CUADRO GLOBAL DE RESPUESTAS Preguntas Respuestas

CUADRO GLOBAL DE RESPUESTAS

P reguntas 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16

× × × × ×

Respuestas × × × × × ×

× × × × ×

No olvide rellenar este cuadro. Pase las respuestas -con bol´ıgrafo- al cuadro global. Las cuestiones cuyas res-puestas se encuentren de izquierda a derecha se pasar´an en el orden de arriba a abajo.

APELLIDOS y NOMBRE . . . DNI . . . .

Examen Final. 30 de Enero de 2013.

EJERCICIO : Vectorial. Valor: 10 puntos. Duraci´on: 1 hora y 30 minutos.

Esta prueba consta de 16 cuestiones. De las tres respuestas asociadas a cada pregunta una de ellas es verdadera, siendo las otras dos falsas. Cada cuesti´on respondida correctamente suma 10/16 puntos. Si se responde incorrectamente, resta 10/32 puntos; y si no se contesta, vale 0 puntos. La respuesta que considere correcta deber´a llevar una cruz en su cuadrito correspondiente. Si quiere cambiar de respuesta, deber´a rellenar completamente el cuadrito de la que rechace y a˜nadir una cruz en la nueva respuesta. No se corregir´an otros m´etodos distintos de responder a este cuestionario.

Se sobrentender´a por defecto, y mientras no se diga lo contrario, que los movimientos, magnitudes y derivadas que aparezcan en todas las partes de este examen son respecto a un sistema de referencia inercial. An´alogamente, g ser´a el valor de la gravedad en la superficie terrestre.

En la figura se representa una placa cua-drada ABCD (s´olido “2”) de masa m y lado 2a, cuyo v´ertice B est´a vinculado en un punto del eje vertical fijo OZ0, sien-do −OB = 2ak−→ 0 y permaneciendo siempre el plano de la placa contenido en el plano vertical OX₀Z₀ (s´olido “0”, masa despre-ciable), el cual puede girar alrededor del eje vertical OZ₀ ≡ OZ1. Para describir la posici´on y el movimiento del sistema se proponen los ´angulos ψ y θ indicados en la figura. Todos los contactos materiales son ideales.

La rotaci´on{01} est´a vinculada de modo que ˙ψ(t) = αt (α es cte.), al igual que la {20}, obligada a cumplir la condici´on

θ(t) = ω0t (ω0 es cte.). Llamaremos ΦB; ΓBal torsor vincular (fuerza; par) en B equivalente al conjunto de fuerzas vinculares sufridas por el s´olido “2”: ΦB = [Bx, By, Bz]₀ , ΓB= [Γx, Γy, Γz]₀.

2. × Γy= 0 ; Γz= 0 . Γx= 0 ; Γz= 0 . Γy= 0 ; Γz= 0 .

3. El valor de la velocidad angular absoluta de la placa ω21proyectado sobre la base vectorial “2” ser´a:

ω21=− ˙ψ sen θ , − ˙θ , ˙ψ cos θ

2 . × ω21=



− ˙ψ cos θ , − ˙θ , ˙ψ sen θ₂. ω21=− ˙ψ cos θ , ˙θ , ˙ψ sen θ

2 .

4. El valor de la velocidad absoluta de G, vG

21, ser´a: vG 21= a _˙ θ , ˙ψ(sen θ + cos θ) , − ˙θ₂ . vG 21= a _˙ θ , − ˙θ , ˙ψ(sen θ + cos θ)₂ . × vG 21= a  − ˙θ , ˙ψ(sen θ + cos θ) , ˙θ₂ .

5. La matriz de ↔IG en la base “2” es igual a:

× ↔IG =ma 2 3  1 0 0 0 2 0 0 0 1  2 . ↔IG =ma 2 12  1 0 0 0 1 0 0 0 2  2 . ↔IG =ma 2 3  1 0 0 0 1 0 0 0 2  2 .

6. La matriz de ↔IB en la base “2” es igual a: ↔ IB =ma 2 3  _{4 0 0} 0 8 0 0 0 4  2 . × ↔IB = ma 2 3  _{4 0 −3} 0 8 0 −3 0 4  2 . ↔IB = ma 2 12  _{4 0 0} 0 4 0 0 0 8  2 .

7. El momento cin´etico en O de la placa, LO, cumplir´a que:

LO=↔IOω21. × LO= ↔

IOω21. LO=↔IGω21.

8. El momento cin´etico de la placa LG proyectado sobre la base vectorial “2” cumplir´a que:

× LG  − ˙ψ cos θ , −2 ˙θ , ˙ψ sen θ₂ . LG  − ˙ψ cos θ , 2 ˙θ , ˙ψ sen θ₂ . LG  − ˙ψ cos θ , − ˙θ , 2 ˙ψ sen θ₂ . 9. Sea E la energ´ıa mec´anica del sistema, y LO el momento cin´etico del sistema en O . Entonces:

Se conservar´a LO·k1 pero no E . × No se conservar´a ni LO·k1 ni E . Se conservar´a E pero no LO·k1.

A partir de ahora se impone la condici´on vincular θ(t) = cte = 0 (Observe que en esta situaci´on “2” y “0” constituyen el mismo s´olido, con ı₀= k₂ ; j₀= j₂; k_o=−ı2) y debe trabajar con la siguiente expresi´on del momento cin´etico de la placa

L_B= I ˙ψ3ı₀+ 4k₀ ,

donde I es un momento de inercia conocido, suponiendo adem´as que sigue cumpli´endose que ˙ψ(t) = αt , con α igual a una constante. Aplique los teoremas generales a la placa y responda a las siguientes cuestiones.

10. Bx= maα . Bx= maα2t2. × Bx=−maα2t2. 11. By= 0 . By=−maα2t2. × By= maα .

12. Bz=−mg . × Bz= mg, . Bz = 0, .

13. × Γx= 3Iα . Γx= 4Iα . Γx= 0 .

14. Γy= 0 . × Γy= 3Iα2t2− amg . Γy= 3Iα2t2+ amg . 15. Γ_z= 3Iα . Γ_z= 0 . × Γ_z= 4Iα .

16. Si los ´angulos θ y ψ son liberados, con θ(0) = 0 (el lado BC est´a inicialmente horizontal), siendo ˙ψ(0) = Ω0 y ˙θ(0) = 0, los lados del cuadrado mantendr´an su horizontalidad (BC y AD) o verticalidad (AB y DC) a lo largo del tiempo siempre que Ω(t) = Ω0 cumpla:

× Ω2

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×

No olvide rellenar este cuadro. Pase las respuestas -con bol´ıgrafo- al cuadro global. Las cuestiones cuyas res-puestas se encuentren de izquierda a derecha se pasar´an en el orden de arriba a abajo.

APELLIDOS y NOMBRE . . . DNI . . . .

Examen Final. 30 de Enero de 2013.

EJERCICIO : Vectorial. Valor: 10 puntos. Duraci´on: 1 hora y 30 minutos.

Esta prueba consta de 16 cuestiones. De las tres respuestas asociadas a cada pregunta una de ellas es verdadera, siendo las otras dos falsas. Cada cuesti´on respondida correctamente suma 10/16 puntos. Si se responde incorrectamente, resta 10/32 puntos; y si no se contesta, vale 0 puntos. La respuesta que considere correcta deber´a llevar una cruz en su cuadrito correspondiente. Si quiere cambiar de respuesta, deber´a rellenar completamente el cuadrito de la que rechace y a˜nadir una cruz en la nueva respuesta. No se corregir´an otros m´etodos distintos de responder a este cuestionario.

Se sobrentender´a por defecto, y mientras no se diga lo contrario, que los movimientos, magnitudes y derivadas que aparezcan en todas las partes de este examen son respecto a un sistema de referencia inercial. An´alogamente, g ser´a el valor de la gravedad en la superficie terrestre.

En la figura se representa una placa cua-drada ABCD (s´olido “2”) de masa m y lado 2a, cuyo v´ertice B est´a vinculado en un punto del eje vertical fijo OZ0, sien-do −OB = 2ak−→ 0 y permaneciendo siempre el plano de la placa contenido en el plano vertical OX₀Z₀ (s´olido “0”, masa despre-ciable), el cual puede girar alrededor del eje vertical OZ₀ ≡ OZ1. Para describir la posici´on y el movimiento del sistema se proponen los ´angulos ψ y θ indicados en la figura. Todos los contactos materiales son ideales.

La rotaci´on{01} est´a vinculada de modo que ˙ψ(t) = αt (α es cte.), al igual que la {20}, obligada a cumplir la condici´on

θ(t) = ω0t (ω0 es cte.). Llamaremos ΦB; ΓBal torsor vincular (fuerza; par) en B equivalente al conjunto de fuerzas vinculares sufridas por el s´olido “2”: ΦB = [Bx, By, Bz]₀ , ΓB= [Γx, Γy, Γz]₀.

2. × Γy= 0 ; Γz= 0 . Γy= 0 ; Γz = 0 . Γx= 0 ; Γz= 0 .

3. El valor de la velocidad angular absoluta de la placa ω21proyectado sobre la base vectorial “2” ser´a:

× ω21=− ˙ψ cos θ , − ˙θ , ˙ψ sen θ

2 . ω21=



− ˙ψ sen θ , − ˙θ , ˙ψ cos θ₂. ω21=− ˙ψ cos θ , ˙θ , ˙ψ sen θ

2 .

4. El valor de la velocidad absoluta de G, vG

21, ser´a: vG 21= a _˙ θ , ˙ψ(sen θ + cos θ) , − ˙θ₂ . × vG 21= a  − ˙θ , ˙ψ(sen θ + cos θ) , ˙θ₂. vG 21= a _˙ θ , − ˙θ , ˙ψ(sen θ + cos θ)₂ .

5. La matriz de ↔IG en la base “2” es igual a: ↔ IG =ma 2 12  1 0 0 0 1 0 0 0 2  2 . × ↔IG =ma 2 3  1 0 0 0 2 0 0 0 1  2 . ↔IG =ma 2 3  1 0 0 0 1 0 0 0 2  2 .

6. La matriz de ↔IB en la base “2” es igual a:

× ↔IB =ma 2 3  _{4 0 −3} 0 8 0 −3 0 4  2 . ↔IB =ma 2 3  _{4 0 0} 0 8 0 0 0 4  2 . ↔IB = ma 2 12  _{4 0 0} 0 4 0 0 0 8  2 .

7. El momento cin´etico en O de la placa, LO, cumplir´a que:

× LO= ↔

IOω21. LO=↔IOω21. LO=↔IGω21.

8. El momento cin´etico de la placa LG proyectado sobre la base vectorial “2” cumplir´a que:

LG  − ˙ψ cos θ , 2 ˙θ , ˙ψ sen θ₂ . × LG  − ˙ψ cos θ , −2 ˙θ , ˙ψ sen θ₂ . LG  − ˙ψ cos θ , − ˙θ , 2 ˙ψ sen θ₂ . 9. Sea E la energ´ıa mec´anica del sistema, y LO el momento cin´etico del sistema en O . Entonces:

× No se conservar´a ni LO·k1 ni E . Se conservar´a LO·k1 pero no E . Se conservar´a E pero no LO·k1. A partir de ahora se impone la condici´on vincular θ(t) = cte = 0 (Observe que en esta situaci´on “2” y “0” constituyen el mismo s´olido, con ı₀= k₂ ; j₀= j₂; k_o=−ı2) y debe trabajar con la siguiente expresi´on del momento cin´etico de la placa

L_B= I ˙ψ3ı₀+ 4k₀ ,

donde I es un momento de inercia conocido, suponiendo adem´as que sigue cumpli´endose que ˙ψ(t) = αt , con α igual a una constante. Aplique los teoremas generales a la placa y responda a las siguientes cuestiones.

10. Bx= maα2t2. Bx= maα . × Bx=−maα2t2. 11. By= 0 . × By= maα . By=−maα2t2. 12. × Bz= mg, . Bz=−mg . Bz = 0, . 13. Γx= 4Iα . × Γx= 3Iα . Γx= 0 .

14. × Γy= 3Iα2t2− amg . Γy= 0 . Γy= 3Iα2t2+ amg . 15. Γ_z= 3Iα . × Γ_z = 4Iα . Γ_z= 0 .

16. Si los ´angulos θ y ψ son liberados, con θ(0) = 0 (el lado BC est´a inicialmente horizontal), siendo ˙ψ(0) = Ω0 y ˙θ(0) = 0, los lados del cuadrado mantendr´an su horizontalidad (BC y AD) o verticalidad (AB y DC) a lo largo del tiempo siempre que Ω(t) = Ω0 cumpla:

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P reguntas 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16

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No olvide rellenar este cuadro. Pase las respuestas -con bol´ıgrafo- al cuadro global. Las cuestiones cuyas res-puestas se encuentren de izquierda a derecha se pasar´an en el orden de arriba a abajo.

APELLIDOS y NOMBRE . . . DNI . . . .

Examen Final. 30 de Enero de 2013.

EJERCICIO : Vectorial. Valor: 10 puntos. Duraci´on: 1 hora y 30 minutos.

Esta prueba consta de 16 cuestiones. De las tres respuestas asociadas a cada pregunta una de ellas es verdadera, siendo las otras dos falsas. Cada cuesti´on respondida correctamente suma 10/16 puntos. Si se responde incorrectamente, resta 10/32 puntos; y si no se contesta, vale 0 puntos. La respuesta que considere correcta deber´a llevar una cruz en su cuadrito correspondiente. Si quiere cambiar de respuesta, deber´a rellenar completamente el cuadrito de la que rechace y a˜nadir una cruz en la nueva respuesta. No se corregir´an otros m´etodos distintos de responder a este cuestionario.

Se sobrentender´a por defecto, y mientras no se diga lo contrario, que los movimientos, magnitudes y derivadas que aparezcan en todas las partes de este examen son respecto a un sistema de referencia inercial. An´alogamente, g ser´a el valor de la gravedad en la superficie terrestre.

En la figura se representa una placa cua-drada ABCD (s´olido “2”) de masa m y lado 2a, cuyo v´ertice B est´a vinculado en un punto del eje vertical fijo OZ0, sien-do −OB = 2ak−→ 0 y permaneciendo siempre el plano de la placa contenido en el plano vertical OX₀Z₀ (s´olido “0”, masa despre-ciable), el cual puede girar alrededor del eje vertical OZ₀ ≡ OZ1. Para describir la posici´on y el movimiento del sistema se proponen los ´angulos ψ y θ indicados en la figura. Todos los contactos materiales son ideales.

La rotaci´on{01} est´a vinculada de modo que ˙ψ(t) = αt (α es cte.), al igual que la {20}, obligada a cumplir la condici´on

θ(t) = ω0t (ω0 es cte.). Llamaremos ΦB; ΓBal torsor vincular (fuerza; par) en B equivalente al conjunto de fuerzas vinculares sufridas por el s´olido “2”: ΦB = [Bx, By, Bz]₀ , ΓB= [Γx, Γy, Γz]₀.

2. Γ_y= 0 ; Γ_z= 0 . × Γ_y= 0 ; Γ_z = 0 . Γ_x= 0 ; Γ_z= 0 .

3. El valor de la velocidad angular absoluta de la placa ω21proyectado sobre la base vectorial “2” ser´a:

ω21=− ˙ψ sen θ , − ˙θ , ˙ψ cos θ

2 . ω21=



− ˙ψ cos θ , ˙θ , ˙ψ sen θ₂. × ω21=− ˙ψ cos θ , − ˙θ , ˙ψ sen θ

2 .

4. El valor de la velocidad absoluta de G, vG

21, ser´a: × vG 21= a  − ˙θ , ˙ψ(sen θ + cos θ) , ˙θ₂ . vG 21= a _˙ θ , ˙ψ(sen θ + cos θ) , − ˙θ₂. vG 21= a _˙ θ , − ˙θ , ˙ψ(sen θ + cos θ)₂ .

5. La matriz de ↔IG en la base “2” es igual a: ↔ IG =ma 2 12  1 0 0 0 1 0 0 0 2  2 . ↔IG =ma 2 3  1 0 0 0 1 0 0 0 2  2 . × ↔IG =ma 2 3  1 0 0 0 2 0 0 0 1  2 .

6. La matriz de ↔IB en la base “2” es igual a: ↔ IB =ma 2 3  _{4 0 0} 0 8 0 0 0 4  2 . ↔IB = ma 2 12  _{4 0 0} 0 4 0 0 0 8  2 . × ↔IB =ma 2 3  _{4 0 −3} 0 8 0 −3 0 4  2 .

7. El momento cin´etico en O de la placa, LO, cumplir´a que:

LO=↔IOω21. LO=↔IGω21. × LO= ↔

IOω21.

8. El momento cin´etico de la placa LG proyectado sobre la base vectorial “2” cumplir´a que:

LG  − ˙ψ cos θ , 2 ˙θ , ˙ψ sen θ₂ . LG  − ˙ψ cos θ , − ˙θ , 2 ˙ψ sen θ₂ . × LG  − ˙ψ cos θ , −2 ˙θ , ˙ψ sen θ₂ . 9. Sea E la energ´ıa mec´anica del sistema, y LO el momento cin´etico del sistema en O . Entonces:

Se conservar´a LO·k1 pero no E . Se conservar´a E pero no LO·k1. × No se conservar´a ni LO·k1ni E .

A partir de ahora se impone la condici´on vincular θ(t) = cte = 0 (Observe que en esta situaci´on “2” y “0” constituyen el mismo s´olido, con ı₀= k₂ ; j₀= j₂; k_o=−ı2) y debe trabajar con la siguiente expresi´on del momento cin´etico de la placa

L_B= I ˙ψ3ı₀+ 4k₀ ,

donde I es un momento de inercia conocido, suponiendo adem´as que sigue cumpli´endose que ˙ψ(t) = αt , con α igual a una constante. Aplique los teoremas generales a la placa y responda a las siguientes cuestiones.

10. Bx= maα . × Bx=−maα2t2. Bx= maα2t2. 11. × By= maα . By= 0 . By=−maα2t2.

12. Bz=−mg . Bz= 0, . × Bz= mg, .

13. Γx= 4Iα . Γx= 0 . × Γx= 3Iα .

14. Γy= 0 . Γy= 3Iα2t2+ amg . × Γy= 3Iα2t2− amg . 15. × Γz= 4Iα . Γz = 3Iα . Γz= 0 .

16. Si los ´angulos θ y ψ son liberados, con θ(0) = 0 (el lado BC est´a inicialmente horizontal), siendo ˙ψ(0) = Ω0 y ˙θ(0) = 0, los lados del cuadrado mantendr´an su horizontalidad (BC y AD) o verticalidad (AB y DC) a lo largo del tiempo siempre que Ω(t) = Ω0 cumpla: