1
Funciones
El concepto de función corresponde a una idea intuitiva presente en el idioma de la calle: Los impuestos que pagan las personas están (o deberían estar) en función de los ingresos, los resultados obtenidos en los estudios son función del tiempo dedicado a estudiar, el consumo de gasolina en un viaje es función de ("depende de") los kilómetros recorridos, la estatura es función de la edad, el número de escaños obtenidos por un partido político después de unas elecciones es función del número de votos obtenidos (ley de Hónt), el área de un cuadrado es función del lado, el volumen de agua que contiene una piscina es función de sus medidas, la proporción de Carbono 14 presente en una momia egipcia es función del tiempo transcurrido desde la muerte, etc.
El concepto de función es uno de los conceptos fundamentales más importantes de la
Matemática. La parte principal de la Matemática actual se centra en torno a este concepto, que es básico para el estudio del Cálculo.
Definición de función
Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una relación que a cada elemento x A asocia uno y sólo un elemento 𝑦 en B.
“𝑦 " es llamado el valor de 𝑓 en 𝑥 (Imagen de 𝑥 bajo 𝑓) y se denota por 𝑓(𝑥)
El conjunto 𝐴 es llamado Dominio de definición de la función 𝑓 y se denota por 𝐷𝑜𝑚 𝑓 y corresponde al conjunto de partida para el cual 𝑥 tiene imagen.
El conjunto B es llamado Codominio.
Usaremos la siguiente notación para explicitar el Dominio y Codominio de la función f. f : A B
A: Es el dominio B: Es El codominio
Ejemplo
1) 𝑓: 𝑅 → 𝑅 tal que 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥2
Es decir, f es la función que a cada real x le asocia su cuadrado 𝑥2. Así tenemos que: 𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑅 ;
2
además, 𝑓 ( 1 ) = 1 , 𝑓 ( 0 ) = 0 , 𝑓 ( −4 ) = (−4)2 = 16, 𝑓 (2
) = 2.2) 𝑔 ∶ 𝑅+ 𝑅+ y 𝑔 ( 𝑥 ) =
x
g es la función que a cada real x > 0 le asocia su raíz cuadrada positiva. En esta función 𝐷𝑔 = 𝑅+ además, 𝑔 ( 1 ) = 1 𝑔 ( 2 ) =
2
No todas las funciones están definidas mediante una ecuación, pero son en éstas en las que centraremos nuestro interés; aún más, trabajaremos con funciones
𝑓 ∶ 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑅, llamadas Funciones Reales ( 𝐷𝑜𝑚𝑓 𝑅 ).
𝑓: 𝐷𝑜𝑚 𝑓 → 𝑅 𝑥 → 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Dominio de una Función.
Para funciones definidas mediante una ecuación el Dominio consta de todos aquellos valores de x para los cuales puede computarse 𝑓 ( 𝑥 ), de modo que el resultado sea un número real. Para el caso esto implica la exclusión de valores de x que llevan a división por cero y a las raíces de índice par de números negativos.
Ejemplos
1) Si se da 𝑓 ( 𝑥 ) = 3𝑥2 + 2 ; ( 𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑅 ).
2) 𝑓 ( 𝑥 ) = 3𝑥2 + 2; 1 ≤ 𝑥 ≤ 10, entonces el dominio de f es 1, 10.
3) 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 + 1 , llamada FUNCIÓN RACIONAL
Debemos analizar el denominador, tener cuidado que no debe ser 0 al reemplazar 𝑥 Como 𝑔 ( 𝑥 ) debe ser valor real; no puede considerarse 𝑥 = 1
𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑅 − {1} , lo que significa , el dominio consiste de todos los números reales menos el 1 4) Sea f ( x ) =
1
x
llamada FUNCIÓN RAÍZ CUADRADADe acuerdo a lo anterior para determinar el Dominio de esta función debemos encontrar los valores de x para los cuales f ( 𝑥 ) 𝑅
𝑓 ( 𝑥 ) 𝑅
1
x
𝑅 1 – 𝑥 0 𝑥 ≤ 1
3
5) Una función puede expresarse por partes𝑆𝑒𝑎
1
1
1
3
1
2x
si
x
x
si
x
si
x
x
f
Esta función es llamada FUNCIÓN DEFINIDA A TRAMOS
En esta función el Dominio está dado explícitamente y de acuerdo a la definición de la función f, en el ejemplo 𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑅
Rango o recorrido de una Función.
Dada una función f: A B. El conjunto de los elementos y B tales que existe 𝑥 𝐴 (por lo menos uno) tal que 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑦 es llamado conjunto imagen de la función f o Rango de la función f y designado por 𝑅𝑒𝑐 𝑓
Los siguientes ejemplos aclaran como determinar el rango de una función definida por una ecuación. Ejemplo 1) Consideremos la función
2
1
x
x
f
, x ≠ -2Sea 𝑦 = 𝑓 ( 𝑥 ), esto es, 𝑦 =
2 1 x
Encontrar el Rango de la función f es equivalente a determinar todos los valores de 𝑦 que son imágenes de 𝑥 Despejando x, desde 𝑦 = 2 1 x se tiene : 𝑥 =
y
1
− 2𝑥 está determinado para cada valor de y, excepto el 0. Luego, 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = 𝑅 − { 0 } 2) Sea 𝑦 = 𝑓 ( 𝑥 ) =
1
x
Puesto que se calcula la raíz cuadrada no negativa, entonces y 0. Resolviendo la ecuación y =
1
x
para x,x = 1 – y2
𝑥 es un número real cuando y es un número real ; entonces tomando en cuenta que y 0, para que cumpla la condición de función . Concluimos que 𝑅𝑒𝑐𝑓 = [0, + ).
4
Plano cartesiano.Es la unión de dos rectas perpendiculares que dividen un plano en cuatro cuadrantes. A la recta horizontal se le llama eje de las ”𝑋” o abscisas y a la recta vertical se llama eje de las “𝑌” u ordenadas. Formando de esta manera cuatro cuadrantes.
Y( u ordenadas)
II (-, +) I (+, +)
X ( abscisas)
III (-,-) IV (+,-)
En el plano cartesiano se pueden encontrar parejas de números llamados coordenadas que se forman con un valor para “x” y un valor para “y”, el punto 𝑃 = (𝑥, 𝑦).
Ejemplo:
Representar los puntos: 𝐴 = (2,3) 𝐵 = (−2, 5) 𝐶 = (3, 0) 𝐷 = (5, − 3)
Gráfico de una Función.
Las gráficas producen un impacto visual. También suministran información que puede no ser evidente a partir de descripciones verbales o algebraicas.
5
La última gráfica muestra la variación en la producción industrial total de cierto país durante un período de 4 años. Observar que el punto más alto en la gráfica se presenta cerca del final del tercer año, lo cual indica que la mayor producción ocurrió en esa épocaLa gráfica de una función 𝑓 dada, está formada por todos los puntos (𝑥, 𝑦) en que 𝑥 está en el dominio de 𝑓 y 𝑦 = 𝑓(𝑥) . El gráfico de una función determina una curva en 𝑅 𝑥 𝑅, la cual permite ver el comportamiento analítico de la función.
El gráfico 𝐺𝑟𝑎𝑓 𝑓 de una función se define por:
𝐺𝑟𝑎𝑓 𝑓 = { ( 𝑥, 𝑦 ) 𝑅2 / 𝑥 𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑦 = 𝑓 ( 𝑥 ) }
Para graficar una función usaremos el sistema cartesiano de coordenadas y como en la mayor parte de los casos, una adecuada tabla de valores con dos columnas. En la primera se colocan algunos valores del dominio de la función y en la segunda columna se escriben los valores correspondientes de la función.
El número de puntos a considerar en esta tabla de valores dependerá de la precisión que se requiere para el gráfico.
Criterio de la recta vertical
Un curva es la gráfica de una función si y sólo sí ninguna recta vertical corta la curva más una vez.
6
EjemploSe muestran algunos gráficos de funciones con sus respectivas tablas de valores. 𝑓 ( 𝑥 ) = x2 – 1.
𝑥 -2 -1 0 1 2
𝑓(𝑥) 3 0 -1 0 3
b) 𝑓 ( 𝑥 ) =
x
Para que corresponda a una función debemos considerar sólo el signo positivo de la raíz
c) 𝑓(𝑥) =
1𝑥d) 𝑆𝑒𝑎
1
1
1
3
1
2x
si
x
x
si
x
si
x
x
f
7
Nota Del gráfico de una función f se puede determinar el Dominio y Rango de fLa proyección del gráfico de f sobre el eje x determina el Dominio de f.
8
Ejemplos:
1) Expresar en términos de 𝑥 el Volumen de una caja rectangular, formada a partir de una hoja de cartulina de dimensiones 30 cm por 20 cm, a la cual le hacemos un recorte cuadrado de x cm por lado en cada esquina.
Solución:
El volumen dependerá del ancho del cuadrado 𝑥
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 ∗ 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 ∗ 𝑎𝑙𝑡𝑜
𝑉 = (30 − 2𝑥)(20 − 2𝑥)𝑥
𝑽(𝒙) = (𝟑𝟎 − 𝟐𝒙)(𝟐𝟎 − 𝟐𝒙)𝒙
2) Expresar el área de una lámina rectangular cuyo perímetro es 60 cm en término de uno de sus lados.
El área del rectángulo es 𝐴 = 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 ∗ 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 = 𝑏 ∗ 𝑥
Obtenemos b a partir del perímetro 𝑃 = 2𝑏 + 2𝑥 , 2𝑏 + 2𝑥 = 60 ⟹ 𝑏 = 30 − 𝑥 𝑷(𝒙) = (𝟑𝟎 − 𝒙)𝒙
9
3) La siguiente gráfica corresponde a la temperatura de un enfermo de un hospital a lo largo de undía
a) ¿Cuál es la variable independiente?
La variable independiente corresponde a la hora del día (ℎ𝑟. )
b) ¿Cuál es la variable dependiente?
La variable dependiente es la temperatura
c) ¿A qué hora estaba peor? A las 20 horas
d) ¿En qué momento la temperatura fue anormalmente baja? A las 14 horas.
e) ¿Cuál es el dominio de la función?
El dominio corresponde a [0, 24]
f) ¿Cuál es le recorrido?
El recorrido corresponde a [35, 40]
g )
Por qué aparece quebrada la línea vertical que representa la temperatura entre 0° y 35°. ¿Qué respuesta daría usted.10
L a s fu n c io n e s p u e d e n e s t a r d e f in id a s e n fo r ma e x p lí c it a o i mp lí c it a F u n c io n e s e x p lí c i t a : S o n a q u e ll a s e n la s c u a l e s 𝑓(𝑥) o 𝑦 v ie n e e x p r e s a d o e n t é r m in o s d e 𝑥 Po r e j e mp lo : 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 2F unci ones i m pl í ci t a s :
S o n a q ue l l as d e fi n i d a s e n té rm in o s d e un a e cu a ci ón
d e la fo rma 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 si en d o 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Po r e je mpl o 5𝑥 − 𝑦 − 2 = 0
F unci ón pol i nóm i ca
Es l a fu n ci ón q u e vi en e d e fi n id a po r un p o li n o mi o .
𝑓(𝑥) = 𝑎
0+ 𝑎
1𝑥 + 𝑎
2𝑥² + 𝑎
3𝑥³ +··· + 𝑎
𝑛𝑥
𝑛S u d o min io e s 𝑅, e s d e ci r , cu a lq u ier n úm e ro re a l ti e ne i ma ge n .
Función constante
El criterio viene dado por un número real .
𝑓(𝑥) = 𝑘
La gráfica es una recta horizontal paralela a al ej e de abscisas.
Funciones polinómica de primer grado :
Función Lineal
11
Es de la forma
𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒃
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de
la función
La función lineal es del tipo:
𝒚 = 𝒎𝒙
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.
Ejemplo
a)
𝑦 = 2𝑥 b) 𝑦 = 2𝑥 + 4 c) 𝑦 = −2𝑥 + 4
x
0
1
2
3
4
𝑓(𝑥) = 2𝑥
0
2
4
6
8
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 2
2
4
6
8
10
𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 2
Pendiente de una recta
m es la pendiente de la recta.
La pendien te es la inclinación de la recta con respect o al eje de
abscisas (eje X)
Si m > 0 la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la
parte positiva del eje OX es agudo.
Si m < 0 la función es decrecien te y el ángulo que forma la recta con
la parte positiva del eje OX es obtuso.
12
Si m = 0 la recta es horizontal , es decir, paral ela al eje X
La p e nd i en te de un a re cta L qu e pa sa p or do s p un to s 𝑷
𝟏= (𝒙
𝟏, 𝒚
𝟏) y
𝑷
𝟐= (𝒙
𝟐, 𝒚
𝟐) se puede obtener mediante:
𝒎 =
𝒚
𝟐− 𝒚
𝟏𝒙
𝟐− 𝒙
𝟏La e cu a ció n d e u n a re cta qu e ti e n e p en di e n te 𝒎 y p a sa p o r e l pu n to
𝑷
𝟏= (𝒙
𝟏, 𝒚
𝟏) corresponde a 𝒚 − 𝒚
𝟏= 𝒎(𝒙 − 𝒙
𝟏)
A l de sa rro l la r q u ed a d e l a for m a 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 l l a m ad a fo rm a gen e r al
F unci ón i dent i da d
E s d e l a f o r m a 𝒇(𝒙) = 𝒙
13
Funciones cu adráti cas
Son funciones polinómicas de segundo grado, siendo su gráfica una
curva llamada parábola.
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
2+ 𝑏𝑥 + 𝑐
Representación gráfica de la parábol a
Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:
1) Vértice 𝑉 = (ℎ, 𝑘)
Obtenem os
ℎ = 𝑥 = −
2𝑎𝑏,
𝑘 = 𝑦 = 𝑓(ℎ) = 𝑓(−
2𝑎𝑏)
V = (h, k) = (−
b
2a
, f (−
b
2a
))
Por el vértice pasa el eje de simetrí a de la parábola.
La ecuación del eje de simetría es:
𝑥 = −
2𝑎𝑏2) Intersección con eje X Puntos de corte con el eje OX
En el ej e de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que
tendremos:
𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
Dos puntos de corte:
(𝑥
1, 0) y (𝑥
2, 0) si b² − 4ac > 0
Un punto de corte: (𝑥
1, 0) si b² − 4ac = 0
14
3)
Intersección con eje Y. P unto de corte con el eje OY
En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que
tendremos:
𝑓(0) = 𝑎 · 0² + 𝑏 · 0 + 𝑐 = 𝑐 (0, 𝑐)
Ejemplo:
Graficar la función
𝑓(𝑥) = 𝑥² − 4𝑥 + 3.
Vértice
h=
x
= − (−4) / 2 = 2 k = 2² − 4· 2 + 3 = −1
V= (2, −1)
Intersección con eje X
(hacer y = 0)
Nos queda
𝒙
𝟐− 𝟒𝒙 + 𝟑 = 𝟎 resolviendo
𝒙 =
𝟒 ± √𝟏𝟔 − 𝟏𝟐
𝟐
=
𝟒 ± 𝟐
𝟐
𝒙𝟐 = 𝟏 𝒙𝟏 = 𝟑los puntos son
(3, 0) 𝑦 (1, 0)
Intersección con eje Y
(hacer x = 0)
Nos queda y = 3 El punto es (0, 3)
Ubicamos esos puntos en un plano cartesiano, los unim os para form ar l a
curva.
Funciones definidas a tramo s o por partes
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que
se consideren.
15
El dominio lo forman todos los números reales menos el 4 y el recorrido
todos los reales positivos y el cero.
Funciones racionales
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
𝑓(𝑥) =
𝑝
𝑛(𝑥)
𝑞
𝑚(𝑥)
=
𝑎
0+ 𝑎
1𝑥 + 𝑎
2𝑥
2+ ⋯ + 𝑎
𝑛𝑥
𝑛𝑏
0+ 𝑏
1𝑥 + 𝑏
2𝑥
2+ ⋯ + 𝑏
𝑚𝑥
𝑚El dominio lo forman todos los números real es excepto los valores de x
que anulan el denominador.
𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2𝑥 + 1
Algebra de Funciones
Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los números: sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar a una potencia, sacar raíz o se puede hacer combinaciones.
Sean f y g dos funciones cuyos dominios son Dom f y Dom g , respectivamente.
La suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g son las funciones definidas por: (𝑓 ± 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)
(𝑓. 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
(𝑓𝑔) (𝑥) =𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) , considerar 𝑥 / 𝑔(𝑥) ≠ 0
En cada uno de los casos anteriores, el dominio de la función resultante, es la intersección de los dominios de f y g. En el caso particular del cociente se deben excluir de la intersección los valores de x que anulen el denominador g.
16
EjemploSea f ( x ) =