TRANSFORMACIONES LINEALES
Qué significa
T : A −→ B es función (o transformación)?
a cada a de A =⇒ único b = T (a)
b = T (a)=imagen de a por medio de T
A = dominio de T
B = codominio de T
Im(T ) = Espacio Imagen de T
V y W espacios vectoriales, T : V −→ W , tal que 1. T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2), para todo v1, v2 ∈ V .
(Propiedad aditiva)
2. T (λv1) = λT (v1), para todo v1 ∈ V y todo λ ∈ R.
(Propiedad homogénea) T es transformación lineal Ejemplo: Sea T : R2 −→ P1, tal que T µ a b ¶ = 3a− bx. Es T transformación lineal? T µµ a1 b1 ¶ +µ a2 b2 ¶¶ = T µ a1 + a2 b1 + b2 ¶ = 3(a1 + a2) − (b1 + b2)x = (3a1 − b1x) + (3a2 − b2x) = T µ a1 b1 ¶ + T µ a2 b2 ¶ T µ λµ a b ¶¶ = T µ λa λb ¶ = 3λa − λbx = λ(3a − bx) = λT µ a b ¶
Ejemplo: Sea T : R3 −→ R2 , tal que T x y z = µ x − y x + z ¶ . Es T transformación lineal? T x1 y1 z1 + x2 y2 z2 = T x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 = µ (x1 + x2) − (y1 + y2) (x1 + x2) + (z1 + z2) ¶ T x1 y1 z1 + T x2 y2 z2 = µ x1 − y1 x1 + z1 ¶ +µ x2 − y2 x2 + z2 ¶ T λ x y z = T λx λy λz = µ (λx) − (λy) (λx) + (λz) ¶ λT x y z = λ µ x − y x + z ¶
Ejemplo: Sea T : R2 −→ R2 , tal que T µ a b ¶ = µ a − b 1 ¶ . Es T una transformación lineal?
T µµ a1 b1 ¶ +µ a2 b2 ¶¶ = T µ a1 + a2 b1 + b2 ¶ = µ (a1 + a2) − (b1 + b2) 1 ¶ y T µ a1 b1 ¶ + T µ a2 b2 ¶ = µ a1 − b1 1 ¶ + µ a2 − b2 1 ¶ = µ (a1 + a2) − (b1 + b2) 2 ¶ Asi, que T µµ a1 b1 ¶ + µ a2 b2 ¶¶ 6= T µ a1 b1 ¶ + T µ a2 b2 ¶ .
Ejemplos especiales:
T : V −→ W tal que T (v) = 0 para todo v ∈ V .
Transformación Nula.
T : V −→ V tal que T (v) = v para todo v ∈ V .
Transformación Idéntica.
T : Rn −→ Rm tal que T (v) = Av ( A matriz m × n )
Es T una transformación lineal?
Por el Teorema 2 del Capítulo 2, dados x, y ∈ Rn y λ ∈ R,
A(x + y) = Ax + Ay y A(λx) = λAx,
=⇒ T es transformación lineal. Transformación Matricial
Ejemplo: Sea T : R3 −→ R2 , tal que T a b c = µ a − b + 3c 2a + c ¶ .
Ejemplo:
La reflexión a través del Eje Y en R2
es una transformación lineal.
(−2, 1) (2, 1) (x, y) (−x, y) x y -6 * * * *
T : V −→ W transformación lineal, v1, v2, . . . , vn ∈ V y λ1, λ2, . . . , λn ∈ R =⇒ T(λ1v1+ λ2v2+ . . . + λnvn) = λ1T(v1) + λ2T(v2) + . . . + λnT(vn). En particular, T(0) = 0 T : V −→ W , S : V −→ W
T = S si y solo si T (v) = S(v), para todo v ∈ V
T : V −→ W , S : V −→ W , V = Gen{v1, v2, . . . , vn}
Una transformación lineal queda completamente determinada por las imágenes de los elementos de una base del dominio.
B = {v1, v2, . . . , vn} base de V y w1, w2, . . . , wn vectores de W
=⇒
Existe única transformación lineal T : V −→ W tal que
w1 = T (v1), w2 = T (v2), . . . , wn = T (vn)
Ejemplo:
Existe una transformación lineal T : R2
−→ R3 tal que T µ 1 0 ¶ = 1 0 0 y T µ 0 1 ¶ = 0 2 1 ? µ x y ¶ = xµ 1 0 ¶ + yµ 0 1 ¶ T µ x y ¶ = xT µ 1 0 ¶ +yT µ 0 1 ¶ = x 1 0 0 +y 0 2 1 = x 2y y
ESPACIOS VECTORIALES ASOCIADOS A UNA TRANSFORMACION LINEAL
T : V −→ W transformación lineal,
N u(T ) = {v ∈ V : T (v) = 0}
( Núcleo de T )
Im(T ) = {w ∈ W : existe v ∈ V tal que T (v) = w}
( Imagen de T )
N u(T ) es subespacio vectorial de V
Ejemplo:
Calculemos N u(T ) e Im(T ) para T : P2 −→ R2, tal que
T(a + bx + cx2) = µ a − b c ¶ T(a + bx + cx2 ) = µ a − b c ¶ = µ 0 0 ¶ =⇒ a = b , c = 0 =⇒ N u(T ) = ©a + bx + cx2 : a = b, c = 0ª = {a + ax , a ∈ R} = {a(1 + x) , a ∈ R} = Gen{(1 + x)}
Como cualquier vector de R2
puede ser imagen de un polinomio bajo T ,
MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL
T : V −→ W transformación lineal
B = {v1, v2,· · · , vn) base de V y B′ base de W
[AT]BB′ = [[T (v1)]B′ [T (v2)]B′ · · · [T (vn)]B′]
Ejemplo: Dadas T : R2 −→ P2 tal que T µ a b ¶ = (a − b) + ax + bx2 B = ½µ 1 0 ¶ ,µ 0 1 ¶¾ y B′ = {1, 1 + x, 1 − x2 } bases de R2 y P2,
encontremos la matriz asociada a T respecto a las bases B y B′
T µ 1 0 ¶ = 1 + x, T µ 0 1 ¶ = −1 + x2 1 + x = 0 · 1 + 1.(1 + x) + 0.(1 − x2 ) =⇒ · T µ 1 0 ¶¸ B′ = 0 1 0 −1 + x2 = 0· 1 + 0.(1 + x) + -1.(1 − x2 ) =⇒ · T µ 0 1 ¶¸ B′ = 0 0 −1 AT = 0 0 1 0 0 −1 .
AT = [[T (v1)]B′ · · · [T (vn)]B′] es la única matriz tal que [T (v)]B′ = AT[v]B, para todo v ∈ V Ejemplo: T : R2 −→ P2 tal que T µ a b ¶ = (a − b) + ax + bx2 B = ½µ 1 0 ¶ ,µ 0 1 ¶¾ y B′ = {1, 1 + x, 1 − x2 } bases de R2 y P2, AT = 0 0 1 0 0 −1 (a − b) + ax + bx2 = 0 · 1 + a.(1 + x) + (−b).(1 − x2) · T µ a b ¶¸ B′ = £(a − b) + ax + bx2¤B′ = 0 a −b ·µ a b ¶¸ B = µ a b ¶ Verifiquemos · T µ a b ¶¸ B′ = 0 0 1 0 0 −1 µ a b ¶ = 0 a −b
T : V −→ W transformación lineal, B y B′ bases de V y W , respectivamente.
AT matriz asociada a T respecto a las bases dadas,
=⇒
v ∈ Nu(T ), si y solo si, [v]B ∈ NAT
w ∈ Im(T ), si y solo si, [w]B′ ∈ CAT
dim N u(T ) = dim NAT y dim Im(T ) = dim CAT
y por consiguiente,
T : V −→ V transformación lineal, B y B′ bases de V
P es la matriz de transición de B a B′, AT es la matriz asociada a T respecto a B y
A′T es la matriz asociada a T respecto a B′, entonces A′TP = P AT V T V Rn AT Rn [v]B [T (v)]B = AT[v]B P P [v]B′ = P [v]B [T (v)]B′ = P [T (v)]B = P AT[v]B A′T Rn Rn [v]B′ [T (v)]B′ = A′T[v]B′ = A′TP[v]B
ISOMORFISMOS
T : V −→ W es una transformación lineal inyectiva,
si y solo si,
para cada w de Im(T ), existe un único v ∈ V tal que T (v) = w. (T (v1) = T (v2) =⇒ v1 = v2) Ejemplo: T : M2×2 −→ P3, tal que T µ a b c d ¶ = (a − b) + cx + dx2 + (a− b)x3 T µ 1 1 −2 3 ¶ = T µ 0 0 −2 3 ¶ , entonces ...
Ejemplo: T : M2×2 −→ P3, tal que T µ a b c d ¶ = (a − b) + cx + dx2 + ax3 T µ a1 b1 c1 d1 ¶ = T µ a2 b2 c2 d2 ¶ (a1 − b1) + c1x + d1x 2 + a1x 3 = (a2 − b2) + c2x + d2x 2 + a2x 3 =⇒ a1 = a2, b1 = b2, c1 = c2 y d1 = d2 Entonces, · · ·
T : V −→ W es una transformación lineal sobreyectiva,
si y solo si, Im(T ) = W
Ejemplo:
T : P2 −→ P2, tal que T (a + bx + cx 2
) = (a − b) + cx2
p+ rx + sx2 ∈ Im(T ) =⇒ r = 0
=⇒ T no puede ser sobreyectiva.
Ejemplo:
Sea T : M2×2 −→ R2 tal que
T µ a b c d ¶ = µ a + c b+ d ¶ Para µ u v ¶ ∈ R2 , existe µ u − α β α v − β ¶ ∈ M2×2, α y β ∈ R T µ u − α β α v − β ¶ = µ u v ¶ =⇒ T es sobreyectiva.
T : V −→ W es un isomorfismo si y solo si,
T es inyectiva y sobreyectiva. (V y W son isomorfos).
Ejemplo: T : R4 −→ M2×2 tal que T a b c d = µ a b c d ¶ Si T a1 b1 c1 d1 = µ a1 b1 c1 d1 ¶ = T a2 b2 c2 d2 = µ a2 b2 c2 d2 ¶ =⇒ a1 b1 c1 d1 = a2 b2 c2 d2 =⇒ T es inyectiva. Si µ p q r s ¶ ∈ M2×2, existe p q r s ∈ R4 tal que T p q r s = µ p q r s ¶ =⇒ T es sobreyectiva.
T : V −→ W transformación lineal inyectiva {v1,· · · , vn} es l.i. ⇓ {T (v1),· · · , T (vn)} es l.i. T : V −→ W transformación lineal T es inyectiva ⇐⇒ N u(T ) = {0} Ejemplo: ½µ 1 1 ¶ , µ −1 2 ¶¾ es l.i. ⇓ ½ T µ 1 1 ¶ = x2 , T µ −1 2 ¶ = 3 2 + 2x 2 ¾ es l.i.
Ejemplo: Es T : R2 −→ P2 con T µ a b ¶ = b− a 2 + bx 2 inyectiva? N u(T ) = ½µ a b ¶ : b− a 2 + bx 2 = 0 ¾ = ½µ a b ¶ : b− a 2 = 0, b = 0 ¾ = ½µ a b ¶ : a = 0, b = 0 ¾ = ½µ 0 0 ¶¾ =⇒ T es inyectiva.
T : V −→ W transformación lineal {v1,· · · , vn} conjunto generador de V
⇓
{T (v1),· · · , T (vn)} es conjunto generador de Im(T )
T : V −→ W transformación lineal sobreyectiva
{v1,· · · , vn} generador de V
⇓
T : V −→ W isomorfismo {v1,· · · , vn} es base de V ⇓ {T (v1),· · · , T (vn)} es base de W T : V −→ W isomorfismo m dim V = dim W
Ejemplos: Son R3
y V = {(x y z w)T : z = 0} isomorfos?
Son los planos P1 de R3 y P2 de R4 isomorfos?
P1 : x1 = −3t + 2s x2 = 5t x3 = −2s y P2 : y1 = 5r y2 = 2r − 2p y3 = r + 3p y4 = −p
Son los hiperplanos H1 de R3 y H2 de R4 isomorfos?
T : V −→ W transformación lineal, dim(V ) = dim(W )=(finita) entonces si T es inyectiva =⇒ T es sobreyectiva. si T es sobreyectiva =⇒ T es inyectiva. Ejemplo: Es T : R2 −→ P1 con T µ a b ¶ = a + (b − a)x un isomorfismo?
R2 y P1 tienen igual dimensión.
Es fácil ver que T es inyectiva
T : V −→ W transformación lineal,
AT matriz m × n asociada a T , respecto a dos bases dadas.
⇓
T es inyectiva, si y solo si, la forma escalonada de AT tiene n
pivotes.
T es sobreyectiva, si y solo si, la forma escalonada de AT tiene
m pivotes.
T es un isomorfismo, si y solo si, AT es invertible.
Si T es la idéntica y la base de V = W es la canónica, =⇒ AT = I
ALGEBRA DE TRANSFORMACIONES T, S : V −→ W transformaciones lineales y λ ∈ R, (T + S) : V −→ W, tal que (T + S)(v) = T (v) + S(v), (λT ) : V −→ W, tal que (λT )(v) = λ[T (v)]. Ejemplo: T, S : R3 −→ R2 , tal que T a b c = µ a + c b ¶ y S a b c = µ a + b + c 0 ¶ (T + S) 1 −3 1 = T 1 −3 1 + S 1 −3 1 = µ 2 −3 ¶ +µ −1 0 ¶ = µ 1 −3 ¶ (−5T ) 1 0 −4 = −5 T 1 0 −4 = −5µ −3 0 ¶ = µ 15 0 ¶
S, T : V −→ W transformaciones lineales y µ ∈ R
=⇒
(T + S) : V −→ W
(µT ) : V −→ W
son transformaciones lineales.
El conjunto de las transformaciones lineales T , de V en W , es un espacio vectorial R, S, T : V −→ W transformaciones lineales y λ, µ ∈ R entonces 1. R + (S + T ) = (R + S) + T 2. S + T = T + S 3. T + 0 = 0 + T = T 4. T + (−T ) = (−T ) + T = 0 5. λ(S + T ) = λS + λT 6. (λ + µ)T = λT + µT 7. (λµ)T = λ(µT ) = µ(λT ) 8. 1T = T 9. 0T = 0
T : U −→ V , S : V −→ W transformaciones lineales.
(S ◦ T ) : U −→ W
(S ◦ T )(u) = S(T (u)), para todo u ∈ U (S ◦ T ) también es una transformación lineal.
Ejemplo: T : R3 −→ R2 , S : R2 −→ P2, T a b c = µ a + b c ¶ , S µ α β ¶ = αx + βx2, (S ◦ T ) 1 −2 3 =? (S ◦ T ) 1 −2 3 = S T 1 −2 3 = S µ −1 3 ¶ =
R, S y T transformaciones lineales, λ ∈ R =⇒ (T ◦ S) ◦ R = T ◦ (S ◦ R) (T + S)◦ R = (T ◦ R) + (S ◦ R) λ(T ◦ S) = (λT ) ◦ S = T ◦ (λS). I ◦ T = T ◦ I = T. 0 ◦ T = 0 , T ◦ 0 = 0.
Sean B, B′ y B′′ bases de U , V y W ,
T : V −→ W , S : V −→ W y R : U −→ V transformaciones
lineales
AT, AS y AR matrices asociadas a T , S y R, respecto a las bases
dadas, =⇒ AT +S = AT + AS AT−S = AT − AS A−T = −AT AλT = λAT AT◦R = ATAR
T : V −→ W es invertible,
si existe S : W −→ V transformación lineal tal que (T ◦ S) = IW y (S ◦ T ) = IV
A la transformación S la llamaremos inversa de T , S = T−1.
Ejemplo: T : R2 −→ P1, T µ a b ¶
= b− ax es una transformación invertible.
Veamos que si S : P1 −→ R2, S(α + βx) = µ −β α ¶ , entonces (T ◦ S) = IP1 y (S ◦ T ) = IR2. (T ◦ S)(α + βx) = T (S(α + βx)) = T µ −β α ¶ = (α + βx) (S ◦ T )µ a b ¶ = S µ T µ a b ¶¶ = S (b − ax) = µ a b ¶
T : V → W una transformación lineal, ⇓
T es invertible, si y solo si, T es un isomorfismo. Si T es invertible, entonces T−1 es única.
B y B′ bases de V y W ,
T : V → W transformación lineal y
AT la matriz asociada a la transformación T
respecto a las bases B y B′. ⇓
T es invertible, si y solo si, AT es invertible.
Si T es invertible, entonces A−1T es la matriz asociada a la transformación lineal T−1, respecto a las bases B′ y B.