MAT200 GUIA DESARROLLO RESUMEN PRUEBA N°2

(1)

Dirección de Formación General GUÍA DE EJERCICIOS RESUMEN PRUEBA Nº 2 ALGEBRA

1.

Se añade una cierta cantidad de gramos de sal a un litro de agua, después de t minutos, la cantidad de sal que no se disuelve en el agua, se puede calcular con la función: t t Q _        5 4 10 ) (

a) ¿Cuánta sal se añadió al agua inicialmente?

Para

t



0

se tiene

10

1

10

5

4

10 )

0 (

0











_











Q

Respuesta: Inicialmente se añadió 10 gramos de sal

b) Después de 5 minutos. ¿Cuánta sal no se disuelve aún?

Para

t



5

se tiene 3,2768 5 4 10 ) 5 ( 5         Q

Respuesta: Después de 5 minutos, 3,3 gramos de sal no se han disuelto.

2.

Chile, los años 1996, 1997 y 1998, tenía una población aproximada de 14.419.000, 14.622.000 y 14.822.000 habitantes respectivamente. Actualmente, según el censo del año 2002, tiene una población aproximada de 15,5 millones de habitantes y está creciendo a una tasa anual de 1,3%. Crecimiento que se ha ido desacelerando desde el año 1992.

La población aproximada en millones de habitantes de nuestro país, t años después del censo se puede determinar con la función:

t k e P t P( ) ₀ 

Se sabe que en el año 2005 la población de nuestro país fue de 16,1 millones de habitantes.

(2)

FIX 3) Datos: t=0 P (0) = 15,5 t=3 p (3) = 16,1 Para determinar P0: _P(0)_P₀_ek0 =15,5 0 15,5 0e  P 15,5 0  P Para determinar k: _P(3)15,5 _ek3 =16,1 _ek3 _₁₅16_,,₅1 _{/ Ln} Ln(ek3)=Ln       5 , 15 1 , 16   _ _ 5 , 15 1 , 16 3 Ln k



k= 0,013

Por lo tanto la función es: P₍t₎₁₅_,₅ e0,013t

b) ¿Cuál fue la población de nuestro país en el año 2010?

Considerando t=8 8 013 , 0 5 , 15 ) 8 (  e  P P(8)= 17,199

Respuesta: La población en el año 2010 es de 17.198.807.

c) En qué año la población de nuestro país fue de 16.757.401 habitantes?

P(t)= 16,757 757 , 16 8 013 , 0 5 , 15 e   _e0,013t _16₁₅,757_,₅ _{/ Ln}

(3)

Dirección de Formación General Ln((e0,013t)=Ln       5 , 15 757 , 16       5 , 15 757 , 16 013 , 0 t Ln t=5,998 = 6

Respuesta: en el año 2008 la población de nuestro país fue de 16.757.401 habitantes

3.

En twitter se esparce un rumor, de modo que cada minuto se duplica la cantidad de personas que se enteran del mismo. Si la cantidad de personas que saben del rumor está dado por la función:

t t

P( ) 2 .

a) Identificar la variable dependiente e independiente en la función

b) Calcular la imagen para la función, seleccionando del gráfico dos valores cualesquiera para la cantidad de minutos

c) Identificar cuál de los gráficos modela la función planteada Desarrollo

a) Identificar las variables dependiente e independiente en la función.  La variable dependiente corresponde

P(t) = Cantidad de personas que saben el rumor

 La variable independiente corresponde T = Minutos

b) Calcular la imagen para la función.

Evaluando en _t _₀ se tiene _P₍₀₎_₂0 _₁

Evaluando en

_t

_

₁

se tiene que: 2 2 ) 1 (  1 P

(4)

DESARROLLO

C).De acuerdo a los valores obtenidos de las imágenes de la función y contrastándolo con los gráficos se descartan los modelos 2 ,3 y 4.

(5)

Dirección de Formación General

4.

La sustancia radioactiva Estroncio-90, se desintegra a medida que transcurre el

tiempo en años. Considerando que la masa , de estroncio-90 en gramos, que va quedando, está determinada por la función:

 

_t t

M ₂₀₀_,₅0,036

¿Después de cuántos años quedarán 10,72 gramos de la sustancia radioactiva?

DESARROLLO: : Gramos de estroncio-90 : Tiempo en años Según información: M(T)= 10,72

 

_t _20_0,50,036t _10,72 M 200,50,036t 10,72



20 72 , 10 5 , 0 0,036t _ _/ _l_og          20 72 , 10 log ) 5 , 0 log( 0,036t



0,036tlog(0,5)log_ 10₂₀,72_



t=

 

0,5 log 036 , 0 20 72 , 10 log        = 24,991

Respuesta: Después de 25 años quedaran 10,72 gramos de la sustancia radiactiva.

5.

El valor de un automóvil se deprecia cierto porcentaje cada año. El gráfico siguiente representa esta situación, donde “x” representa los años e “y” representa el valor del vehículo.

(6)

a)

Determine la función exponencial de la forma: _f₍_x₎__T __ax_{que modela la situación}

anterior.

Se consideran dos puntos de la gráfica de la forma_f₍_x₎__T__ax

Se tiene que en

x



2

, f₍₂₎_T _a2



₅_.₅₀₈_.₀₀₀__T__a2 Luego en x 4, _f₍₄₎__T__a4



₄_.₄₆₁_.₄₈₀__T__a4 Dividiendo 2 4 000 . 508 . 5 480 . 461 . 4 a T a T    simplificando queda,  2  000 . 508 . 5 480 . 461 . 4 a _a2_0,81 / 0,9a Reemplazando a = 0,9 queda _T_0,92_5.508.000 __T_6.800.000 Respuesta: _f₍_x₎_₆_.₈₀₀_.₀₀₀_₍₀_,₉₎x

b) ¿Cuál será el valor del automóvil al séptimo año? X=7

f(7)6.800.000(0,9)7  3.252.418,92

Respuesta: $3.252.419 será el valor del automóvil al séptimo año. c) ¿Cuántos años habrán pasado si el valor del auto es de $1.555.622?

_f₍_x₎_₆_.₈₀₀_.₀₀₀_₍₀_,₉₎ x (0,9) / log 000 . 800 . 6 622 . 555 . 1 ) 9 , 0 ( 000 . 800 . 6 622 . 555 . 1   x   x

(7)

_{ }

x  _ _x _ _ _x           999 , 13 ) 9 , 0 ( log 000 . 800 . 6 622 . 555 . 1 log 9 , 0 log 000 . 800 . 6 622 . 555 . 1 log

Respuesta: Si el valor del auto es de $1.555.622 habrán pasado 14 años.

6

. El crecimiento en cm de árboles enanos en un vivero, después de t meses, está modelado por la función: h

 

t 2,5log(0,75 t1)10,5

a) ¿Inicialmente, cuál es la altura de los árboles? t=0

h0(log(5,2))1075,05,105,10

Respuesta: La altura será 10,5 cm.

b) ¿Qué altura tendrán los árboles después del año? t=12

h(12)2,5log(0,75121)10,513

_{Respuesta: La altura será 13 cm.}

7.

En un laboratorio se estudia la cantidad de bacterias (en miles) que se reproducen después de transcurridos x segundos, la que está dada por una función logarítmica de la forma f

 

x log_b

 

ax . Se sabe que después de 10 segundos hay 1.000 bacterias y que pasados 90 segundos hay 3.000 bacterias

a) Determine la función que modela dicha situación.

Se tiene _A(10,1) 1 log (_a 10) _b1 10 _a _i) b       _B(90,3) 3 log (_a 90) _b3 90 _a _ii) b      

(8)

Dividiendo

a

b





10

90

1 3 _b2_9 /

b



3

Reemplazando el valor obtenido de b en la ecuación i) a a a    3 , 0 10 3 10 3 1 1 Respuesta:f(x)log₃



0,3x



b) Determine la cantidad de bacterias después de 1 minuto y 40 segundos.



0,3 100



log ) 100 ( 100   ₃   f x f(100)3,096

Respuesta: Quedarán 3.096 bacterias.

c) ¿Después de cuánto tiempo hay 12.000 de bacterias?

f(x)12 12 log



0,3 x



312 0,3x 3      x 3 , 0 312

(9)

Dirección de Formación General X=1.771.470 segundos

Respuesta: Han pasado 1.771.470 segundos, equivalente a decir han pasado 21 días.

8.

La escala de decibeles está dada por la siguiente función: _dB(_w)_10_log(1012_w)

Donde:

W : Potencia

dB (w) : Decibeles

a) Identificar la variable dependiente e independiente en la función.

b) Calcular la imagen para la función, seleccionando del gráfico dos valores cualesquiera para la potencia.

c) Identificar cuál de los gráficos modela la función planteada.

(10)

a) Identificar la variable dependiente e independiente de la función.  La variable dependiente corresponde

dB (w) = Escala de decibles

 La variable independiente corresponde (w)= potencia

b) Calcular la imagen para la función, seleccionando de los gráficos de la letra c, dos valores.

DESARROLLO

 Evaluando en

W



3

para ver cuál de los modelos es el correcto

 

3 _10_log(1012 3)_124,77



dB

 Evaluando en

W



5

para ver cuál de los modelos es el correcto

 

5 _10_log(1012 5)_126,99



dB

c) Identificar la gráfica. DESARROLLO

De acuerdo a los valores obtenidos de las imágenes de la función y contrastándolo con los gráficos, se descartan los Modelos 1, 2 y 3

Respuesta: Por lo tanto el modelo correcto es el MODELO 4.

9.

La cantidad promedio de bacterias en el cuerpo de un perro depende del tiempo en días después de suministrado un medicamento Esta situación está modelada de acuerdo a una expresión logarítmica, a través del siguiente gráfico:

(11)

a) De acuerdo a la siguiente gráfica, determine la expresión algebraica que modela la situación. Considere la expresión: f(x)logb(ax)

Se consideran dos puntos de la gráfica para f(x)log_b(ax) Se tiene _A(1,8) 8 log (_a 1) _b8 _a _i) b      _A(8,5) 5 log (_a 8) _b5 8_a _ii) b      Dividiendo

a

b





8

5 8 3 _/ 3 8 1  b 2 1  b

Reemplazando el valor obtenido para b en la ecuación i)

a        8 2 1 a 256 1 Respuesta: ) 256 1 ( log ) ( 2 1 x x f 

b) ¿Cuántas bacterias quedarán en el cuerpo del perro después de 16 días de suministrado el medicamento? ) 16 256 1 ( log ) 16 ( 16 2 1     f x f(16)4

(12)

Respuesta: Después de 16 días de suministrar el medicamento quedarán 4 bacterias.

c)¿Cuántos días han pasado desde el suministro del medicamento, si en el cuerpo del perro quedan 3 bacterias? x x 256 1 2 1 256 1 log 3 3 2 1               

 _ _x     256 1 2 1 3

32 x

Respuesta: Si quedan 3 bacterias, han pasado 32 días desde el suministro del medicamento.

(13)

ANEXO DE EJERCICIOS

GUÍA DE RESUMEN PRUEBA N°2

10.-

Un medicamento se elimina del organismo a través de la orina. La cantidad de medicamento, en milígramos, que queda en el cuerpo después de t horas de haberlo administrado está dada por: _N₍_t₎_₁₀_₀_,₈t

a) Calcule la cantidad de fármaco inicial en el organismo.

Milígramos de medicamento en el cuerpo

tiempo en horas

Para t 0 se tiene N(t)100,80 10

Respuesta: Al inicio se tendrá 10 ml de fármaco en el organismo.

b) Calcule la cantidad de fármaco restante en el organismo, 8 horas después de la ingesta inicial.

Para

t



8

se tiene N(8)100,88 1,6777

Respuesta: Después de 8 horas habrá 1,7 ml de fármaco en el organismo.

11.-

Investigaciones recientes dicen que el porcentaje de riesgo de sufrir una estafa bancaria por internet, al tener x accesos a internet en el mes, se puede calcular de acuerdo a la siguiente función:

 

_x _A _ekx

R _ _ 

Se sabe que inicialmente el riesgo de sufrir una estafa bancaria por internet es del 4% y que al ingresar 60 veces en el mes al sitio, el riesgo es de un 8,2%.

(14)

FIX 3) Datos: X=0 R(0)=4 X=60 R(60)=8,2 Para determinar A: _R(0)_A _ek0 =4

A



e

0 4 A 4 Para determinar k: _R(60)4 _ek60 =8,2 _ek60 _8₄,2_{/ Ln} Ln(ek60)=Ln       4 2 , 8   _ _ 4 2 , 8 60 Ln k



_{k= 0,012}

Respuesta: La función es: R₍x₎₄e0,012x

b) Según las investigaciones ¿Qué porcentaje de riesgo tiene una persona que ingresa 100 veces al mes al sitio bancario por internet?

X=100 100 012 , 0 4 ) 100 (  e  R =13,280

Respuesta: Una persona tiene el riego del 13,28% de ingresar 100 veces al mes al sitio bancario por internet.

c) Si un usuario tiene un riesgo de ser estafado del 9,83%, ¿Cuántas veces ingresó al sitio de internet de su banco?

R(x)=9,83 4e0,012x 9,83 4 83 , 9 012 , 0 x _ e _{/ Ln}

(15)

Dirección de Formación General Ln(e0,012x)=Ln       4 83 , 9   _ _ 4 83 , 9 012 , 0 x Ln



x= 74,928

Respuesta:

Con un riesgo del 9,83% una persona ingreso al sitio de internet 75 veces

12.

La cantidad de virus V que tiene un computador en mal estado, después de t horas, puede ser modelada por la función:

 

₄

₂

4 t

t

V





a) Identificar la variable dependiente e independiente en la función.

b) Calcular la imagen para la función, seleccionando del gráfico dos valores cualesquiera para la cantidad de horas.

(16)

a) Identificar las variables dependiente e independiente de la función.  La variable dependiente corresponde

V(t) = Cantidad de virus

 La variable independiente corresponde (t)= Tiempo en horas

b) Calcular la imagen para la función, seleccionando de los gráficos de la letra c, dos valores. DESARROLLO  Evaluando en t 0 se tiene

(

0 )

4

2

4

0







V

 Evaluando en t= 4 se tiene

(

4 )

4

2

4

8

4







V

c) Identificar la gráfica. DESARROLLO

De acuerdo a los valores obtenidos de las imágenes de la función y contrastándolo con Los gráficos, se descartan los Modelos 1, 3 y 4

Respuesta: Por lo tanto el modelo correcto es el MODELO 2

13.

Un terremoto cuya lectura sismográfica mide x milímetros tiene una magnitud M en la escala de Richter, está dado por la siguiente función: _M(_x)_log(103_x)

Si el sismo que se registró, tuvo una magnitud de 5,1 en la escala de Richter, ¿Cuál fue la lectura sismográfica?

M(x)= Magnitud en escala de Richter x=Milímetros

(17)

Dirección de Formación General 5₃,1



x

10

X= 125,89

Respuesta: La lectura sismográfica es de 126 milímetros con una Magnitud de 5,1 en la escala Richter.

14.

El tamaño de un cultivo de bacterias crece cada 30 minutos. Esta situación la representa el siguiente gráfico, donde x representa el tiempo en horas e “y” representa la cantidad de bacterias (en millones).

a)

Determine la función exponencial de la forma: _f₍_x₎__T __ax_{que modela la situación}

anterior.

Considerar dos puntos de la gráfica de la forma: _f₍_x₎__T__ax

Se tiene

x



1

, f₍₁₎_T_a1



₂₀__T__a1 Para x2, _f₍₂₎__T__a2



₈₀__T__a2 Dividiendo ₁ 2 20 80 a T a T    simplificando queda  1  20 80 a

4 

a

Reemplazando a = 4 queda _T_42_80 __T_5

(18)

b) ¿Cuántas bacterias habrán al cabo de 300 minutos? X= 5 HORAS 5 ) 4 ( 5 ) 5 (   f =5120

Respuesta: En 300 minutos (5 horas) habrá 5.120 Millones de bacterias c) ¿Dentro de cuántas horas, el cultivo tendrá 320 millones de bacterias?

Desarrollo: f(x)320 5(4)x 320 4x 320₅ / Log Log(4x)=Log       5 320   _ _ 5 320 ) 4 log( Log x X=3

Respuesta: Dentro de 3 horas, el cultivo tendrá 320 millones de bacteria.

15.

La intensidad del sonido que percibe el oído humano tiene diferentes niveles. Una fórmula para hallar el nivel de intensidad



, en decibeles, que corresponde a intensidad de sonido I es:

      0 log 10 I I

 donde I0 es un valor especial de I que corresponde al sonido más débil que puede ser detectado por el oído bajo ciertas condiciones. Encuentre



en los casos siguientes, considerando I₀ 1

a)

I es 10 veces I0 Desarrollo:

10 log

10

10 log

 

10

0 0

_

_

_

_

_















I

Respuesta: 10 decibeles.

(19)

b)

I es 10.000 veces I0 (este es el nivel de intensidad promedio de la voz humana)

Desarrollo:

10 log

1 .

000

10 log



1 .

000 

40

0 0

_

_

_

_

_















I

Respuesta: 40 decibeles.

c)

I es ₁₀14,1 _{veces I0 (este nivel de intensidad produce dolor en un oído humano}

común)

Desarrollo: 10 log 10 10 log 1014,1 141 0 0 1 , 14                       I I Respuesta: 141 decibeles.

16

. Una tienda que se dedica a la venta de bicicletas, el valor a pagar (en cientos de miles de pesos) de la compra de x cantidad de bicicletas está, dado por una función logarítmica de la forma: f

 

x log_b

 

ax _.

Si se compran 2 bicicletas se cancela $200.000 y si se compran 30 bicicletas se cancelan $300.000.

a) Determine la función que modela dicha situación. Se tiene _A(2,2) 2 log (_a 2) _b2 2_a _i) b      _B(30,3) 3 log (_a 30) _b3 30_a _ii) b      Dividiendo

a

b

2

30

2 3



_b1_15 b15

(20)

 

a a   5 , 112 2 15 2 Respuesta: f(x)log₁₅



112,5x



b) Determine el valor a pagar si se compran 20 bicicletas.



112,5 20



log ) 20 ( 20   ₁₅   f x =2,850

Respuesta: Se pagara $285.027 si se compran 20 bicicletas. c) Si se cancelaron $314.031, ¿Cuántas bicicletas se compraron? f(x) 3,140 3,140log₁₅



113x





 

15 3,140 113x

 

 x 113 15 3,140

43,63x

Respuesta: Se compraron 44 bicicletas si se pagó $ 314.031

17.

En la escala de Richter, la magnitud

M

de un terremoto de intensidad

I

está dada por:

 

) 10 ln( ) 10 ln( 6 _I I M  

MODELO 1

MODELO 2

(21)

¿Cuál es el gráfico que modela la situación? Desarrollo: Evaluando en i= 30.000se tiene





) 10 ln( ) 000 . 30 10 ln( 000 . 30 6_  M = 10,477

Evaluando en i=10.000 se tiene





) 10 ln( ) 000 . 10 10 ln( 000 . 10 6_  M = 10

De acuerdo a los valores obtenidos de las imágenes de la función y contrastándolo con los gráficos, se descartan los Modelos 1, 3 y 4

Respuesta: Por lo tanto el modelo correcto es el MODELO 2

18.

La estatura promedio de un mono enano denominado tití (en cm) depende del tiempo en meses después de su nacimiento. Esta situación está modelada de acuerdo a una expresión logarítmica, a través del siguiente gráfico

(22)

a) De acuerdo a la siguiente gráfica, determine la expresión algebraica que modela la situación. Considere la expresión: f(x) logb(ax)

Se consideran dos puntos de la gráfica para ( ) log (ax)

b x f  Se tiene _A(1,2) 2 log (_a 1) _b2 _a _i) b      _A(8,5) 5 log (_a 8) _b5 8_a _ii) b      Dividiendo

a

b

8

2 5



_b3₈ _/ 3

b



2

Reemplazando el valor obtenido para b en la ecuación i) ₂2 a

4a

Respuesta:

f

(

x

)



log

₂

(

4 x

)

b) ¿Qué altura alcanzará un mono tití al cabo de 16 semanas de vida?

x



4 

f

(

4 )



log

₂

(

4 

4 )

4 ) 4 (  f

(23)

Dirección de Formación General Respuesta: al cabo de 16 semanas, alcanzará una altura de 4 cm

c) Si un mono tití tiene una altura de 8 centímetros, ¿Cuántos meses de vida tiene?