Hoja de ejercicios n2-A 1/5 Hoja de ejercicios n2-A
Transformada de Laplace. Función y matriz de Transferencia. Respuesta temporal. Respuesta en frecuencia.
1) Transformada de Laplace
a) Determine la transformada de Laplace de las siguientes funciones:
i) f(t) = (t) ii) f(t) = 7,8 iii) f(t) = 16.e-8.t iv) f(t) = 18.t v) f(t) = 120.sen(25.t) vi) f(t) = 3,2.cos(1000.t) vii) f(t) = 8.t2
b) Determine la transformada de Laplace de las siguientes funciones:
i) f(t) = 7,8 + 16.e-8.t ii) f(t) = 8,2.t.e-2,5.t iii) f(t) = 9.e-3.t.sen(100.t) iv) f(t) = 2.sen(t-6).Y(t) v) f(t) = 5.e-7.t.cos(50.t)
vi) f(t) = 45.e-5.(t-6).Y(t-6) vii) f(t) = 4,8.e-5.t.cos(400.t-36º)
c) Determine la transformada de Laplace de las siguientes expresiones:
i) 12. x(t).dt + 17.x(t) ii) 8.d2x/dt2 + 5.dx/dt con dx(0)/dt = 8, x(0) = -4
d) Determine la función f(t) en el dominio del tiempo (transformada inversa de Laplace) de las siguientes funciones:
i) F(s) = 345 ii) F(s) = 345/s iii) F(s) = 6,7/s2
iv) F(s) = 45/(s+72) v) F(s) = 25./(s2 + 2) vi) F(s) = 28.s/(s2 + 2)
e) Determine la función f(t) en el dominio del tiempo (transformada inversa de Laplace) de las siguientes funciones:
i) F(s) = 650/(s + 8)2 ii) F(s) = 250./((s + 4)2 + 2)
iii) F(s) = 16.(s + 5)/((s + 5)2 + 2) iv) F(s) = 6448º/(s + 8 – j.16) + 64-48º/(s + 8 + j.16) f) Complete la expansión en fracciones simples y encuentre la transformada inversa de Laplace
de cada una de las siguientes funciones:
i) F(s) = 82/(s.(5.s + 1)) ii) F(s) = 4.(s + 5).(s + 7)/(s.(s + 3).(s + 6)) iii) F(s) = 2.(s + 5)/(s + 1)2 iv) F(s) = (s + 2)/(s2 + 2.s + 4)
2) Matriz de transferencia
a) Un proceso con tiempo muerto es descripto por la ecuación fo(t) = fi(t - td)
donde:
- fo = señal de salida, kg/s
- fi = señal de entrada, kg/s
- td = retardo del tiempo muerto, s
Determine la función de transferencia, Fo(s)/Fi(s), a partir de la ecuación anterior si el
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b) Determine la función de transferencia, I(s)/(s), para el transmisor de temperatura descripto por la ecuación diferencial
8,6 di/dt + i = 5,7 donde:
- i = señal de salida de corriente, mA - = señal de entrada de temperatura, ºC
c) Determine la función de transferencia, X(s)/I(s), para un conversor electroneumático de una válvula de control de proceso, descripto por la ecuación diferencial
0,0001.(d2x/dt2) + 0,02.(dx/dt) + x = 0,3.i donde:
- x = posición del vástago de la válvula, pulgadas (in) - i = señal de entrada de corriente al conversor, mA
d) Determine la función de transferencia, (s)/X(s), para un intercambiador de calor tubular descripto por la ecuación diferencial
25.(d2/dt2) + 26.(d/dt) + = 125.x donde:
- x = posición de la válvula, in
- = temperatura del fluido que abandona el intercambiador, ºC
e) Una planta de manufactura usa un tanque abastecedor de líquido para alimentar una bomba de desplazamiento positivo. La bomba provee un caudal constante de líquido a un intercambiador de calor continuo. Determine la función de transferencia, H(s)/Q(s), si el tanque abastecedor es descripto por la siguiente ecuación:
h(t) = 0,5. q(t).dt donde:
- h(t) = nivel del líquido en el tanque abastecedor, m
- q(t) = diferencia entre los caudales de entrada y de salida, m3/s - t = tiempo, s
f) Un sistema masa-resorte-amortiguador es descripto por siguiente ecuación diferencial: m.(d2x/dt2) + R.(dx/dt) + K.x = f
donde:
- m = masa, kg
- R = resistencia viscosa, N/(m/s) - K = constante del resorte, N/m - x = posición de la masa, m
- f = fuerza externa aplicada a la masa, N
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g) Un controlador PID es descripto por la siguiente ecuación: i = K.e + K.Td.(de/dt) + K/Ti.e.dt
donde:
- i = corriente de salida del controlador, mA - e = señal de entrada de error, V
- K = ganancia del controlador
- Td = acción derivativa del controlador - Ti = acción integral del controlador
Determine la función de transferencia, I(s)/E(s), si: K = 3,6 Td = 0,008 Ti = 2,2
h) Un motor de CC controlado por la armadura se usa en sistemas de control de velocidad y posición. Su operación es descripta por las siguientes ecuaciones:
e = R.i + L.(di/dt) + Ke.
i = T/Kt
T = J.(d/dt) + b. donde:
- e = voltaje aplicado a la armadura, V - i = corriente de armadura, A
- = velocidad del motor, rad/s - T = par motor, N.m
- J = momento de inercia de la carga, kg.m2 - b = resistencia viscosa de la carga, N.m/(rad/s) - R = resistencia de la armadura,
- L = inductancia de la armadura, Hy
- Ke = constante de fuerza contra electromotriz del motor, V/(rad/s) - Kt = constante de par del motor, N.m/A
Un pequeño motor de continua de imán permanente tiene los siguientes valores de los parámetros: - J = 8 x 10-4 kg.m2 - b = 3 x 10-4 N.m/(rad/s) - R = 1,2 - L = 0,020 Hy - Ke = 5 x 10-2 V/(rad/s) - Kt = 0,043 N.m/A
Sustituya los parámetros en las ecuaciones precedentes para obtener las ecuaciones diferenciales exactas del motor de CC. Determine la función de transferencia, (s)/E(s), transformando las ecuaciones en ecuaciones algebraicas en el dominio frecuencial.
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3) Respuesta temporal
a) Los siguientes datos fueron obtenidos de un aparato para medir temperatura llevado rápidamente desde un baño líquido a 50 ºC a otro baño mantenido a 100 ºC. Trace la curva de respuesta y determine el tiempo de respuesta 95 %, la constante de tiempo, y el tiempo de levantamiento del 10 al 90 %.
Tiempo (s) Temperatura (ºC) Tiempo (s) Temperatura (ºC)
0 50,0 45 91,7 5 57,5 50 93,0 10 65,0 60 95,1 15 71,5 70 96,8 20 76,7 80 98,0 25 81,0 90 98,9 30 84,7 100 99,4 35 87,5 110 99,8 40 90,0 120 100,0
b) Los siguientes datos fueron obtenidos del test de respuesta al escalón de un componente subamortiguado. Trace la curva de respuesta y determine el tiempo de levantamiento del 10 al 90 %, el sobretiro, y el tiempo de asentamiento al 2 %.
Tiempo (s) Salida (%) Tiempo (s) Salida (%)
0 0,0 30,0 92,0 5,0 36,5 32,6 96,0 10,0 74,5 34,0 100,0 13,5 100,0 36,0 103,0 15,0 110,0 39,5 105,0 18,4 120,0 42,5 103,0 21,8 110,0 44,4 100,0 24,0 100,0 50,0 97,8 25,0 96,0 55,0 100,0 28,4 91,0 60,0 101,0
c) Considere un sistema con la siguiente función de transferencia H(s) = K/(Ts + 1).
Calcular y trazar la respuesta a una entrada del tipo escalón unitario considerando K = 1 o 2 y T = 1 o 2 (4 posibles casos). Para cada caso calcular el valor de la salida en el tiempo t = T (valor absoluto y porcentaje respecto al valor final).
d) Considere un sistema con la siguiente función de transferencia H(s) = wn2/(s2 + 2.z.wn.s + wn2).
Trazar la respuesta a una entrada del tipo escalón unitario considerando z = 0,1; 0,7; 1 y 2 (wn = 10).
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4) Respuesta en frecuencia
a) Sea un sistema con la siguiente función de transferencia H(s) = 10.s/((s+1).(s+10))
Considerando que el sistema se encuentra en régimen sinusoidal, calcule las expresiones para obtener la ganancia en módulo y el defasaje.
b) La entrada a un componente lineal es una señal sinusoidal con una amplitud de 3,25 psi, una frecuencia de 0,05 Hz, un ángulo de fase de 17º. La salida es una señal sinusoidal con una amplitud de 1,6 galones por minuto, una frecuencia de 0,05 Hz y un ángulo de fase de 39º. Determine la ganancia, diferencia de fase, y función de transferencia sinusoidal del componente a la frecuencia de 0,05 Hz.
c) Para el sistema de la parte 4.a se pide trazar los diagramas de Bode asintóticos. Calcular la salida en régimen del sistema (en forma aproximada y exacta) para las entradas
- u(t) = 10.sen(t)
- u(t) = 5.sen(10.t + /2)
- u(t) = 2.sen(t) + 10.sen(10.t + )
d) Para los sistemas de la parte 3.c, trazar los diagramas de Bode asintóticos y reales. e) Para los sistemas de la parte 3.d, trazar los diagramas de Bode asintóticos y reales.
