I.S.F.D. Nº 3 “Julio C. Avanza”
Profesorado de Matemática – 3er- Año
Historia de la Matemática - Prof. Claudia Sanza
III.d Claudio Ptolomeo
Nació: alrededor del 85 d.C. en Egipto
Murió: alrededor de 165 d.C. en Alejandría, Egipto
Ptolomeo fue uno de los más influyentes astrónomos y geógrafos griegos de su tiempo. Propuso la teoría geocéntrica que prevaleció por 1400 años.
Fue miembro de la Universidad de Alejandría desde el año 125 al 160 e hizo observaciones de naturaleza astronómica. Es el autor de una obra de trece libros, que recibe generalmente el nombre de Almagesto y ha desempeñado en la
astronomía el mismo papel que Los Elementos de Euclides en matemáticas. Esta
Síntesis matemática influyó en la trigonometría de toda la antigüedad, y todas las
tablas astronómicas aparecidas hasta el siglo XII se basan fundamentalmente en el
Almagesto. Los fundamentos matemáticos se encuentran en el Libro I y su
contenido trigonométrico fue mejorado hasta finales de la Edad Media.
El Almagesto de Ptolomeo soportó los estragos del tiempo y se conservan no sólo las tablas trigonométricas, sino también las explicaciones de los métodos utilizados para su construcción.
Para el cálculo de cuerdas, Ptolomeo utilizaba entre otras una proposición de naturaleza geométrica a la que se dá el nombre de Teorema de Ptolomeo: "La suma de los productos de los lados opuestos de un cuadrilátero cíclico es igual al producto de las diagonales".
Teorema de Ptolomeo.
Si un cuadrilátero convexo es cíclico, entonces el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.
Hipótesis: Sea ABCD un cuadrilátero inscrito en una circunferencia, y sean AC y BD sus diagonales.
Tesis: Demostrar que
P1.
Dibujamos la línea AE, formando el ángulo tal que . P2.
La línea AE se intersecta con BD en el punto E. P3.
Los los triángulos y son semejantes, pues por construcción , los ángulos y son iguales, por ser ángulos inscritos que subtienden el mismo arco. Esto es, =
P4.
Por lo tanto, podemos establecer la siguiente relación,
P5.
También los triángulos y son semejantes, pues por construcción
,
también, tenemos que por ser ángulos inscritos que subtienden el mismo arco.
P6.
Así podemos establecer la siguiente relación,
P7.
Sumando miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2), tenemos que:
. Por lo tanto,
.
Por lo tanto, el producto de las diagonales de un cuadrilátero cíclico, es igual a la suma de los productos de los lados opuestos.
Pasaje del Almagesto, relativo a la Teoría de las Transversales, y que incluso contiene su principio fundamental.
Teoría.
Llamamos configuración de Menelao a la figura formada por dos segmentos (exteriores, en azul) que se unen en un vértice , entre los que se sitúan otros dos (interiores, en verde), que parten de los extremos de los anteriores y se cortan en un punto .
En el capítulo 13, que traduce Brianchon, del libro I del Almagesto (hacia 150 d.C.) se demuestra que:
En una configuración de Menelao, usando las letras de la figura para designar a los segmentos, y (igual para y ), se cumple que:
1. 2.
Esta proposición es el teorema de Menelao, aplicado en uno y otro caso a los triángulos cortado por la transversal
y cortado por la transversal .
Pero en lugar de un triángulo cortado por una transversal, Ptolomeo ve relaciones que dan las razones entre los segmentos de una linea exterior (/interior) en función de las razones entre los segmentos de las dos líneas interiores(/exteriores) en una configuración de Menelao.
y usa este resultado junto con el teorema de Menelao (en el plano) para demostrar el teorema de Menelao en la esfera:
Si tenemos una configuración de Menelao sobre la superficie de una esfera, es decir, si son arcos (menores que una semicircunferencia) de círculos máximos de una esfera, entonces:
1.
2.
Obviamente Ptolomeo no usa la expresión el seno de m, que no se había inventado, sino la cuerda del doble del arco m. Pero como
, podemos traducir las razones de cuerdas de ángulos dobles como razones de senos.
Este resultado es también la proposición I del libro III de las Esféricas (hacia 100 d.C.) de Menelao de Alejandría.
Menelao asume el teorema de Menelao para el plano como conocido y lo demuestra para la esfera de la misma forma que Ptolomeo.
Las Esféricas de Menelao, traducidas por Halley del árabe al latín en 1758, es el texto más antiguo que nos ha llegado donde se usa el que desde finales del siglo XIX se denomina teorema de Menelao, que se supone que era conocido ya por Hiparco (unos 250 años antes de Menelao) y, en su versión plana, por Euclides (400 años antes de Menelao).
Aplicación
La anterior es toda la teoría de trigonometría esférica que se usa en el Almagesto.
Además Ptolomeo ha construido previamente una tabla de cuerdas (es decir, de senos) calculando la cuerda de la suma y diferencia de dos ángulos usando el teorema de Ptolomeo.
Ptolomeo necesita la tabla de cuerdas para aplicar el teorema de Menelao sobre la esfera con valores concretos de arcos.
En el Almagesto, Ptolomeo solo necesita resolver triángulos rectángulos esféricos.
Para resolver un , con ángulo recto en , Ptolomeo prolonga los lados del triángulo como en la figura hasta completar arcos de .
Entonces es el polo del círculo máximo que pasa por y , y uniendo con un arco los ángulos en y serán rectos y el arco será igual al ángulo de .
Como los ángulos en y son rectos, las prolongaciones de y se cortarán en un punto , polo de , y los arcos y serán de .
Se obtiene entonces una configuración de Menelao con vértice sobre la esfera. Y si, por ejemplo, queremos hallar la hipotenusa , dados los catetos
, usamos el teorema de Menelao para obtener las razón entre los
segmentos de en función del producto de las razones entre los segmentos de y y tenemos:
, es decir, ,
que es el teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos esféricos.
De la misma forma, aplicando directamente el teorema de Menelao a los otros segmentos, obtenemos las fórmulas
, y
y de estas ultimas, por simetría
, y .
Ptolomeo se limita a las fórmulas anteriores, o mejor dicho a aplicar en cada caso el teorema de Menelao con valores de arco concretos, para obtener los resultados que nosotros obtendríamos usando las fórmulas anteriores.
Citiografía
1) http://gaussianos.com/trigonometria-esferica-en-el-almagesto/ 2) http://132.248.17.238/geometria/t_1_035/t_1_035_m.html
