software de geometría dinámica
José Luis Calderón García
Universidad Distrital Francisco José De Caldas
Nota del autor
Tesis Modalidad Profundización elaborada como requisito para optar al título de Magister
en Educación con Énfasis en Matemáticas, bajo la Dirección del Dr Martín Acosta G de la
Facultad de Ciencias y Educación.
Correspondencia: [email protected]
Dedicatoria
A mi compañera y socia por excelencia en esta vida, Nidia, por su apoyo y compromiso, en
este viaje que hacemos juntos en pos del crecimiento intelectual y espiritual. Gracias, mi Amor
A Daniel por su valiosa participación en el sondeo de las actividades, Gracias, Hijo.
A Dios por darme la energía necesaria para llevar a cabo esta nueva etapa de formación profesional.
A mis estudiantes que son el resorte que me impulsa a seguir avanzando.
Contenido
1 Resumen. ... 10
2 Introducción ... 11
3 Pregunta de investigación ... 15
4 Objetivos ... 15
4.1 Objetivo general. ... 15
4.2 Objetivos específicos. ... 15
5 Metodología ... 16
5.1 Diseño de investigación. ... 16
5.1.1 Ingeniería didáctica. ... 16
6 Marco teórico ... 19
6.1 Teoría de las situaciones didácticas ... 19
6.1.1 Aprendizaje por adaptación... 19
6.1.2 Situación didáctica y situación a-didáctica ... 21
6.1.3 CarMetal como medio ... 23
6.2 Razonamiento ... 25
6.2.1 Razonamiento inductivo. ... 25
6.2.2 Razonamiento deductivo... 29
7 Análisis preliminares ... 32
7.1.3 El rol del software de geometría dinámica en el proceso de construcción del
conocimiento ... 35
7.2 Análisis didáctico ... 38
7.2.1 Enseñanza de la geometría... 38
7.2.2 Aprendizaje de la Geometría. ... 39
8 Análisis a priori actividades paralelogramo ... 42
8.1 Actividad 1 ... 42
8.1.1 Primera parte. ... 42
8.1.2 Segunda parte. ... 48
8.2 Actividad 2. ... 51
8.2.1 Primera parte. ... 52
8.2.2 Segunda parte. ... 52
8.2.3 Tercera parte. ... 58
8.3 Actividad 3. ... 61
8.3.1 Primera parte. ... 62
8.3.2 Segunda parte. ... 62
8.3.3 Tercera parte. ... 66
8.4 Actividad 4 ... 68
8.4.2 Segunda parte. ... 71
9 Pilotaje ... 73
9.1 Actividad 1 ... 73
9.1.1 Primera parte. ... 73
9.1.2 Segunda parte. ... 76
9.2 Actividad 2 ... 78
9.2.1 Primera parte. ... 78
9.2.2 Segunda parte. ... 80
9.2.3 Tercera parte. ... 83
9.3 Actividad 3 ... 84
9.3.1 Primera parte. ... 84
9.3.2 Segunda parte ... 85
9.3.3 Tercera parte. ... 88
9.4 Actividad 4 ... 90
9.4.1 Primera parte. ... 90
9.4.2 Segunda parte. ... 92
10 Conclusiones ... 94
11 Reflexiones ... 98
Figura: 1 Aprendizaje por adaptación ... 20
Figura: 2 Situación Didáctica ... 22
Figura: 3 Razonamiento Inductivo ... 27
Figura: 4 Razonamiento Deductivo ... 29
Figura: 5 Construcción Propuesta ... 43
Figura: 6 Construcción Estudiantes ... 43
Figura: 7 Estrategia de Validación ... 44
Figura: 8 Construcción de rectas que contienen los lados del cuadrilátero ... 45
Figura: 9 Estrategia de Validación ... 46
Figura: 10 Construcción paralelogramo estudiantes ... 48
Figura: 11 Descripción de la Construcción propuesta por el Software ... 49
Figura: 12 Descripciones propuestas ... 50
Figura: 13 Construcción Esperada ... 52
Figura: 14 Construcción con medida fija ... 53
Figura: 15 Estrategias de Construcción a) ... 55
Figura: 16 Estrategias de Construcción b) ... 56
Figura: 17 Estrategias de Construcción c) ... 57
Figura: 18 Validación mediante herramienta Test. ... 57
Figura: 19 Construcciones para verificar ... 59
Figura: 20 Cuadriláteros para Anticipar ... 61
Figura: 21 Construcción Esperada ... 62
Figura: 23 Intento de construcción ... 65
Figura: 24 Construcción para verificar ... 67
Figura: 25 Construcción para Anticipar ... 68
Figura: 26 Segmentos propuestos ... 69
Figura: 27 Intento de construcción ... 70
Figura: 28 Construcción esperada ... 70
Figura: 29 Intento de construcción ... 71
Figura: 30 Estrategias de Construcción ... 72
Figura: 31 Validación por Arrastre ... 73
Figura: 32 Validación mediante rectas que contienen los lados... 74
Figura: 33 Validación perceptual ... 75
Figura: 34 Uso de la herramienta recta paralela ... 75
Figura: 35 Paralelogramo construido por estudiante ... 76
Figura: 36 Descripción construcción propuesta por el software ... 77
Figura: 37 Descripción construcción propuesta como actividad ... 77
Figura: 38 Construcción propuesta por el estudiante ... 78
Figura: 39 Intento de Acomodación ... 79
Figura: 40 Estrategia de verificación ... 79
Figura: 41 Validación perceptual ... 80
Figura: 42 Uso de herramienta circulo de radio fijo ... 81
Figura: 43 Validación por Arrastre ... 81
Figura: 44 Aproximación a paralelogramo ... 82
Figura: 45 Validación con herramienta test ... 82
Figura: 49 Estrategia de construcción con ángulos ... 86
Figura: 50 Conjetura ángulos opuestos ... 87
Figura: 51 Revisión construcción ángulos opuestos ... 88
Figura: 52 Verificación medida ángulos ... 88
Figura: 53 Anticipación medida ángulos interiores ... 89
Figura: 54 Construcción Polígono ... 90
Figura: 55 Conjetura punto medio ... 91
Figura: 56 Aproximación punto medio ... 91
Figura: 57 Intento construcción exacta ... 92
Figura: 58 Construcción exacta punto medio ... 92
Figura: 59 Verificación construcción diagonales ... 93
1 Resumen.
En este trabajo se presenta el diseño de una secuencia de actividades desde el enfoque de la teoría de situaciones de Brousseau que aporten al currículo de matemáticas, especialmente a la enseñanza de la geometría. Las actividades buscan a través de la experimentación incentivar el razonamiento inductivo como proceso de reconocimiento y generalización de propiedades, para paulatinamente adentrase en procesos de verificación, anticipación y justificación de propiedades, propios del razonamiento deductivo. Se propone la mediación del software de geometría dinámica (SGD) CarMetal, con el fin de resaltar sus ventajas como medio facilitador con el cual los estudiantes pueden interactuar validando sus acciones gracias a las retroacciones del mismo, posibilitando un aprendizaje por adaptación.
Palabras Clave: software de geometría dinámica, aprendizaje por adaptación, geometría
las nuevas tecnologías. En clase es usual ver a los estudiantes utilizar, por ejemplo la
calculadora graficadora, escribir la fórmula de una función para observar en la pantalla la gráfica
de la misma, ampliarla o reducirla con gran exactitud y en tiempo record. Este hecho contrasta
con lo complejo que puede ser para el profesor representar ese mismo objeto en el tablero,
tratando de hacerlo lo mejor posible.
El hecho de que una calculadora o software realice procesos de representación de manera
rápida y precisa, invita a reconsiderar su rol en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Sin
embargo, muchos profesores experimentan temor o rechazo por el uso de las tecnologías,
probablemente debido a su desconocimiento de las mismas y su ignorancia de una forma
provechosa de incluirlas en el proceso de enseñanza. También hay quienes las rechazan porque
creen que perjudican el desarrollo de habilidades fundamentales (Gamboa, 2007).
No obstante, el estudiante llega a la escuela con referentes de la sociedad de la
información, de la era digital, y ello obliga al profesor a adaptar su discurso y sus estrategias
(Prensky, 2001). En efecto, uno de los impactos que se ha originado por el uso de las nuevas
tecnologías en la educación tiene que ver con la adaptación del sistema educativo; puesto que
cuando surge un cambio que modifica la manera como se comunican o se transmiten
conocimientos, surge una nueva forma de adquirir educación (Mendoza, 2006).
Sin embargo esta incursión de la tecnología en la escuela se ha asumido de una manera un
poco ingenua, y más como un elemento motivador para los estudiantes, que como una
herramienta que puede contribuir a transformar las prácticas pedagógicas del profesor (Acosta,
que exige tiempo de adaptación a los nuevos contextos tecnológicos y comunicativos, pero
especialmente grandes esfuerzos de formación permanente. Sin esta formación y
perfeccionamiento del profesor en el uso de las tecnologías, es muy difícil la integración de estas
al proceso de enseñanza y aprendizaje (Alemañy, 2009).
Por lo tanto, se hace necesaria la reflexión sobre cuáles son los atributos de las
tecnologías, que posibilitan una mejor enseñanza y aprendizaje. Para el profesor es inevitable
indagar por razones más específicas que permitan planificar un uso más racional de las
tecnologías en su clase.
Según Crawford (1994) el impacto de la tecnología en educación ha propiciado:
Un cambio en la forma de acceder al conocimiento, particularmente en matemáticas
donde la implementación de software abrió la posibilidad de sistematizar y modelar
distintos objetos matemáticos, originando avances en diferentes ramas de este saber.
Una nueva forma de aprendizaje; ya que la implementación de software en la clase de
matemáticas posibilita una nueva forma de cognición la cual todavía no es reconocida
en la escuela.
Finalmente, frente al ambiente escolar, afirma que la incursión de nuevas tecnologías
en la escuela afecta las relaciones de poder establecidas en el aula (cambiando la
ecología de la clase) ya que representan una fuente de autoridad que compite con la
del profesor.
Estos aspectos no son los únicos sobre los cuales debe reflexionar el profesor si quiere
integrar las tecnologías a su práctica, también debe considerar aspectos de carácter disciplinar.
Al respecto Acosta, Monroy y Rueda (2010) señalan que aunque se reconoce el potencial
enseñanza tiene implicaciones tanto en la actividad matemática como en la actividad didáctica y
se hace necesario un análisis cuidadoso de estas implicaciones para investigar sus efectos.
Además, señala la necesidad de un discurso teórico para describir, analizar y justificar las nuevas
prácticas didácticas que incluyen el uso del software.
Los aspectos anteriormente considerados muestran un panorama más amplio, acerca de lo
que implica para el profesor integrar las nuevas tecnologías a su clase, puesto que no es suficiente
con su disposición, sino que requiere considerar aspectos didácticos, disciplinares, así como de
formación.
Sin embargo, algunos investigadores en educación (por ejemplo Acosta, Laborde,
Mariotti, Arzarello, Camargo) conscientes de la complejidad de la implementación de la
tecnología en los proceso de enseñanza y aprendizaje particularmente en educación matemática,
han realizado experiencias con Software de Geometría Dinámica, brindando de esta forma
modelos y prácticas de referencia para los profesores.
En este sentido, este trabajo pretende contribuir a la solución de las dificultades que se
presentan al profesor en su intención de integrar la tecnología a la clase diseñando una secuencia
de actividades haciendo uso de software de geometría dinámica (SGD). Siguiendo una
metodología de ingeniería didáctica, se realiza un análisis epistemológico y didáctico de la
geometría escolar que permite identificar las características del software que tienen un mayor
potencial para influir en el aprendizaje de los estudiantes y en el proceso de enseñanza.
Asumiendo la orientación de la teoría de las situaciones didácticas, proponemos el diseño de
de los paralelogramos y contribuyen al desarrollo del razonamiento inductivo y del razonamiento
deductivo.
Las situaciones están dirigidas a estudiantes de grado séptimo y se enmarcan dentro del
campo disciplinar de la geometría euclidiana concebida como una ciencia de las construcciones
geométricas. Desde este punto de vista, la actividad geométrica se propone producir
construcciones exactas1 o justificar que una construcción es exacta.
La secuencia de actividades se realiza utilizando como medio de interacción el software
de geometría dinámica (SGD) CarMetal en el cual el comportamiento de los objetos es
geométrico; es decir, guarda una coherencia con el saber disciplinar que se quiere transmitir.
Se tiene como hipótesis principal el Software de Geometría Dinámica como medio en una
situación a-didáctica contribuye a promover el aprendizaje del razonamiento inductivo y el
razonamiento deductivo en la construcción de paralelogramos.
En consecuencia el objeto de estudio es el potencial del uso de software en el proceso de
enseñanza y aprendizaje del razonamiento inductivo y del razonamiento deductivo en la
construcción de paralelogramos.
proceso de enseñanza, para lograr un aprendizaje por adaptación de las propiedades de los
paralelogramos y promover el desarrollo del razonamiento inductivo y del razonamiento
deductivo en los estudiantes?
4 Objetivos
4.1 Objetivo general.
Diseñar una secuencia de actividades que aproveche el potencial del SGD para promover
el razonamiento inductivo y el razonamiento deductivo en estudiantes de séptimo grado, en el
contexto de la construcción de paralelogramos, propiciando el aprendizaje por adaptación.
4.2 Objetivos específicos.
Explicitar un modelo de actividades para promover el razonamiento inductivo y el
razonamiento deductivo en el que se privilegia la experimentación con figuras
dinámicas como estrategia para suscitar el aprendizaje por adaptación.
Referenciar las características del SGD que potencian el aprendizaje del razonamiento
inductivo y del razonamiento deductivo en el contexto de la construcción de
paralelogramos.
Diseñar situaciones a-didácticas que potencien los procesos de verificación,
anticipación y justificación de propiedades en los paralelogramos, fomentando el
5 Metodología
El propósito de este trabajo es diseñar una secuencia de actividades para promover el
razonamiento inductivo y el razonamiento deductivo en geometría; particularmente en el
contexto de la construcción de paralelogramos utilizando el software Carmetal. Dicho diseño se
realizará dentro del marco de la Ingeniería Didáctica como metodología de investigación, la cual
se caracteriza en primer lugar, por un esquema experimental basado en las realizaciones
didácticas en clase, es decir sobre la concepción, realización, observación y análisis de secuencias
de enseñanza (Artigue, Douady & Moreno, 1995).
5.1 Diseño de investigación.
5.1.1 Ingeniería didáctica.
Una Ingeniería Didáctica busca la validación de los modelos (situaciones), contrastando
las hipótesis del funcionamiento de la situación (análisis a priori) con el funcionamiento
efectivo de la situación en condiciones reales (análisis a posteriori). Por lo tanto el proceso
experimental de una ingeniería didáctica implica cuatro fases:
1º. Fase de Análisis Preliminar
2º. Fase de Diseño y Análisis a priori de las situaciones didácticas de la ingeniería
3º. Fase de experimentación y recolección de datos
4º. Fase de análisis a posteriori y evaluación.
En el presente estudio se realizará el análisis preliminar junto con el diseño y análisis a
Análisis epistemológico de los contenidos contemplados en la enseñanza.
Análisis de la enseñanza tradicional y sus efectos.
Análisis de las concepciones de los estudiantes, de las dificultades y obstáculos que
determinan su evolución.
Análisis del campo de restricciones donde se va a situar la realización didáctica
efectiva.
En el caso de este trabajo se realizaran los dos primeros tipos de análisis preliminares.
5.1.1.2 Diseño y análisis a priori.
Esta fase permite determinar las variables relacionadas con el problema objeto de estudio,
sobre las cuales se va actuar.
Según Artigue et al. (1995) estas variables pueden ser de dos tipos:
1. Variables macro didácticas concernientes a la organización global de la ingeniería.
2. Variables micro-didácticas concernientes a la organización local de la ingeniería. Es
decir, la organización de una secuencia o de una fase.
En el presente trabajo nos centraremos en las variables micro- didácticas
Según Artigue et al. (1995) este análisis debe constituirse en un análisis de control de
relaciones entre significado y las situaciones, por lo tanto se basa en un conjunto de hipótesis.
En el análisis a priori se hacen consideraciones de tipo descriptivo y predictivo, en cada
una de las cuales se analiza el comportamiento de los estudiantes frente al origen de su
5.1.1.3 Pilotaje y ajuste.
Finalmente se llevará a cabo un pilotaje de la secuencia de actividades con una pareja de
estudiantes, con el propósito de detectar posibles fallas o dificultades en las situaciones
La Teoría de las situaciones Didácticas (TDS) de Brousseau, proporciona un marco de
referencia para entender el rol del software en el proceso de enseñanza al tiempo que permite
observar cómo se transforma la gestión del profesor, posibilitando una nueva forma de
aprendizaje para el alumno.
Según Brousseau (2007):
El alumno aprende adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, dificultades,
desequilibrios, un poco como lo hace la sociedad humana. Ese saber fruto de la
adaptación del alumno, se manifiesta por las respuestas nuevas que son la prueba del
aprendizaje (p. 59).
Para entender con mayor claridad el rol de la tecnología dentro de la teoría, es necesario
profundizar en conceptos como aprendizaje, medio, validación y devolución.
6.1.1 Aprendizaje por adaptación
En la Teoría de Situaciones Didácticas se hace énfasis en el Aprendizaje por
Adaptación, el cual según Brousseau (2007 como se citó en Acosta et al., 2010) es el producto
Figura: 1 Aprendizaje por adaptación
.
Dicha interacción comprende cinco elementos. El sujeto tiene una intención y para
lograrla realiza acciones sobre ese medio. El medio reacciona a esa acción con algo que
llamamos una retroacción. El sujeto interpreta esta retroacción, es decir toma conciencia de ella y
le da un sentido. Finalmente el sujeto valida su acción es decir decide si esa acción le sirvió para
alcanzar su intención o no. En caso afirmativo refuerza la acción, en caso negativo modifica su
acción y empieza otro ciclo acción - retroacción, hasta que logra obtener lo que quería.
6.1.1.1 Medio
Para la TSD el medio es una entidad que el profesor puede moldear con el propósito de
facilitar los objetivos de aprendizaje; tiene un componente externo al alumno, de naturaleza
material. Debe permitirle al alumno actuar en él. Es neutral en cuanto a las intenciones del
alumno, aunque reacciona a las acciones de éste e impone restricciones ya que no es posible
cualquier acción (Acosta et al., 2010)
realizar el alumno y las retroacciones del medio, de manera que solo se validen las
acciones que corresponden al saber que se desea enseñar (p.178)
En la teoría de las situaciones didácticas, el rol del profesor es muy importante, puesto
que es el encargado de crear la intención en el estudiante y preparar correctamente el medio. El
profesor debe anticipar las posibles acciones del estudiante y las retroacciones del medio para
garantizar que puedan ser interpretadas por el estudiante, con el fin de validar o invalidar sus
acciones, y que de esta manera se dé un aprendizaje por adaptación.
6.1.2 Situación didáctica y situación a-didáctica
Según Acosta et al. (2010):
Una situación es didáctica cuando un individuo (profesor) tiene la intención de enseñar a
otro individuo (alumno) un saber matemático dado. Una situación es a-didáctica cuando
se da interacción entre un sujeto y un medio para resolver un problema. Como el medio
es impersonal, no tiene ninguna intención didáctica: no desea enseñarle nada al alumno.
Por eso este tipo de situación recibe el nombre de a-didáctica. Aunque podría pensarse
que estas dos situaciones están totalmente en oposición, puesto que una necesita del
profesor y la otra no, según la TSD se da una interacción de estas dos situaciones, en la
Figura: 2 Situación Didáctica
Más adelante explica:
Se tiene la situación global, que es la situación didáctica, pues comprende las relaciones
entre el profesor, el alumno y el saber. El profesor desea enseñar el saber al alumno, no
comunicándoselo directamente, sino planteándole una situación a-didáctica (en el interior
de la situación didáctica), planeada para producir un aprendizaje por adaptación. Con este
fin, el profesor prepara cuidadosamente un medio con el cual el alumno podrá interactuar,
y un problema que produzca en el alumno una intención y desencadene unas acciones
sobre el medio. El producto de esa situación a-didáctica es un conocimiento: una
estrategia que permite resolver el problema (Acosta et al., 2010, pp.176-177).
Se tiene entonces al interior de la situación didáctica una situación a-didáctica que el
profesor utiliza para que los alumnos construyan un conocimiento, a la cual podrá referirse para
exponer el saber.
totalidad de esa interacción como conducente a la validación por parte del alumno de sus
acciones.
No es posible para el alumno decidir sobre la validez de una acción sin hacer referencia a
su intención o sin haber interpretado las retroacciones del medio.
6.1.2.2 Devolución.
Es el proceso mediante el cual el profesor acompaña el proceso de validación de los
estudiantes, reforzándolo y evitando interrumpirlo. Por ejemplo, mientras se lleva a cabo la
situación a-didáctica, el profesor se abstiene de comunicar el saber a los alumnos, pues de esa
manera impedirá que se realice un aprendizaje por adaptación; esto no implica que el profesor no
deba intervenir, sino que animara al alumno a resolver el problema, hacerle tomar conciencia de
las acciones que puede realizar y de las retroacciones del medio pidiéndole que sea él mismo
quien decida si resolvió el problema.
6.1.3 CarMetal como medio
En este trabajo se utiliza el Software CarMetal como medio con el cual el estudiante interactúa para adquirir un aprendizaje por adaptación. Dicho Software recibe el nombre de
manipulación directa de objetos en la pantalla y también permite la manipulación de objetos ya
construidos, redibujándolos en tiempo real.
En CarMetal se pueden efectuar dos tipos de acción:
6.1.3.1 Acción de construcción.
Haciendo uso de las herramientas es posible dibujar en la pantalla diferentes objetos
(segmentos, rectas, círculos, polígonos, ángulos, etc.) con relaciones entre ellos (pertenencia,
perpendicularidad, paralelismo, etc.). La retroacción del medio es un dibujo estático en la
pantalla, que corresponde a lo que se pidió que construyera.
6.1.3.2 Acción de arrastre.
Este atributo permite asir los objetos ya construidos y desplazarlos en la pantalla,
garantizando que las relaciones geométricas construidas se mantienen durante el movimiento. La
retroacción correspondiente son fenómenos dinámicos en la pantalla.
En Carmetal el comportamiento de los objetos es geométrico; es decir, “se conservan
intactas las relaciones geométricas que hayan sido declaradas en la construcción, así como las
propiedades geométricas implícitas” Acosta et al. (2010, p. 178) tanto al construir como al
arrastrar. Esta característica supone una gran ventaja, pues las retroacciones del medio
corresponden al saber geométrico, y por lo tanto los conocimientos que construyen los
estudiantes en interacción con el software tendrán una correspondencia directa con el saber que
6.2 Razonamiento
En este trabajo entendemos por razonamiento a cualquier procedimiento que nos permita
desprender nueva información de informaciones previas, ya sean aportadas por el problema o
derivadas del conocimiento anterior (Arsac, 1992).
Según sea el desarrollo de dicho proceso se distingue entre razonamiento inductivo y
razonamiento deductivo.
6.2.1 Razonamiento inductivo.
Es una modalidad del razonamiento que consiste en obtener conclusiones generales a
partir de premisas que contienen datos particulares o individuales.
Para Clemens, O‟ Daffer, y Cooney (1989) esta clase de razonamiento es un proceso que
puede describirse así:
1. Se observa que una propiedad es verdadera para cada caso que se verifica.
2. Dado que la propiedad es verdadera en todos los casos verificados, se concluye que es
Utilizando la estructura propuesta por Toulmin para describir y estudiar los procesos de
razonamiento como formas de argumentación*, podemos ilustrar el razonamiento inductivo como
se muestra en la figura 3.
Figura: 3 Razonamiento Inductivo
Usualmente esta forma de razonamiento es poco apreciada por el profesor, quien
privilegia el razonamiento deductivo propio del sistema axiomático de la geometría. Su
relevancia en la construcción del conocimiento geométrico es evidente si se considera que
civilizaciones como los babilonios y egipcios establecieron por razonamiento inductivo su acervo
matemático. Es importante que el alumno pueda visualizar los problemas, lanzar conjeturas,
construir argumentos, analizar propiedades y luego si axiomatizar. (Larios, 2006)
Mediante el razonamiento inductivo, a partir de la experimentación, el estudiante puede
6.2.1.1 Estrategias para promover el razonamiento inductivo.
6.2.1.1.1 Contraejemplo.
Es usual para el alumno que realiza la construcción de objetos geométricos dar por
cumplidas algunas propiedades a partir del dibujo o asumir la generalidad de una propiedad
solamente porque un caso particular la cumple. Mediante el contraejemplo se invita al alumno a
confrontar la validez de sus aseveraciones con ejemplos que las contradicen. Así, entonces el
contraejemplo es visto como una excepción a una regla general propuesta, es decir, un caso
específico de la falsedad de una cuantificación universal (un "para todo").
En estos experimentos, tienen como finalidad confrontar en los alumnos, la validez de sus
aproximaciones a las reglas teóricas con la universalidad de las mismas.
6.2.1.1.2 Construcciones imposibles.
Las actividades propuestas sugieren la elaboración de construcciones que aparentemente
se pueden realizar, pero que en realidad no son posibles. La intención es que los alumnos, luego
de enfrentarse empíricamente con la imposibilidad de la construcción solicitada, traten de buscar
argumentos para validar que efectivamente no hay objeto que cumpla con lo pedido.
Este tipo de actividades no suele ser común en clase de geometría, requieren aceptar la no
solución como respuesta a una actividad, es usual que los alumnos piensen que lo que no se
puede realizar tiene que ver con algún error cometido por ellos en el desarrollo de la tarea, pues si
el profesor lo pide tiene que poder efectuarse. Justamente, para distinguir entre no hay solución y
de argumentos, lo cual permitirá al profesor ir instalando la argumentación comoactividad usual de la clase.
6.2.2 Razonamiento deductivo.
Es un argumento donde la conclusión se infiere necesariamente de las premisas.
Según Clemens et al. (1989). Existe razonamiento deductivo cuando:
1. Se inicia con las condiciones dadas (hipótesis).
2. Se usa definiciones, postulados o teoremas previamente probados para justificar una
serie de proposiciones o pasos que den el resultado deseado.
3. Se afirma el resultado (conclusión).
Es común en nuestro currículo escolar, cuando se habla de Razonamiento Deductivo
asociarlo exclusivamente con Demostración e implementar un tratamiento de los problemas de
forma axiomática. Este fenómeno ocasiona el desconocimiento del razonamiento deductivo en
procesos como la verificación de propiedades, la anticipación de magnitudes y la justificación de
construcciones.
6.2.2.1 Estrategias para promover el razonamiento deductivo.
6.2.2.1.1 Verificación.
Son problemas en los que el estudiante debe verificar unas propiedades que no pueden
constatar de manera directa. Por lo tanto tiene que recurrir a una implicación lógica para poder
realizar la verificación. Es decir, el estudiante puede utilizar herramientas para verificar otras
propiedades que están relacionadas de manera lógica con la propiedad pedida
Por ejemplo: para verificar el paralelismo de un cuadrilátero si no se dispone de una
herramienta que permita hacerlo de manera directa, los estudiantes pueden medir los lados
opuestos de la figura para deducir que si no tienen la misma medida entonces no son paralelos.
6.2.2.1.2 Anticipación.
Son problemas en los que el estudiante tiene que predecir una característica de un objeto
con base en unas propiedades que se afirman que son verdaderas. Es decir, para poder anticipar el
6.2.2.1.3 Justificación.
Son problemas en los cuales dada la descripción de una construcción, el estudiante debe
predecir las propiedades que se mantienen al arrastrar.
Hay dos tipos de justificaciones.
Justificaciones donde las propiedades son producto de la aplicación directa de una
herramienta de construcción.
Justificaciones donde las propiedades no son el producto directo de una herramienta,
de construcción. Para justificar que estas propiedades se conservan al arrastrar es
necesario invocar una regla teórica general
Por ejemplo: Dada la descripción de la construcción de un rectángulo justificar que todos
7 Análisis preliminares
7.1 Análisis Epistemológico
7.1.1 La geometría de Euclides.
El gran aporte de Euclides fue tomar los saberes geométricos de su tiempo, ordenarlos,
clasificarlos y sistematizarlos, para luego ponerlos a disposición de la comunidad de estudiosos
en su conocido texto los Elementos, sentando de esta forma las bases de un sistema axiomático
para la geometría (Sánchez, 2012). La forma como se expone el saber geométrico en los
Elementos pone de manifiesto una manera deductiva de razonar, ya que es posible ver como una
afirmación es consecuencia de la anterior gracias a una cadena de razonamientos finamente
articulados. El razonamiento deductivo posibilita la demostración, considerada la herramienta
preferida por la comunidad matemática para validar sus declaraciones y mostrar su universalidad,
manifestando de esta forma rigurosidad en sus afirmaciones (Crespo, Farfan & Lezama, 2010).
Sin embargo, no hay que olvidar que los conocimientos teóricos expuestos en Los
Elementos no se construyeron en su totalidad de forma deductiva. Los predecesores de Euclides
aceptaban como verdaderas muchas de las preposiciones de Los Elementos basados en la
experimentación. La organización deductiva fue posterior a su reconocimiento como verdades
generales (Sánchez, 2012).
Mucho del conocimiento teórico expuesto en los elementos fue construido con
anterioridad y de forma empírica. Al respecto, el historiador Heródoto (como se citó en Sánchez,
2012) dice:
La geometría nace en Egipto debido a la necesidad de trazar los linderos de las tierras
de Moscú(p.73).
Este hecho evidencia que la construcción del conocimiento geométrico no es
exclusivamente deductiva como aparece en Los Elementos, sino que la actividad empírica,
experimental y el razonamiento inductivo son formas legítimas utilizadas y necesarias en el
quehacer geométrico. Al respecto, Kline (como se citó en Larios & González, 2010) afirma:
Los babilonios y los egipcios establecieron por razonamiento inductivo su acervo
matemático. Por medición deben haber determinado que el área de un triángulo es la
mitad del producto de la base por la altura y, habiendo empleado esta fórmula varias veces
y obtenido resultados correctos, habrán llegado a la conclusión de que la fórmula era
intachable (p.148).
Históricamente el camino recorrido para llegar a la organización deductiva del
conocimiento geométrico es un camino en el que primero se construyeron algunas cadenas de
deducciones aisladas, antes de intentar reunir todos los conocimientos en una estructura
axiomático-deductiva.
Según Heath (como se citó en Masdexexas, 1986):
Los Elementos de Euclides no tanto son una obra de creación que abra nuevos e
importantes problemas u horizontes, cuanto una obra de compilación de los resultados
más importantes obtenidos durante más de tres siglos de profunda y continuada actividad
matemática(p. 1).
Más adelante, el mismo autor señala:
… antes de Euclides, ya Hipócrates y después León (S. IV a. d. C) y después Teudio de
compendio de este último fue como un libro de texto en la Academia y parece que fue el
punto de partida de Euclides para la composición de sus Elementos (Masdexexas, 1986, p.
1).
En resumen, se puede decir que Los Elementos de Euclides no son el comienzo del
trabajo teórico en geometría sino el resultado de un proceso; en consecuencia, el razonamiento
deductivo y la estructura axiomática no son los únicos procedimientos legítimos para la
construcción del conocimiento. El método empírico, el razonamiento inductivo y la
experimentación también hacen parte de la actividad geométrica.
Esta constatación conduce al problema didáctico de cómo articular la actividad
experimental, el razonamiento inductivo, y el razonamiento deductivo en el proceso de
construcción del conocimiento teórico.
7.1.2 Una mirada epistemológica de los elementos.
Desde un punto de vista epistemológico, más que reconocer que el conocimiento teórico
expuesto en los elementos tiene una estructura axiomático-deductiva que permite el
encadenamiento deductivo de las proposiciones, es fundamental responder las siguientes
preguntas:
¿Por qué se necesitan los conocimientos teóricos?
¿Por qué se necesita organizar el conocimiento geométrico en un sistema axiomático
deductivo?
En el presente trabajo asumimos la postura epistemológica de autores como (Gascón,
Gaud, Minet, Knorr, Acosta, etc), según los cuales, la razón de ser de los Elementos de Euclides,
axiomático-deductiva es necesaria para poder justificar que una construcción es exacta.
En efecto, como es bien conocido, el desarrollo de la geometría ha estado estrechamente
relacionado con la resolución de problemas de construcción, algunos de ellos muy famosos,
como la duplicación del cubo, la cuadratura del círculo y la trisección del ángulo. Según Knorr,
citado por Acosta, los problemas de construcción fueron el motor de investigación de la
construcción teórica de la geometría griega posibilitando la construcción con sentido del saber e
introduciendo la necesidad de una organización y validación del mismo (Acosta, 2.008).
Esta postura epistemológica conduce al problema didáctico de cómo hacer que los
estudiantes experimenten la necesidad del conocimiento teórico para producir una construcción
exacta y la necesidad de la estructura Axiomático-Deductiva para producir una justificación.
7.1.3 El rol del software de geometría dinámica en el proceso de construcción del
conocimiento
El uso de software para la enseñanza de la geometría se generalizó a comienzos de los
años 80 con la aparición de Logo. Años después se popularizó, con la aparición del Software de
Geometría Dinámica (SGD) Cabri (Gutiérrez, 2005). El SGD es un recurso innovador e
importante en el proceso de aprendizaje de los estudiantes, puesto que permite la exploración, la
construcción de figuras con determinadas propiedades, la visualización de estas propiedades y la
posibilidad de transformarlas en tiempo real (Gamboa, 2007).
Compartimos con Larios y González (2010) que la principal ventaja de SGD sobre los
manipulación directa de las representaciones de los objetos geométricos a través de su principal
rasgo que es el arrastre” (p. 149).
En nuestro caso el arrastre permite negociar con los estudiantes la distinción entre una
construcción exacta y una que no es exacta. La característica fundamental que hace que el
software de geometría dinámica sea una herramienta potente para la enseñanza de la geometría es
la coherencia entre el lenguaje, los trazados y las medidas. Esta coherencia permite crear una
ilusión de exactitud: las figuras dinámicas cuyo procedimiento de construcción tiene en cuenta
propiedades geométricas, conservan dichas propiedades y aquellas que son consecuencias lógicas
de estas aunque los objetos que constituyen la figura cambien de tamaño y posición; además, las
medidas de longitud, área y ángulos corresponden a las prescritas por la teoría. De esta manera,
es posible acordar con los estudiantes que una figura exacta es aquella que conserva sus
propiedades al arrastrar, mientras que aquellas que pierden sus propiedades al arrastrar no son
exactas.
Esta nueva forma de realizar el trabajo geométrico mediante el uso de software permite
concebir la geometría como una ciencia experimental. Al respecto Acosta (2005) afirma:
La geometría dinámica experimental puede definirse como una práctica geométrica que
privilegia la observación y manipulación de los objetos geométricos en la pantalla de la
computadora, con la intención de emitir conjeturas sobre las propiedades geométricas de
dichos objetos, conjeturas que se ponen a prueba mediante el arrastre, la medición y la
construcción de objetos auxiliares (p. 27).
La actividad fundamental en la que se inserta el SGD es una actividad de
experimentación, en el sentido de que es posible emitir conjeturas y verificarlas por medio de un
experimento. La invalidación de una conjetura en geometría experimental puede concebirse como
concebirse como una secuencia con tres etapas principales. La primera etapa consiste en negociar
con los estudiantes la distinción entre una figura exacta y una aproximada utilizando el arrastre.
Esta distinción busca crear en los estudiantes la necesidad de producir una construcción exacta.
La segunda etapa consiste en identificar las propiedades que caracterizan la figura que se desea
construir y asociar dichas propiedades a herramientas de construcción. En efecto, toda
herramienta de construcción garantiza determinadas propiedades. La tercera etapa consiste en
reconocer que las construcciones exactas poseen propiedades que no son el resultado directo del
uso de determinadas herramientas de construcción, sino que son consecuencia de la combinación
de otras propiedades. Este hecho es el que conduce a la formulación de Reglas Teóricas
Generales (RTG) de la forma Si…..entonces…… y esas reglas generales son la base del
Razonamiento Deductivo.
Para Ortegón, Salas y Samper (2013) el uso de la geometría dinámica impulsa la
comprensión y uso de la condicional, ayudando a los estudiantes a mejorar sus prácticas
argumentativas para justificar sus afirmaciones. Para Larios y González (2010) el SGD permite
explorar situaciones geométricas, posibilitando la generalización de situaciones y buscar
propiedades invariantes a partir de casos particulares. Es decir, que los estudiantes utilicen el
Razonamiento Inductivo (RI) para llegar a la formulación de las Reglas Teóricas y utilizar esas
Reglas Teóricas en Razonamiento Deductivos para verificar, anticipar o justificar propiedades en
las construcciones. La justificación de propiedades a partir de la construcción puede conducir al
7.2 Análisis didáctico
7.2.1 Enseñanza de la geometría
En la actualidad, los libros de texto de geometría toman como modelo para la enseñanza
de la geometría en secundaria, el Sistema Axiomático Deductivo (SAD) propuesto por Euclides
en Los Elementos. Como señala Hershkowitz (2001). “por generaciones, la geometría ha sido
enseñada como el contexto para la enseñanza del razonamiento deductivo y ha sido dominada por
los aspectos clásicos”(p.1).
Esta forma de concebir la enseñanza de la geometría, aunque válida, no es del todo
apropiada, pues se tiende a omitir tanto el contexto de experimentación, visualización geométrica
(formas y relaciones entre ellas) como al estudiante.
A esto se debe agregar que la forma como frecuentemente se imparte la clase de
geometría es de carácter expositivo; es decir, hay una aproximación hacia el aprendizaje como
un proceso receptivo de transferencia de conocimiento, promoviéndose la argumentación en
geometría como una comunicación muy formal regulada por reglas fijas (Hershkowitz, 2001).
Al respecto Hershkowitz (2001) expone:
En los tiempos actuales, los esfuerzos de desarrollo e investigación están siendo dirigidos
hacia la creación innovadora de ambientes de aprendizaje que aún refieren al
razonamiento deductivo como un elemento básico del aprendizaje. Sin embargo, estos
ambientes de aprendizaje tratan de tomar en cuenta el punto de vista de los estudiantes
diseñando situaciones de aprendizaje que ayuden a los estudiantes a sentir una necesidad
La importancia de la experimentación en el aprendizaje de la geometría mediante SGD
también se reconoce en documentos de orientación curricular, al respecto el Ministerio de
Educación Nacional –MEN (2004) menciona:
Con el acceso a la manipulación directa, la enseñanza de la geometría ofrece un
interesante desarrollo hacia una nueva conceptualización de ésta, como el estudio de las
propiedades invariantes de las figuras geométricas. Al permitir la posibilidad de
experimentar con una especie de “materialización” de los objetos matemáticos, de sus
representaciones y de sus relaciones, los estudiantes pueden vivir un tipo de
experimentación matemática que otros ambientes de aprendizaje no proporcionan (p. 17).
7.2.2 Aprendizaje de la Geometría.
Distintos autores recomiendan centrar la atención de los profesores, no en su propio
discurso y maneras de proceder, ni en la necesidad de corregir las acciones y el lenguaje de los
estudiantes, sino en las formas de razonamiento y argumentación que los estudiantes expresan
con su lenguaje y sus acciones.
Según Crespo et al. (2010):
Para lograr que los estudiantes comprendan la necesidad de argumentar matemáticamente
e incluso de demostrar propiedades matemáticas, resulta indispensable que construyan la
significatividad de la argumentación. La importancia de favorecer escenarios donde se
En clase es necesario conocer qué pasa por la cabeza de los estudiantes cuando están
inmersos en una actividad geométrica; cuáles son sus procesos de razonamiento, cómo analizan
la información que les llega, cómo validan sus decisiones, todo esto con el propósito de mejorar
los procesos de enseñanza y aprendizaje (Quesada & Torregrosa 2007).
Por ejemplo, en la construcción de figuras geométricas, los estudiantes manifiestan
dificultades al tener que desarrollar actividades que involucran el uso de reglas teóricas propias
del saber geométrico, pero ajenas a su experiencia, pues no se les da la posibilidad de
construirlas.
El profesor entonces está llamado a proponer una alternativa que permita solucionar la
falta de experimentación de los estudiantes y una manera es mediante el diseño de experimentos
en los que los estudiantes puedan descubrir regularidades y por lo tanto llegar a formular
mediante razonamiento inductivo reglas teóricas generales que describan y expliquen esas
regularidades.
Según Piaget (como se citó en Castro, Cañadas & Molina, 2010) “la generalización es un
proceso fundamental en la construcción del conocimiento (…) La generalización estaría sometida
a la abstracción y tendría como tarea el establecimiento de regularidades en lo real(p. 57).
Gracias al software de geometría dinámica los estudiantes pueden experimentar: explorar
los objetos geométricos y su comportamiento, sistematizar sus acciones y desarrollar argumentos
de explicación.
Según Hershkowitz (2001) una característica pedagógica principal del Software es que
mediante la exploración y el razonamiento inductivo los estudiantes colaboran para el
descubrimiento de hechos geométricos y la reinvención de las relaciones geométricas. El mismo
La identificación de propiedades invariantes por parte de los estudiantes, conduce a la
formulación de reglas teóricas generales. Estas reglas teóricas generales se convierten en una
herramienta que permite a los estudiantes llevar a cabo procesos de verificación, anticipación y
justificación de propiedades en una construcción geométrica, procesos característicos del
razonamiento deductivo.
En conclusión, la enseñanza de la geometría no debe intentar reproducir la estructura y el
orden expositivo de los Elementos de Euclides, como era el caso hasta hace poco. Por el
contrario, debe promover actividades de experimentación que conduzcan a la formulación de
reglas teóricas generales y actividades de verificación, anticipación y justificación en las que los
8 Análisis a priori actividades paralelogramo
Grado séptimo
En estas actividades trabajaremos alrededor de la construcción de paralelogramos.
Los objetivos generales de estas actividades son:
1. Reforzar la distinción dibujo/construcción
2. Reforzar el arrastre de validación.
3. Desarrollar habilidades de escritura y lectura de la descripción de la Construcción.
4. Experimentar con figuras aproximadas para buscar propiedades.
5. Formular „hechos geométricos‟ a partir de experimentaciones (razonamiento
inductivo)
6. Anticipar o verificar propiedades sin construir (razonamiento deductivo)
7. Justificar que una construcción garantiza una propiedad utilizando herramientas de
construcción y hechos geométricos (demostración)
8.1 Actividad 1
8.1.1 Primera parte.
Definición de Paralelogramo.
Se entrega a los estudiantes una figura preparada, donde hay construido un
paralelogramo, acomodado de tal manera que parece un rectángulo, y de forma tal que si
Figura: 5 Construcción Propuesta
Se les pide que observen esa figura, la dibujen en su cuaderno y digan qué figura es. Se
espera que todos digan que es un rectángulo.
Luego se les pide que construyan una figura igual. Se espera que utilicen las herramientas
„segmento‟ o „polígono‟ para hacer un dibujo con forma de rectángulo.
Figura: 6 Construcción Estudiantes
Cuando han terminado, se les pide que arrastren los lados y vértices de la figura modelo y
de la figura que ellos construyeron. Se espera que digan que la figura modelo en realidad no es un
rectángulo, y que la figura que ellos construyeron no se comporta de la misma manera que la
Figura: 7 Estrategia de Validación
Se les pide entonces que intenten hacer una construcción que se comporte igual que la
figura modelo. Los estudiantes podrán intentar diversas estrategias perceptivas para acomodar su
construcción, pero al arrastrar los vértices y los lados podrán invalidar su construcción,
concluyendo que no se comporta de la misma manera que la figura modelo. El profesor les pide
entonces que examinen la figura modelo para decir qué propiedades tiene y qué se mantienen
aunque se arrastren sus vértices y lados. Como recurso para que los estudiantes se den cuenta de
la propiedad que se desea resaltar en la figura modelo (paralelismo de los lados opuestos), el
profesor les propone que construyan las rectas que contienen los lados, que realicen zoom y
arrastren vértices y lados tanto en la figura modelo como en la que ellos construyeron y que
Figura: 8 Construcción de rectas que contienen los lados del cuadrilátero
Se espera que los estudiantes al arrastrar los vértices y lados de su construcción, así como
los del modelo, digan que en la figura modelo las rectas que contienen los lados opuestos no se
cruzan mientras que en la figura que ellos construyeron sí. De esta manera las retroacciones del
software permiten identificar el paralelismo como un invariante de la figura modelo lo que se
constituye en un aprendizaje por adaptación. Al mismo tiempo, el profesor puede introducir un
nuevo contrato didáctico sobre lo que constituye la solución de un problema de construcción en
geometría: no basta con producir un dibujo con una forma determinada; es necesario que al
arrastrar se conserven determinadas propiedades. Una vez los estudiantes reconozcan el
invariante (propiedad) que se debe conservar, el profesor debe propiciar la reflexión sobre lo que
significa ser paralelo, estableciendo mediante una puesta en común que: dos rectas son
paralelas si no se cortan.
Después de la puesta en común los estudiantes pueden validar e invalidar perceptivamente
si dos rectas son paralelas, ya que tienen una herramienta práctica y a la vez teórica y es: si las
rectas se cortan no son paralelas esto les permite decidir si lo que construyen produce rectas
Figura: 9 Estrategia de Validación
Una vez que los estudiantes han identificado la propiedad que se debe cumplir, el profesor
les pide que intenten que esa propiedad se cumpla en su figura. Los estudiantes pueden volver a
utilizar estrategias perceptivas para lograr el paralelismo ajustando el dibujo para que las rectas
no se crucen.
Es posible que los estudiantes después de varios intentos ajustando la figura para que
cumpla la propiedad; renuncien a esta estrategia argumentando que no es posible garantizar la
propiedad de esta forma, por lo que surge en estos la necesidad de un nuevo conocimiento:
¿cómo lograr que el paralelismo se conserve? El profesor debe recalcar a los estudiantes la
importancia de garantizar que la figura tenga esta propiedad y aprovechar esta situación para
introducir un nuevo contrato didáctico mostrando a los estudiantes la herramienta recta paralela
y explicando cómo esta garantiza la propiedad. Para esto el profesor debe enseñar a los
estudiantes a utilizarla, indicando como construir rectas paralelas a segmentos y a rectas. Esta
herramienta permitirá a los estudiantes convencerse de que es posible garantizar que la figura
tenga esta propiedad.
Después de explicar la utilidad de la herramienta recta paralela, el profesor vuelve a
teóricas – que garantizan todas las propiedades por construcción, y mixtas – en las que se
garantizan algunas propiedades por construcción y otras se obtienen por ajuste- el profesor debe
insistir a los estudiantes que arrastren todos los elementos de la figura (vértices y lados) y
verifiquen que se cumple la propiedad en cuestión.
A partir de ese momento el profesor debe nombrar la propiedad, la cual consiste en el
paralelismo de los lados opuestos; es posible que algunos estudiantes digan que los lados
opuestos tienen las mismas medidas; el profesor no retomará esta idea, centrándose en el
paralelismo.
El propósito de la tarea estará cumplido si los estudiantes al comparar su construcción con
la figura modelo constatan que efectivamente se comporta de la misma manera.
El profesor debe tener cuidado de que los estudiantes no se confundan por el exceso de
objetos geométricos cuando realizan la construcción, indicándoles cómo ocultar aquellos que no
son relevantes en la figura.
El conocimiento adquirido por los estudiantes mediante el desarrollo de esta actividad les
permite establecer que para que una propiedad sea invariante en el arrastre es necesario utilizar la
herramienta de construcción que la garantiza en este caso recta paralela.
Al finalizar esta parte de la actividad el profesor les dice a los estudiantes que la figura
modelo recibe el nombre de paralelogramo e institucionaliza la definición de paralelogramo:
Figura: 10 Construcción paralelogramo estudiantes
8.1.2 Segunda parte.
Descripción y Socialización de la Construcción.
Después de la institucionalización, el profesor les pide a los estudiantes que vuelvan a
hacer la figura y luego describan el proceso de construcción en su cuaderno. Este ejercicio de
descripción tiene el propósito de concientizar a los estudiantes sobre la necesidad de utilizar
ciertas convenciones al momento de comunicarnos en contextos geométricos (dar nombre a los
puntos, a los lados, a los segmentos y rectas) y que usualmente no saben.
El profesor indica a los estudiantes cómo mostrar en la pantalla la descripción de la
construcción producida por el software y les presenta esta descripción como un modelo a imitar,
por lo cual les pide comparar la descripción que ellos hicieron con la que produce el software*.
Luego revisa con todo el grupo algunas de las descripciones para señalar pasos faltantes o pasos
que sobran.
Figura: 11 Descripción de la Construcción propuesta por el Software
Después el profesor les propone algunas descripciones de construcciones y pide a los
estudiantes decidir (sin realizar la construcción) si tales descripciones corresponden a
paralelogramos o no; es importante presentarles diferentes construcciones, algunas que sí
producen paralelogramos, otras que no. Los estudiantes deben poder argumentar sus respuestas
por ejemplo: diciendo que son paralelas porque se utilizó la herramienta recta paralela. El
profesor debe tener claro que lo importante es que los estudiantes verifiquen si se cumple o no la
propiedad de paralelismo entre los lados opuestos de la figura y no si la construcción está bien
Figura: 12 Descripciones propuestas
Una vez los estudiantes hayan argumentado sus afirmaciones, se les pide que verifiquen
si lo que dicen se cumple o no, para lo cual deben realizar la construcción que se les propone y
arrastrar la figura de forma que puedan identificar cuales lados son paralelos y cuáles no.
Las acciones desarrolladas durante proceso por los estudiantes se constituyen en un
Razonamiento Deductivo, ya que se busca que el estudiante anticipe el cumplimiento de una
propiedad desde la descripción de la construcción invocando un hecho teórico.. Al mismo
tiempo se posibilita un aprendizaje por adaptación puesto que las retroacciones del software le
permiten a los estudiantes decidir si la figura es un paralelogramo o no, constatando de esta
manera la veracidad de su afirmación.
Después de verificar, es necesario que los estudiantes retomen las descripciones en las que
no anticiparon correctamente e intenten identificar los pasos que le permiten justificar la
En esta actividad se les pide a los estudiantes que hagan una construcción imposible (un
paralelogramo que tenga tres lados de medidas diferentes) para que concluyan que si es
paralelogramo sus lados opuestos deben tener medidas iguales. Se sigue la secuencia: dibujo
aproximado-intento de construcción exacta- verificación, con medidas de lados opuestos cada vez
8.2.1 Primera parte.
Trabajo de ajuste sobre un dibujo.
Se les pide a los estudiantes que construyan un cuadrilátero cualquiera, y que lo acomoden
para que parezca paralelogramo. Luego se les pregunta si es posible ajustar esa figura para que
tenga un lado de 3 cm, otro de 4 cm y otro de 3,2 cm, y que siga pareciendo paralelogramo. El
profesor debe indicar a los estudiantes como hacer visible la medida de los segmentos.
Se espera que los estudiantes hagan diferentes intentos de ajustar tanto las medidas de los
lados como el paralelismo de los lados opuestos, sin lograrlo.
Figura: 13 Construcción Esperada
8.2.2 Segunda parte.
Intento de una construcción.
Se les enseña a los estudiantes a construir un circulo de radio fijo y se les pide que utilicen
ese procedimiento para producir un segmento de longitud dada. Luego se les pide que utilicen ese
procedimiento para construir un cuadrilátero que tenga un lado de 3 cm, uno de 4 cm y otro de
3,2 cm, y que lo acomoden para que parezca un paralelogramo.
Es posible que los estudiantes construyan primero dos segmentos independientes de
construir el tercero.
El profesor deberá preguntar a los estudiantes cuánto mide el segmento que construyen
entre el centro del círculo de radio fijo y un punto sobre el círculo. Los estudiantes deberían
predecir la longitud del segmento sin necesidad de medirlo, y deberían poder explicar por qué
tiene esa medida (es un radio del círculo, el círculo es de esa medida, por lo tanto el segmento
tiene esa longitud).
Cuando los estudiantes hayan construido los tres segmentos de 3, 4 y 3,2 cm, solo les
queda unir el primer punto con el último para formar un cuadrilátero, y arrastrar los vértices para
tratar de que tenga forma de paralelogramo.
Figura: 14 Construcción con medida fija
Posibles estrategias que los estudiantes podrían proponer, o que el profesor puede sugerir
Trazar las rectas que contienen los lados opuestos del cuadrilátero y haciendo zoom
observar si se cortan o no. Pueden acomodar la figura para que los pares de rectas
opuestas parezcan paralelas. Se espera que los estudiantes constaten que si logran el
paralelismo de un par de rectas, pierden el paralelismo de las otras dos.
Trazar una recta paralela a un lado por uno de los vértices del lado opuesto y
acomodar el otro vértice para que quede sobre la paralela. Se espera que los
estudiantes constaten que si logran el paralelismo de un par de lados, pierden el
paralelismo de los otros dos.
Trazar una recta paralela al primer segmento por el extremo del segundo segmento y
trazar una recta paralela al segundo segmento por el otro extremo del primer
segmento. Finalmente, acomodar el tercer segmento para que quede sobre la recta
paralela al primero.
Se espera que concluyan que no es posible obtener un paralelogramo con esas medidas.
Si los estudiantes proponen otras medidas se pueden aceptar siempre y cuando las tres
sean diferentes. En caso de que los estudiantes no propongan ninguna estrategia, el profesor debe
proponer cambiar la medida del tercer lado a 3.1 cm*. Los estudiantes podrán hacer una
construcción nueva o modificar el radio del círculo de 3,2 cm.
Se espera que al experimentar, algunos estudiantes afirmen que con estas medidas sí es
posible ajustar la figura para que sea un paralelogramo. Entonces el profesor les pide hacer una
construcción que resista el arrastre. En este caso los estudiantes pueden intentar varias posibles
construcciones.
extremo del segundo segmento. Posteriormente hallar el punto de intersección entre la
circunferencia y la paralela trazando el radio de la circunferencia, luego unir el primer segmento
con el tercero.
Figura: 15 Estrategias de Construcción a)
Se espera que los estudiantes afirmen que la figura es un paralelogramo, ya que garantizan
por construcción que el primer y el tercer lado son paralelos, los otros dos lados parecen ser
paralelos y al arrastrar los vértices los segmentos no se tocan. El profesor debe pedir que
verifiquen si los otros dos lados son paralelos trazando las rectas que los contienen y haciendo
zoom. Los estudiantes podrán concluir que esos dos lados no son paralelos pues al ser zoom las
rectas que los contienen se cortan en algún punto.
b) Trazar el segmento de 3 cm, luego el segmento de 4 cm y por el extremo de este trazar
la paralela al primer segmento, luego construir la circunferencia de radio 3,1 cm con centro en el
circunferencia y la paralela trazando el radio de la circunferencia, luego trazar la paralela al
segundo segmento por el extremo del tercero.
Figura: 16 Estrategias de Construcción b)
En esta construcción se aprecia a simple vista que la última recta trazada no pasa por el
extremo del primer segmento. Es posible que algunos estudiantes acomoden la figura para que la
recta parezca pasar por el punto. Sin embargo, esa figura no resiste el arrastre pues tendrá muchas
posiciones en las que la recta no pasa por el punto.
c) Trazar el segmento de 3 cm, luego el segmento de 4 cm, seguidamente la paralela al
primer segmento por el extremo del segundo, posteriormente con centro en el extremo del
segundo segmento y sobre la paralela construir el radio de 3,1cm, trazar la paralela al segundo
Figura: 17 Estrategias de Construcción c)
En esta construcción se aprecia a simple vista que la última recta trazada no pasa por el
extremo del tercer segmento. Es posible que algunos estudiantes acomoden la figura para que la
recta parezca pasar por el punto. Sin embargo, esa figura no resiste el arrastre pues tendrá muchas
posiciones en las que la recta no pasa por el punto.
Se espera que los estudiantes durante el desarrollo de esta actividad utilicen como
herramienta de validación el hecho geométrico: si un cuadrilátero tiene lados opuestos
paralelos entonces es paralelogramo, el cual se institucionalizó con anterioridad.
