DISMINUCIÓN DEL NIVEL DE RUIDO EN IMÁGENES DE
RESONANCIA MAGNÉTICA USANDO LA TRANSFORMADA
WAVELET.
J. E. PazCentro de Estudios de Electrónica y Tecnologías de la Información, CEETI. Facultad Ingeniería Eléctrica, Universidad Central “Marta Abreu” de las Villas,
e-mail: jpaz@uclv.etecsa.cu
RESUMEN
Se expone la creación de algoritmos de filtrado basados en la Transformada Wavelet (TW) para suprimir parte del ruido presente en imágenes de Resonancia Magnética (RM).
Con ayuda de la propia TW se estima la potencia de ruido presente en la señal la que se introduce más tarde a los algoritmos construidos que utilizan este valor para discriminar el nivel de ruido respecto al nivel de la señal.
Luego de aplicado estos filtros, la imagen aumenta en más de un 25% su relación señal ruido y los bordes se preservan mejor que con el uso de anteriores filtros.
Estos softwares tienen aplicación práctica en los equipos de RMI cubanos Giroimag 01 y Giroimag 02 instalados en hospitales de nuestro Sistema Nacional de Salud.
Palabras clave: MRI, denoising, Wavelet, procesamiento
de imágenes.
1. INTRODUCCIÓN
En el campo de la imagenología es muy importante que la imagen que es evaluada por el especialista esté libre de ruido y artefactos que interfieran destructivamente con detalles de interés y que dificultan un diagnóstico preciso.
Cada uno de los sistemas que intervienen en el proceso de adquisición de una imagen de RM y que componen la máquina de imágenes le adicionan a la señal útil otra señal, que aunque generalmente es de menor intensidad, interfiere destructivamente con ella. La suma de estas señales interferentes es el ruido que afecta la calidad de la imagen recién obtenida. Se manifiesta como puntos de intensidad media alta, aislados y de dimensión en el orden de los pixels.[1]
El efecto indeseado del ruido puede ser corregido, en cierta medida, a través de algoritmos que se aplican sobre la imagen recién obtenida para mejorar su calidad final donde ésta adquiere su forma final para ser evaluada por el especialista.
Para un criterio de medida más preciso, se calcula la Relación Señal–Ruido (RSR) mediante la siguiente expresión:
RSR = S / σ (1) donde:
S: valor medio de la intensidad de la señal de una región de interés centrada en la imagen,
σ: desviación estándar en el fondo de la imagen. La ganancia en RSR, medida en porciento, mide el incremento de esta magnitud luego de realizado el procesamiento en cuestión. 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0
Fig. 1. Perfil de una imagen antes y después de haber sido tratada con un filtro Gaussiano.(Hanning)
En la literatura se ha impuesto el término filtrado para expresar el proceso donde se disminuye el nivel de ruido. En nuestro trabajo se asumirá este término siempre considerando es imposible suprimir totalmente el ruido y los artefactos que contenga ésta.
En la mayoría de los equipos de imágenes, en particular los de RM, se han usado satisfactoriamente filtros basados en la transformada de Fourier para el filtrado de la imagen como los filtros Hanning , Hamming, Kalman, etc. Estos filtros aprovechan el hecho que el ruido tiene mayor potencia a altas frecuencias que muchas señales. La figura 1 muestra un perfil de una imagen luego de haber sido sometida a la acción de un filtro Hanning. Se observa un suavizamiento de los picos en la gráfica lo que se traduce como un efecto de blurring en la imagen debido a la pérdida de detalles finos en la señal. [2]
2
.METODOLOGÍA
En este trabajo se presenta el uso de la TW como una alternativa para el filtrado de imágenes de RM que supera los resultados obtenidos con los métodos ya existentes basados en la teoría de Fourier.
Memorias II Congreso Latinoamericano de Ingeniería Biomédica, Habana 2001, Mayo 23 al 25, 2001, La Habana, Cuba
En este nuevo tipo de filtrado, al igual que en métodos anteriores, la señal es sometida a un proceso de umbral en el espacio de la transformada. El método resulta novedoso debido a que los coeficientes de la TW brindan no sólo información de las componentes espectrales de la señal, sino también la localización de cada componente dentro de ella. [3]
Transformada Wavelet de una función.
La transformada Wavelet (TW) de una función f∈∈ L2(R) es el producto de ésta por el conjunto de funciones Ψ
Ψj,k(x) denominadas funciones Wavelet que pertenecen a
una base ortonormal (BON) y que cumplen la condición de admisibilidad [4].
La familia de funciones es generada a partir de una función original Ψ(x) por medio de dilataciones y traslaciones de ésta:
Ψj,k(x)= |a|-1/2 Ψ (x-j/k) , j, k ª Z, (2) donde:
N : dimensión de la señal en estudio, j = 0,1,...,log2(N)-1,
k = 0,1,…, 2j-1,
Existen varios tipos de funciones Wavelets. Resaltan las de tipo discontinuas [Wavelet de Haar], las de estructura de Fractal [Daubechies] y las simétricas [Mexican Hat] por sólo citar unos ejemplos. En Matlab se designan como (dbN): Daubechies, (symN): symlets y (coifN): coiflets.
La TW de una función se define entonces como: (TW f) (j,k)= <f;
Ψ
Ψ
j,k>= ∫dx f(x) |j|-1/2Ψ
Ψ
(x-j/k)(3),
que no es más que el conjunto de coeficientes: cj,k = 〈 f(x) ,Ψj,k(x) 〉
(4),
Luego de transformada, es posible reconstruir f(x) en la base {Ψj,k} a partir de sus coeficientes en forma de desarrollo en series según la expresión:
f(x) = ΣΣ cj,kΨΨj,k(x); (5).
Estimado de los umbrales de ruido.
La tesis sobre la cual se sustenta este trabajo es considerar la imagen como la suma de una imagen sin agentes que afectan su calidad, más otra “imagen” de igual dimensión que representa el ruido adicionado en la adquisición. Ver Fig. 2
Fig. 2. La imagen obtenida se considera compuesta de la señal sin afectaciones más ruido.
La figura 3 muestra el nivel de ruido a distintos niveles de descomposición de la TW. En las escalas de alta frecuencia, la potencia de ruido es mucho mayor que en las de baja frecuencia.
Fig. 3. Fila de una imagen de RM descompuesta en tres niveles de resolución. S: señal original, D7: nivel de detalle más fino, D6 y D5 niveles
de detalle adyacentes.
El método de la TW aporta la ventaja de poder estimar un umbral de ruido para cada nivel de resolución. Para esto se toman algunas filas o columnas del fondo de la imagen donde no haya señal de interés, sólo ruido de fondo, se les aplica la TW y se determina la potencia del ruido a cada uno de los niveles de resolución.
∑ ∑
= − ==
L l i l ij j jc
L
r
1 1 2 0 2)
(
1
(6) donde: j : nivel en estudio;L: número de filas o columnas tomadas para el análisis;
(ci,j )l : coeficientes de la transformada en el nivel de resolución j de la fila o columna l.
Obteniéndose un umbral de ruido para cada nivel de resolución:
R = { r0, r1, r2,…,rn }; (7)
Entre las distintas bases de funciones Wavelets existentes se ha seleccionado para el análisis, la base de funciones ortonormales de Daubechies ‘db2’ [4].
Filtrado Unidimensional.(1-D)
El procedimiento comienza calculando la TW unidimensional de cada fila y columna de la imagen. Teniendo la imagen en el espacio de la transformada, se procede a restar un porciento, ajustable por el usuario, de los umbrales de ruido estimados a los coeficientes de la transformada que se encuentran en el nivel respectivo a cada umbral.
Las imágenes de estudio utilizadas en ese trabajo son de dimensión 128 x 128 y 256 x 256 pixels las cuales admiten un máximo de 7 y 8 niveles de descomposición respectivamente.
En la práctica, se aplica el siguiente procedimiento conocido en la literatura como softhresholding:[5]
j,k 20 40 60 80 100 120 -5 0 5 S 20 40 60 80 100 120 -5 0 5 D7 10 20 30 40 50 60 -4 -20 2 4 D6 5 10 15 20 25 30 -20 2 D5 2 6.75 4.10 3.89 Vmax.
> − ≤ − ≤ + = . | ) ( | * ) , ( | ) ( | * ) , ( |; ) ( | * ) , ( | 0 |; ) ( | * ) , ( | ) ( | * ) , ( ) , ( j R p k j c si j R p k j c j R p k j c si j R p k j c si j R p k j c k j d f fl f fl f fl f fl f fl fl (8) donde:
d
fl( k
j
,
)
: coeficientes corregidos,c
fl( k
j
,
)
: coeficientes originales,Rf(j): umbrales de ruido previamente estimados.
p : porciento (ajustable por el usuario) del umbral de ruido a sustraer,
Luego que se ha realizado esta operación, se regresa al espacio de la imagen transformando inversamente los coeficientes corregidos con ayuda de la función idwt2 que también se encuentra en la Toolbox Wavelet del Matlab.
Fig. 3 Los coeficientes de la transformada de módulo mayor que el umbral son reducidos en un determinado porciento mientras que los que están por
debajo del umbral son anulados.
Filtrado Bidimensional. (2-D)
La diferencia con el método 1-D radica en que se le aplica a la imagen la TW bidimensional lo cual desde el punto de vista computacional agiliza el procesamiento.
En el método bidimensional se utiliza una base ortonormal de N^2 funciones construidas a partir de las funciones unidimensionales.
ΦΦxy(2d)=ΦΦx(1d)*ΦΦy(1d) (9) En este método se ha escogido la variante de utilizar la desviación estándar de los coeficientes de la TW de la imagen para hacer el estimado de la potencia del ruido.
Procedimiento a seguir en el método bidimensional: 1. calcular la TW 2-D de la imagen solamente a la cantidad de niveles que se van a estudiar,
2. calcular la desviación estándar de los coeficientes de la TW a cada escala de resolución( umbrales de la potencia del ruido). No se aplica para los coeficientes de aproximación,
3. restar un porciento de los umbrales calculados a los coeficientes de detalle de la transformada a cada uno de los niveles respectivos,
4. retorno al espacio inicial de la imagen transformando inversamente los coeficientes corregidos.
El proceso está orientado hacia los niveles de resolución más altos donde se concentra mayormente el ruido
Mascara y Esparcidad.
La máscara (M) de la TW es una matriz binaria que representa con sus “unos” (mij=1) los lugares donde permaneció algún valor distinto de cero luego del softthresholding y con los “ceros” (mij=0) los lugares donde fueron anulados los coeficientes.
El trabajo con esta matriz facilita operaciones de tipo geométricas, a cambio de un bajo costo computacional gracias a su propiedad binaria.Estas operaciones son: 1. Eliminación de puntos aislados en altos niveles de detalle y 2. eliminación de píxeles de ruido haciendo uso de la propiedad de similitud entre dos niveles de detalle adyacentes en la transformada.
Luego de ejecutadas estas operaciones, se hace una multiplicación punto a punto de ésta con la matriz que se obtiene luego del softthresholding y se calcula la transformada inversa para obtener la imagen filtrada.
Fig. 4. Máscara de la transformada Wavelet de una imagen de un
phantom: a) luego de aplicado el softthresholding, b) luego de procesada la
máscara.
Al terminar el proceso del softthresholding y las operaciones que se realizaron con la máscara, se ha reducido en gran medida el número de coeficientes que son necesarios para reconstruir la señal lo que implica que su esparcidad ha aumentado[6]. La esparcidad de una señal se define como:
S = 100 - NZ/100; 0S1; (10) donde:
NZ: es el porciento de coeficientes distintos de cero.
Tabla I
Comparación entre las distintas bases de funciones.
Base p < C Comentarios
db1 0.75 2.3266 Para p mayores se observa distorsión en la imagen.
db2 1.5 3.2419 Para p mayores aparece blurring. 0 20 40 60 80 100 120 140 -60 -40 -20 0 20 40 60 Umbral
db3 1 2.6989 Para p mayores se hace mayor el blurring.
coif1 1.5 3.1994
... ... ...
coif4 1.5 3.2161
sym2 1.5 3.2401 sym2 similar a db2. ... ... ...
sym6 1.5 3.2245
La esparcidad S y la relación de compresión C de una señal se relacionan según la expresión:
S = 1 - 1/C ; (11) A continuación se muestra una comparación entre distintas bases Wavelets en cuanto al grado de compresión que se logra con cada una de ellas.
3. RESULTADOS
Como se observa en la siguiente tabla, el filtro Wavelet muestra la mejor ganancia en RSR que equivale a un incremento visible de la calidad de la imagen. La menor pérdida de resolución indica que los bordes y otros objetos de interés sufren poca distorsión durante el procesamiento. [7]
Tabla II
Comparación entre distintos métodos de filtrado.
SNR Ganancia SNR(%) Pérdida deResolución (%) Imagen original 10 - -Spatial Average Ventana (3x3) 28 180 184 Filtro Hanning 27 170 106 Filtro Gausiano 19 90 0 Filtro Wavelet 29 190 12
4. DISCUSIÓN
La figura 5. muestra una sección de una imagen de RM antes y después de haber sido procesada con el filtro Wavelet.
a) b )
Fig. 5. Sección de una imagen de RM antes (a) y después (b) de haber sido procesada con el filtro Wavelet bidimensional.
Se observa como el filtro elimina el efecto de granulado que produce el ruido en la imagen sin afectar los bordes y los detalles de estructuras dentro de ésta.
Se observa en la figura 6 como en la zona de fondo, el filtro elimina completamente el ruido presente mientras
que en la zona donde existe señal de interés se conservan los detalles y el filtro “sigue” aproximadamente la forma de la señal.
Fig. 6. Segmento de un perfil de una imagen tratada con un filtro Wavelet.
5. CONCLUSIONES
La variante bidimensional que utiliza la desviación estándar de los coeficientes para estimar la potencia de ruido es la que mejores resultados ofrece con una ganancia en SNR de 25% comparado con la variante 1-D. Los filtros Wavelet ofrecen los mejores resultados comparados con otros filtros.
AGRADECIMIENTOS
El autor desea agradecer al Centro de Biofísica
Médica y al Centro de Estudios de Electrónica y Tecnologías de la Información por el apoyo brindado.
REFERENCIAS
[1] H. Gudbjartsson, S. Pats, “The Rician Distribution of Noisy MRI Data”, Magn. Res. Med., 24, pp. 910-914, 1995.
[2] J.W. Woods and C. H. Radewan, “Kalman Filtering in Two Dimensions”, IEEE Trans. On Inf. Theory.,23, pp.473-482, 1977. [3] M. Unser, A. Aldroubi, - "A Review of Wavelets in Biomedical
Applications". Proceedings of The IEEE, Vol.84, No.4, April 1996. [4] I. Daubechies, “ Ten Lectures on Wavelets”, SIAM, Philadelphia,
Pennsylvania, 1992.
[5] J.B.Weaver, Y. Xu, D.M. Healy, "Filtering Noise from Images with Wavelet Transform". Magnetic Resonance in Medicine. 2, 288 (1991).
[6] Henry M. Pochlopek, Joseph P. Noonan, “Wavelets, Detection, Estimation and Sparsity”, DSP 7, 28-36, 1997. No. 2, March 1992. [7] J.M. Parra, E. R. Glez, J. E. Paz, N. A. Alvarez, “Postprocessing of
MR Images: Noise Filtering and Distortion Correction”, Proceeding of Medical 1998, San Diego, CA.
0 50 100 150 200 250 300 -50 0 50 100 150 200 100 Fondo
DECREASE OF THE NOISE LEVEL IN MAGNETIC
RESONANCE IMAGES USING WAVELET.
ABSTRACT
This work exposes the creation of filter algorithms based on Transformed Wavelet (TW) to suppress part of the noise in images of Magnetic Resonance (RM). With the help of the own TW is considered the power of noise in the signal, that is introduced later to the algorithms that use this value to discriminate against the level of noise regarding the level of the signal. After having applied these filters, the image increases in more than 25% its relationship signal-noise and the borders are preserved better than with the use of other filters. These algorithms have practical application in the Giroimag 01 and Giroimag 02 RMI systems, which are installed in hospitals of our National System of Health.
