2 cos(2x ) + b2 sen(2x )

g(x ) =

5

X

i=1

proy~ _v

if (x ), siendo proy~ _v

if (x ) = f (x ) · v_i

||vi||² v_i

a0= Z π

π

f (x ) dx = 0, aj= Z π

π

f (x ) ∗ cos(j ∗ x ) dx = 0, b1=

Z π π

f (x )∗sin(x ) dx = 4, b2= Z π

π

f (x )∗sin(2∗x ) dx = 0 = b4,b3=4/3, b5=4/5

g(x ) =4 sen x

π +4 sen(3 x )

3π +4 sen(5 x ) 5π

(23)

Aproximación por series de Fourier (Francia, 1768).

Obtener la mejor aproximación g(x ) de la función f (x ) = {−1, si x < 0; 1, si x > 0}

en el subespacio S =< 1, cos x , sen x , cos 2x , sen 2x >

Solución:

(24)

Mínimos cuadrados.

Encontrar el polinomio cuadrático que mejor se aproxima a la tabla siguiente que presenta la relación medida en el laboratorio entre la temperatura y la solubilidad del NO₃K

t 40 60 80 100 120

s 27 39 50 60 69

Solución:

El polinomio a encontrar: P(t) = a + b t + c t²

El sistema a resolver: a + b tj+c t_j²=sj, j = 1, 2, 3, 4, 5 Por lo tanto:

A =







1 40 1600

1 60 3600

1 80 6400

1 100 10000 1 120 14400





 , B =





 27 39 50 60 69





 Ecuaciones de Gauss:

A^TA =





5 400 36000

400 36000 3520000 36000 3520000 363840000



, A^Tb =





245 21700 2097200



 a = 0, b = 0.725, c = −0.00125

(25)

Mínimos cuadrados.

Encontrar el polinomio cuadrático que mejor se aproxima a la tabla siguiente que presenta la relación medida en el laboratorio entre la temperatura y la solubilidad del NO₃K

t 40 60 80 100 120

s 27 39 50 60 69

Solución: