INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL
UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGIA
PROBLEMARIO DE FISICA DEL MOVIMIENTO APLICADA
ELABORO: I.F. RAMON FLORES RODRIGUEZ
DICIEMBRE DE 2007
Introducción
El presente problemario tiene como fin ayudar a los estudiantes de física a aplicar los conceptos físicos y facilitar la resolución lógica de problemas del curso de Física del Movimiento aplicada llevada en el primer semestre de Licenciatura en la UPIBI - IPN.
Se pretende que el contenido abarque todo el programa de estudio. La solución de cada problema es a detalle y se indica cada paso de resolución del mismo.
El número de problemas incluido se considera el adecuado para cada tema y subtema, la mayoría de estos han sido resueltos previamente en clase, por lo que estos forman parte de los apuntes de la materia. La bibliografía recomendada se menciona al final del problemario La solución final pedida para cada problema aparece subrayada, para más pronta localización.
INDICE
UNIDAD I Física, magnitudes físicas y mediciones 1.1 Presentación del curso
1.1.1 Concepto de Física y sus dominios de aplicación.
1.2 Unidades fundamentales de medición.
1.2.1 Sistemas de unidades 1.3 Unidades derivadas.
1.3.1 Conversión de unidades físicas 1.4 Notación científica.
1.4.1 Operaciones con notación científica (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación).
1.5 Propagación de errores
UNIDAD II Magnitudes escalares y vectoriales 2.1 Definición de cantidades escalares y vectoriales.
2.1.1 Representación geométrica y analítica de un vector.
2.1.2 Magnitudes físicas escalares y vectoriales.
2.2 Algebra de vectores.
2.2.1 Multiplicación por un escalar 2.2.2 Suma y resta.
2.2.3 Producto punto.
2.2.4 Producto cruz.
2.3 Aplicaciones
UNIDAD III Cinemática
3.1 Cinemática en una dimensión 3.1.1 Movimiento rectilíneo uniforme
3.1.2 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado 3.2 Cinemática en dos dimensiones
3.2.1 Tiro parabólico
UNIDAD IV Dinámica
4.1 Conceptos básicos: masa, peso y fuerza
4.1.1 Sistemas de referencia: inerciales y no inerciales 4.2 Leyes de Newton
4.2.1 Diagrama del cuerpo libre.
4.3 Fuerzas de la naturaleza 4.3.1 Fuerza de rozamiento.
4.3.2 Coeficiente de fricción estática y coeficiente de fricción cinética 4.4 Aplicaciones.
4.4.1 Plano inclinado sin fricción y plano inclinado con fricción 4.4.2 Poleas
4.4.3 Movimiento circular y fuerza centrípeta
UNIDAD V Trabajo y energía 5.1 Concepto de trabajo.
5.1.1 Trabajo realizado por una fuerza constante.
5.1.2 Trabajo realizado por una fuerza variable.
5.2 Concepto de Energía
5.2.1 Definición de la energía cinética.
5.2.2 Teorema del trabajo energía cinética, aplicaciones.
5.3 Definición de potencia y aplicaciones
UNIDAD VI Momento e Impulso
6.1 Concepto de momento lineal e impulso 6.1.1 Centro de masa.
6.2 Leyes de conservación del momento y energía.
6.3 Colisiones
6.3.1 Colisiones elásticas e inelásticas
6.4 Aplicaciones de la conservación del momento.
UNIDAD VII mecánica de fluidos 7.1 Concepto de fluido.
7.1.1 Presión y densidad.
7.2 Principio de Pascal y principio de Arquímedes.
7.2.1 Medición de presión para un fluido estático.
7.2.2 Variación de la presión atmosférica con la altura.
7.3 Flujo de fluidos.
7.3.1 Ecuación de continuidad.
7.3.2 Ecuación de Bernoulli.
7.4 Aplicaciones de la mecánica de fluidos.
Unidad I FISICA, MAGNITUDES FISICAS Y MEDICIONES 1.1 Presentación del curso
1.1.1 Concepto de física y sus dominios de aplicación
La física es el estudio del universo material, es decir es el estudio de la materia, sus interacciones y sus cambios.
1.2 Unidades fundamentales de medición
Debido a que existen muchas cantidades físicas, resulta un problema internacional organizarlas adecuadamente, para esto se debe seleccionar el menor número posible de cantidades físicas que conduzcan a una descripción completa de la física en los términos más simples.
1.2.1 Sistemas de unidades
La XIV Conferencia General de Pesos y medidas (1971), seleccionó como unidades básicas las siete cantidades siguientes.
Unidades básicas del Sistema Internacional de Unidades SI Cantidad Nombre Símbolo Longitud metro m Masa kilogramo kg Tiempo segundo s Corriente eléctrica ampere A Temperatura termodinámica kelvin K Cantidad de sustancia mol mol Intensidad luminosa candela cd
1.3 Unidades derivadas
Las unidades derivadas se expresan a partir de las unidades básicas, y entre otras podemos mencionar a la velocidad, fuerza, aceleración, resistencia eléctrica, densidad, etc.
El organismo encargado de seleccionar las cantidades básicas es la Oficina Internacional de Pesos y Medidas establecida en 1875 en París Francia quién seleccionó las Unidades básicas del Sistema Internacional de Unidades (SI).
Con frecuencia resulta que si se expresan ciertas cantidades físicas, resultan ser números muy grandes o muy pequeños, la XIV Conferencia General de Pesos y Medidas recomendó los siguientes prefijos.
1. [2a, 1-1] Calcule la densidad de un cubo sólido que mide 5 cm de cada lado y tiene una masa de 350 g.
Dividiendo la masa entre el volumen para obtener la densidad ρ = m = 350 g = 2.8 g/cm3
V (5 cm)3
2. [2a, 1-5] Calcule la masa de un átomo de: a) helio, b) hierro, y c) plomo. Dé las respuestas en unidades de masa atómica y en gramos. Los pesos atómicos de los átomos dados, son 4, 56 y 207, respectivamente.
a) mHe= peso atómico He = 4 g/mol = 6.6x10-24 g/átomo NA 6.02x1023 átomos/mol
Como 1 uma = 1.6605402x10-27 kg, convirtiendo la masa a uma:
mHe= 6.6x10-24 g (1 kg) (1 uma) = 4 uma 1000 g 1.6605402x10-27 kg
b) mFe= peso atómico Fe = 56 g/mol = 9.3x10-23 g/átomo NA 6.02x1023 átomos/mol
Haciendo la conversión a unidades de masa atómica:
mFe= 9.3x10-23 g (1 kg) (1 uma) = 56 uma 1000 g 1.6605402x10-27 kg
c) mPb= peso atómico Pb = 207 g/mol = 3.4x10-22 g/átomo NA 6.02x1023 átomos/mol
Haciendo la conversión a unidades de masa atómica:
mPb= 9.3x10-23 g (1 kg) (1 uma) = 207 uma 1000 g 1.6605402x10-27 kg
3. [2a, 1-6] Mediante un microscopio se observa una pequeña partícula de hierro en forma de cubo. La arista del cubo es de 5x10-6 cm. Encuentre a) la masa del cubo y b) el número de átomos de hierro en la partícula. El peso atómico del hierro es de 56 y su densidad es de 7.86 g/cm3.
a) Como ρ = (m/V), despejando la masa y convirtiendo el volumen de la partícula a m3 m = ρV =(7.86x106 g/m3) 5x10-6 cm 1 m 3 = 9.83x10-16 g
100 cm
b) Se hace una proporción, ya que un mol de Fe (56 g) contiene 6.02x1023 átomos 56 g = 6.02x1023 átomos
9.83x10-16 g N
N = (6.02x1023 átomos)(9.83x10-16 g) = 10.56x106 átomos 56 g
4. [2a, 1-7] Calcule la razón entre las masas atómicas del plomo y del mercurio y compare con la razón entre sus densidades.
Calculando las masas del Pb y del Hg
mPb= peso atómico Pb = 207 g/mol = 3.4x10-22 g/átomo NA 6.02x1023 átomos/mol
mHg= peso atómico Hg = 200.59 g/mol = 3.3x10-22 g/átomo NA 6.02x1023 átomos/mol
Con lo obtenido se calcula la razón entre las masas del Pb y del Hg mPb= 3.4x10-22 g/átomo = 1.03
mHg 3.3x10-22 g/átomo
Calculando la razón entre las densidades del Pb y del Hg ρPb= 11.4 g/ml = .084
ρHg 13.6 g/ml
Esta discrepancia se debe a la diferencia en los espaciamientos atómicos y en los arreglos atómicos de sus estructuras cristalinas.
5. [2a, 1-8] Una placa circular plana de cobre tiene un radio de 0.243 m y una masa de 62 kg. ¿Cuál es el espesor de la placa?
Como ρ = (m/V), despejando V e igualando con el volumen de una placa circular m/ρ = (πr2)(Espesor)
Despejando el Espesor
E = m = 62 kg = 3.7x10-2 m πr2ρ π(0.243 m)2 3 3
1.3.1 Conversión de unidades físicas 1.4 Notación física
1.4.1 Operaciones con notación científica (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación).
6. [2a, 1-9] Muestre que la expresión x = vt + (1/2)at2 es dimensionalmente correcta, donde x es una coordenada y tiene unidades de longitud, v es velocidad, a es aceleración y t es tiempo.
Las dimensiones de los tres miembros de la igualdad son:
[x] = L
[vt] = (L/T)T = L
[(1/2)at2vt] = (L/T2)T2 = L
Por lo tanto la expresión es dimensionalmente correcta
7. [2a, 1-12] Demuestre que la ecuación v2 = vo2
+ 2ax es correcta dimensionalmente, donde v y vo representan velocidades, a es aceleración y x es una distancia.
Las dimensiones de los tres miembros de la igualdad son:
[v2] = [vo2] = L2/T2 [2ax] = (L/T2)L = L2/T2
Por lo tanto la expresión es dimensionalmente correcta
8. [2a, 1-13] ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es correcta dimensionalmente?
a) v = vo +ax
b) y = (2 m)cos(kx), donde k = 2 m-1.
a) Las dimensiones de los tres miembros de la igualdad son:
[v] = [vo] = L/T [ax] = (L/T2)L = L2/T2
Por lo tanto la expresión es dimensionalmente incorrecta b) Las dimensiones de los dos miembros de la igualdad son:
[y] = L
[(2 m)cos(kx)] = (L)(1/L)(L) = L
Por lo tanto la expresión es dimensionalmente correcta
9. [2a, 1-18] Convierta el volumen 8.50 in3 a m3, recordando que 1 in = 2.54 cm y 1 cm = 10-2 m.
Como 1 in3 = (0.0254)3m3,
8.5 in³(0.0254)³m³ = 139x10-6 m³ 1 in³
10. [2a, 1-19] Un terreno rectangular tiene 100.0 ft por 150.0 ft. Determine el área del terreno en m2.
Como 1 ft² = (0.3048)² m²
(100 ft)(150 ft)=15000 ft²(0.3048)² m² = 1.393x103 m² 1 ft²
11. [2a, 1-22] Una sección de Tierra tiene un área de una milla cuadrada y contiene 640 acres. Determine el número de metros cuadrados que hay en 1 acre.
Como 1 milla² = (1609.344)² m² = 640 acres
por lo tanto 1 acre = (1609.344)² m² = 40.5x102 m² 640
12. [2a, 1-23] Una pieza sólida de plomo tiene una masa de 23.94 g y un volumen de 2.10 cm3. De estos datos, calcule la densidad del plomo en unidades SI (kg/m3).
Como ρ = m = 23.94 g (1 kg) (100)³cm³ =11.4x103 kg/m³ V 2.10 cm³ (1000 g)(1 m³)
13. [2a, 1-24] Un contenedor de helado, de un cuarto de galón, está hecho en forma de cubo. ¿Cuál será la longitud de un lado en cm? (Use la conversión 1 galón = 3.786 litros).
Como V = (1/4)(3.786 litros) = (1/4)(3.786 dm³) _______________
Por lo tanto: 1 lado = ³√(1/4)(3.786 dm³) = 0.98 dm = 9.8 cm
14. La masa del Sol es aproximadamente 1.99x1030 kg, y la masa de un átomo de hidrógeno, del cual esta compuesto principalmente el sol, es 1.67x10-27 kg. ¿Cuántos átomos hay en el sol?
Número de átomos de H = masa del Sol = 1.99x1030 kg = 1.19x1057 átomos masa del H 1.67x10-27 kg
15. [2a, 1-29] a) Encuentre un factor de conversión para convertir de mi/h a km/h. b) Hasta hace poco, la ley federal asignó por mandato que la rapidez en las carreteras debería ser de 55 mi/h. Utilice el factor de conversión de la parte a) para encontrar la rapidez en km/h. c) La máxima rapidez en las carreteras ha sido elevada a 65 mi/h en algunos lugares. ¿Cuánto aumentó, en km/h, respecto al límite de 55 mi/h?
a) 1 mi = 1.609 km h h
b) 55mi (1.609 km) = 88.5 km/h h 1 mi c) 65mi (1.609 km) = 104.6 km/h h 1 mi
Aumentó en: (104.6 km/h) – (88.5 km/h) = 16.1 km/h
16. Un galón de pintura (volumen = 3.78x10-3 m3) cubre un área de 25.0 m2. ¿Cuál es el espesor de la pintura en la pared?
Espesor = Volumen = 3.78x10-3 m3 = 15.1x10-5 m Area 25.0 m2
17. [2a, 1-32] La base de una pirámide cubre un área de 13 acres (1 acre = 43 560 ft2), y tiene una altura de 481 ft. Si el volumen de una pirámide esta dado por la expresión V=(1/3)Bh, donde B es el área de la base y h es la altura, encuentre el volumen de esta pirámide en metros cúbicos.
Como 1ft3 = (0.3048)3 m3
V= (1/3)Bh = (1/3)(13)(43 560 ft2)( 481 ft) = 90793560 ft3 (0.3048)3 m3= 2.6x106 m3 1 ft3
18. Suponiendo que 70% de la superficie de la Tierra esta cubierta con agua a una profundidad promedio de 1 milla, calcule la masa del agua sobre la Tierra en kilogramos.
El radio promedio de la Tierra es 6.37x106 m, y el área superficial de una esfera es 4πr2 Por lo tanto:
Volumen H2O = (70% sup. de la Tierra)(profundidad)
= (0.7)(4π)(6.37x106 m)²(1609.344 m) = 5.74x1017 m3 = 5.74x1017 m3 = 5.74x1020 l
Como 1 litro de agua tiene una masa aproximada de 1 kg m = 5.74x1020 kg
19. [2a, 1-36] El radio promedio de la Tierra es 6.37x106 m, y el de la Luna es de 1.74x108 cm. Con estos datos calcule: a) la razón entre el área superficial de la Tierra y la de la Luna, b) la razón entre el volumen de la Tierra y la de la Luna. Recuerde que el área superficial de una esfera es 4πr2 y el volumen de una esfera es (4/3)πr3.
a) Area de la Tierra = 4πrT² = rT² = (6.37x106 m)2 = 13.4 Area de la Luna 4πrL² rL² (1.74x106 m)2
b) Volumen de la Tierra = (4/3)πrT3 = rT3 = (6.37x106 m)3 = 49.06 Volumen de la Luna (4/3)πrL3 rL3 (1.74x106 m)3
20. [2a, 1-37] Del hecho de que la densidad de la Tierra es 5.5 g/cm3 y su radio promedio es 6.37x106 m, calcule la masa de la Tierra.
Convirtiendo la densidad de la Tierra a kg/m3 ρ = 5.5 g (1 kg) (100)3 cm3 = 5500 kg/m3 cm3 1000g 1 m3
Como ρ = m V
Despejando la masa y considerando a la Tierra como una esfera
m = ρV = ρ(4/3)πr3 = (5500 kg/m3)(4/3)π(6.37x106 m)3 = 5.95x1024 kg
21. Un metro cúbico (1.00 m3) de aluminio tiene una masa de 2.70x103 kg, y 1.00 m3 de hierro tiene una masa de 7.86x103 kg. Encuentre el radio de una esfera sólida de aluminio que se equilibre con una esfera sólida de hierro de 2.00 cm de radio en una balanza de brazos iguales.
ρAl = mAl/VAl (1) ρFe = mFe/VFe (2)
Despejando las masas de (1) y (2) e igualándolas para que la balanza se equilibre:
ρAlVAl = ρFeVFe
Como el volumen de una esfera es (4/3)πr3 (2.70x103 kg)(4/3)πrAl3 = (7.86x103 kg)(4/3)πrFe3 _______________ __________________
22. La velocidad de la luz en el vacío es de 186 000 millas/s, a) cuántos cm recorrerá en 3 nanosegundos, b) cuántos fermis recorrerá en el mismo lapso de tiempo. Recuerde que 1 fm = 1x10-15 m, 1 ns = 1x10-9 s.
a) 186000 mi (1x10-9s) (160934.4 cm) = 29.934 cm/ns s 1 ns 1 mi
Distancia recorrida en 3 nanosegundos = 3(29.934 cm/ns) = 89.8 cm
b) 186000 mi (1x10-9s) (1609.344 m) (1 fm) = 2.993x1014 fm s 1 ns 1 mi 1x10-15 m
Distancia recorrida en 3 nanosegundos = 3(2.993x1014 fm) = 8.98x1014 fm
1.5 Propagación de errores
Cálculos de orden de magnitud
23. [2a, 1-40] Estime el número de veces que el corazón de un humano late en una vida promedio de 70 años.
En un minuto late aproximadamente 75 veces
En una hora late aproximadamente (75)(60) = 4 500 veces En un día late aproximadamente (4500)(24) = 108 000 veces En un año late aproximadamente (108000)(365.25) = 3.9x107 veces En 70 años late aproximadamente (3.9x107 veces)(70) = 2.7x109 veces
24. Estime el número de familias que tienen piano en la ciudad de México.
14 millones de habitantes 14x106 = número de familias 5
5% nivel alto = 140000 5% con piano = 7000 familias
Cifras significativas
25. [2a, 1-50] Determine el número de cifras significativas en los siguientes números: a) 23 cm, b) 3.589 s, c) 4.67x103 m/s, d) 0.0032 m.
a) 2 b) 4 c) 3 d) 2
26. [2a, 1-51] Calcule: a) la circunferencia de un círculo de radio 3.5 cm y b) el área de un círculo de radio 4.65 cm.
a) P = 2πr = (2)(3.14159265…)(3.5 cm) = 22 cm debido a que el radio tiene dos cifras significativas
b) A = πr2 = (3.14159265…)(4.65 cm)2 = 67.9 cm2 ya que el radio tiene tres cifras significativas
27. [2a, 1-52] Efectúe las siguientes operaciones aritméticas: a) la suma de los números 756, 37.2, 0.83 y 2.5; b) el producto 3.2 x 3.563; c) el producto 5.6 x π.
a) Cuando se suman o se restan varios números, el número de decimales en el resultado deberá ser igual al número menor de lugares decimales de cualquiera de los términos de la suma o resta.
756+37.2+0.83+2.5 = 797
ya que el primer término tiene 0 decimales
b) Cuando se multiplican o dividen varias cantidades, el número de cifras significativas en la respuesta final es el mismo número de cifras significativas de la que tiene menos cifras significativas.
(3.2)(3.563) = 11
ya que el primer término tiene 2 cifras significativas
c) (5.6)(3.14159265…) = 18
ya que el primer término tiene 2 cifras significativas
28. [2a, 1-55] ¿Cuántas cifras significativas habrá en: a) 78.9±0.2, b) 3.788x109, c) 2.46x10-
6 y d) 0.0053?
a) 3 b) 4 c) 3 d) 2
Unidad II MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES
2.1 Definición de cantidades escalares y vectoriales 2.1.1 Representación geométrica y analítica de un vector
Escalares: Son las cantidades que se pueden representar por medio de un número, un signo y una unidad. Ejemplos: peso, trabajo, masa, volumen, densidad, etc., los escalares se suman por los métodos ordinarios.
Vectores: Las cantidades que exigen la especificación de una magnitud y una dirección y un sentido. Ejemplo: fuerza, velocidad, aceleración, desplazamiento
Gráficamente un vector se representa por una flecha, cuya dirección es la del vector que representa y cuya longitud corresponde a la magnitud, el sentido lo indica la punta de la flecha.
1. [1a, 2-10] Un peatón se mueve 6 km hacia el este y 13 km hacia el norte. Determine la magnitud y dirección del vector desplazamiento resultante usando el método gráfico
Se trazan a escala los vectores, y utilizando el método del paralelogramo se trazan paralelas a los vectores, la resultante se obtiene al unir el punto de inicio con el punto de intersección de las paralelas.
Así el vector resultante es:
R = 14.3 u
N
S
E w
6 km
13 km R
2. [2a, 2-12] El vector A mide 6 unidades de longitud y forma un ángulo de 45° respecto al eje x, El vector B mide 3 unidades de longitud y está dirigido a lo largo del eje x positivo (θ = 0). Halle el vector resultante A + B utilizando a) el método gráfico y b) la ley de los cosenos.
a) Se trazan a escala los vectores, y utilizando el método del paralelogramo se trazan paralelas a los vectores, la resultante se obtiene al unir el punto de inicio con el punto de intersección de las paralelas.
Así el vector resultante es:
R = 8.4 u
b) Utilizando la ley de los cosenos c2 = a2+b2 – 2abcosθ _____________________
R = √32+62 – 2(3)(6)cos135° = 8.4 u y
x 45°
3 u
6 u R
135°
3. [2a, 2-16] Un perro que anda en busca de un hueso camina 3.5 m hacia el sur, después 8.2 m a un ángulo de 30° al noreste, y finalmente 15 m al oeste. Encuentre el vector desplazamiento resultante del perro utilizando la técnica gráfica
Se trazan a escala los vectores, y utilizando el método del polígono se unen los desplazamientos, la resultante se obtiene al unir el punto inicial del primer vector con el punto final del último vector.
Así el vector resultante es:
R = 7.9 km
N
S
E w
3.5 km 15 km R
8.2 km
Método analítico
Por componentes de un vector
En general se descomponen los vectores en sus proyecciones en el plano horizontal (x) y vertical (y), y se efectúa la suma algebraica por separado
4. [2a, 2-23] Un vector tiene una componente x de –25 unidades, y una componente y de 40 unidades. Encuentre la magnitud y dirección de este vector.
La magnitud del vector es:
___________
R = √(-25)2+(40)2 = 47.2 u
La dirección del vector es:
θ1 = arctan[40/(-25)] = 57.9°
Como se encuentra en el segundo cuadrante Por lo tanto:
θ2 = 180°-57.9°90° =122°
5. [2a, 2-26] Un vector desplazamiento que se encuentra en el plano xy tiene una magnitud de 50 m y está dirigido formando un ángulo de 120° con el eje x positivo. ¿Cuáles son las componentes rectangulares de este vector?
Datos: magnitud 50 m; θ = 120°
Componente en x: 50cos120° = -25 m Componente en y: 50sen120° = 43.3 m
6. [2a, 2-27] Encuentre la magnitud y dirección de la resultante de tres desplazamientos cuyas componentes respectivas son: (3,2) m, (-5,3) m y (6,1) m.
Datos: desplazamientos: (3,2) m, (-5,3) m y (6,1) m.
Obteniendo la sumatoria de desplazamientos en x, y ΣDx: 3-5+6 = 4 m
ΣDy: 2+3+1 = 6 m
Por lo tanto la resultante es:
________ _____
R =√Σx2+Σy2 = √42+62 = 7.21 m El ángulo es:
θ = arctan[Σy/Σx] = arctan[6/4] = 56.3°
7. [2a, 2-35] Un aeroplano vuela de la ciudad A a la ciudad B 800 millas en una dirección hacia el este. En la siguiente parte del viaje, el aeroplano vuela 600 millas de la ciudad B a la ciudad C en una dirección de 40° al noreste. ¿Cuál es el desplazamiento resultante del aeroplano entre la ciudad A y la ciudad C?
ΣDx = 800+600(cos40°) = 1259.627 mi ΣDy = 600(sen40°) = 385.673 mi
____________ ______________________
AC = √ (Σx)2 + (Σy)2 = √(1259.627)2 + (385.673)2 = 1317 mi θ = arctan(Σy/Σx) = arctan(385.673/1259.627) = 17°
40°
C
S A
O B E
N
2.2 Algebra de vectores
2.2.1 Multiplicación por un escalar
Multiplicación de un vector por un escalar
Un vector se puede multiplicar por un escalar, al multiplicar por –k se obtiene un vector k veces más grande y opuesto al primero.
2.2.2 Suma y resta
Suma y resta de vectores
Los vectores se pueden sumar por métodos geométricos.
Método del paralelogramo
Se trazan paralelas a ambos vectores, el vector resultante será aquel una el punto de inicio de ambos con el punto donde se cruzan las dos paralelas.
Método del polígono
Consiste en dibujar a escala y a partir de un punto cualquiera cada uno de los vectores dados, de forma que el origen de uno de ellos coincida con el extremo del anterior y así sucesivamente, el orden en que se toman los vectores es arbitrario. La longitud del segmento que une el punto de partida del primero con el extremo del último es el vector resultante.
Sustracción de vectores
Para restar el vector B del vector A, basta con sumar el opuesto de B, es decir A-B = A+(- B).
8. [2a, 2-28] Un vector A tiene componentes x,y de –8.7 cm y 15 cm, respectivamente, el vector B tiene componentes x,y de 13.2 cm y –6.6 cm, respectivamente. Si A-B+3C=0,
¿cuáles son las componentes de C?
Para que A-B+3C=0, se debe cumplir que Σx=0 y Σy=0 Por lo tanto:
Σx= -8.7 – 13.2 + 3Cx = 0 Despejando a Cx
Cx = 8.7+13.2 = 7.3 cm 3
Σy= 15 -(-6.6) + 3Cy = 0 Despejando a Cy
Cy = -15-6.6 = -7.2 cm
3
9. [2a, 2-29] Dos vectores están dados por A=3i-2j y B=-i-4j. Calcule: a) A+B, b) A-B, c)
⎜A+B⎪, d) ⎜A-B⎪, e) la dirección de A+B y A-B.
a) A+B = (3i-2j)+(-i-4j) = (3i-i)+(-2j-4j) = 2i-6j b) A-B = (3i-2j)-(-i-4j) = (3i+i)+(-2j+4j) = 4i+2j
_________
c) ⎜A+B⎪ = ⎜(3i-2j)+(-i-4j)⎜ = ⎜(3i-i)+(-2j-4j)⎜ = √(2)2+(-6)2 = 6.32 ________
d) ⎜A-B⎪ = ⎜(3i-2j)-(-i-4j)⎜ = ⎜(3i+i)+(-2j+4j)⎜ = √(4)2+(2)2 = 4.47 e) la dirección de A+B se encuentra en el cuarto cuadrante:
θ1 = 360°- arctan(6/2) = 288.4°
la dirección de A-B se encuentra en el primer cuadrante:
θ2 = arctan(2/4) = 26.6°
2.2.3 Producto punto 2.2.4 Producto cruz
10. [2a, 7-20] Halle el ángulo entre los vectores A = -5i-3j+2k y B= -2j-2k.
Efectuando el producto punto mediante componentes A•B = (-5)(0)+(-3)(-2)+(2)(-2) = 0+6-4 = 2
Además se sabe que
A•B = ⎜A⎪⎜B⎪cosθ (1) Obteniendo ⎜A⎪
______________
⎜A⎪= √(-5)2+(-3)2+(2)2 = 6.164 Obteniendo ⎜B⎪
__________
⎜B⎪= √(-2)2+(-2)2 = 2.828
Despejando a θ de la ec. (1) y substituyendo ⎜A⎪ y ⎜B⎪
θ = arccos A• B = arccos 2 = 83.4°
⎜A⎪⎜B⎪ (6.164)(2.828)
11. [1a, 2-26] Un vector A con una magnitud de 10 unidades y otro vector B de 6 unidades de magnitud, apuntan en direcciones que difieren en 60°. Encontrar a) el producto escalar de ambos vectores y b) el producto vectorial de dichos dos vectores.
a) Se sabe que
A•B = ⎜A⎪⎜B⎪cosθ = (10)(6)cos60° = 30.0
b) Se sabe que
⎜AxB⎪ = ⎜A⎪⎜B⎪senθ = (10)(6)sen60° = 52.0
12. [1a, 2-34] Tres vectores están dados por a = 3i+3j-2k, b = -i-4j+2k, c = 2i+2j+k.
Encontrar a) a•(bxc), b) a•(b+c) y c) ax(b+c)
a) Se obtiene primero lo que está entre paréntesis, es decir el vector bxc
i j k
bxc = -1 -4 2 = i -4 2 + j 2 -1 + k -1 -4 2 2 1 2 1 1 2 2 2
= (-4-4)i +(4+1)j + (-2+8)k = -8i+5j+6k Finalmente se obtiene el escalar a•(bxc)
a•(bxc) = (3i+3j-2k)•(-8i+5j+6k) = (3)(-8) + (3)(5) + (-2)(6) = -24 +15 –12 = -21
b) Se obtiene primero lo que está entre paréntesis, es decir el vector b+c b+c = (-i-4j+2k) + (2i+2j+k) = i-2j+3k
Finalmente se obtiene el escalar a•(bxc)
a•(bxc) = (3i+3j-2k)•(i-2j+3k) = (3)(1) + (3)(-2) + (-2)(3) = 3-6-6 = -9 c) Como el vector b+c se obtuvo en el inciso b)
i j k
ax(b+c) = 3 3 -2 = i 3 -2 + j -2 3 + k 3 3 1 -2 3 -2 3 3 1 1 -2
= (9-4)i +(-2-9)j + (-6-3)k = 5i-11j-9k
13. [1a, 2-37] Dos vectores a y b tienen componentes que en unidades arbitrarias son ax = 3.2, ay = 1.6; bx = 0.5, by = 4.5. a) Encontrar el ángulo entre a y b. b) Encontrar las componentes x,y de un vector c que sea perpendicular a a y que tenga 5.0 unidades de magnitud.
a) Efectuando el producto punto mediante componentes a•b = (3.2)(0.5)+(1.6)(4.5) = 1.6+7.2 = 8.8
Además se sabe que a•b= ⎜a⎪⎜b⎪cosθ (1) Obteniendo ⎜a⎪
___________
⎜a⎪= √(3.2)2+(1.6)2 = 3.578
Obteniendo ⎜b⎪
___________
⎜b⎪= √(0.5)2+(4.5)2 = 4.528
Despejando a θ de la ec. (1) y substituyendo ⎜a⎪ y ⎜b⎪
θ = arccos a• b = arccos 8.8 = 57.1°
⎜a⎪⎜b⎪ (3.578)(4.528)
b) Como el ángulo entre el vector a y el vector c es 90° a•c = ⎜a⎪⎜c⎪cos90° = 0
Efectuando el producto punto mediante componentes a•c = axcx+aycy = 0 (1)
De la definición de magnitud de un vector cx2
+cy2
= (5.0)2 (2)
Por lo que tenemos un sistema de ecuaciones 2x2 el cual puede ser resuelto por sustitución
Despejando cy de 1 cy = -axcx = 2cx (3) ay
Sustituyendo cy en 2 se forma la siguiente ecuación cuadrática:
5cx2
-25 = 0
Resolviendo la ecuación cuadrática cx = ± 2.2 u
Sustituyendo el valor de cx en 3 para encontrar cy cy = ± 4.5 u
2.3 Aplicaciones
14. [2b, 7-19] Se tiene el vector a = (3.00i+4.00j) N, y se sabe que a•b=100.0 J, el ángulo entre a y b es de 32° determine el vector b.
Obteniendo ⎜a⎪
________
⎜a⎪= √(3)2+(4)2 = 5.0
Como el ángulo entre el vector a y el vector b es 32° a•b = ⎜a⎪⎜b⎪cos32° = 100
Despejando ⎜b⎪
⎜b⎪= 100 = 100 = 23.58 ⎜a⎪cos32° 5cos32°
Efectuando el producto punto mediante componentes a•b = axbx+ayby = 100 (1) De la definición de magnitud de un vector bx2
+by2
= (23.58)2 (2)
Por lo que tenemos un sistema de ecuaciones 2x2 el cual puede ser resuelto por sustitución
Despejando bx de 1
bx = 100-ayby =100-4by (3) ax 3
Sustituyendo bx en 2 se forma la siguiente ecuación cuadrática:
2.78by2
-88.89by +554.93 = 0
Resolviendo la ecuación cuadrática y sustituyendo el valor de by en 3 para encontrar bx, por lo que se encuentran dos vectores que satisfacen las condiciones
b1 = 2i +23.5j b2 = 22i+8.5j
Unidad III CINEMATICA
3.1 Cinemática en una dimensión 3.1.1 Movimiento rectilíneo uniforme
3.1.2 Movimiento uniformemente acelerado
1. [2a, 3-6] La posición de una partícula a lo largo del eje x está dada por x=3t3-7t, donde x está en metros y t en segundos. ¿Cuál es la velocidad media de la partícula durante el intervalo desde t=2.0 s a t=5.0 s?
Evaluando la posición en t=3, t=5, y sustituyendo los valores en la fórmula se obtiene la velocidad media
x(2)=3(2)³-7(2)=10 m x(5)=3(5)³-7(5)=340 m
vm = Δx = xf-xi = (340 m)-(10 m) = 110 m/s Δt tf-ti (5 s)-(2 s)
2. [2a, 3-8] Con base en la figura, determine: a) la velocidad media entre t = 2.0 s y t = 5.0 s y b) la velocidad instantánea en t = 3.0 s
a) De la figura
vmed = xf-xi = 1.1-3 = -0.6 m/s tf-ti 5-2
b) Como v = dx/dt. En la figura se traza una recta aproximadamente tangente a la curva en el punto (3,1.5) y se obtiene su pendiente.
v = 0.5-1.5 = -0.7 m/s 4.5-3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 t(s)
x(m)
Figura 1
3. [2a, 3-17] Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuación x=2t+3t², donde x está en m y t en s. calcule la velocidad y la aceleración instantáneas en t=3 s.
La posición de la partícula esta dada por x=2t+3t²
Derivando la posición con respecto al tiempo, y evaluando en t=3 s v = dx = (2+6t) m/s
dt
v(3)=2+6(3)=20 m/s
Como la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo a = dv = 6 m/s²
dt
Por lo que la aceleración es la misma para todo tiempo
4. [2a, 3-21] Una partícula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuación x=2+3t-t², donde x está en m y t en s. En t=3 s, halle: a) la posición de la partícula, b) su velocidad y c) su aceleración.
a) Evaluando la posición en t=3 s x(3)=2+3(3)-(3)²=2 m
b) Derivando la posición con respecto al tiempo, y evaluando en t=3 s v = dx = (3-2t) m/s
dt
v(3)=3-2(3)= -3 m/s
c) Como la aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo a = dv = -2 m/s²
dt
Por lo que la aceleración es la misma para todo tiempo
5. [2a, 3-25] Un cuerpo que se mueve con aceleración uniforme tiene una velocidad de 12 cm/s cuando su coordenada x es de 3 cm. Si su coordenada x dos segundos más tarde es –5 cm, ¿cuál es la magnitud de su aceleración?
Datos: vo=12 cm/s; xi=3 cm; xf= -5 cm
De la ecuación y=vot+(1/2)at², la distancia recorrida es –8 m, sustituyendo valores -8=(12cm/s)(2s)+(1/2)a(2s)²
Despejando la aceleración a=(-8m-24m)2= -16 cm/s² 4
La magnitud de la aceleración es |a|=16 cm/s²
6. [2a, 3-45] Se dio la noticia de que una mujer había caído 144 ft desde el decimoséptimo piso de un edificio, golpeándose finalmente contra la caja metálica de un ventilador que se aplastó 18 in. La mujer sólo sufrió pequeñas lesiones. Despreciando la resistencia del aire calcule: a) la rapidez de la caída de la mujer precisamente antes de chocar contra el ventilador, b) su desaceleración al estar en contacto con la caja y c) el tiempo que tardó en aplastar la caja.
Datos: y1=144 ft; y2=18 in=1.5 ft; vo=0
a) La velocidad final de la mujer antes de chocar contra el ventilador se obtiene de la ecuación v²=vo²+2ay
_______ _____________________
v=√vo²+2ay1 = √0²+2(-32.185 ft/s²)(-144 ft) = -96.277 ft/s
b) Despejando la aceleración de v²=vo²+2ay, ahora la velocidad final es cero, y la distancia recorrida es 1.5 ft.
a = v2-vo² = 0²-(-96.277)² = 3089.754 ft/s² 2y2 2(-1.5)
c) De la ecuación y=vot+(1/2)at², la distancia recorrida es 1.5 ft, sustituyendo valores -1.5=(-96.277 ft/s)t+(1/2)(3089.754 ft/s²)t²
Resolviendo la ecuación cuadrática t=0.031 s
7. [2a, 3-47] Un estudiante lanza un juego de llaves verticalmente hacia arriba a su compañera que se encuentra en una ventana 4 m arriba. Las llaves son atrapadas 1.5 s más tarde por la mano extendida de la compañera. a) ¿A qué velocidad fueron lanzadas las llaves? b) ¿Cuál era la velocidad de las llaves justo antes de ser atrapadas?
Datos: y=4 m; t=1.5 s
a) Despejando la velocidad inicial de la ecuación y=vot+(1/2)at² vo = y-(1/2)at² = (4 m)-(1/2)(-9.81 m/s²)(1.5)² = 10.024 m/s t 1.5 s
b) Utilizando la ecuación v=vo+at
v=vo+at = (10.024 m/s)+(-9.81 m/s²)(1.5 s) = -4.69 m/s vienen bajando
8. [2a, 3-49] Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde el piso con una rapidez inicial de 15 m/s. a) Cuánto tarda la pelota en alcanzar su altura máxima? b) ¿Cuál es su altura máxima? c) Determine la velocidad y aceleración de la pelota en t=2 s.
Datos: vo=15 m/s;
a) Despejando el tiempo de la ecuación v=vo+at, la velocidad final es igual a cero t = v-vo = 0-15 m/s = 1.529 s
a -9.81 m/s²
b) Despejando la altura de la ecuación v²=vo²+2ay, la velocidad final es igual a cero y = v²-vo² = 0-(15 m/s)² = 11.468 m
2a 2(-9.81 m/s²)
c) Empleando la ecuación v=vo+at, y sustituyendo para t=2 s v=(15 m/s)+(-9.81 m/s²)(2 s)= -4.62 m/s
Derivando la ecuación v=vo+at con respecto al tiempo a=d(vo+at)/dt=a= -9.81 m/s²
9. [2a, 3-51] Se lanza una pelota hacia arriba en línea recta, desde el piso con una rapidez de 4.0 m/s. a) ¿Cuánto tiempo transcurre entre los dos momentos en que su velocidad tiene una magnitud de 2.5 m/s? b) ¿A qué distancia del piso se encuentra la pelota en esos instantes?
Datos: vo=4 m/s; v=2.5 m/s
a) Despejando el tiempo de la ecuación v=vo+at, tomando 2.5 m/s para la velocidad de subida
t1= v-vo = (2.5 m/s)-(4 m/s) = 0.153 s a -9.81 m/s²
Despejando el tiempo de la ecuación v=vo+at, tomando -2.5 m/s para la velocidad de bajada
t2= v-vo = (-2.5 m/s)-(4 m/s) = 0.663 s a -9.81 m/s²
Para encontrar el tiempo transcurrido se resta el tiempo de subida al tiempo de bajada t2-t1=(0.663 s)-(0.153 s)=0.51 s
b) Despejando la altura de la ecuación v²=vo²+2ay y = v²-v²o = (2.5 m/s)²-(4 m/s)² = 0.497 m 2a 2(-9.81 m/s²)
10. [2a, 3-58] Una partícula se mueve a lo largo del eje x con una aceleración que es proporcional al tiempo de acuerdo con la expresión a=30t, donde a está en m/s².
Inicialmente la partícula está en reposo en el origen. Encuentre: a) la velocidad instantánea y b) la posición instantánea en función del tiempo.
Datos: a=(30t) m/s²
a) Como la aceleración es a = dv/dt, para obtener la velocidad se plantea la integral y se resuelve
v=∫a dt=∫30t dt v=15t²+c1
Para encontrar c1 se utilizan las condiciones iniciales para t=0; v=0 v(0)= 15(0)²+c1=0
de la anterior c1=0, por lo que la velocidad instantánea es v=15t²
b) Como la velocidad es v = dx/dt, para obtener la posición se plantea la integral y se resuelve
x=∫v dt=∫15t² dt x=5t³+c2
Para encontrar c2 se utilizan las condiciones iniciales para t=0; x=0 x(0) =5(0)³+c2=0
de la anterior c2=0, por lo que la posición instantánea es x=5t³
11. [2a, 3-60] La aceleración de una canica en un cierto fluido es proporcional al cuadrado de su velocidad, y está dada (en m/s²) por a= -3v² para v>0. Si la canica entra al fluido con una rapidez de 1.50 m/s, ¿cuánto tiempo pasará antes de que la rapidez de la canica se reduzca a la mitad de su valor inicial?
Datos: a=(-3v²) m/s²; vo=1.50 m/s; v=0.75 m/s Como la aceleración es a=dv/dt
-3v² = dv dt 0.75 -3∫dt=∫ dv 1.5 v²
Resolviendo la integral -3t = -2
3
Por lo que el tiempo transcurrido es t = 2 = 0.222 s
9
3.2 Cinemática en dos dimensiones
12. [2a, 4-3] Encuentre la magnitud y dirección del vector velocidad media de un minutero que tiene 5 cm de longitud cuando el tiempo cambia de 4:15 a 4:30
El desplazamiento de la punta del minutero desde las 4:15 hasta las 4:30 es.
_________
Δr = ⎜rf - ri⎪= √(-5)2+(-5)2 = 7.071 cm
Por lo tanto la magnitud del vector velocidad es vm = Δr = 7.071 cm = 7.86x10-3 cm/s
Δt 900 s
Si trasladamos este vector al origen, el ángulo que forma con el eje x positivo es θ =180°+arctan[(-5)/(-5)]° = 225°
13. [2a, 4-9] Una partícula localizada inicialmente en el origen tiene una aceleración de a=3j m/s2 y una velocidad inicial de vo=5i m/s. Halle a) el vector de posición y de la velocidad en cualquier tiempo t y b) las coordenadas y la rapidez de la partícula en t=2 s.
Datos: a=3j m/s2; vo=5i m/s
a) Calculando la velocidad final de la partícula v = vo+at = (5i+3tj)m/s
Obteniendo el vector de posición Como v = dr/dt
r = ∫vdt = ∫(5i+3tj)dt = (5ti+1.5t2j)m
b) Calculando las coordenadas de la posición para t =2 s r(2) = (5)(2 )i+(1.5)(2)2j = (10 m, 6 m)
Obteniendo las coordenadas de la rapidez para t =2 s v(2) = (5)i+(3)(2)j = (5 m, 6 m)
Ahora obteniendo su magnitud ________
⎜v⎪ = √(5)2+(6)2 = 7.81 m/s
3.2.1 Tiro parabólico
14. [2a, 4-10] Se coloca un estudiante en el borde de un acantilado y lanza una piedra horizontalmente sobre el borde con una rapidez de 18 m/s. El acantilado está a 50 m de altura respecto a una playa plana horizontal, como se muestra en la figura. ¿En cuánto tiempo, después de ser lanzada la piedra, golpeará la playa bajo el acantilado? ¿Con qué rapidez y ángulo golpeará la playa?
Datos: vox=18 m/s; voy=0; y=50 m
Para el eje vertical se utiliza y=voyt+(1/2)at², la velocidad inicial en y es cero
15. [2a, 4-12] Un estudiante decide medir la velocidad de salida de las pelotillas de su escopeta BB; apunta su escopeta horizontalmente. El blanco está localizado sobre una pared vertical, a una distancia x de la escopeta. El disparo golpea el blanco a una distancia vertical y abajo del cañón. a) Muestre que la posición de la pelotilla cuando viaja por el aire está dada por y= Ax², en donde A es una constante. b) Exprese la constante A en términos de la velocidad inicial y la aceleración debida a la gravedad. c) Si x=3.0 m; y=0.21 m, ¿Cuál es la rapidez de la BB?
a) Como la velocidad en x es vx=x/t (1) La posición en y esta dada por y=voyt+(1/2)at² (2)
Despejando el tiempo de (1) y sustituyendo en (2), se obtiene y=[a/(2 vx²)]x² (3)
b) por lo que A= g/(2 vx²) c) Datos: x=3.0 m; y=0.21 m Despejando vx de (3)
________ ______________________
vx=√(x²a)/(2y) =√3² (-9.81 m/s²)/[(2)(-0.21)] =14.5 m/s -50=(0)t+(1/2)(-9.81)t²
Despejando el tiempo
____________________________
t=√(-50 m)(2)/(-9.81 m/s²) =3.19 s
Despejando la velocidad final en y de vy²=vo²+2ay
_______________________________
vy=√02+(2)(-9.81 m/s²)(-50 m) = -31.32 m/s Como la velocidad en x es vx=x/t
Despejando x se tiene
x= vxt=(18 m/s)((3.193 s)=57.474 m La magnitud de la velocidad final es
_________ ____________________________
vf=√vx²+vy² =√(18 m/s)²+(-31.32 m/s)² = 36.13 m/s El ángulo es
θ=arc tan(vy/vx)= arc tan[(-31.32 m/s)/(18 m/s)]= -60.11°
h = 5 0 m
g V o = 1 8 m /s
x y
Figura 2
16. [2a, 4-14] Un balón de futbol que se patea a un ángulo de 50° con la horizontal, recorre una distancia horizontal de 20 m antes de chocar contra el suelo. Encuentre: a) la rapidez inicial del balón, b) el tiempo que permanece en el aire y c) la altura máxima que alcanza.
a) Las velocidades iniciales vx, vy son:
vx = vcosθ =x/t (1) voy = vsenθ (2)
La altura final al recorrer los 20 m será cero, por lo tanto:
0 = voyt + (1/2)at2 (3)
Despejando t, voy de 1 y 2 y sustituyendo en 3 0 = vsenθx + (1/2)ax2
vcosθ v2cos2θ
Despejando la velocidad inicial v
___________________ _________________________________
v = √[(a)(x)]/[(2cosθ)(senθ)] =√[(-9.81 m/s2)(-20 m)/[(2cos50°)(sen50°)] = 14.11 m/s b) el tiempo que permanece en el aire se obtiene haciendo y = 0
0 = voyt + (1/2)at2
Sustituyendo valores y formando la ecuación cuadrática -4.905t2+10.81t = 0
Resolviendo la ecuación cuadrática t = 2.2 s
c) La altura máxima se obtiene haciendo la velocidad vfy igual a cero vfy2 = voy2+2ay
0 = (vsenθ)2+2ay Despejando y
y = -(vsenθ)2 = -[(14.11 m/s)(sen50°)]2 = 5.95 m 2a (2)(-9.81 m/s2)
17. [2a, 4-16] Un lanzador de bala lanza ésta desde 2.3 m arriba del suelo y con un ángulo de 60° con la horizontal. La bala choca con la Tierra a una distancia de 20.5 m, a 0.60 m menos del récord estatal. a) ¿Cuáles son las componentes de la velocidad cuando choca con el suelo? b) ¿Cuál sería el alcance si la lanza a 45° desde una altura de 2.2 m?
(Suponga que la rapidez inicial no cambia).
a) Las velocidades iniciales vx, vy son:
vx = vcosθ =x/t (1) voy = vsenθ (2)
La altura final al recorrer los 20.5 m es –2.3 m, es decir por abajo del punto de lanzamiento:
y = voyt + (1/2)at2 (3)
Despejando t, voy de 1 y 2 y sustituyendo en 3 y = vsenθx + (1/2)ax2
Despejando la velocidad inicial v _______________________
v = √[(a)(x2)]/[(2cos2θ)(y-xtanθ)]
_____________________________________
= √[(-9.81)(20.5)2]/[(2cos260°)(-2.3-20.5tan60°)]
= 14.77 m/s
Por lo tanto las componentes se obtienen sustituyendo el valor de v en 1 y 2 vx = vcosθ = (14.77 m/s)cos60° = 7.38 m/s
voy = vsenθ = (14.77 m/s)sen60° = 12.79 m/s
Utilizando la ecuación vfy2 = voy2+2ay para despejar la velocidad final en y ________ ___________________________
vfy = √voy2+2ay = √(12.79 m/s)2+2(-9.81 m/s2)(-2.3 m) = 14.45 m/s b) La velocidad es la misma que la obtenida en a) pero cambia θ y la altura Despejando t, voy de 1 y 2 y sustituyendo en 3
y = vsenθx + (1/2)ax2 vcosθ v2cos2θ Simplificando
-2.2 =xtanθ + (a/(2v2cos2)x2
Resolviendo la ecuación cuadrática x = 24.25 m
18. [2a, 4-18] Muestre que el alcance horizontal de un proyectil con una rapidez inicial fija será el mismo para cualesquiera dos ángulos complementarios, tales como 30° y 60°.
Las velocidades iniciales vx, vy son:
vx = vcosθ =x/t (1) voy = vsenθ (2)
La altura final al recorrer x m será cero 0 = voyt + (1/2)at2 (3) Despejando el tiempo de 1
t = x 0 vx
Despejando el tiempo de la ecuación cuadrática 3 t = -2voy
a
Igualando los dos despejes del tiempo x = -2voy
vx a
Despejando el alcance máximo x x = -2vxv0y = -2v2cosθsenθ a a
Como
cos30°sen30° = cos60°sen60°
Por lo tanto el alcance es el mismo
19. [2a, 4-20] Se apunta un rifle horizontalmente a través de su mira hacia el centro de un blanco grande que está a 200 m. La velocidad inicial de la bala es de 500 m/s. a) ¿En dónde golpea la bala en el blanco? b) Para dar en el centro del blanco, el cañón debe estar a un ángulo arriba de la línea de puntería. Halle el ángulo de elevación del cañón.
Datos: x = 200 m; vx = 500 m/s a) La velocidad vx, es:
vx = x/t (1) Como la velocidad voy = 0 y = 0 – (1/2)gt2 (2)
Despejando el tiempo de 1 y sustituyendo en 2 y = (1/2)(9.81 m/s2)[(200 m)/(500 m/s)]2 = 0.785 m b) Empleando 2cosθsenθ = sen2θ en el alcance máximo x = 2v2cosθsenθ = v2sen2θ
g g Despejando a θ
θ = arcsen(xg/vo2) = arcsen[(200 m)(9.81 m/s2)/(500 m/s)2 = 0.22° 2 2
Unidad IV DINAMICA
4.1 Conceptos básicos: masa, peso y fuerza
Masa inercial y masa gravitacional
Masa es una cantidad escalar definida por la relación m = F/a, donde F es la magnitud de la fuerza que actúa en el cuerpo y a es el valor de la aceleración que f produce en el.
La masa puede ser considerada como una medida del concepto de inercia, de manera que si la masa de un objeto es pequeña, tendrá poca inercia. La masa de un cuerpo no cambia al ser trasladado de un lugar a otro. En cambio su peso si varia, ya que g varia con la altitud y con la latitud.
Hay dos formas de medir la masa de un cuerpo:
1. Proporcionándole al cuerpo un fuerza conocida F, se mide su aceleración y se determina m=F/a
2. Con una balanza de brazos iguales equilibrada, este proceso de medición funciona únicamente en lugares donde los cuerpos tienen peso.
La masa que se presenta en la ecuación F=ma, de los experimentos de dinámica se le conoce como masa inercial.
Hay otra situación diferente en la que aparece la masa del cuerpo, aquí la inercia no juega ningún papel, lo que interviene es la propiedad de los cuerpo materiales de ser atraídos por otros objetos como la Tierra.
F = G m’Mt Rt2
Donde m’ se le conoce como masa gravitacional
Newton llegó a la conclusión que la masa inercial de un cuerpo es equivalente a su masa gravitacional, es decir.
m = m’
4.1.1 Sistemas de referencia: inerciales y no inerciales
1. [2a, 2-1] Las coordenadas cartesianas de dos puntos en el plano xy son: (2.0,-4.0) y (- 3.0,3.0), donde las unidades son m. Determine: a) La distancia entre estos dos puntos y b) sus coordenadas polares.
a) Obteniendo la distancia entre los dos puntos
________________ ________________________
d = √(x2-x1)2 + (y2-y1)2 = √(-3.0 – 2.0)2 + (3.0 + 4.0)2 = 8.6 m
b) Obteniendo las coordenadas polares (r, θ) para el primer punto
_______ ________
r = √x2 + y2 = √22 + (-4)2 = 4.47 m
θ = 360° - arctan(y/x) = 360° - arctan(-4/2) = 297°
Obteniendo las coordenadas polares (r, θ) para el segundo punto _______ ________
r = √x2 + y2 = √(-3)2 + 32 = 4.24 m
θ = 180° + arctan(y/x) = 180° - arctan[3/(-3)] = 135°
2. [2a, 2-5] Una esquina de un cuarto se elige como el origen de un sistema de coordenadas rectangular. Si una mosca está parada sobre una pared adyacente a un punto que tiene coordenadas (2.0,1.0), donde las unidades están en metros, ¿cuál es la distancia de la mosca desde la esquina del cuarto?
Obteniendo la distancia entre los puntos (0,0) y (2.0,1.0) ________________ ___________________
d = √(x2-x1)2 + (y2-y1)2 = √(2.0 - 0)2 + (1.0 - 0)2 = 2.24 m
3. [2a, 2-7] Un punto está localizado en un sistema de coordenadas polares mediante las coordenadas r = 2.5 m y θ = 35°. Determine las coordenadas xy de este punto, suponiendo que los dos sistemas de coordenadas tienen el mismo origen.
Obteniendo las coordenadas (x,y) x = r(cosθ) = 2.5(cos35°) = 2.05 m y = r(senθ) = 2.5(sen35°) = 1.43 m
4.2 Leyes de Newton
Primera ley de Newton
Ley de la inercia. Todo cuerpo conserva su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme mientras no lo afecte una fuerza externa
Segunda ley de Newton
2a. Ley de Newton , también llamada Ley de la proporcionalidad entre fuerzas y aceleraciones. Cuando se aplica una fuerza constante a un cuerpo, la aceleración producida es directamente proporcional a la fuerza e inversamente proporcional a la masa, es decir.
Fx=max, Fy=may, Fz=maz.
Dicho en otras palabras, la fuerza aplicada a un cuerpo es igual al producto de la masa, por la aceleración producida.
Tercera ley de Newton
3a. Ley de Newton, también llamada Ley de la acción y de la reacción. “A toda acción corresponde una reacción igual y de sentido contrario”.
4.2.1 Diagrama de cuerpo libre
4. [2a, 5-26] Determine la tensión en cada una de las cuerdas para los sistemas que se describen en la figura siguiente. (Desprecie la masa de las cuerdas.)
a) Diagrama de cuerpo libre
Haciendo la sumatoria de fuerzas
ΣFx = -T1cos40°+T2cos50° = 0 (1) ΣFy = T1sen40°+T2sen50°-mg = 0 (2) Despejando T2 de 1
T2 = T1cos40° (3)
cos50°
Sustituyendo T2 en 2 y despejando a T1 (5)(9.81 m/s2) a
T1 = sen 40°+ cos40°sen50° = 31.53 N cos50°
Sustituyendo el valor de T1 en 3 para encontrar el valor de T2 T2 = (31.53 N)cos40° = 37.57 N
40° 50° T1
T2
T3
T1
T2
T3
60°
5 kg
10 kg
a) b)
40° 50° T1 T2
x y
T3
Figura 3
cos50°
T3 = mg = (5 kg)(9.81 m/s2) = 49.05 N
b) Diagrama de cuerpo libre
Haciendo la sumatoria de fuerzas ΣFx = -T1cos60°+T2 = 0 (1) ΣFy = T1sen60°-mg = 0 (2) Despejando T1 de 2
T1 = mg = (10 kg)(9,81 m/s2 = 113.28 N sen60° sen60°
Sustituyendo el valor de T1 en 2 para encontrar T2
T2 = T1cos60° = (113.28 N)cos60° = 56.64 N T3 = mg = (10 kg)(9.81 m/s2) = 98.1 N
60° T1
T2
x y
T3
5. [2a, 5-31] Una bolsa de cemento cuelga de tres alambres como se muestra en la figura.
Dos de los alambres forman los ángulos θ1 y θ2 con la horizontal. Si el sistema está en equilibrio, a) muestre que
T1 = Wcos(θ2) 4 sen(θ1+θ2)
b) Dados W = 200 N, θ1 = 10° y θ2 = 25°, encuentre las tensiones T1, T2 y T3 de los alambres.
Diagrama de cuerpo libre
a) Sumatoria de fuerzas
ΣFx = -T1cosθ1+T2cosθ2 = 0 (1) ΣFy = T1senθ1+T2senθ2-W = 0 (2) Despejando T2 de 1
T2 = T1cosθ1 (3)
cosθ2
Sustituyendo T2 en 2 y despejando T1
Wcosθ2 1 Wcosθ2 1 T1 = senθ1cosθ2+cosθ1senθ2 = sen(θ1+θ2)
b) Sustituyendo valores en la ecuación anterior para encontrar T1
T1 = Wcosθ2 = 200cos25° = 316 N sen(θ1+θ2) sen(10°+25°)
Sustituyendo en 3 para encontrar T2
T2 = T1cosθ1 = (316 N)cos10° = 343 N
θ1 θ2
W
CCEMENTO
θ1 θ2 T1
T2
x y
W
Figura 4