EL CONOCIMIENTO
DIDÁCTICO-PEDAGÓGICO
DEL PROFESOR DE
MATEMÁTICAS
ACUÑA QUIROGA JAIRO ALBERTO
PULIDO MOYANO KAREN LULIETH
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
EL CONOCIMIENTO DIDÁCTICO-PEDAGÓGICO DEL
PROFESOR DE MATEMÁTICAS
ACUÑA QUIROGA JAIRO ALBERTO
PULIDO MOYANO KAREN LULIETH
DIRECTOR:
JORGE ORLANDO LURDUY ORTEGÓN
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
BOGOTÁ, COLOMBIA
TABLA DE CONTENIDO
INTRODUCCIÓN ... 10
CAPÍTULO 1: DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN... 13
1.1 Contexto del problema ... 13
1.1.1 Una mirada institucional ... 14
1.1.2 RPD desde la resolución de problemas matemáticos ... 15
1.1.3 Aspecto del conocimiento sobre la enseñanza: CCP y CCD. ... 16
1.2 Planteamiento del problema ... 17
1.2.1 Objeto de estudio y pregunta de investigación ... 18
1.3 Objetivos ... 18
1.3.1 Objetivos Específicos ... 19
1.4 Justificación ... 19
1.5 Antecedentes ... 21
1.5.1 Concepciones de los profesores y la resolución de problemas ... 21
1.5.2 Conocimiento de contenido pedagógico (CCP) ... 22
1.5.3 Enfoque ontosemiótico ... 23
1.5.4 Conocimiento de contenido didáctico: diseño, gestión y evaluación ... 25
1.6 Enfoque de investigación ... 26
1.6.1 Investigación cualitativa; descriptiva y exploratoria ... 27
1.6.2 investigación exploratoria – descriptiva ... 28
1.6.3 Fases de la investigación ... 29
1.6.4 Población y descripción de trabajo de campo ... 30
1.7 Cronograma ... 31
1.8 Reflexiones y conclusiones ... 31
CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO - METODOLÓGICO ... 33
2.1 Conocimiento de contenido pedagógico-CCP. ... 34
2.2.2 Objetos metadidácticos: Análisis, reflexión y semiosis didáctica, categorías de
análisis. ... 39
2.2 Conocimiento de Contenido didáctico (CCD). Categoría de análisis. ... 42
2.2.1 Polos didácticas. Subcategorías del CCD-CCP ... 45
2.3 Enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática (EOS) ... 46
2.3.1 Sistemas de prácticas, significados institucionales y personales. ... 47
2.3.2 Tipos de significados ... 48
2.4 Perspectiva semiótica: Ch. Peirce: niveles de expresión semiótica ... 49
2.5 Evaluación de la información recogida ... 50
2.5.1 Teoría fundamentada en los datos (TFD) ... 52
2.5.2 Análisis cualitativo del contenido (ACC) ... 54
2.5.3 Análisis semiótico de textos (AST) ... 55
2.6 Análisis de la información, instrumentos de recolección de la información. ... 56
2.6.1 Unidades de muestreo: Encuesta. ... 57
2.6.1.1 Instrumento encuesta ... 57
2.6.1.2 Codificación abierta. ... 58
2.6.2 Unidades de contexto: Taller ... 59
2.6.2.1 Instrumento taller ... 60
2.6.2.2 Codificación axial ... 61
2.6.3 Unidades de registro: Entrevista ... 61
2.6.3.1 Instrumento Entrevista ... 62
2.6.3.2 Codificación selectiva... 63
2.7 Reflexiones y conclusiones ... 64
CAPÍTULO 3. DESARROLLO METODOLÓGICO. ... 65
3.1 Recolección de la información. Encuesta... 65
3.1.1 Codificación abierta ... 69
3.1.1.1 Primera inferencia ... 74
3.1.1.1.1 Diseño ... 75
3.1.1.1.3 Evaluación ... 80
3.1.1.2 Reducción de la información ... 82
3.1.2 Codificación axial ... 83
3.1.2.1 Categorías emergentes ... 84
3.1.2.2 Segunda inferencia ... 85
3.1.2.2.1 Diseño ... 85
3.1.2.2.2 Gestión ... 86
3.1.2.2.3 Evaluación ... 88
3.1.3 Codificación selectiva... 89
3.1.3.1 Ampliación de las categorías ... 95
3.2 Reflexiones y conclusiones ... 97
4. ANÁLISIS DE LA INFORMACIÓN ... 101
4.1 Recolección de la información y transcripción de la entrevista ... 102
4.2 Codificación selectiva... 102
4.3 Evaluación de los significados ... 104
4.3.1 Descripción de la codificación selectiva ... 108
4.3.2 Relaciones didácticas en el diseño, gestión y evaluación ... 109
4.3.2.1 Diseño: relación profesor-saber ... 109
4.3.2.2 Gestión: relación profesor-entorno ... 111
4.3.2.3 Evaluación: relación profesor-estudiante ... 112
4.3.3 Tipos de significados: Pretendido, implementado y evaluado ... 113
4.3.3.1 Diseño: pretendido ... 113
4.3.3.2 Gestión: Implementado ... 114
4.3.3.3 Evaluación: evaluado ... 115
4.3.4 Competencias pedagógicas: diseño, gestión y evaluación ... 117
4.3.4.1 Diseño: Análisis didáctico ... 117
4.3.4.2 Gestión: Reflexión didáctica ... 118
4.3.4.3 Evaluación: Reflexión didáctica ... 119
4.3.5 Caracterización de los objetos didácticos ... 120
4.3.3.1.1 Nivel de expresión semiótico: Icónico ... 122
4.3.3.2 Gestión ... 123
4.3.3.3.1 Nivel de expresión semiótico: Indicial ... 124
4.3.3.3 Evaluación ... 125
4.3.3.3.1 Nivel de expresión semiótico: Simbólico ... 126
4.4 Caracterización de significados. ... 127
CAPITULO 5. CONCLUSIONES ... 129
5.1 Conclusiones del proceso de investigación ... 130
5.2 Conclusiones con respecto a los datos ... 134
5.2.1 DISEÑO ... 135
5.2.2 GESTIÓN ... 137
5.2.3 EVALUACIÓN ... 138
5.3 Reflexión del proceso formativo ... 140
REFERENTES BIBLIOGRÁFICOS ... 144
ÍNDICE DE IMÁGENES
Imagen 1. Relación elementos PCK, fuente propia. ... 36Imagen 2. Niveles y facetas del conocimiento del profesor, fuente Godino (2009) ... 37
Imagen 3. Relación PCK Godino y Shulman, fuente propia. ... 39
Imagen 4. Sistema didáctico, fuente Lurduy (2012) ... 43
Imagen 5. Triada de objetos-procesos didácticos, fuente Lurduy (2013) ... 44
Imagen 6. Relaciones didácticas, fuente propia. ... 46
Imagen 7. Relaciones tipos de significado- prácticas, fuente Lurduy (2012) ... 49
Imagen 8. Ruta metodológica, fuente propia ... 51
Imagen 9. Relación tríadica del análisis textual, fuente propia ... 52
Imagen 10. Relaciones objetivas y técnicas de análisis, fuente propia. ... 55
Imagen 11. Encuesta online ... 58
Imagen 13. Visualización encuesta aplicada. ... 67
Imagen 14. Ejemplos respuestas repetidas ... 68
Imagen 15. Ejemplo respuesta no tomada en consideración ... 69
Imagen 16. Ejemplo codificación ... 73
Imagen 17. Ejemplo sin descriptor. ... 77
Imagen 18. Pregunta 7 ... 81
Imagen 19. Ejemplo de respuesta a la pregunta 7 ... 82
Imagen 20. Ejemplo de codificación pregunta 2 ... 92
Imagen 21. Ejemplo codificación pregunta 3 ... 93
Imagen 22. Ejemplo tipo de significados ... 95
Imagen 23. Rejilla de categorías de análisis y códigos. ... 97
Imagen 24. Comparación codificación abierta y axial. ... 98
Imagen 25. Comparación instrumentos y sistemas de prácticas ... 99
Imagen 26. Tetraedro de la interpretación metodológica ... 101
Imagen 27.Fragmento de una transcripción de entrevista ... 102
Imagen 28. Ejemplo de codificación selectiva ... 103
Imagen 29. Ejemplo proceso de codificación selectiva ... 104
Imagen 30. Ejemplo de codificación en la práctica discursiva ... 105
Imagen 31. Ejemplo de codificación en la práctica operativa. ... 106
Imagen 32. Ejemplo de la codificación en la práctica normativa ... 107
Imagen 33. Ejemplo 2 de la práctica normativa ... 107
Imagen 34. Ejemplo de la relación profesor-saber en el diseño ... 109
Imagen 35. Ejemplo 2 de la relación profesor- saber en el diseño. ... 110
Imagen 36. Tríada del Diseño... 110
Imagen 37. Ejemplo de la relación profesor- entorno en la gestión ... 111
Imagen 38. Tríada de la Gestión ... 111
Imagen 39. Ejemplo de la relación profesor-estudiante en la evaluación. ... 112
Imagen 40. Tríada de la evaluación ... 112
Imagen 41. Relación diádica diseño y tipo de significado pretendido ... 114
Imagen 42. Relación diádica de la gestión y tipo de significado implementado... 115
Imagen 44. Ejemplo de la relación diádica evaluación - evaluado ... 117
Imagen 45. Ejemplo de análisis didáctico en el diseño ... 118
Imagen 46. Ejemplo reflexión didáctica en la gestión... 119
Imagen 47. Ejemplo de la reflexión didáctica en el objeto evaluación ... 120
Imagen 48. Relación tríadica del diseño ... 121
Imagen 49. Ejemplo de la triada de diseño ... 122
Imagen 50. Tetraedro desde lo Icónico ... 122
Imagen 51. Relación tríadica de la gestión ... 123
Imagen 52. Ejemplo de la traída de gestión... 124
Imagen 53. Tetraedro desde el índice ... 124
Imagen 54. Relación tríadica en la evaluación ... 125
Imagen 55. Ejemplo de la relación tríadica en la evaluación ... 125
Imagen 56. Relación tríadica desde lo simbólico. ... 126
Imagen 57. Relaciones tríadicas que caracterizan las RPD ... 127
Imagen 58. Ejemplo de gráficas durante los análisis focales ... 131
Imagen 59. Ruta teórico – metodológica (2) ... 132
Imagen 60. Ejemplos de las codificaciones ... 135
Imagen 61. Tríada diseño. ... 136
Imagen 62. Relación tríadica en la evaluación ... 139
ÍNDICE DE GRÁFICAS
Gráfica 1. Histograma pregunta 3... 71Gráfica 2. Histograma Pregunta 2 ... 75
Gráfica 3. Histograma Pregunta 3. ... 76
Gráfica 4. Histograma Pregunta 5 ... 79
Gráfica 5. Histograma Pregunta 6 ... 80
Gráfica 6. Porcentajes Pregunta 7 ... 81
Gráfica 7. Histograma de las relaciones didácticas ... 91
Gráfica 8. Histograma de los tipos de prácticas en los objetos didácticos ... 105
Gráfica 10. Porcentajes de los tipos de significado en la Practica Operativa ... 115
Gráfica 11.Porcentajes de los tipos de significado en la Practica Normativa ... 116
Gráfica 12. Histograma de los tipos de prácticas en los objetos didácticos ... 137
Gráfica 13. Porcentajes de los tipos de significado en la Practica Operativa ... 138
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 1. Matriz elementos de significado análisis didáctico, fuente Lurduy (2013) ... 40Tabla 2. Componentes CCP... 41
Tabla 3. Niveles de expresión semiótica. ... 50
Tabla 4. Evaluación de orientación, codificación abierta ... 69
Tabla 5. Caracterización descriptores. ... 72
Tabla 6. Conteo de los descriptores ... 73
Tabla 7. Unidades de análisis y cantidad de descriptores... 74
Tabla 8. Escala de valoración preguntas cerradas. ... 74
Tabla 9. Porcentajes de la escala valorativa en cada pregunta ... 77
Tabla 10. Unidades de análisis y cantidad de descriptores (2) ... 78
Tabla 11. Conteo de los descriptores (2) ... 78
Tabla 12. Momentos del taller ... 83
Tabla 13. Relaciones didácticas y descriptores ... 84
Tabla 14. Conteo de las relaciones didácticas en el instrumento taller ... 90
Tabla 15. Categorías previas ... 94
Tabla 16. Caracterización tipos de significado institucionales... 96
Tabla 17. Descriptores y relación didáctica... 100
AGRADECIMIENTOS
INTRODUCCIÓN
El presente informe de investigación buscar recapitular el trabajo desarrollado durante la maestría en educación de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas, éste pretende desarrollar un proceso de significación de la resolución de problemas didácticos desde la reflexiones, expresiones o actuaciones que realizan los profesores de matemáticas, en el caso particular de los profesores de la maestría en educación.
Dentro del proceso de resolución de problemas didácticos, es necesario trabajar con elementos teóricos que aborden el conocimiento de contenido pedagógico (CCP) y conocimiento de contenido didáctico (CCD), de igual manera, debemos reconocer que estos conocimientos se dan dentro de las prácticas didácticas que cada profesor desarrolla en su quehacer profesional. Los antecedentes y propuesta teórica nos brindaron la oportunidad de identificar la necesidad de realizar esta investigación, como parte importante dentro de las posturas del sistema didáctico descrito por Lurduy (2012), en donde se propone la importancia que tiene cada uno de los polos didácticos.
Se asume una investigación de tipo descriptiva y exploratoria, teniendo en cuenta que dichos procesos de significación son relativamente pocos, en términos del conocimiento del profesor de matemáticas, por esta razón queremos aportar elementos teóricos que posibiliten la comprensión de esas reflexiones, expresiones o actuaciones que realiza el profesor de matemáticas en los momentos de desarrollar sus prácticas didácticas.
Hemos organizado la investigación en 5 capítulos, los cuales describiremos a continuación:
En el CAPÍTULO 2, describimos detalladamente la ruta teórica-metodológica que hemos asumido en la investigación, en ésta, tomamos como referencia posturas teóricas que han abordado el CCP y CCD, describimos los aportes del EOS y la propuesta de evaluación de Lurduy (2013). De igual manera se explican los instrumentos de recolección de la información y las técnicas de análisis textual (análisis cualitativo del contenido, teoría fundamentada en los datos y análisis semiótico de textos) que nos permitieron realizar la caracterización de los significados.
El CAPÍTULO 3 evidencia el proceso de organización, sistematización y reducción de la información en las cuales se utilizan las técnicas de análisis textual, en estos procesos se complementan las categorías de análisis a partir de los resultados obtenidos en cada uno de los procesos de reducción, de igual manera se realizan algunas inferencias que permiten identificar y describir elementos teóricos que aportan a la significación de la resolución de problemas didácticos.
El análisis final lo explicamos en el CAPÍTULO 4, utilizamos las unidades de registro, tablas e imágenes como referencia para realizar la caracterización de los significados, que nos permiten comprender las reflexiones, expresiones o actuaciones que tienen los profesores al resolver problemas de tipo didáctico.
CAPÍTULO 1: DISEÑO DE LA INVESTIGACIÓN
En esta sección realizamos una descripción detallada del proceso de diseño de la investigación. Podremos encontrar los elementos más relevantes como lo es la contextualización desde diferentes puntos de vista y el planteamiento del problema que hemos evidenciado como punto de partida para la investigación.
De igual manera podremos encontrar los objetivos generales y específicos de la investigación para lograr caracterizar los significados expresados por los profesores sobre la resolución de problemas didácticos (RPD). La contextualización y objetivos nos llevan a justificar nuestra propuesta de investigación como la necesidad de abordar elementos del conocimiento del profesor para desarrollar sus prácticas didácticas en los procesos de estudio en los cuales se ven involucrados.
Posteriormente evidenciamos los antecedentes a nuestra investigación que nos sirven de justificación, soporte teórico y metodológico como ejemplos de trabajos que han desarrollado con relación a nuestro objeto de estudio. Encontraremos también los aportes que la investigación cualitativa de tipo descriptiva exploratoria realiza a nuestra propuesta. Finalmente, presentamos el cronograma propuesto para lograr desarrollar esta investigación.
1.1 Contexto del problema
Desde esta perspectiva, se ha evidenciado diferentes tensiones, que nos permiten identificar una problemática en los procesos de significación de la resolución de problemas didácticos en un proceso de estudio de matemáticas.
1.1.1 Una mirada institucional
Al realizar una lectura detallada de los lineamientos curriculares de matemáticas (MEN, 1998), encontramos que no existe una idea clara de la interpretación que se debe dar a la resolución de problemas didácticos (RPD); en este documento se plantea la resolución de problemas matemáticos (RPM) como el eje central de toda actividad matemática por lo cual no se debe considerar como un tópico ajeno al currículo, en palabras del MEN la resolución de problemas debe ser:
El eje central del currículo de matemáticas, y como tal, debe ser un objetivo primario de la enseñanza y parte integral de la actividad matemática. Pero esto no significa que se constituya en un tópico aparte del currículo, deberá permearlo en su totalidad y proveer un contexto en el cual los conceptos y herramientas sean aprendidos. (p. 52)
Como vemos, se identifica una concepción que sitúa a la RPM como eje central de los procesos de estudio, pero es claro que los aportes que brindan los estándares y lineamientos curriculares son una guía para los docentes al momento de diseñar, gestionar y evaluar las prácticas didácticas, esto de igual manera se puede comparar con otros informes como los resultados de las pruebas PISA. Pero evidenciamos que no se resaltan elementos que permitan identificar características de los profesores para lograr esta iniciativa, lo cual genera que éstos no cuenten con las herramientas necesarias para trabajar en las aulas.
1.1.2 RPD desde la resolución de problemas matemáticos
Las creencias que tienen los docentes sobre la enseñanza de las matemáticas difieren en particular cuando se habla de la metodología de resolución de problemas y el rol que debe tomar el docente (Thompson, 1992 citado en Vilanova, Rocerau, Valdez, y otros, 2001). Diferentes investigaciones realizadas acerca de las concepciones de los maestros sobre esta metodología (Contreras, 1998, De Lera y Deulofeu, 2014, Bedoya y Ospina, 2014) permite interpretar que no existe una idea clara de ésta, lo cual puede llevar a que la enseñanza no sea coherente entre el currículo, la teoría y los sujetos que intervienen en esta práctica.
Al realizar una revisión bibliográfica sobre las concepciones y significados1 que tienen
los docentes con respecto a la resolución de problemas, evidenciamos que algunos docentes la perciben, no como una metodología, sino como una temática que se debe trabajar en cierto periodo del año escolar; en segundo lugar, continuando con lo descrito anteriormente, se entiende como la herramienta para poner en práctica alguna teoría trabajada previamente (Kilpatrick, 1998), por otra parte Puig (1996) retoma y define la resolución de problemas a partir de diversas interpretaciones que existen de este término. Esto permite evidenciar que hay una gran variedad de propuestas asociadas al término resolución de problemas.
Con lo anterior se puede observar que los significados de los profesores en cuanto a la resolución de problemas didácticos (el trabajo que debe desarrollar el profesor), no toman en consideración aspectos relacionados al diseño, gestión y evaluación y principalmente se refiere RPM desde la actividad del estudiante; de igual manera, no se considera la importancia que tienen estos elementos como parte relevante del trabajo que debe realizar un profesor para el desarrollo de los procesos de estudio.
Shulman (1987, citado en Salazar, 2005) y Lurduy (2013) manifiestan que los docentes deben tener un determinado conocimiento pedagógico y didáctico, que permite mejorar los procesos de enseñanza aprendizaje, estos conocimientos abordan aspectos del diseño, gestión y evaluación que no se evidencian en las concepciones anteriores, lo cual genera
una incertidumbre en cuanto a los conocimientos que tiene el profesor sobre la enseñanza y como los pone en práctica al momento de ejercer la profesión.
Podemos evidenciar que existe una problemática entre dos aspectos: en primer lugar encontramos lo que entendemos los docentes acerca de la resolución de problemas y en segundo lugar, lo que hacemos cuando realizamos un proceso de estudio, entendiendo esto como el proceso de enseñanza-aprendizaje que se desarrolla en un aula escolar. Esto implica identificar aquellos significados que los docentes expresan con respecto al diseño, gestión y evaluación (Lurduy, 2013).
1.1.3 Aspecto del conocimiento sobre la enseñanza: CCP y CCD.
Lo que se ha mencionado anteriormente nos conlleva a hablar sobre el conocimiento del profesor acerca de la enseñanza, desde esta perspectiva, se puede observar que no existe una amplia fuente de investigaciones sobre este tema, Bedoya y Ospina (2014) expresan que existen pocas investigación en las cuales centren su mirada en el profesor, lo que nos permite inferir que son más escasas, las que se centre en la RPD.
García (1997, citado en Pinto y González, 2008) hace referencia a que la investigación sobre el profesor debe apuntar hacia la cognición de éste y el contexto en cual se construye la misma. En los procesos de estudio debemos tomar en consideración los diferentes factores y sujetos que intervienen, en este sentido, podemos observar que en un alto porcentaje el sujeto a investigar es el estudiante y se evidencian pocos estudios sobre el profesor y como éste construye el conocimiento que le permite ejercer la profesión docente.
concuerdan con los ideales propuestos desde los diferentes posturas teóricas en la formación de profesores.
Por otra parte, Bolívar (2005) manifiesta que los profesores, consciente o inconscientemente están modificando, reconstruyendo los contenidos para poder hacerlos comprensibles a los estudiantes, pero en realidad existen pocas investigaciones que apunten a ¿cómo se da este proceso? Para nosotros es claro que esto resulta importante en la profesión ser profesor de matemáticas, ya que nos permitirá obtener herramientas que posibiliten mejorar las prácticas didácticas que se desarrollan en las aulas de clase de matemáticas.
1.2 Planteamiento del problema
Teniendo en cuenta lo descrito anteriormente, se identifican algunas tensiones que mencionaremos brevemente: poca investigación con respecto a las concepciones y en particular a la significación de la resolución de problemas didácticos, es decir aspectos del diseño, gestión y evaluación de las clases de matemáticas. Por otra parte, relacionado con la anterior afirmación se evidenciaron varias ideas con respecto a la resolución de problemas, esta diversidad puede verse reflejada en las propuestas de las prácticas didácticas planteadas por diferentes docentes.
Se puede identificar la poca importancia (manifestada en algunas concepciones sobre la resolución de problemas) que se le otorga al trabajo del profesor para diseñar, gestionar y evaluar procesos de estudio en la clase de matemáticas. Observamos también que desde los estándares y lineamientos no se encuentran aspectos que se relacione con el mejoramiento de las prácticas didácticas, aunque no es un propósito fundamental de los documentos mencionados, si podrían brindar herramientas que permitieran a los docentes mejorar su quehacer profesional.
enseñanza-aprendizaje, dejando a un lado estos conocimientos, que son los que ponen en juego el profesor al momento de la práctica didáctica.
1.2.1 Objeto de estudio y pregunta de investigación
Con lo descrito anteriormente, hemos definimos como objeto de estudio para nuestra investigación, la resolución de problemas didácticos, encaminado al conocimiento didáctico y pedagógico que los profesores de matemáticas ponen en juego durante los procesos de estudio.
Al evidenciar la problemática planteada con relación a la significación de la resolución de problemas didácticos nos planteamos la siguiente pregunta, ¿Qué significados expresan los docentes sobre la resolución de problemas didácticos como elementos de su conocimiento sobre la enseñanza? Tomando en consideración la definición que desde el EOS se da para significado como el sistema de prácticas discursivas, operativas y normativas realizadas por una persona o una institución con respecto a un objeto.
A su vez se proponen una pregunta cuya respuesta nos permitirán acercarnos a la pregunta de investigación: ¿Cómo se caracterizan los significados que expresan los profesores de matemáticas sobre la resolución de problemas didácticos como elementos de sus procesos de estudio?
1.3 Objetivos
1.3.1 Objetivos Específicos
Para poder desarrollar la evaluación de dichos significados, partimos de la conceptualización desarrollada por Lurduy (2013) sobre la evaluación, la cual caracteriza como un proceso sistemático y riguroso para poder conocer y caracterizar una problemática a partir de tres tipos de evaluación: evaluación de orientación, evaluación certificativa y evaluación de confirmación. En este sentido, para desarrollar el cumplimiento del objetivo general es necesario plantearnos los siguientes objetivos específicos:
Identificar los significados que expresan los profesores de matemáticas sobre la resolución de problemas didácticos en sus propuestas de práctica didáctica.
Describir los significados que expresan los profesores de matemáticas sobre la resolución de problemas didácticos en sus propuestas de práctica didáctica.
Caracterizar los significados que expresan los profesores de matemáticas sobre la resolución de problemas didácticos en sus propuestas de práctica didáctica.
1.4 Justificación
En los diferentes trabajos que se han desarrollado, se ha dejado de lado la investigación sobre ciertos conocimientos específicos y los niveles de comprensión que tienen los profesores (Fonseca, 2009), es claro que las investigaciones pretenden indagar sobre los estudiantes y su relación con el profesor, el saber o el entorno, pero todo lo relacionado con el profesor se ha dejado como un elemento de menor importancia en la investigaciones en educación matemática. Nosotros asumimos en este trabajo al profesor como un sujeto igual de importante a los estudiantes en los procesos de estudio, por esta razón queremos evaluar los significados que tienen con respecto a la resolución de problemas didácticos.
libro de texto como conductor del trabajo en el aula (Calvo, 2008). La importancia que tiene el reflexionar sobre cómo se enseña las matemáticas, hace necesario que se indague y caracterice la perspectiva que tiene el profesor sobre lo que debe saber y lo que debe hacer (saber ser y saber hacer) en las clases de matemáticas en las que se ve involucrado al resolver problemas didácticos.
En Colombia ya se encuentra establecido una estructura en los programas de formación de educadores (formación pedagógica, formación disciplinar, formación científica y la formación deontológica) donde se enfocan en la reflexión sobre los problemas curriculares, de enseñanza-aprendizaje y habilidades de los directivos y docentes con el fin de brindar una educación de calidad. La relevancia de que esto se desarrolle en los programas de formación de educadores es porque en muchas ocasiones no se es consciente de los tipos de acciones que desarrollamos en los procesos de estudio, por tanto es relevante reconocer las concepciones, sistemas de prácticas (discursivas, operativas y normativas), transformaciones y creaciones que surgen desde las subjetividades dadas en nuestra praxis. (MEN, 2013)
Esto nos lleva a evidenciar la importancia que tiene la propuesta de trabajo, teniendo en cuenta las pocas investigaciones que existen sobre el conocimiento que manejan los docentes sobre la enseñanza y como éste afecta los procesos didácticos en las clases de matemáticas. El ministerio evidencia el interés por establecer unos lineamientos con respecto a la formación de educadores, como se describió anteriormente, donde se destaca la reflexión sobre la práctica que desarrollan los profesores de todos los niveles educativos, en este sentido es pertinente investigar la manera en la cual los docentes desarrollan sus prácticas con las estrategias o elementos que toman en consideración para la misma.
1.5 Antecedentes
Como referencia a los aspectos que componen nuestro trabajo de investigación evidenciaremos a continuación algunos trabajos o artículos de investigación que harán las veces de antecedentes de nuestra propuesta; hemos organizado la información en algunos aspectos relevantes: Concepciones de los docentes, la resolución de problemas y CCP, el EOS y CCP.
1.5.1 Concepciones de los profesores y la resolución de problemas
Se hace evidente que la resolución de problemas se ha convertido en un factor relevante en los procesos de la enseñanza de las matemáticas, lo que conlleva a modificar contenidos y metodologías de enseñanza aprendizaje, así como replantear la propuesta curricular con base a la resolución de problemas matemáticos, de tal manera que esta propuesta se relacione directamente con las practicas docentes, en este sentido Blanco (1991) realizó una investigación cuyo objetivo es describir el conocimiento práctico personal de los profesores sobre la resolución de problemas.
Otra investigación, surgió a raíz de la existencia de diversos trabajos sobre la resolución de problemas, destacando su importancia en el proceso de aprendizaje de los estudiantes, ésta señala que no se han evidenciado grandes cambios en cuanto a esta metodología, lo cual se puede ver a través de los resultados de las pruebas internacionales estandarizadas. A partir de esta inquietud, Bedoya y Ospina (2014) centran su investigación en la dupla didáctica profesor – resolución de problemas, con el fin de mirar la resolución de problemas desde las convicciones y concepciones de los profesores de matemática sobre esta metodología y cómo afectan éstas en la experiencia y el aprendizaje de los alumnos.
este sentido, a través de la metodología se logra identificar lo que expresa un profesor con respecto a sus conocimientos sobre la resolución de problemas.
Al pretender planear, gestionar y evaluar la resolución de problemas como parte de la clase de matemáticas, primero debemos partir sobre las concepciones que tienen los docentes sobre ésta como parte de un proceso de enseñanza y aprendizaje. De Lera y Deulofeu (2014) en su artículo, relacionan los conocimientos y las creencias sobre resolución de problemas con la formación inicial de cada etapa educativa y con la experiencia docente. Los resultados obtenidos ponen de manifiesto, por un lado, la necesidad de dar en la formación inicial de maestros de primaria un mayor énfasis en el conocimiento del contenido matemático, y por el otro, la necesidad de una formación continuada para profesores tanto de educación primaria como, especialmente, de secundaria en el ámbito didáctico.
Como hemos evidenciado, muchos trabajos están centrados en las concepciones que manejan los docentes con respecto a una metodología de clase o la RPM, pero pocos trabajos se centran en los conocimientos, actuaciones o reflexiones que debe tener o hacer un profesor sobre la enseñanza.
1.5.2 Conocimiento de contenido pedagógico (CCP)
Por otra parte, Lurduy (2013) desarrolla una investigación, en la cual caracteriza elementos del concomimiento de contenido didáctico y pedagógico2, en este trabajo, se
consolida una teoría de lo que los profesores realizan en sus procesos de estudio con respecto al diseño, gestión y evaluación en un programa de formación de profesores. Este autor, desarrolla una conceptualización en la que caracteriza el CCP en nuestro contexto, estableciendo tres objetos meta-didácticos: análisis, reflexión y semiosis didáctica. De igual manera, caracteriza las competencias del profesor de matemáticas (querer-poder-deber/ser-actuar-saber) a partir de los sistemas de prácticas implementados por los estudiantes para profesor.
1.5.3 Enfoque ontosemiótico
En el cuaderno de investigación rutas de estudio y aprendizaje en el aula, el caso de las matemáticas se encuentra un artículo escrito por Godino (2005) en el cual presenta el enfoque ontológico-semiótico de la cognición e instrucción matemática, esté proporciona herramientas conceptuales y metodológicas para plantear y abordar problemas de investigación en didáctica de las matemáticas. Éste surge de ver que la relación del triángulo didáctico es insuficiente para describir la complejidad de las relaciones entre los agentes de la didáctica de las matemáticas. Desde éste enfoque se destaca la articulación de las facetas institucionales y personales del conocimiento matemático.
En este sentido, Rubio y Font (2008) presentan un artículo en el cual se desarrolla el análisis de un taller realizado por los autores a un grupo de profesores para evidenciar los beneficios del EOS al realizar un análisis didáctico. El taller consiste en analizar un episodio transcrito de una clase en una escuela de España, sobre un problema de proporcionalidad donde se plantean preguntas sobre lo que ha ocurrido y el porqué. Se propone el análisis desde 4 de los 5 niveles que menciona el EOS: 1. Identificación de prácticas matemáticas, 2. Identificación de objetos y procesos matemáticos, 3. Descripción de interacciones en torno a conflictos, 4. Identificación de normas y 5. Valoración de idoneidad interaccional del proceso de estudio. Con este trabajo logra destacar la
importancia que tienen el reflexionar sobre los procesos de enseñanza y aprendizaje como docentes.
Por esta misma línea, Font (2005) realiza un análisis didáctico desde la perspectiva del EOS sobre un proceso instruccional de la derivada, inicialmente desarrolla algunas ideas principales del enfoque, para posteriormente analizarlas en la actividad. Algunos de las ideas desarrolladas son: objetos institucionales; objetos personales; significado de un objeto; practica matemática, en el cual distingue tres tipos de prácticas: prácticas operativas o actuativas, prácticas discursivas o comunicativas, prácticas regulativas o normativas. Se debe pensar en las prácticas como una acción compuesta en la que prima una de las tres mencionadas anteriormente; otros aspectos a los cuáles hace referencia son: significado Institucionales: de referencia, pretendido, implementado, evaluado y significado personal: global, declarado y logrado.
En nuestra investigación estaremos haciendo referencia a las prácticas que realiza el profesor con respecto a la resolución de problemas didácticos (practica didáctica) (Lurduy, 2012), al analizar ésta, vamos a estudiar los objetos didácticos que se evidencian en un proceso de enseñanza, en este contexto estaremos hablando del diseño, gestión y evaluación como el trabajo que debe desarrollar el docente cuando se encuentra inmerso en un proceso de estudio.
En otra investigación, Bayona (2014) describe los significados (institucionales) del profesor sobre el saber matemático función lineal. En este trabajo, el autor a partir de una secuencia de actividades, analiza utilizando como herramienta teórica el EOS (significados, tipos de significado, elementos de significado) y la interpretación realizada por Lurduy (2013) para establecer las categorías de análisis y de esta manera, poder caracterizar los elementos del diseño, gestión y evaluación puesto en juego por el profesor.
A su vez Pulido (2015) caracteriza un ambiente educativo desde las practicas matemáticas en una institución de innovación por medio de elementos del EOS (sistema de prácticas) y desde Lurduy (2013) el sistema didáctico y aspectos metodológicos como el uso de algunas herramientas de análisis textual: TFD (teoría fundamenta en los datos), AST (análisis semióticos de textos) y ACC (Análisis cualitativo del contenido). Estos elementos teóricos metodológicos le permitieron sistematizar la experiencia educativa en donde se relaciona el ambiente educativo, la innovación, las interacciones y practicas
1.5.4 Conocimiento de contenido didáctico: diseño, gestión y evaluación
Al desarrollar una investigación que enfatiza en el profesor, es importante tener en cuenta que la labor del docente es un acción compleja dentro de la educación y que los proceso de investigación permiten o intentan valorarlo y dar argumentos que lo identifiquen como esencial y complementario en los procesos de enseñanza y aprendizaje como lo afirma Rodríguez, Rojas y Tejero (2006).
Como también lo afirma Castillo, González y Monroy (2006) que las investigaciones en educación permiten generar cambios e innovaciones en los procesos de enseñanza y aprendizaje, transformando las prácticas didácticas y el desarrollo del rol profesional del profesor cambiando su visión: de ser un sujeto que transmite únicamente conocimientos, a una persona que le posibilita a sus estudiantes un aprendizaje significativo a través de la resolución de problemas matemáticos, llevándolos desde lo concreto hacia lo abstracto y formal del conocimiento.
Por ello es importante revisar propuestas de investigación que hayan abordado la gestión desde el enfoque didáctico que vamos a desarrollar como lo es la propuesta de Triana y Castro (2009) donde su objeto de estudio es la gestión y la evaluación utilizando como modelo de análisis didáctico el enfoque ontosemiótico y esto lo desarrollan con el fin de describir los aspectos importantes a tener en cuenta en el proceso de gestión y evaluación desde las ideas de Giménez.
En la Universidad Distrital, el grupo de investigación CRISALIDA-UD (2014) desarrolla una investigación que tiene como objetivo indagar las conceptualizaciones que se desarrollan en el marco de un programa de formación inicial de profesores, de igual manera evidencias del CCD y CCP en las prácticas didácticas de los estudiantes para profesor de matemáticas.
En este trabajo se plantea como referencia la investigación desarrollada por Lurduy (2013), la conceptualización sobre el CCD y los elementos de significado de cada uno de los objetos didácticos (diseño, gestión y evaluación). También se plantea desde la articulación de elementos que se disponen en la teoría fundamentada en los datos (TFD) y el análisis cualitativo del contenido (ACC); se logra una caracterización de los elementos de significado de los objetos didácticos expresados en unidades didácticas por estudiantes para profesores de matemáticas.
1.6 Enfoque de investigación
1.6.1 Investigación cualitativa; descriptiva y exploratoria
Se aborda el problema de los significados de los profesores sobre la RPD desde la investigación cualitativa tomando en consideración lo que Vasilachis (2006) afirma sobre esta metodología:
Emplea métodos de análisis y de explicación flexible y sensible al contexto social en el que los datos son producidos. Se centra en la práctica real, situada, y se basa en un proceso interactivo en el que intervienen el investigador y los participantes. (p.29)
La investigación cualitativa se centra en el estudio de la realidad del sujeto investigado (profesores), describiéndola a partir de las palabras dichas y escritas, es ahí donde interesa identificar los significados que el sujeto manifiesta sobre la resolución de problemas didácticos. En este sentido entendemos que la investigación cualitativa estudia aspectos de la cotidianidad de los individuos, su relación y comportamiento con otros y con determinados contextos.
Esta metodología de investigación, tiene consigo algunas características que son importantes señalar teniendo en cuenta los objetivos de nuestra propuesta. Por ejemplo, está centrada en la forma como personas comprenden el mundo, por sus significados, por su experiencia y por su conocimiento con respecto a éste. A su vez “intenta comprender, hacer al caso individual significativo en el contexto de la teoría, provee nuevas perspectivas sobre lo que se conoce, describe, explica, construye y descubre” (Vasilachis, 2006, p. 29).
Otra característica de la investigación cualitativa, es el hecho de considerarse de forma holística,
En este sentido, entendemos que no podemos reducir la investigación exclusivamente al profesor, es necesario tomar en consideración otros elementos que se ven involucrados en los procesos de estudio y que son complementos de él.
1.6.2 investigación exploratoria – descriptiva
Comencemos por evidenciar algunas características de estos dos tipos de investigación, identificando como éstas cumplen con algunas de las especificaciones que permiten hacer visible la pertinencia con nuestra propuesta de investigación y en lograr nuestros objetivos.
Investigación Exploratoria: Este tipo de investigación es aquella que se efectúa sobre
un tema u objeto que se puede considerar desconocido, o de poco estudio en una comunidad, es decir que la investigación brindará una visión aproximada de lo que es el objeto (Arias, 2006). En ésta, se dispone de una gran variedad de técnicas para la recolección de la investigación: revisión bibliográfica especializada, entrevistas y cuestionarios, observación participante y no participante y seguimientos de casos.
Este mismo autor define la investigación descriptiva como la caracterización de un fenómeno o individuo con respecto a una situación y de esta manera poder determinar una posible estructura o comportamiento del objeto o sujeto investigado. El propósito que tiene esta investigación, entre otros, es: Identificar formas de conducta, actitudes de las personas que se encuentran en el universo de investigación y establecer comportamientos concretos.
1.6.3 Fases de la investigación
Para la investigación se toma como referencia a Álvarez, San Fabián (2012), quienes proponen unas fases para el desarrollo del trabajo, que serán descritas a continuación, es importante señalar que estas fases se complementan, ya que la coherencia que debe seguir este trabajo se da en la triangulación de los tres momentos propuestos:
Fase Pre activa
• Diseño del problema, preguntas y objetivos, los fundamentos epistemológicos que enmarcan los componentes del problema, estos fundamentos deben caracterizar y describir el marco teórico y metodológico en los que se basará la investigación
1. Planteamiento del problema
2. Pregunta de Investigación y objetivos
3. Revisión de literatura para el diseño de marco teórico y metodológico.
Fase Interactiva
• Corresponde a la acciones de recoger, reducir, sistematizar y relacionar la información recogida por medio de diversas técnicas. En esta fase se realiza la constitución y transformación de las unidades de análisis las cuales se transforman acorde a unos análisis de sitio y categorías de análisis de la información.
4. Obtención de los datos 5. Transcripción de los datos
6. Análisis global (Confrontación de los datos con la información recogida)
Fase Post activa
• Elaboración del informe final, a partir de un análisis profundo de las unidades de análisis sistematizadas y el resultado de la triangulación de las mismas.
7. Análisis profundo (Confrontación de los datos con los criterios y categorías de análisis)
1.6.4 Población y descripción de trabajo de campo
La investigación tomará como población un conjunto de profesores de matemáticas dentro de la ciudad de Bogotá en diferentes niveles de escolaridad (primaria, secundaria, superior). Primero se desarrolla una encuesta a un grupo de docentes que cumplen con las características mencionadas en la descripción de la población, a partir de los resultados encontrados se realiza un análisis de texto por medio de algunas herramientas que nos brinda la TFD, ACC y AST, en este sentido, nos permitirá identificar que la información que se tiene es suficiente para el abordaje de la investigación (unidades de muestreo).
1.7 Cronograma
A continuación evidenciamos el cronograma propuesto para el desarrollo de la investigación, en él, observamos los tiempos que proponemos para cada uno de los momentos de la investigación:
Año 2014 2015 2016
Meses 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6
Diseño del anteproyecto
X X X X
Diseño de la investigación
X X X X X X X
Marco teórico y metodológico
X X X x x X x x x X x x
Categorías, Instrumentos y
metodología
X X x X x x x X x x
Trabajo de campo
X x x X x x x
Análisis de los datos recogidos
X X X x x x x
Revisión Capítulos
X X X X X X
1.8 Reflexiones y conclusiones
Se logra consolidar la necesidad de investigar sobre el significado de la resolución de problemas didácticos en docentes de matemáticas, debido a la falta de investigaciones centradas en este aspecto y de cómo esto hace parte de las posibles caracterizaciones de la práctica didáctica, a su vez como esta caracterización repercute en los procesos de enseñanza y aprendizaje.
Los elementos teóricos descritos en este capítulo a partir de unos antecedentes, son los aspectos relacionados con el conocimiento de contenido pedagógico, conocimiento de contenido didáctico, significados, práctica, resolución de problemas matemáticos, resolución de problemas didácticos; hemos podido evidenciar que al ser un tema poco explorado, es necesario construir un marco teórico complejo, denso y pertinente que nos permita realizar la caracterización de esos significados de los profesores, también hemos evidenciado en el EOS una herramienta que puede brindar elementos importantes para la construcción de dicho marco.
CAPÍTULO 2. MARCO TEÓRICO - METODOLÓGICO
En este capítulo se evidenciará la ruta teórica-metodológica desarrollada por nosotros para el proceso de investigación. Tomando en consideración los objetivos planteados, se hace evidente la conceptualización desarrollada en cada uno de los componentes que se quieren abordar, inicialmente tomando en consideración el conocimiento de contenido pedagógico (CCP), asumiendo como referencia a diferentes autores como Shulman y Godino quienes han realizado aportes significativos en nuestras comprensiones y conocimientos sobre la didáctica de las matemáticas y la interpretación y conceptualización desarrollada por Lurduy. De igual manera realizamos una descripción de los descriptores del CCP desde nuestra interpretación, de lo que Godino denomina las facetas del conocimiento didáctico-matemático del profesor.
Por otra parte, desarrollamos una interpretación del conocimiento de contenido didáctico (CCD) del trabajo de Lurduy y de sus objetos-procesos diseño, gestión y evaluación, así mismo como las relaciones didácticas que se dan en un proceso de estudio partiendo del tetraedro didáctico.
Nosotros nos hemos enmarcado en la teoría del EOS, realizamos una descripción de los elementos que ésta nos aporta al desarrollo de la investigación y de igual manera los aportes de la semiótica de Peirce y la interpretación que desarrolla Lurduy sobre ésta en la didáctica de las matemáticas para la caracterización de las practicas desarrolladas por los profesores.
2.1 Conocimiento de contenido pedagógico-CCP.
Entendemos que desde la perspectiva desarrollada por Shulman (1987, citado en Salazar 2005, Bolívar, 2005) y en parte del trabajo de Godino (2009), se habla sobre el conocimiento pedagógico del contenido (PCK por su siglas en inglés), cuya conceptualización es diferente a la que se desarrolla en el trabajo de Lurduy (2013), quien habla del conocimiento de contenido pedagógico, lo cual genera una manera diferente de pensar con respecto al conocimiento pedagógico al que nos referimos en este trabajo, en el cual incluimos elementos teóricos propuestos por los dos primeros autores, puesto que hace referencia a elementos del conocimiento del profesor de matemáticas al momento de desarrollar un proceso de estudio.
En lo que sigue, realizamos una descripción de los elementos del PCK que son posibles de identificar, describir y caracterizar dentro de nuestra e investigación, de igual manera evidenciamos la caracterización del CCP propuesta por Lurduy (2013) y que hemos adaptado para nuestro trabajo.
Desde las últimas décadas se ha promulgado la investigación sobre el pensamiento y comprensión cognitiva de los profesores con relación a la enseñanza, es el caso de Shulman, que a partir de 1985 hace énfasis en la necesidad de investigar y estudiar este aspecto que ha mencionado como el programa perdido en la formación de profesores. Esta necesidad de profundizar en este campo surge del hecho que:
Toda actividad educativa tiene como respaldo una serie de creencias y teorías implícitas que forman parte del pensamiento del docente y que orientan sus ideas sobre el conocimiento, su enseñanza y sobre cómo se construye este o bien cómo se aprende. (Salazar, 2005, p. 2)
debe tener un profesor para la enseñanza: conocimiento de la materia, conocimiento pedagógico general, curricular, de los alumnos, de los contextos educativos, fines y
valores educativos, y conocimiento didáctico del contenido.
Es importante señalar que algunos colaboradores de la investigación de Shulman, han redefinido estas categorías, tal es el caso de Grossman (1990, citado en Salazar, 2005), quién ha reducido a cuatro áreas generales: conocimiento pedagógico general, el conocimiento del contenido, el conocimiento de contenido pedagógico y el conocimiento del contexto.
En este sentido, el conocimiento pedagógico de contenido es la categoría que toma mayor relevancia en el trabajo de Shulman, ya que como lo menciona Bolívar (2005) resulta ser una amalgama entre el conocimiento de la materia y el conocimiento de la didáctica que tiene el profesor (Shulman, 1987 citado en Salazar, 2005, Bolívar, 2005), esto partiendo de que por lo general, se observa estos dos tipos de conocimientos de manera independiente. El conocimiento pedagógico de contenido
Implica comprensión de lo que significa la enseñanza de un tópico particular, así como de los principios, formas y modos didácticos de representación. Parece que este conocimiento (CCD) se construye con y sobre el conocimiento del contenido (CM), conocimiento pedagógico general y conocimiento de los alumnos. (p.7)
3) Conocimiento de los propósitos o fines de la enseñanza de la materia: concepciones de lo que significa enseñar un determinado tema (ideas relevantes, prerrequisitos, justificación, etc.).
En este sentido, el conocimiento pedagógico de contenido, no es solamente un constructo teórico, por el contrario, es un conocimiento que surge de la misma práctica del profesor, “Así pues, el profesor debe tener un amplio repertorio de formas o alternativas de representación, algunas de las cuales derivan de la investigación, mientras que otras se originan de la práctica docente” (Pinto y González, 2008, p.5). Es a partir de la práctica, donde el profesor es capaz, con apoyo de su conocimiento disciplinar y pedagógico, mejorarlas, para lograr desarrollar diferentes estrategias que faciliten el aprendizaje de los estudiantes.
Shulman (1987, citado en Salazar, 2005) desarrolla un modelo denominado modelo de razonamiento y acción pedagógica, el cual justifica el proceso de reflexión para lograr la transformación del contenido en enseñable. Tomando en consideración los tres tipos de conocimientos descritos anteriormente, hemos realizado nuestra propia interpretación del modelo:
Como vemos en la Imagen 1, para lograr la transformación del contenido a enseñable, es necesario la integración de los tres conocimientos descritos anteriormente, esta integración
Conocimiento de las matemáticas
Transformación del contenido a enseñable
Conocimiento de la didáctica específica
Conocimiento de los alumnos
se da a partir de una relación que necesariamente debe ser tríadica, ya que como lo mencionan los autores, solo así es posible de lograr la transformación necesaria del contenido para que los estudiantes logren la comprensión del concepto matemático.
2.1.1 Subcategorías de análisis CCP. Descriptores.
En el desarrollo de estas investigaciones sobre el conocimiento del profesor, Godino (2009) establece un modelo que complementa y articula algunos de los modelos antes mencionados con seis facetas, que en nuestro caso los hemos reinterpretado como descriptores de las relaciones didácticas (ver 2.2 Conocimiento de Contenido didáctico (CCD). Categoría de análisis.), de esta manera estamos de acuerdo con Vásquez (2014) al afirmar que este modelo ofrece “…nuevas herramientas de análisis para el conocimiento didáctico-matemático del profesor” (p. 81).
Los trabajos desarrollados por diferentes autores, como los mencionados anteriormente, dice Godino (2009), incluye categorías muy generales para poder realizar un modelo del conocimiento del profesor de matemáticas, es por esta razón la pertinencia de desarrollar unas categorías más específicas que permitan estructurar este conocimiento. En dicho modelo se destacan las diferentes facetas y niveles de análisis de los procesos de estudio y del conocimiento del profesor.
Imagen 2. Niveles y facetas del conocimiento del profesor, fuente Godino (2009)
importante señalar que las otras facetas son los elementos que condicionan los procesos de enseñanza-aprendizaje. En este trabajo nos queremos centrar en los dos primeros niveles: prácticas y configuraciones, haciendo una descripción de las acciones realizadas por los profesores para resolver problemas de tipo didáctico, así como la descripción de los objetos que intervienen en dichas prácticas
En el modelo desarrollado por Godino (2009), se puede evidenciar las seis facetas que se deben considerar al momento de identificar, analizar, evaluar el conocimiento del profesor: epistémica, cognitiva, afectiva, interaccional, mediacional y ecológica; éstas deberían ser posibles de visibilizar en los procesos de estudio que desarrolla el profesor en las aulas de clase en las cuales labora. A continuación hacemos referencia a la interpretación de cada una de las facetas desarrolladas en este modelo.
Epistémica: Conocimientos matemáticos relativos al contexto institucional en que se
realiza el proceso de estudio y la distribución en el tiempo de los diversos componentes del contenido (problemas, lenguajes, procedimientos, definiciones, propiedades, argumentos).
Cognitiva: Conocimientos personales de los estudiantes y progresión de los
aprendizajes
Mediacional: Recursos tecnológicos y asignación del tiempo a las distintas acciones y
procesos.
Interaccional: Patrones de interacción entre el profesor y los estudiantes y su
secuenciación orientada a la fijación y negociación de significados
Afectiva: Estados afectivos (actitudes, emociones, creencias, valores) de cada alumno
con relación a los objetos matemáticos y al proceso de estudio seguido.
Ecológica: Sistema de relaciones con el entorno social, político, económico,... que
Imagen 3. Relación PCK Godino y Shulman, fuente propia.
En la Imagen 3, observamos nuestra interpretación de como los tres componentes principales del conocimiento pedagógico de contenido, son posibles a partir de los seis elementos de significado propuestos por Godino (2009), de esta manera para hablar del conocimiento de los alumnos, de la didáctica y del saber matemático, es necesario, describirlos en términos de los seis elementos descritos3.
2.2.2 Objetos metadidácticos: Análisis, reflexión y semiosis didáctica, categorías de análisis.
Desde la investigación desarrollada por Lurduy (2013) se consolida una interpretación del conocimiento de contenido pedagógico (CCP), en donde, a diferencia de los trabajos desarrollados por Godino (2009) y Shulman (1987, citado en Salazar, 2005 y Bolívar, 2005) el énfasis de la investigación se centra en lo pedagógico, pues nosotros consideramos que el énfasis del PCK se realiza en el contenido matemático.
La propuesta de este autor, se desarrolla a partir de tres objetos meta-didácticos, que desde la interpretación y finalidades de nuestro trabajo, entendemos como los macro-componentes del CCP, estos elementos se dan de manera complementaria; en palabras del autor:
Los objetos meta-didácticos análisis, reflexión y semiosis didáctica son complementarios entre sí, por lo tanto creemos que ellos se suponen los unos a los otros y se manifiestan en diferente grado con énfasis distintos y de acuerdo con los objetos-procesos didácticos de diseño, gestión y evaluación. (Lurduy, 2013, p. 89)
Esta teoría propone, a cada uno de los componentes, una matriz de elementos de significados, consideramos necesario interpretar y definir estas categorías para la pertinencia de nuestros objetivos. A continuación evidenciamos la matriz del análisis didáctico, en donde se describen detalladamente los elementos de significado.
En la Tabla 1, observamos los diferentes elementos de significado del componente análisis didáctico, entendemos con el autor, que esos se desarrollan para la construcción teórica de las competencias del profesor de matemáticas, de igual manera, la matriz se puede observar la relación tríadica entre los diferentes componente (a partir de los colores), en donde se observa que dentro del análisis no se desconoce las relaciones análisis-análisis, análisis-reflexión y análisis-semiosis.
Tabla 2. Componentes CCP
ANÁLISIS DIDÁCTICO (AD)
Consideración de los factores que condicionan los procesos de estudio matemáticos-didáctico de un contenido curricular.
Consideración o mención de dichos factores.
REFLEXIÓN DIDÁCTICA (RD)
Es la acción de pensar y comprender la acción didáctica en el aula centrada en las acciones, relaciones e interacciones que permitan aportar elementos para la construcción de significado.
Observación Reacción y reflexión.
SEMIOSIS DIDÁCTICA (SD)
Es la construcción de significados, sobre
las acciones
didácticas, para construir algun tipo de conocimiento sobre ésta y proponer innovaciones en los procesos de estudio didáctico matemático o practias didácticas. Intervenir, comprender y transformar.
La Tabla 2 sintetiza cada uno de los componentes, de acuerdo a las características y objetivos de nuestra investigación, observamos que en el análisis entran a jugar la toma de conciencia de algunos factores, que implícita o explícitamente se encuentran en el desarrollo de los procesos de estudio y de qué manera son considerados dentro de la planeación, gestión y evaluación de los mismos.
Los objetos meta-didácticos son nuestras categorías de análisis con respecto al CCP, este trabajo busca caracterizarlos en un nivel general con relación a los objetos procesos diseño, gestión y evaluación, los elementos de significado los proponemos como descriptores de las relaciones didácticas profesor-saber, profesor-entorno y profesor-estudiante (ver capítulo 3).
2.2 Conocimiento de Contenido didáctico (CCD). Categoría de análisis.
Para poder hablar de los componentes que se desarrolla sobre el CCD y en particular sobre las características del objetivo en el que buscamos caracterizar los significados sobre la resolución de problemas, es imprescindible identificar qué es lo que entendemos por problemas didácticos.
Son aquellos problemas que debe abordar el profesor para poner en juego su conocimiento pedagógico y didáctico en el desarrollo de los procesos de estudio en los cuales se ve involucrado: “uno referido de las reflexiones entre lo educativo y lo formativo; el otro en la reflexiones en torno a lo enseñable” (CRISALIDA-UD, 2014, p. 61), por esta razón debemos también indagar sobre el CCD, siendo esta una teoría en desarrollo sobre la cognición del profesor (Pinto y González, 2008), esto surge del interés por establecer los conocimientos y competencias para ser un docente proficiente. 4
De esta manera, la resolución de problemas didácticos está determinado por la forma en la cual el profesor manifiesta ese conocimiento pedagógico y didáctico en los procesos de estudio en los cuales se ve involucrado.
El EOS como un sistema teórico para la investigación en educación matemática nos brinda unas categorías de análisis sobre los conocimientos del profesor, estas categorías a
su vez son herramientas para identificar y clasificar los conocimientos requeridos para la enseñanza de las matemáticas (Godino, 2009) desde los aspectos que aborda el CCP Y CCD
La propuesta del sistema didáctico de Lurduy (2012) nos permite identificar aspectos del CCD y CCP, tomando en consideración los cuatros polos que intervienen en los procesos de estudio, como se evidencia en la Imagen 4.
Imagen 4. Sistema didáctico, fuente Lurduy (2012)
Se entiende por la descripción del problema (ver capítulo 1) que la investigación está centrada en el análisis de los significados que expresan algunos profesores con relación a la resolución de problemas didácticos, es por esta razón que se hace necesario abordar algunos elementos relevante en dicho objetivo, principalmente debemos destacar que es necesario abordar la práctica didáctica como el actuar del profesor en los procesos de estudio, adoptaremos la definición que propone Lurduy (2012):
La práctica didáctica refiere a toda expresión, actuación o regulación que efectúa un profesor para resolver problemas didácticos, comunicar a otros su solución, validarla o generalizarla en otros contextos, problemas o interacciones didácticas. (p.11).
Imagen 5. Triada de objetos-procesos didácticos, fuente Lurduy (2013)
En la Imagen 5 observamos la relación tríadica entre los objetos procesos que componen el CCD, reconocemos, que dentro de cada proceso, existe de forma implícita una relación con los otros dos procesos y que no se pueden ver de forma individual. A continuación se describen cada uno de los objetos didácticos:
Diseño: Sistema de prácticas discursivas o de discursos propositivos que expresa el
profesor en la configuración del proceso de estudio, tomando como base la resolución de problemas como metodología de clase,
Como para implementación de situaciones y secuencias didácticas, representación de la posible situación, secuencia y actividad expresada en lenguaje, situaciones problémicas y argumentos, justificaciones (posibles acciones textualizadas de forma gráfico-textual representación icónica.5 (Lurduy, 2013 p. 77)
Gestión: Sistema de prácticas discursivas-operativas en las acciones y procedimientos
reales que se expresa tanto en la implementación del proceso de estudio diseñado como en la ejecución de las situaciones, secuencias y actividades didácticas en términos de la utilización y relación de los procedimientos (acciones textualizadas en forma de representación indicial).
5En la sección 2.4 Perspectiva semiótica: Ch. Peirce: niveles de expresión semiótica, se habla de los niveles de expresión
Evaluación: Sistema de prácticas discursivas-operativas-normativas que se expresa tanto en la implementación como en la construcción de significado en y del proceso de estudio, con los conceptos, argumentos, normas y reglas de actuación para la valoración de las acciones de diseño, gestión y la toma de decisiones sobre la situación, secuencias y actividades didácticas de referencia (discursos, acciones y normas textualizadas en forma de representaciones simbólicas).
2.2.1 Polos didácticas. Subcategorías del CCD-CCP
El tetraedro didáctico desde nuestra investigación, toma al profesor desde las expresiones, actuaciones y regulaciones que desarrolla en su práctica didáctica. Pero esta centralización no significa que la práctica didáctica no esté compuesta por otros entes complejos, Lurduy (2012) afirma acerca de la complejidad que tiene cada polo del tetraedro didáctico:
Para nosotros, en el tetraedro se configuran cuatro subsistemas (unidades complejas) ligados a sus respectivas díadas de relaciones complejas, que posibilitan la emergencia de triadas de relaciones, que determinan planos de observación y análisis. (p. 5)
Imagen 6. Relaciones didácticas, fuente propia.
En la Imagen 6 observamos que el profesor es el centro de la investigación, pero a su vez reconocemos que el profesor se relaciona de manera compleja con los diferentes polos del tetraedro, en el capítulo 3 evidenciamos de qué manera se dan las relaciones didácticas y cuáles son los descriptores que se evidencian en cada una de ellas.
En el polo profesor identificamos las características, acciones, regulaciones que tiene el profesor durante el proceso de estudio (diseño, gestión y evaluación), en el polo estudiante
los elementos que corresponden al aprendizaje de los estudiantes, motivaciones, intereses, dificultades; el polo saber los elementos correspondientes al saber matemático o didáctico que toma en consideración el profesor, recursos didácticos, momentos de clase, el polo entorno los elementos institucionales como estándares, lineamientos, plan de estudios, roles.
2.3 Enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática (EOS)
Es necesario identificar un enfoque que nos permita reconocer la didáctica de las matemáticas como un campo de investigación y nos permita evaluar los significados expresados por los profesores sobre la resolución de problemas didácticos. En este sentido Godino, Batanero, Font (1991 - 2012) presentan el enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemática (EOS). En este enfoque, se evidencian herramientas teóricas suficientes para poder realizar una investigación que aborde los procesos de significación partiendo de los sistemas de prácticas realizados por una persona al abordar un problema matemático o didáctico. A continuación se presentan las herramientas del EOS utilizadas en
