TRANSFORMACIONES LINEALES. Qué significa

TRANSFORMACIONES LINEALES

Qué significa

T : A −→ B es función (o transformación)?

a cada a de A =⇒ único b = T (a)

b = T (a)=imagen de a por medio de T

A = dominio de T

B = codominio de T

Im(T ) = Espacio Imagen de T

V y W espacios vectoriales, T : V −→ W , tal que 1. T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2), para todo v1, v2 ∈ V .

(Propiedad aditiva)

2. T (λv1) = λT (v1), para todo v1 ∈ V y todo λ ∈ R.

(Propiedad homogénea) T es transformación lineal Ejemplo: Sea T : R2 −→ P1, tal que T µ a b ¶ = 3a− bx. Es T transformación lineal? T µµ a1 b1 ¶ +µ a2 b2 ¶¶ = T µ a1 + a2 b1 + b2 ¶ = 3(a1 + a2) − (b1 + b2)x = (3a1 − b1x) + (3a2 − b2x) = T µ a1 b1 ¶ + T µ a2 b2 ¶ T µ λµ a b ¶¶ = T µ λa λb ¶ = 3λa − λbx = λ(3a − bx) = λT µ a b ¶

Ejemplo: Sea T : R3 −→ R2 , tal que T   x y z   = µ x − y x + z ¶ . Es T transformación lineal? T     x1 y1 z1  +   x2 y2 z2     = T   x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2   = µ (x1 + x2) − (y1 + y2) (x1 + x2) + (z1 + z2) ¶ T   x1 y1 z1  + T   x2 y2 z2   = µ x1 − y1 x1 + z1 ¶ +µ x2 − y2 x2 + z2 ¶ T  λ   x y z     = T   λx λy λz   = µ (λx) − (λy) (λx) + (λz) ¶ λT   x y z   = λ µ x − y x + z ¶

Ejemplo: Sea T : R2 −→ R2 , tal que T µ a b ¶ = µ a − b 1 ¶ . Es T una transformación lineal?

T µµ a1 b1 ¶ +µ a2 b2 ¶¶ = T µ a1 + a2 b1 + b2 ¶ = µ (a1 + a2) − (b1 + b2) 1 ¶ y T µ a1 b1 ¶ + T µ a2 b2 ¶ = µ a1 − b1 1 ¶ + µ a2 − b2 1 ¶ = µ (a1 + a2) − (b1 + b2) 2 ¶ Asi, que T µµ a1 b1 ¶ + µ a2 b2 ¶¶ 6= T µ a1 b1 ¶ + T µ a2 b2 ¶ .

Ejemplos especiales:

T : V −→ W tal que T (v) = 0 para todo v ∈ V .

Transformación Nula.

T : V −→ V tal que T (v) = v para todo v ∈ V .

Transformación Idéntica.

T : Rn −→ Rm _{tal que T (v) = Av ( A matriz m × n )}

Es T una transformación lineal?

Por el Teorema 2 del Capítulo 2, dados x, y ∈ Rn y λ ∈ R,

A(x + y) = Ax + Ay y A(λx) = λAx,

=⇒ T es transformación lineal. Transformación Matricial

Ejemplo: Sea T : R3 −→ R2 , tal que T   a b c   = µ a − b + 3c 2a + c ¶ .

Ejemplo:

La reflexión a través del Eje Y en R2

es una transformación lineal.

(−2, 1) (2, 1) (x, y) (−x, y) x y -6 * * * *

T : V −→ W transformación lineal, v1, v2, . . . , v_n ∈ V y λ1, λ2, . . . , λ_n ∈ R =⇒ T(λ1v1+ λ2v2+ . . . + λ_nv_n) = λ1T(v1) + λ2T(v2) + . . . + λ_nT(v_n). En particular, T(0) = 0 T : V −→ W , S : V −→ W

T = S si y solo si T (v) = S(v), para todo v ∈ V

T : V −→ W , S : V −→ W , V = Gen{v1, v2, . . . , v_n}

Una transformación lineal queda completamente determinada por las imágenes de los elementos de una base del dominio.

B = {v1, v2, . . . , v_n} base de V y w1, w2, . . . , w_n vectores de W

=⇒

Existe única transformación lineal T : V −→ W tal que

w1 = T (v1), w2 = T (v2), . . . , w_n = T (v_n)

Ejemplo:

Existe una transformación lineal T : R2

−→ R3 tal que T µ 1 0 ¶ =   1 0 0   y T µ 0 1 ¶ =   0 2 1  ? µ x y ¶ = xµ 1 0 ¶ + yµ 0 1 ¶ T µ x y ¶ = xT µ 1 0 ¶ +yT µ 0 1 ¶ = x   1 0 0  +y   0 2 1   =   x 2y y  

ESPACIOS VECTORIALES ASOCIADOS A UNA TRANSFORMACION LINEAL

T : V −→ W transformación lineal,

N u(T ) = {v ∈ V : T (v) = 0}

( Núcleo de T )

Im(T ) = {w ∈ W : existe v ∈ V tal que T (v) = w}

( Imagen de T )

N u(T ) es subespacio vectorial de V

Ejemplo:

Calculemos N u(T ) e Im(T ) para T : P2 −→ R2, tal que

T(a + bx + cx2) = µ a − b c ¶ T(a + bx + cx2 ) = µ a − b c ¶ = µ 0 0 ¶ =⇒ a = b , c = 0 =⇒ N u(T ) = ©a + bx + cx2 : a = b, c = 0ª = {a + ax , a ∈ R} = {a(1 + x) , a ∈ R} = Gen{(1 + x)}

Como cualquier vector de R2

puede ser imagen de un polinomio bajo T ,

MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

T : V −→ W transformación lineal

B = {v1, v2,· · · , v_n) base de V y B′ base de W

[AT]BB′ = [[T (v1)]_B′ [T (v2)]_B′ · · · [T (v_n)]_B′]

Ejemplo: Dadas T : R2 −→ P2 tal que T µ a b ¶ = (a − b) + ax + bx2 B = ½µ 1 0 ¶ ,µ 0 1 ¶¾ y B′ = {1, 1 + x, 1 − x2 } bases de R2 y P2,

encontremos la matriz asociada a T respecto a las bases B y B′

T µ 1 0 ¶ = 1 + x, T µ 0 1 ¶ = −1 + x2 1 + x = 0 · 1 + 1.(1 + x) + 0.(1 − x2 ) =⇒ · T µ 1 0 ¶¸ B′ =   0 1 0   −1 + x2 = 0· 1 + 0.(1 + x) + -1.(1 − x2 ) =⇒ · T µ 0 1 ¶¸ B′ =   0 0 −1   AT =   0 0 1 0 0 −1  .

A_T = [[T (v1)]_B′ · · · [T (v_n)]_B′] es la única matriz tal que [T (v)]_B′ = A_T[v]_B, para todo v ∈ V Ejemplo: T : R2 −→ P2 tal que T µ a b ¶ = (a − b) + ax + bx2 B = ½µ 1 0 ¶ ,µ 0 1 ¶¾ y B′ = {1, 1 + x, 1 − x2 } bases de R2 y P2, A_T =   0 0 1 0 0 −1   (a − b) + ax + bx2 = 0 · 1 + a.(1 + x) + (−b).(1 − x2) · T µ a b ¶¸ B′ = £(a − b) + ax + bx2¤_B′ =   0 a −b   ·µ a b ¶¸ B = µ a b ¶ Verifiquemos · T µ a b ¶¸ B′ =   0 0 1 0 0 −1   µ a b ¶ =   0 a −b  

T : V −→ W transformación lineal, B y B′ bases de V y W , respectivamente.

A_T matriz asociada a T respecto a las bases dadas,

=⇒

v ∈ Nu(T ), si y solo si, [v]B ∈ NA_T

w ∈ Im(T ), si y solo si, [w]B′ ∈ CA_T

dim N u(T ) = dim NA_T y dim Im(T ) = dim CA_T

y por consiguiente,

T : V −→ V transformación lineal, B y B′ bases de V

P es la matriz de transición de B a B′, AT es la matriz asociada a T respecto a B y

A′_T es la matriz asociada a T respecto a B′, entonces A′_TP = P AT V T V Rn AT Rn [v]B [T (v)]B = AT[v]B P P [v]_B′ = P [v]_B [T (v)]_B′ = P [T (v)]_B = P A_T[v]_B A′_T Rn Rn [v]_B′ [T (v)]_B′ = A′_T[v]_B′ = A′_TP[v]_B

ISOMORFISMOS

T : V −→ W es una transformación lineal inyectiva,

si y solo si,

para cada w de Im(T ), existe un único v ∈ V tal que T (v) = w. (T (v1) = T (v2) =⇒ v1 = v2) Ejemplo: T : M2_×2 −→ P3, tal que T µ a b c d ¶ = (a − b) + cx + dx2 + (a− b)x3 T µ 1 1 −2 3 ¶ = T µ 0 0 −2 3 ¶ , entonces ...

Ejemplo: T : M2_×2 −→ P3, tal que T µ a b c d ¶ = (a − b) + cx + dx2 + ax3 T µ a1 b1 c1 d1 ¶ = T µ a2 b2 c2 d2 ¶ (a1 − b1) + c1x + d1x 2 + a1x 3 = (a2 − b2) + c2x + d2x 2 + a2x 3 =⇒ a1 = a2, b1 = b2, c1 = c2 y d1 = d2 Entonces, · · ·

T : V −→ W es una transformación lineal sobreyectiva,

si y solo si, Im(T ) = W

Ejemplo:

T : P2 −→ P2, tal que T (a + bx + cx 2

) = (a − b) + cx2

p+ rx + sx2 ∈ Im(T ) =⇒ r = 0

=⇒ T no puede ser sobreyectiva.

Ejemplo:

Sea T : M2_×2 −→ R2 tal que

T µ a b c d ¶ = µ a + c b+ d ¶ Para µ u v ¶ ∈ R2 , existe µ u − α β α v − β ¶ ∈ M2_×2, α y β ∈ R T µ u − α β α v − β ¶ = µ u v ¶ =⇒ T es sobreyectiva.

T : V −→ W es un isomorfismo si y solo si,

T es inyectiva y sobreyectiva. (V y W son isomorfos).

Ejemplo: T : R4 −→ M2_×2 tal que T      a b c d      = µ a b c d ¶ Si T      a1 b1 c1 d1      = µ a1 b1 c1 d1 ¶ = T      a2 b2 c2 d2      = µ a2 b2 c2 d2 ¶ =⇒      a1 b1 c1 d1      =      a2 b2 c2 d2      =⇒ T es inyectiva. Si µ p q r s ¶ ∈ M2_×2, existe      p q r s      ∈ R4 tal que T      p q r s      = µ p q r s ¶ =⇒ T es sobreyectiva.

T : V −→ W transformación lineal inyectiva {v1,· · · , v_n} es l.i. ⇓ {T (v1),· · · , T (v_n)} es l.i. T : V −→ W transformación lineal T es inyectiva ⇐⇒ N u(T ) = {0} Ejemplo: ½µ 1 1 ¶ , µ −1 2 ¶¾ es l.i. ⇓ ½ T µ 1 1 ¶ = x2 , T µ −1 2 ¶ = 3 2 + 2x 2 ¾ es l.i.

Ejemplo: Es T : R2 −→ P2 con T µ a b ¶ = b− a 2 + bx 2 inyectiva? N u(T ) = ½µ a b ¶ : b− a 2 + bx 2 = 0 ¾ = ½µ a b ¶ : b− a 2 = 0, b = 0 ¾ = ½µ a b ¶ : a = 0, b = 0 ¾ = ½µ 0 0 ¶¾ =⇒ T es inyectiva.

T : V −→ W transformación lineal {v1,· · · , v_n} conjunto generador de V

⇓

{T (v1),· · · , T (v_n)} es conjunto generador de Im(T )

T : V −→ W transformación lineal sobreyectiva

{v1,· · · , v_n} generador de V

⇓

T : V −→ W isomorfismo {v1,· · · , v_n} es base de V ⇓ {T (v1),· · · , T (v_n)} es base de W T : V −→ W isomorfismo m dim V = dim W

Ejemplos: Son R3

y V = {(x y z w)T _{: z = 0} isomorfos?}

Son los planos P1 de R3 y P2 de R4 isomorfos?

P1 : x1 = −3t + 2s x2 = 5t x3 = −2s y P2 : y1 = 5r y2 = 2r − 2p y3 = r + 3p y4 = −p

Son los hiperplanos H1 de R3 y H2 de R4 isomorfos?

T : V −→ W transformación lineal, dim(V ) = dim(W )=(finita) entonces si T es inyectiva =⇒ T es sobreyectiva. si T es sobreyectiva =⇒ T es inyectiva. Ejemplo: Es T : R2 −→ P1 con T µ a b ¶ = a + (b − a)x un isomorfismo?

R2 y P1 tienen igual dimensión.

Es fácil ver que T es inyectiva

T : V −→ W transformación lineal,

AT matriz m × n asociada a T , respecto a dos bases dadas.

⇓

T es inyectiva, si y solo si, la forma escalonada de AT tiene n

pivotes.

T es sobreyectiva, si y solo si, la forma escalonada de AT tiene

m pivotes.

T es un isomorfismo, si y solo si, AT es invertible.

Si T es la idéntica y la base de V = W es la canónica, =⇒ AT = I

ALGEBRA DE TRANSFORMACIONES T, S : V −→ W transformaciones lineales y λ ∈ R, (T + S) : V −→ W, tal que (T + S)(v) = T (v) + S(v), (λT ) : V −→ W, tal que (λT )(v) = λ[T (v)]. Ejemplo: T, S : R3 −→ R2 , tal que T   a b c   = µ a + c b ¶ y S   a b c   = µ a + b + c 0 ¶ (T + S)   1 −3 1   = T   1 −3 1   + S   1 −3 1   = µ 2 −3 ¶ +µ −1 0 ¶ = µ 1 −3 ¶ (−5T )   1 0 −4   = −5  T   1 0 −4     = −5µ −3 0 ¶ = µ 15 0 ¶

S, T : V −→ W transformaciones lineales y µ ∈ R

=⇒

(T + S) : V −→ W

(µT ) : V −→ W

son transformaciones lineales.

El conjunto de las transformaciones lineales T , de V en W , es un espacio vectorial R, S, T : V −→ W transformaciones lineales y λ, µ ∈ R entonces 1. R + (S + T ) = (R + S) + T 2. S + T = T + S 3. T + 0 = 0 + T = T 4. T + (−T ) = (−T ) + T = 0 5. λ(S + T ) = λS + λT 6. (λ + µ)T = λT + µT 7. (λµ)T = λ(µT ) = µ(λT ) 8. 1T = T 9. 0T = 0

T : U −→ V , S : V −→ W transformaciones lineales.

(S ◦ T ) : U −→ W

(S ◦ T )(u) = S(T (u)), para todo u ∈ U (S ◦ T ) también es una transformación lineal.

Ejemplo: T : R3 −→ R2 , S : R2 −→ P2, T   a b c   = µ a + b c ¶ , S µ α β ¶ = αx + βx2, (S ◦ T )   1 −2 3  =? (S ◦ T )   1 −2 3   = S  T   1 −2 3     = S µ −1 3 ¶ =

R, S y T transformaciones lineales, λ ∈ R =⇒ (T ◦ S) ◦ R = T ◦ (S ◦ R) (T + S)◦ R = (T ◦ R) + (S ◦ R) λ(T ◦ S) = (λT ) ◦ S = T ◦ (λS). I ◦ T = T ◦ I = T. 0 ◦ T = 0 , T ◦ 0 = 0.

Sean B, B′ y B′′ bases de U , V y W ,

T : V −→ W , S : V −→ W y R : U −→ V transformaciones

lineales

A_T, AS y AR matrices asociadas a T , S y R, respecto a las bases

dadas, =⇒ A_{T +S} = AT + AS A_T−S = AT − AS A_−T = −AT AλT = λAT A_T◦R = ATAR

T : V −→ W es invertible,

si existe S : W −→ V transformación lineal tal que (T ◦ S) = IW y (S ◦ T ) = IV

A la transformación S la llamaremos inversa de T , S = T−1.

Ejemplo: T : R2 −→ P1, T µ a b ¶

= b− ax es una transformación invertible.

Veamos que si S : P1 −→ R2, S(α + βx) = µ −β α ¶ , entonces (T ◦ S) = IP₁ y (S ◦ T ) = IR2. (T ◦ S)(α + βx) = T (S(α + βx)) = T µ −β α ¶ = (α + βx) (S ◦ T )µ a b ¶ = S µ T µ a b ¶¶ = S (b − ax) = µ a b ¶

T : V → W una transformación lineal, ⇓

T es invertible, si y solo si, T es un isomorfismo. Si T es invertible, entonces T−1 es única.

B y B′ bases de V y W ,

T : V → W transformación lineal y

AT la matriz asociada a la transformación T

respecto a las bases B y B′. ⇓

T es invertible, si y solo si, AT es invertible.

Si T es invertible, entonces A−1_T es la matriz asociada a la transformación lineal T−1, respecto a las bases B′ y B.