APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

1. MONOTONIA Y DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

1.1. Definiciones

a) Una función f(x) es creciente en un intervalo ( ba, ) de su dominio si  x₁ y x₂  ( ba, ) con x ₁ x₂ se cumple que f(x1) f(x2).

b) Una función f(x) es estrictamente creciente en un intervalo ( ba, ) de su dominio si  x₁ y x₂  ( ba, ) con x 1 x2 se cumple que f(x1) f(x2).

c) Una función f(x) es decreciente en un intervalo ( ba, ) de su dominio si  x₁ y x₂  ( ba, ) con x ₁ x₂

se cumple que f(x1) f(x2).

d) Una función f(x) es estrictamente decreciente en un intervalo ( ba, ) de su dominio si  x₁ y x₂

 ( ba, ) con x ₁ x₂ se cumple que f(x₁) f(x₂).

e) Una función f(x) tiene un máximo relativo o local en un punto x₀ si es posible determinar un entorno reducido dex₀,E*(x₀,r) en el que f(x₀) f(x) xE*(x₀,r).

f) Una función f(x) tiene un mínimo relativo o local en un punto x₀ si es posible determinar un entorno reducido dex₀,E*(x₀,r) en el que f(x₀) f(x) xE*(x₀,r).

g) Una función f(x) tiene un máximo absoluto en un punto x0 si f(x0) f(x) x Dom f( ). h) Una función f(x) tiene un mínimo absoluto en un punto x0 si f(x0) f(x) x Dom f( ).

Cuando se determinan los extremos de una función continua f(x) en un intervalo cerrado

 

a,b hay que tener presente que un extremo relativo puede ser absoluto, pero un extremo absoluto no es relativo cuando está en

a

x = ò x = . b

En x =c hay un máximo absoluto y relativo de f(x) en

 

a,b . En x =a hay un mínimo absoluto de f(x)en

 

a,b pero no relativo. En x =d hay un mínimo relativo de f(x) en

 

a,b .

a _{c d b}

Mínimo relativo Máximo

1.2. Monotonía y derivada de una función

1) Sea f(x) una función derivable en ( ba, ) y tal que f x( )=0  x  ( ba, ). Entonces f(x) es constante en ( ba, ).

2) Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables en ( ba, ) y tales que f(x)=g(x)  x ( ba, ). Entonces ambas funciones difieren en una constante, es decir, f(x)=g(x)+C  x ( ba, ).

3) Sea f(x) una función derivable en ( ba, ). Entonces:

Si f x( )0  x ( ba, )  f(x)es estrictamente creciente en ( ba, ). Si f x( )0  x ( ba, )  f(x) es estrictamente decreciente en ( ba, )

1.3. Puntos críticos

a) Si f a( )=0  diremos que a es un punto singular de f(x).

b) Los puntos xDom( )f en los que f x( )=0 ò  f (x)se denominan puntos críticos de f(x).

Determinación de la monotonía de una función

1) Hallamos el Dom f( ) y el dominio de continuidad de f(x). 2) Hallamos f (x) y el Dom f ( ).

Determinamos los puntos críticos de f(x) (xDom( )f en los que f x( )=0 ò  f (x))

3) Estudiamos el signo de f (x) en cada uno de los subintervalos en que los puntos críticos dividen al

) (

Dom f .

▪ Si f x( )0  x ( ba, )  f(x) es estrictamente creciente en

( )

a,b . ▪ Si f x( )0  x ( ba, )  f(x) es estrictamente decreciente en

( )

a,b .

▪ Si f(x)está definida en x =a y en ese punto f(x) pasa de ser estrictamente creciente a estrictamente decreciente entonces P(a,f(a)) es un máximo relativo.

▪ Si f(x)está definida en x =a y en este punto f(x) pasa de ser estrictamente decreciente a estrictamente creciente entonces P(a,f(a)) es un mínimo relativo.

1.4. Extremos relativos y derivada

1.4.1. Teorema

Sea f(x) derivable en x =a. Si f(x) tiene en x =a un máximo o un mínimo relativo  f a( )=0

El recíproco de este teorema no es cierto, es decir, que f a( )=0 no implica, necesariamente, que f(x) tenga en x =a un extremo relativo. Por ejemplo la función f(x)=x3 verifica que f(0)=0 y, sin embargo, x=0 no es un extremo relativo de f(x). 3 ) (x x f = 0 ) 0 ( 3 ) ( = 2   =  x x f f 0 = x no es extremo relativo de f(x)=x3

1.4.2. Observación

Para que un punto sea extremo relativo de una función tiene que ser un punto crítico de dicha función. Es decir, los extremos relativos de una función habrá que buscarlos entre sus puntos críticos.

Esta condición, sin embargo, no es suficiente. Es decir, que un punto sea crítico no quiere decir que necesariamente sea un extremo relativo de la función.

1.4.3. Determinación de extremos relativos

Sea f(x) una función derivable en xo y tal que f(x_o)=0.Entonces,

Si f (x_o)0 f(x) tiene en xo un mínimo relativo o local

Si f (x_o)0 f(x) tiene en xo un máximo relativo o local

Si f (x_o)=0¿?

Nota: Aunque este resultado nos permite determinar si un punto singular ( f(xo)=0) es extremo relativo de

una función, no debemos olvidar que una función también puede tener un extremo relativo en un punto en el que no es derivable. Por ejemplo, la función f(x)= x tiene un mínimo relativo (y también absoluto) en x=0 y no es derivable en dicho punto (x=0 punto anguloso).

1.5. Extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado

Para determinar los extremos absolutos de una función f(x) en un intervalo cerrado

 

a,b es preciso considerar:

1) Los puntos críticos de f(x) en ( ba, ) 2) Los puntos a y b

Se halla la imagen de todos ellos por f(x) y la mayor de ellas corresponderá al máximo absoluto y la menor al mínimo absoluto

2. CURVATURA DE UNA FUNCIÓN

2.1. Definiciones

Una función f(x) es cóncava hacia arriba en un intervalo, si para cualquier par de puntos del intervalo el segmento que los une queda por encima de la gráfica de f en ese intervalo.

Una función f(x) es cóncava hacia abajo en un intervalo, si para cualquier par de puntos del intervalo el segmento que los une queda por debajo de la gráfica de f en ese intervalo.

2.2. Curvatura y derivada de una función

A) Sea f(x) una función derivable. Entonces:

▪ Si f (x) es estrictamente creciente  f(x) es cóncava hacia arriba ▪ Si f (x) es estrictamente decreciente  f(x) es cóncava hacia abajo B) Sea f(x) una función dos veces derivable en un intervalo ( ba, )

▪ Si f  x( )0  x ( ba, )  f(x) es cóncava hacia arriba en ( ba, ) ▪ Si f  x( )0  x ( ba, )  f(x) es cóncava hacia abajo en ( ba, )

2.3. Puntos de inflexión

Se dice que P(a, f(a)) es un punto de inflexión de f(x) si en él se produce un cambio en la curvatura de la función

2.4. Determinación de la curvatura de un función

1) Hallamos el Dom f( ) y el dominio de continuidad de f(x). 2) Hallamos f (x) y determinamos Dom f ( ).

Determinamos los puntos en los que f  x( )=0 ò  f (x)

3) Estudiamos el signo de f (x) en cada uno de los subintervalos en que queda dividido el Dom f( )

por los puntos determinados en el apartado anterior.

▪ Si f  x( )0  x 

( )

a,b  f es cóncava hacia arriba en

( )

a,b . ▪ Si f  x( )0  x 

( )

a,b  f es cóncava hacia abajo en

( )

a,b .

▪ Si f(x)está definida en x =a y en ese punto cambia la curvatura entonces P(a,f(a)) es un punto de inflexión de f(x) .

Cóncava hacia abajo Cóncava hacia arriba

a b a b

2.5. Puntos de inflexión y derivada

2.5.1. Teorema

Sea f(x) una función dos veces derivable en x =a. Si f(x) tiene en x =a un punto de inflexión 

 f  a( )=0

El recíproco de este teorema no es cierto, es decir, que f  a( )=0 no implica, necesariamente, que f(x) tenga en x =a un punto de inflexión. Por ejemplo la función f(x)=x4 verifica que f (0)=0 y, sin embargo, x=0 no es un punto de inflexión de f(x).

2.5.2. Observaciones

▪ Un punto de inflexión P(a, f(a)) debe pertenecer a la gráfica de la función (a Dom f( )) y sólo es necesario que cambie en él el signo de f (x).

▪ Puede suceder que en x = a no exista f  y, por tanto, tampoco f  o que sí exista f  pero no f  y , sin embargo, en ambos casos P(a, f(a)) sea un punto de inflexión de f(x).

Por ejemplo, la función _f(x)=3 _{x no es derivable en x}=₀

      + =   =  (0) 3 1 ) ( 3 2 f x x f , y sin

embargo, P(0,0) es un punto de inflexión con tangente vertical de _f(x)=3 _x.

Por tanto, los puntos de inflexión de una función hay que buscarlos entre aquellos puntos en los que

0 )

( =

 x

f ò  f (x). Es decir,

Posibles puntos de inflexión =

        =  ) ( / 0 ) ( / x f x x f x 4 ) (x x f = 3 4 ) (x x f = 0 ) 0 ( 12 ) ( = 2   =  x x f f 0 = x no es punto de inflexión de f(x)=x4

2.5.3. Determinación de los puntos de inflexión

Sea f(x) una función tres veces derivable en x = a y tal que f  a( )=0 y f  a( )0 P(a,f(a)) es un punto de inflexión.

Nota: Aunque este resultado nos permite determinar si un punto x_o en el que f (x_o)=0 es un punto de inflexión de f(x), no debemos olvidar que una función también puede tener un punto de inflexión en un punto en el que no es derivable. Por ejemplo, como hemos visto antes, la función _f(x)=3 _{x no es derivable en x}=₀

      + =   =  (0) 3 1 ) ( 3 2 f x x

f , y sin embargo, P(0,0) es un punto de inflexión de _f(x)=3 _x.

3. CRITERIO DE LAS DERIVADAS SUCESIVAS PARA LA

DETERMINACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Y

PUNTOS DE INFLEXIÓN

Sea f(x) una función n veces derivable en a con ( )= ( )=...= ( −1)( )=0 a f a f a f n y ( )( )0 a f n . 1) Si n1 es impar  f(x) tiene en x = a un punto de inflexión con tangente horizontal.

2) Si n1 es par y     =   =   relativo máximo un en tiene ) ( 0 ) ( relativo mínimo un en tiene ) ( 0 (a) ) ( ) ( a x x f a f a x x f f n n

Sea f(x) una función n veces derivable en b con f b( )0 , f  b( )=0 , f  b( )=0, ..., ( −1)( )=0 b f n , 0 ) ( ) (  b f n