Da siempre lo mejor de ti. Lo que plantas ahora lo cosecharás más tarde

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“Da siempre lo mejor de ti. Lo que plantas ahora lo

cosecharás más tarde”

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POTENCIACIÓN

DE

NÚMEROS

ENTEROS

La potenciación es la operación que permite escribir, de forma simplificada, un producto de varios factores iguales.

𝑆𝑖 𝒂 𝝐 ℤ 𝒚 𝒏 ∈ ℕ, se tiene que:

𝑎 · 𝑎 · 𝑎 · 𝑎 · … · 𝑎 = 𝑎𝑛

En la expresión 𝒂𝒏= 𝒃 se identifican los siguientes términos:

a, indica el factor que se repite en la

multiplicación, se denomina base.

n, indica la cantidad de veces que se repite el

factor, recibe el nombre de exponente.

b, indica el resultado de la multiplicación,

recibe el nombre de potencia. Por ejemplo:

Para hallar el valor de una potencia, se multiplica la base por sí misma, tantas veces como indique el exponente. Por ejemplo:

a) 24_{= 2 · 2 · 2 · 2 = 16}

b) 02_{= 0 · 0 = 0}

c) 50_{= 1 (Todo número elevado a la}

cero (0) el resultado siempre será 1) d) 35_{= 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243}

e) 16_{= 1 · 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1}

Año: 2021

Guía No 1: Repaso Números Enteros Grado: 7 Área: Matemáticas Asignatura: Matemáticas Docente (s): Carlos Montenegro A. mail: car.montenegro@hotmail.com celular: 3175115413 n-veces

(2)

Ahora, veamos qué pasa cuando la base es un número negativo: a) (−3)2_{= 9} b) (−3)3_{= −27} c) (−2)8_{= 256} d) (−2)9_{= −512} e) 28_{= 256}

Como se observa en los ejemplos anteriores, todas las potencias que dan resultado un número negativo, sus exponentes son números impares (ejemplos b) y d)). En cambio, si los exponentes son pares (ejemplo a) y c)) los resultados son positivos.

Por lo tanto, se dice que:

 Si la base es negativa y el exponente

par o cero, el valor de la potencia

será positivo.

 Si la base es negativa y el exponente

impar, el valore de la potencia será negativo.

Ahora, observemos estas dos potencias: −26_{= −2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = −64}

(−2)6_{= (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2)}

= 64

Como se puede observar −26_{no es igual a}

(−2)6_.

PROPIEDADES

DE

LA

POTENCIACIÓN

 Multiplicación de potencias de igual base

Para multiplicar dos potencias de igual base, se deja la misma base y se suman los exponentes.

Si

𝒂

es un número entero; y 𝒎, 𝒏 son números naturales, se cumple que:

𝒂

𝒎

· 𝒂

𝒏

= 𝒂

𝒎+𝒏

Ejemplos:

1.

5

2

· 5

4

= 5

2+4

= 5

6

= 15625

2.

(−2)

5

· (−2)

3

= (−2)

5+3

=

(−2)

8

= 256

 División de potencias de igual base

Para dividir dos potencias de igual base, se deja la misma base y se restan los exponentes.

Si

𝒂

𝒎

𝒂

𝒏

= 𝒂

𝒎−𝒏 Ejemplos: 1.

(−6)

6

÷ (−6)

3

= (−6)

6−3

=

(−6)

3

_{= −216}

2.

4

8

÷ 4

3

= 4

8−3

= 4

5

= 1024

 Potencia de una potencia

Para elevar una potencia a otra potencia, se deja la base y se multiplican los exponentes. Si

𝒂

(𝒂

𝒎

₎

𝒏

_{= 𝒂}

𝒎 x 𝒏

Ejemplos:

1.

(5

2

)

3

= 5

2 x 3

= 5

6

= 15625

2.

(−3

4

)

2

= (−3)

8

= 6561

(3)

 Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada factor, con el mismo exponente.

Si

𝒂

es un número entero; y 𝒏 es un número natural, se cumple que:

(𝒂 · 𝒃)

𝒏

_{= 𝒂}

𝒏

_{· 𝒃}

𝒏 Ejemplos: 1.

(−5 x 3)

2

= (−5)

2

x 3

2

=

25 x 9 = 225

2.

(4 x (− 3))

3

= (4)

3

x (−3)

3

=

64 x (−27) = 1728

Otra forma de realizar es primero multiplicar los números y luego calcular el resultado de la potencia, con los ejemplos anteriores se tiene:

1.

(−5 x 3)

2

= (−15)

2

= 225

2.

(4 x (− 3))

3

= (−12)

3

= 1728

Por lo tanto, con cualquiera de las dos formas se va a obtener el mismo resultado.

 Potencia de un cociente

La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y del divisor, con el mismo exponente.

Si

𝒂

es un número entero; y 𝒏 es un número natural, se cumple que:

(

𝒂

𝒃

)

𝒏

=

𝒂

𝒏

𝒃

𝒏 Ejemplos: 1.

(−

10 5

)

3

=

(−10)3 53

=

−1000 125

= −8

2.

(

16 4

)

4

=

(16)4 44

=

65536 256

= 256

Otra forma de realizar es primero dividir los números y luego calcular el resultado de la potencia, con los ejemplos anteriores se tiene:

1.

(−

10 5

)

3

= (−2)

3

= −8

2.

(

16 4

)

4

= 4

4

_{= 256}

Por lo tanto, con cualquiera de las dos formas se va a obtener el mismo resultado.

ACTIVIDAD 1

1. Expresar como potencia

a) (−𝟓) · (−𝟓) · (−𝟓) · (−𝟓) b) (+𝟑) · (+𝟑) · (+𝟑) · (+𝟑) · (+𝟑) 2. Resolver las siguientes potencias

utilizando las propiedades: a) −𝟐𝟐 b) (𝟑𝟓)𝟎 c) (−𝟐)𝟎 d) (−𝟒)𝟐 e) 𝟑𝟓· 𝟑𝟐 f) (−𝟕)𝟎_{· (−𝟕)}𝟓 g) 𝟐𝟓· 𝟐𝟏· 𝟐𝟑 h) 𝟓𝟔÷ 𝟓𝟐 i) [(−𝟐)𝟑_]𝟐 j) [(−𝟓)𝟏]𝟑

3. Responder Falso (F) ó verdadero (V). Justifica tu respuesta

a) (−𝟑)𝟐> (−𝟐)𝟐 b) 𝟖𝟎 > (−𝟒)𝟎 c) (−𝟑)𝟑> (−𝟐)𝟑 d) 𝟔𝟐 _{> (−𝟔)}𝟐

(4)

RADICACIÓN DE NÚMEROS

ENTEROS

La radicación es la operación inversa a la potenciación, ya que permite encontrar la base cuando se conoce el exponente y la potencia.

En la raíz cuadrada el índice es 2, en este caso no se escribe el 2 y consiste en hallar un número (raíz) que elevado al cuadrado se obtenga el valor del radicando:

√𝒂 = 𝒏,

donde

𝒏

𝟐

= 𝒂

Ejemplos.  √𝟏𝟔 = 𝟒 𝟒𝟐_{= 𝟏𝟔}  √𝟒𝟗 = 𝟕 𝟕𝟐_{= 𝟒𝟗} De manera general, 𝑆𝑖 𝒂, 𝒃 𝝐 ℤ 𝒚 𝒏 ∈ ℕ, 𝒏 ≥ 𝟐, la raíz n-ésima de

𝒂

, se define como:

√𝒂

𝒏

= 𝒃

𝒃

𝒏

_{= 𝒂}

Para determinar la raíz n-ésima de un número entero se deben tener en cuenta las siguientes reglas:

 La raíz n-ésima de un número positivo es un número positivo

√𝟓𝟏𝟐

𝟑

= 𝟖, ya que 𝟖𝟑_{= 𝟓𝟏𝟐} En el caso de que n sea par √𝑎𝑛 = 𝑏, donde b es positivo, puede tomar dos valores, por ejemplo:

𝟐𝟒_{= 𝟏𝟔 y (−𝟐)}𝟒_{= 𝟏𝟔, entonces,}

√𝟏𝟔

𝟒

= 𝟐,

ó,

√𝟏𝟔

𝟒

= −𝟐

Sin embargo, se tiene la raíz positiva, en el momento de obtener la raíz.

 Si n es un número impar y

𝒂

es un número negativo, entonces 𝒏

√𝒂

es negativa, por ejemplo:

√−𝟑𝟐

𝟓

= −𝟐, ya que (−𝟐)𝟓 = −𝟑𝟐  Si n es un número par y

𝒂

es un

número negativo, entonces 𝒏

√𝒂

no es entera, por ejemplo:

√−81

4

∉ ℤ

, ya que,

3

4

_{= 81 𝑦 (−3)}

4

_{= 81}

_.

En este caso

√−81

4 no tiene solución, ya que no existe un número entero que elevado a la cuarta potencia dé como resultado −81.

Ejemplos.

1. Expresar en forma de radicación la siguiente potencia:

(−𝟒)𝟓_{= −𝟏𝟎𝟐𝟒} Solución. Sabemos que:

𝒃

𝒏

= 𝒂,

se tiene que 𝒏

√𝒂

= 𝒃

Entonces, la potencia (−𝟒)𝟓_{= −𝟏𝟎𝟐𝟒 en}

forma de radicación es:

√−1024

5

= −4

2. Calcular las siguientes raíces realizando la comprobación de la respuesta obtenida. a) √−𝟏𝟐𝟓𝟑 √−125 3 = −5 ya que (−5)3_{= 169} b) √𝟏𝟐𝟏 √121 = 11 ya que 112= 121

(5)

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN DE ENTEROS

La radicación en los números enteros cumple las mismas propiedades que la radicación de números enteros, son las siguientes:

 Raíz de un producto

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores:

√𝒂 · 𝒃

𝒏

= √𝒂

𝒏

· √𝒃

𝒏 Ejemplo 1. √9 · 16 = √9 · √16 = 3 · 4 = 12 2. √−8 · 273 = √−83 · √273 = −2 · 3 = −6  Raíz de un cociente

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.

√

𝒂

𝒃

𝒏

=

√𝒂

𝒏

√𝒃

𝒏 Ejemplos. 1.

√

9 4

=

√9 √4

=

3 2 2.

√

64 −8 3

=

√64 3 √−8 3

=

4 −2

= −2

 Raíz de una potencia

Se divide el exponente del radicando entre el índice de la raíz

√𝒂

𝒎 𝒏

= 𝒂

𝒎÷𝒏 Ejemplos. 1.

√2

3 6

= 2

6÷3

= 2

2

= 4

2.

√3

8

= 3

8÷2

= 3

4

= 81

 Raíz de una raíz

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando

√ √𝒂

𝒏 𝒎

=

𝒎 𝐱 𝒏

√𝒂

Ejemplos

1. √√64

3

=

2 x 3

√64

= √64

6

= 2

2. √

9 3

√5

= √5

9·3

= √5

27 Ejercicios

1. Simplificar las siguientes expresiones aplicando propiedades de la radicación. a)

√𝟖𝟏 · 𝟏𝟔

𝟒

= √81 · 16

4

= √81

4

· √16

4

= 3 · 2

= 6

b)

√ √𝟕𝟐𝟗

𝟑

= √ √729

3

= √729

6

= 3

c)

√ √𝟐

𝟓 𝟕

· 𝟐

𝟏𝟑

= √ √2

5 7

_{· 2}

13

_{= √2}

10 20

_{= 2}

20÷10

= 2

2

= 4

2. Resolver cada expresión

a)

√√√[(−𝟑)

𝟓 𝟔

(−𝟑)

𝟗

]

𝟒 𝟑

(6)

= √[(−𝟑)

𝟑𝟎 𝟔

_(−𝟑)

𝟗

_]

𝟒

= √[(−𝟑)

𝟑𝟎 𝟏𝟓

_]

𝟒

_{= √(𝟑)}

𝟑𝟎 𝟔𝟎

= (𝟑)

𝟐

= 𝟗

b)

√ √√[(−𝟓)

𝟒 𝟒𝟎

÷ (−𝟓)

𝟏𝟔

]

𝟑 𝟑

= √[(−𝟓)

𝟐𝟒 𝟒𝟎

_{÷ (−𝟓)}

𝟏𝟔

_]

𝟑

= √[(−𝟓)

𝟐𝟒 𝟐𝟒

_]

𝟑

_{= √(−𝟓)}

𝟐𝟒 𝟕𝟐

= (𝟓)

𝟑

_{= 𝟏𝟐𝟓}

ACTIVIDAD 2

1. Calcular las raíces

a)

√−𝟏𝟐𝟓

𝟑 b)

√𝟏𝟎𝟎

c)

√𝟖

𝟑

d)

√𝟐𝟓 + √−𝟔𝟒

𝟑

e)

√−𝟔𝟒

𝟑

− √−𝟑𝟐

𝟓

2. Realizar las operaciones aplicando las propiedades de la radicación

a)

√𝟔𝟒 · 𝟏𝟐𝟏

b)

√(−𝟏𝟐𝟓) · (𝟑𝟒𝟑)

𝟑 c)

√(−𝟑𝟐) · (−𝟐𝟒𝟑)

𝟓 d)

√(−𝟑)

𝟓 𝟏𝟎

· (−𝟓)

𝟓 e)

√(−𝟖)

𝟑 𝟏𝟐

÷ (−𝟖)

𝟔

3. Calcular el valor que debe ir en la casilla a)

√−𝟏𝟐𝟓

𝟑

=

b)

√

= 𝟏𝟓

c)

√𝟏𝟐𝟖 = 𝟐

d)

√

= 𝟏𝟐

e)

√−𝟔𝟒 = −𝟒

JUEGO MATEMÁTICO

Descubre la secuencia y encuentra el valor de la incógnita 8+2 = 16106 5+4 = 2091 9+6 = 54153 6+5 = 30111 9+7 = ¿?

BIBLIOGRAFÍA Y WEBGRAFÍA

 Los Caminos del Saber. Matemáticas 7. Editorial Santillana.

 Sistema de los números enteros https://es.khanacademy.org/math/arit

metica-pe-pre- u/xce51e392da300f11:sistema-de-los-numeros-enteros