1. LENGUAJE COTIDIANO Y LENGUAJE MATEMÁTICO

1. LENGUAJE COTIDIANO Y LENGUAJE MATEMÁTICO

Problemas sobre conectores lógicos /NO/

1.1 Considera la expresión siguiente

/De ninguna manera iré nunca jamás ni contigo ni con tu padre a Berlín/

Construye otra equivalente con negaciones más simples eliminando el énfasis retórico. 1.2 Considera

/En ninguna oficina de este maldito país, ni en Agosto, ni en ninguna otra época, nadie es-tá nunca ni dos horas seguidas en su sitio/

Quita la exageración retórica construyendo una frase equivalente con el mínimo número de negaciones.

/Y/

1.3 Aclara el sentido de las siguientes frases con una más explícita.

a) /No mandé que Juan y Pedro lo hicieran. Lo que ordené fue que Juan o Pedro lo hicieran/ b) /Ordené que lo hicieran Pedro y Juan. No dije que lo hicieran Pedro o Juan/

1.4 Explica la posible distinción del lenguaje natural entre las dos frases siguientes: /Iré y lo haré/ /Lo haré e iré/

1.5

(

∗∗)

Construye una frase sencilla y clara equivalente a la siguiente: /No es verdad que tú eres brasileño y que tu padre es catalán/ 1.6 Construye una frase sencilla equivalente a

/No es verdad que tú eres brasileño ni que tu padre es catalán/ 1.7 Construye una frase sencilla equivalente a:

/No es verdad que tú no eres irlandés ni que tu hermano es inglés/

/O/, /O BIEN ... O BIEN/

1.8 En el escaparate de la librería de la universidad aparece escrito

/Nuestros clientes en posesión de carnet de estudiante o empleado de la universidad ten-drán derecho al 15% de descuento/.

1.9 Una niña se empeña en que su padre la lleve el domingo por la mañana al parque de atrac-ciones y por la tarde al cine de su barrio. El padre le dice /No. Saldremos por la tarde e iremos al cine o al parque de atracciones/.

Explica lo que el padre quiere decir con toda claridad. ¿Tiene este /o/ el mismo significa-do que en el ejercicio anterior?

¿A cuál de los dos significados se acerca el del /o/ de las matemáticas?

1.10

(

∗∗)

Supongamos que te llamas Gabriel. ¿Qué te parecería presentarte del siguiente modo? /me llamo Pedro o Gabriel/

¿Es correcto decir en el lenguaje matemático /3 es menor o igual que 5/? ¿Es correcto de-cir /5 es menor o igual que 5/?

1.11 Si a mi pregunta sobre cuándo se marcha, mi amigo me responde /el sábado o el domingo/ y después me entero de que ese mismo día tenía en su bolsillo su billete para el sábado, ¿qué habrás de pensar de mi amigo?

1.12 ¿Cómo te suena en el lenguaje ordinario la expresión /5 es mayor que 7 o Madrid tiene más de 3 millones de habitantes/?

¿Si se trata de lenguaje matemático te parece que es verdadera o falsa? 1.13

(

∗∗)

Pepe dice: /ordené que vinieran Pedro o Juan/.

Han venido Pedro y Juan. ¿Se cumplió la orden?

1.14 Julio dice:/Ordené que vinieran o bien Pedro o bien Juan/ Han venido Pedro y Juan. ¿Se cumplió la orden?

1.15 Construye una frase explicativa equivalente a: /No es verdad que vinieran Pedro o Juan/

1.16

(

∗∗)

Construye una frase explicativa equivalente a: /No es verdad que vinieran o bien Pedro o bien Juan/

/SI ... ENTONCES/ 1.17 Dijo:

/Voy al Banco. Si está abierto traigo 10.000 pesetas/ Viene con las 10.000. ¿Qué deduces?

1.18 Examina la frase:

/Si 2 es mayor que 3, entonces el Pisuerga pasa por Valladolid/ ¿Qué pensaría una persona normal si te oye?

¿Y si te oye la siguiente?:

/Si 2 es mayor que 3, entonces el Pisuerga no pasa por Valladolid/. ¿Es alguna de ellas verdadera para el matemático?

(Recordatorio de geografía: El Pisuerga sí pasa por Valladolid)

1.19

(

∗∗)

/Si el Granada no gana el partido el domingo, Pepe será muy infeliz/

Resulta que el domingo gana el Granada y encuentras a Pepe, por la noche, totalmente in-feliz. ¿Era la verdad de la proposición entre barras compatible con esta situación?

1.20 Señala cuáles de las expresiones siguientes son verdaderas y cuáles falsas: (a) /Si 2>7, entonces l>3/

(b) /Si 2<7, entonces l<3/ (c) /Si x=3, entonces l<2 (d) /Si x=3, entonces l>2

1.21 Quieres demostrar que /A implica B/ es falso. ¿Como procederías? (a) Demostrando que B es falso.

(b) Demostrando que A es falso.

(c) Demostrando que B es falso y que A es verdadero. (d) Demostrando que B es verdadero y que A es falso. (e) Demostrando que B es falso y que A es falso.

1.22

(

∗∗)

Tu tarea es demostrar que A implica B y sabes que B es falso. ¿Qué tratarás de demos-trar y por qué?

(a) Que A es verdadero. (b) Que A es falso.

/SI Y SOLO SI/

1.23

(

∗∗)

Supongamos que n es un número natural. ¿Es la siguiente proposición verdadera o falsa? /n2 es par si y sólo si n es par/. Justifica tu respuesta.

1.24 Supongamos que r es un número real. ¿Es la siguiente proposición verdadera o falsa? /r2 es racional si y sólo si r es racional/. Demuéstralo.

1.25 Sean A y B dos matrices 2x2. Entonces AB = A2 si y sólo si A = B. ¿Verdadero o falso? Justifica tu respuesta.

Problemas sobre cuantificadores lógicos 1.26 Sea

M el conjunto de todas las personas de una cierta ciudad,

P el conjunto de todos los periódicos que se publican en esa ciudad, D el conjunto de todos los días del año.

Escribe, utilizando los símbolos de los cuantificadores lógicos “para cada” y “para algún”, cada una de las siguientes afirmaciones entre barras:

(1) /Algún loco habrá que cada día lea todos los periódicos/ (2) /Algún loco habrá cada día que lea todos los periódicos/

(3)

(

∗∗)

/Esta ciudad es muy instruida. Aquí /cada uno lee algún periódico cada día/ (4) /Cada día hay algún periódico que todo el mundo lee/

(5)(

∗∗)

Somos muy brutos en este pueblo, pero al menos /todos los días habrá alguien que lea algún periódico/

(6) Es una ciudad de maniáticos. /Todos leen todos los periódicos cada día/

(7)(

∗∗)

Aquí sí que somos bestias, pero al menos /hubo un día en que alguien leyó algún periódico/

(8) Esta ciudad está dominada por un diario. /Todo el mundo lo lee todos los días/. (9) Aquí todos somos muy fieles. /Cada uno lee siempre el mismo periódico/, el suyo de

toda la vida.

(10) Fue tal el notición que /aquél día todo el mundo leyó todos y cada uno de los periódi-cos/

(11) “La ciudad” se llevó la exclusiva y así /este día hubo un periódico que fue leído por todo el mundo/

1.27

(

∗∗)

La definición de límite de una función es:

El número L es el límite de una función f(x) cuando x tiende a c significa: se verifica que para cada ε > 0 existe algún δ > 0 tal que para cada x que satisface 0 < x−c < δ se tiene

L x

f( )− < ε.

1.28 Que la función real de variable real f es uniformemente continua en R significa que para cada ε > 0 existe algún δ > 0 tal que para cada x, y en R que verifican x−y < δ se verifica

) ( ) (x f y

f − < ε.

Escribe esta definición utilizando los símbolos de los cuantificadores lógicos. 1.29

1) Escribe automáticamente en símbolos las negaciones de cada una de las expresiones simbólicas que has obtenido en los ejercicios anteriores.

2) Escribe a continuación en palabras cada una de las negaciones que has obtenido en símbolos.

3) Trata de hacerte una idea de lo que cada una de esas frases significa y exprésala en lenguaje razonable (de manera que cualquier ciudadano normal lo pueda entender).

Problemas sobre proposiciones

1.30 ¿Cuáles de las siguientes cosas es una proposición matemática y por qué? a. ax2 + bx + c = 0 b. a ac b b 2 4 2₋ + −

c. El triángulo XYZ es semejante al triángulo RST. d. 3 + n + n2 e. 4 sen 2 senπ < π

f. Para cada ángulo t se tiene sen2 t+cos2t=1

1.31 ¿Cuáles de las siguientes proposiciones matemáticas son verdaderas?

a. La raíz cuadrada de cualquier número entero es un número real no negativo. b. Existe un ángulo t tal que sen t = cos t

c. x < 1

d.(

∗∗)

Si x < 1, entonces x2 < 1

1.32 Para cada uno de los proposiciones siguientes identifica cuál es la hipótesis y cuál la conclusión.

a. Si el triángulo rectángulo ABC, de lados a, b, c, siendo a la hipotenusa, es tal que su área es

4

2 a

b. n es un número entero implica que n2 es un número entero

c.

(

∗∗)

Si a, b, c, d, e, f son números reales con la propiedad ad − bc ≠ 0, entonces el sis-tema de ecuaciones ax + by = e, cx + dy = f tiene una única solución.

d. La suma de los primeros n enteros positivos es n (n + 1) / 2 e. Si r es un número real y satisface r2= 2 entonces r es irracional. f . Si p y q son reales positivos que verifican

2

q p

pq= + , entonces p = q.

g.

(

∗∗)

Cuando x es un número real, el valor mínimo de x (x − 1) es mayor o igual que −1/4.

Algo sobre la proposición “Si A entonces B”

1.33 Una de las situaciones que más aparecen en Matemáticas es demostrar que es cierta la afirmación “Si A entonces B”, a veces escrita A ⇒ B y leída “A implica B”.

Escribe una tabla de verdad sobre esta implicación; es decir, analiza la verdad o falsedad de A ⇒ B según la verdad o falsedad de A y B, o sea, completa esta tabla:

A B A implica B

Verdadera Verdadera Verdadera Falsa

Falsa Verdadera

Falsa Falsa

1.34 Pon un ejemplo -en el contexto que quieras- sobre cada uno de los 4 casos anteriores.

1.35 Utilizando la tabla que has hecho en el ejercicio 1, determina si son verdaderas las si-guientes proposiciones:

a) Si 1 > 2, entonces 5 > 10. b) Si 3<5, entonces 2 < 9. c) Si x = 3, entonces 2 < 5. d) Si x = 3, entonces 2 > 5.

1.36

(

∗∗)

Supón que la siguiente afirmación es verdadera: “Si salió nublado el 5 de Enero de 1987, yo soy el Papa”. ¿Qué puedes decir sobre el 5 de Enero de 1987?

1.37 Se consideran dos números reales a y b. Marca cada casilla del siguiente cuadro con un número de 1 a 5, de acuerdo con el convenio que se indica al final:

a + b ∈ Q a + b ∉ Q ab ∈ Q ab ∉ Q a ∈ Q, b ∈ Q

a ∈ Q, b ∉ Q a ∉ Q, b ∉ Q

1: La condición de la izquierda hace que la condición de arriba se cumpla siempre. 2: La condición de la izquierda hace que la condición de arriba se cumpla solo si a = 0. 3: La condición de la izquierda hace que la condición de arriba no se cumpla nunca.

4: La condición de la izquierda hace que la condición de arriba se cumpla siempre que a ≠ 0. 5: La condición de la izquierda hace que la condición de arriba se cumpla en algunos

ca-sos particulares pero no en otros.

En los siguientes ejercicios, entre cada una de las dos afirmaciones 1 y 2 de cada uno, señala, y demuestra si se da alguna de estas proposiciones:

A) 1 ⇒ 2 y 2 ⇒/ 1 B) 2 ⇒ 1 y 1 ⇒/ 2 C) 1 ⇔ 2

1.38 Si f es una función continua,

1: f (−x) = f (x); 2:

∫

∫

− = 1 1 1 0 ( ) 2 ) (x dx f x dx f

1.39 Si X e Y son matrices n × n y 0 es la matriz nula de orden n, 1: XY − YX = 0; 2: X = 0 ó Y = 0 1.40 Si f es una función de a , 1: lím f(x) f(a) a x→ = ; 2: 2 ) ( ) ( lím = − − → _{x a} a f x f a x

Algo sobre cuantificadores, sus concatenaciones y sus negaciones

1.41 Supón que T es el conjunto de números reales menores que 1, es decir T = (−∞, 1). a) ¿Es cierta la siguiente afirmación?

Existe un número real M > 0 tal que para cada elemento x del conjunto T, se verifica x < M.

b) ¿Hay alguna diferencia entre la anterior afirmación y ésta?:

Para cada elemento x del conjunto T, existe un número real M > 0 tal que x < M.

1.42

(

∗∗)

En el ejercicio anterior has visto que al cambiar el orden entre “existe un número re-al” y “para cada elemento x del conjunto T” has obtenido dos proposiciones que, en ese caso, son ambas verdaderas.

Pero ¿ocurre esto siempre? Analiza las siguientes proposiciones:

a) Para cada número real x con 0 ≤ x ≤ 1, existe un número real y con −1 ≤ y ≤ 1 tal que x + y2 = 1.

b) Existe un número real y con −1 ≤ y ≤ 1 tal que, para cada número real x con 0 ≤ x ≤ 1, se verifica x + y2= 1.

¿Son las dos verdaderas?

1.43 Explica si en cada uno de los siguientes pares de proposiciones a y b son las dos verdade-ras o las dos falsas o una verdadera y otra falsa:

a)

(

∗∗)

1: Para cada número real x con 0 ≤ x ≤ 1 y cada número real y con 0 ≤ y ≤ 2, se verifica 2x2 + y2≤ 6.

2: Para cada número real y con 0 ≤ y ≤ 2 y cada número real x con 0 ≤ x ≤ 1, se veri-fica 2x2 + y2≤ 6.

b) 1: Para cada número real x con 0 ≤ x ≤ 1 y cada número real y con 0 ≤ y ≤ 2x, se verifica 2x2 + y2≤ 6.

2: Para cada número real y con 0 ≤ y ≤ 1 y cada número real x con 0 ≤ x ≤ 2y, se verifica 2x2 + y2≤ 6.

En los siguientes ejercicios se te va a pedir que niegues la proposición P, es decir, que escribas la proposición contraria de P, ó no P, de manera que no aparezca explícitamente escrita la palabra no.

1.44

(

∗∗)

P: Para cada número real x > 0 se verifica que x2− x > 0. ¿Cuál es verdadera: P ó no P?

1.45 P: Existe un número real x > 0 para el que x2− x > 0. ¿Cuál es verdadera: P ó no P?

1.46

(

∗∗)

P: Para cada número real x que verifique −1 ≤ x ≤ 1, existe un número real y con −1 ≤ y ≤ 1 tal que x2 + y2 ≤ 1.

¿Cuál es verdadera: P ó no P?

1.47 P: Existe un número real x con −1 ≤ x ≤ 1 tal que para cualquier número y con −1 ≤ y ≤ 1 se verifica x2 + y2 ≤ 1.

¿Cuál es verdadera: P ó no P?

1.48 P: Si f (x) = 2x y a = 3, para cada número real positivo ε, existe un número real positivo δ tal que si x−a <δ , entonces f(x)− f(a) <ε.

¿Cuál es verdadera P ó no P? 1.49 P: Si

x x

f( )=1 si x ≠ 0 y 5 si x = 0, existe un número M tal que para cada número real x verifica f (x) < M. ¿Cuál es verdadera P ó no P? 1.50

(

∗∗)

P: Si n an 1

= , para cada número real positivo ε, existe un número natural n0 tal que si

n ≥ n0, entonces an <ε.

¿Cuál es verdadera P ó no P?

1.51 P: Si A = [1, 4] y a = 4'3, para cada número real positivo ε, el intervalo (a − ε, a + ε) con-tiene elementos de A.

¿Cuál es verdadera P ó no P? 1.52 P: Si

x x

f( )=sen1 si x ≠ 0, para cada número real positivo ε, existe un número real positi-vo δ tal que si 0 < x <δ , entonces f( x) <ε .

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS CON ASTERISCO (

∗∗)

1.5

No (A y B) es no A o no B . Tú no eres brasileño o tu padre no es catalán. no (A y B) = no A o no B.

1.10

• En lenguaje matemático no es falso. En lenguaje normal es no querer decir cómo me llamo.

• Las dos cosas son correctas y aparecen en lenguaje matemático. 1.13

Pues sí, pero bastaba que viniera uno de los dos para que se hubiera cumplido. 1.16

/o bien A o bien B/ es lo mismo que /(A y no B) o (B y no A)/

No (o bien A o bien B) es

[no (A y no B)] y [no (B y no A)] es decir (no A o B) y (no B o A)

(no vino Pedro o vino Juan) y (no vino Juan o vino Pedro) es decir, (no vino Pedro y no vino Juan) o (vino Pedro y vino Juan)

1.19

Sí, es compatible.

No se dijo lo que pasaría si el Granada ganaba. Afirmar A ⇒ B

es compatible con no A y B y con no A y no B

1.22

A ⇒ B

B falso. He de demostrar que A es falso ya que si A verdadero y es verdad que A ⇒ B se tiene que dar B.

1.23

Es verdadera pues n2 par ⇒ n par

n par ⇒ n2 par ya que n par ⇒ n = 2k ⇒ n2 = 4k2⇒ n2 par 1.26 3) P p M m D d∈ ∀ ∈ ∃ ∈ ∀ m lee p en d. 5) M p M m D d∈ ∃ ∈ ∃ ∈ ∀ m lee p en d. 7) D d M m D d∈ ∃ ∈ ∃ ∈ ∃ m lee p en d. 1.27 L x f c x x L x f c x→ ( )= ⇔∀ >0 ∃ >0∀ , 0< − < ⇒ ( )− lím ε δ δ ≤ ε. 1.31

Es falso ya que si x es −2 < 1 entonces (−2)2= 4 > 1. 1.32. c) Hipótesis: a, b, c, d, e, f ∈ , ab − cd ≠ 0 Tesis:    = + = + f dy cx e by ax

tiene solución única. g) Hipótesis: x es real Tesis: x (x − 1) ≥ 4 1 − 1.36

Si el que lo dice es el Papa no se puede decir nada del 5 de enero. Si el que lo dice no es el Papa entonces el 5 de enero no salió nublado. 1.42

a) es cierta. b) es falsa 1.43

a) 1 y 2 dicen lo mismo y son verdaderas. 1.44

1.46

P es verdadera. 1.50