CALCULO DE DERIVADAS
REGLAS BASICAS:
Derivada de una constante: yk y'0
Derivada de y :x yx y'1
Derivada de la suma (resta): y f(x)g(x) y' f'(x)g'(x)
Derivada del producto: y f(x)g(x) y' f'g f g'
Derivada del cociente: 2
' ' '
) (
) (
g g f g y f x g
x
y f
DERIVADA DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES:
Potencias: y xn y'nxn1
f(x)
y' n
f(x)
1 f'(x)y n n
Raíz cuadrada: y x y' 21x
) ( ) ' ( 2 ' 1 )
( f x
x y f
x f
y
Inversa: 1 ' 21
y x y x
(1)
2 '( )
('()
2)) ' ( 1
x f
x x f
x f y f
x
y f
Exponenciales: yex y'ex
) ( ' ' ( )
)
( y e f x
e
y f x f x La a y a
y x ' x
La x f a y a
y f(x) ' f(x) '( )
Logaritmos:
y x Lx
y ' 1
) (
) ( ) ' ( ) ' ( ' 1 )
( f x
x x f
x f y f x f L
y
La y x
x
y a 1 1
'
log
La x f
x x f
La f x y f x f
y a 1
) (
) ( ) ' ( 1 ' ) ( ' 1 ) (
log
Funciones trigonométricas:
x y
senx
y 'cos
senx y
x
ycos ' x y
tgx
y 'sec2
) ( ' ) ( cos ' )
(x y f x f x
f sen
y
) ( ' ) ( '
) (
cosf x y sen f x f x
y
) ( ' ) ( sec ' )
(x y 2 f x f x f
tg
y
Inversas de las funciones trigonométricas:
1 2
' 1 y x arcsenx
y
1 2
' 1 arccos
y x x
y
1 2
' 1 y x arctgx
y
2 1
( )
2) ( ) '
( ' ) ( 1 ' 1 ) (
x f
x x f
f x f y
x arcsenf
y
2 1
( )
2) ( ) '
( ) ' ( 1 ' 1 ) ( arccos
x f
x x f
x f y f
x f
y
2 1
( )
2) ( ) '
( ) ' ( 1 ' 1 )
( f x
x x f
x f y f
x arctgf
y
ALGUNOS EJEMPLOS 1. 3 13 ex 5
x x senx y
La derivada de una suma o resta de funciones es la suma o resta de las derivadas, luego basta con derivar cada término. Aquí, hay que tener en cuenta: (a) 3senx es una constante (3) por una función, luego su derivada será la constante, 3, por la derivada de
senx
, que escos x
. En consecuencia, la derivada de 3senx es 3cosx. (b)3 3
1 x
x , luego para derivar 13
x basta con aplicar la derivada de una potencia; así, obtenemos que la derivada de 13
x es ( 3) 4 43 x x
. (c) Las derivadas de x y de exvienen en la lista. (d) 5 es una constante (es un número, no depende de x) luego su derivada, según la primera regla básica, es 0. En consecuencia, la derivada pedida es
ex
x x x
y 34
2 cos 1 3 '
2. cos 3 x 2senx x
e
y x
Para derivar excosx, aplicamos la derivada del producto (la cuarta regla básica), tomando f(x)ex,g(x)cosx. Para derivar
2
3 xsenx, observamos que
senx senx x
x 3
3
2 1
2 , es decir, se trata de una constante (1/2) por una función (el producto de 3 x y
senx
). En consecuencia, su derivada será la constante (1/2) por la derivada de ese producto; para calcular esta última derivada, aplicamos una vez más la derivada del producto tomando f(x)3 x y g(x) senx. Aquí debemos observar que3 / 3 1
)
(x x x
f , luego para derivar f(x) aplicaremos la regla de la potencia, es decir,
3 2
3 / 2
3 3 1
/ 1 ) (
' x x x
f . Reuniendo todo esto, tenemos que la derivada de la función original es:
x x
x senx senx
e x e
y x x cos
2 3 cos 1
' 3
3 2
3. y arctgxx
Para derivar esta función, aplicamos la derivada del cociente (quinta regla básica) tomando f(x) x, g(x)arctgx. En consecuencia, obtenemos:
22 2 2
2 2
2 2 2
2
) 1 ( 1 1
1 1
1 1
1 1
' x arctgx
x arctgx x
arctgx x
x arctgx x
arctgx x x arctgx
arctgx x x arctgx
y
Observemos que en el numerador hemos tenido que operar (restar) dos fracciones, reduciendo previamente a común denominador.
4. y arcsen x
Se trata de derivar y arcsenf(x), donde f(x) x. En consecuencia, aplicamos la regla:
xx x x x xy
2 1
1 1
2 1 1
2 / ' 1
2
Observemos que x 1x x1x por tratarse de un producto de radicales del mismo índice.
5. y L
arctg x3
Se trata de derivar y Lf(x), donde f(x)arctg x3. En consecuencia, aplicamos la regla, y representamos por
arctg x3
' la derivada de arctg x3. Por tanto:
3 3 ' ' arctg x
x arctg y
Ahora, para calcular la derivada de arctg x3, aplicamos la regla del arco tangente (la última de “inversas de funciones trigonométricas”), es decir
( )
2 '( ) 1
'(())
21 ' 1 )
( f x
x x f
x f y f
x arctgf
y
donde ahora f(x) x3. En consecuencia,
62 3 2
3 2
1 3 1
' 3
x x x
x x arctg
Finalmente, la derivada de la función pedida es:
6
32 3
6 2
1 1 3
3
' x arctg x
x x
arctg x x
y
(Observación:arctgx3 arctgx3; en el primer caso el arco tangente se aplica al resultado de elevar
