GEOMETRÍA

(1)

GEOMETRÍA

Lisseth Dayanara Portilla Peñafiel 6° F. M. “1”

21. La suma del complemento de un ángulo α con el suplemento de su ángulo doble, es igual a 3/2 del complemento de un ángulo ß Si: m α-m ß = 3π/20 rad. Calcular el complemento del ángulo α. α = 63° 90-α=90°-63=27° 1) (90-α)+(180+2α)=3/2(90-ß) ß=36° 2) α-ß=3π/20 90-ß=90-36=54° 1)180°-2α+360°-4α=270-3ß 180°-2α 540-6α=270-3ß 3π/20=270° -6α+3ß=-270 /3 -2α+ß=-90 2) α-ß=27 -2α+ß=-90 α-ß=27 ____________ -α=-63° α=63°

25. La sexta parte del suplemento del complemento de un ángulo es igual a la mitad de la cuarta parte del complemento del suplemento de 50°. Hallar la medida del ángulo

180-(90-x)/6 = 140/4/2 180-90+6/6=140/8 8(90+x)=6(140-40) 720+8x=840 8x=120 X=15°

23. La suma del suplemento de un ángulo con el complemento de su ángulo doble es mayor en 110°al tercio del ángulo. Hallar la medida del ángulo.

(90-x)+ (180-2x)-110=x/3 270-3x+540-6x-330=x -10x=-480

X=48°

22. Dos ángulos adyacentes complementarios están en la razón de 2 a 3. Hallar el valor del ángulo formando por la bisectriz del ángulo menor con el lado o común.

(2)

X/180-x=2/3 3x=2(180-x) 3x=360-2x 5x=360 X=72°

24. si el suplemento del suplemento del complemento de un ángulo mas el complemento del suplemento de su ángulo doble es igual al doble del complemento del angulo. Encontrar la medida del ángulo.

90-(180-x)+[180-(90-2x)]=2(180-x)-180 90-18/0+x+180-90+2x=360-2x-360 5x=180°

X=36°

20. El duplo del suplemento de un ángulo es igual al suplemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento del ángulo .Calcular la medida del ángulo.

2(180-x)=180-[(180-x)-(90-x)] 2(180-x)=180-(180-x-90+x) 360-2x=180-180+x+90-x 360-90=2x 2x=270 X=135°

12. ¡cual es la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo que equivale a los 3/7 de un ángulo recto? X-3/7(90)=0 X=270/7 X=38.57 90-X=0 90-38.57=51.43° 180-X=0 180-38.57=141.43° »141.43°-51.43°=90°

26. Los ángulos BAC agudo y CAD recto, son adyacentes. Determinar la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos BAC Y BAD

D <CAD=90 <CAD=90/2 <BAD =45º <BAC=45

(3)

45º 1 B <BAD/2=22.5 <BAC/2=22.5 2

45 x=<1+<2

A C X =22.5+22.5 X=45º

28. En un ángulo llano AOD se trazan los ángulos adyacentes AOB. BOC Y COD. SI las bisectrices de los ángulos AOB y COD forman un ángulo de 130°, hallar la medida del ángulo BOC

<1+<2+X+X2+X2=180° <1+X+<2=130 X=? <1+130+<1=180 1 2 <1+<1=50° 1 130° 2 50+X=130 X=80° | Proposiciones | Razones | 1 | AB = 10x + 14 | Hipótesis | 2 | BC = 6x | Hipótesis | 3 | AE = 32x – 13 | Hipótesis | 4 | ED = 5x + 8 | Hipótesis | 5 | BE II CD | Hipótesis |

6 | ABBC=AEED | Rectas parales, lados proporcionales | 7 | 10x+146x=32x-135x+8 | Sustitución de 1,2,3,4 en 6 | 8 | (10x + 14)(5x + 8) = 6x(32x – 12) | Operaciones Algebraicas | 9 | 142x2 – 228x – 112 = 0 | Operaciones Algebraicas | 10 | x=-(-228)±(-228)2-4(142)(-112)2(142) | Operaciones Algebraicas | 11 | x=2 | LQQD | | Proposiciones | Razones | 1 | AB=6 | Hipótesis | 2 | BC=7 | Hipótesis | 3 | AC=8 | Hipótesis | 4 | DE = 18 | Hipótesis | 5 | FD = 21 | Hipótesis |

(4)

6 | EF = 24 | Hipótesis |

7 | ABDE=BCFD=ACEF | Triángulos semejantes | 8 | 618=721=824 | Sustitución 1,2,3,4,5,6 en 7 | 9 | ΔABC ≈ ΔDEF | Por tener lados proporcionales |

8 | 2‹1 = 30° ; ‹1 = 15° | Operaciones Algebraicas | 9 | AM2 = AB2 + BM2 – 2ABBMcos30° | Ley de cosenos | 10 | AM = 64+25-285cos30° | Sustitución | 11 | AM = 4.4 | Operaciones algebraicas | 12 | 85= x4.44-x | Teorema de bisectriz | 13 | 35.52 – 8x = 5x | Operaciones algebraicas | 14 | X = 2.73 | Operaciones algebraicas | 15 | DM = 1.71 | Resta de segmentos | 16 | BD2(4.44)=(64)(1.71)+25(2.73)(1.71)(4.44) | Menelao y sustitución | 17 | BD = 5.94 | Operaciones algebraicas |

| Proposiciones | Razones | 1 | ‹BDA = 70° | Hipótesis | 2 | ‹CEA = 80° | Hipótesis | 3 | I incentro | Hipótesis |

4 | ‹a = ‹a; ‹b = ‹b | Por incentro, unión de dos bisectrices internas |

5 | ‹BDA = 2‹a + ‹b | El ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos no adyacentes |

6 | 70° = 2‹a + ‹b | Sustitución de 1 en 5 |

7 | ‹CEA = ‹a + 2‹b | El ángulo externo es igual a la suma de las medidas de los ángulos no adyacentes |

(5)

8 | 80° = ‹a + 2‹b | Sustitución de 2 en 7 | 9 | ‹a = 80° - 2‹b | Despejamos ‹a en 8 |

10 | 70° = 2(80° - 2‹b) + ‹b | Sustitución de 9 en 6 | 11 | 70° = 160° - 4‹b + ‹b | Operaciones |

12 | ‹b = 30° | Operaciones |

13 | ‹a =20° | Sustitución de 12 en 6 | 14 | ‹a + ‹b = 50° | Suma de ángulos | 15 | ‹A = 180° -2‹b - 2‹a | Resta de ángulos |

16 | ‹A = 180° -2(30°) – 2(20°) | Sustitución de 12, 13 en 15 | 17 | ‹A = 180° - 60° -40° | Operaciones | 18 | ‹A = 80° | LQQD | | Proposiciones | Razones | 1 | AE II CD | Hipótesis | 2 | Ẋ = 30° | Hipótesis | 3 | Ḃ = 70° | Hipótesis |

4 | ɸ = 180° - Ḃ | Por par lineal |

5 | ɸ = 180° – 70° = 110° | Sustitución de 3 en 4; op. Al. | 6 | CF | Trazo auxiliar | 7 | ÂFC = 30° | Internos externos | 8 | Â + ÂFC + ɸ = 180° | Suma de ángulos | 9 | Â + 30° + 110° = 180° | Sustitución de 5,7 en 8 | 10 | Â = 40° | LQQD | | Proposiciones | Razones | 1 | AB = BC | Hipótesis | 2 | DE = EF | Hipótesis | 3 | AD = 10u | Hipótesis |

(6)

4 | CF = 8u | Hipótesis |

5 | ‹AOD + ‹X - ‹DOC + ‹X = 30° | Sustitución de 3,4 en 1 | 6 | 2‹X = 30° | Operaciones |

7 | ‹X = 15° | LQQD | | | |

(7)

2 | BF = FC = 5 | Datos | 3 | EF = AE | Datos | 4 | DC = 8 | Datos |

5 | Cosx = 810 | Función trigonométrica | 6 | ‹x = 36.87 | Operaciones |

7 | BD2 = 64 + 100 -2(10)(8)cos36.87 | Teorema | 8 | DB = 6 | Operaciones |

9 | X = 41.4 | Resta de angulos |

10 | AD2 = 64 + 36 -2(8)(6)cos41.4 | teorema | 11 | AD = 5.25 | Operaciones |

12 | P = (10+8+13.28)2 | Suma del perímetro sobre dos | 13 | P = 15.64 | operaciones |

6. tanB=86 FUNCION TRIGONOMETRICA 7. B = 53.13 OPER ALGE

8. cos53.13= BH6 FUNCION TRIGONOMETRICA 9. BH = 3.6 OPER ALGE

10. BM = BH + HM SUMA DE SEG 11. HM = 5 – 3.6 SUST DE 1 Y 9

(8)

12. HM = 1.4 OPER ALGE PROPOSICION RAZON

1. BC = CE = CA = AD ; D = 70 HIPOTESIS

2. 2 = 2 A LADOS IGUALES SE OPONEN ANGULOS IGUALES 3. 2 3 + 1 = 180 ANGULOS INTERNOS DE UN TRIANGULO 4. 2(70) + 1 = 180 SUST DE 1 EN 3

5. 1 = 40 OPER ALGE 6. C punto medio

7. A = 90 el punto medio de la hipotenusa equidista de sus vertices 8. A = 1 +2 suma de angulos

9. 2 = 50 sut de 7 y 5 en 8 y oper alge 10. 2 2 = 3 + X angulo externo

11. X = 2(50) – 70 sust de 9 en 10 y 1 en 10 12. X = 50 oper alge

1.

PROPOSICION RAZON 1. FoB = AoF = 3 HIPOTESIS 2. FoB = 80 HIPOTESIS 3. BoC – AoB = 40 HIPOTESIS 4. BoD = DoC = 2 HIPOTESISI 5. BoC = 2 1 HIPOTESIS 6. 2 2 + 1 = 8 HIPOTESIS 7. 3 = 2 1 HIPOTESIS 8. AoB = 4 1 HIPOTESIS 9. 2 2 – 4 1 = 40 SUST DE 5 Y 7 EN 3 10. 2 = 80 – 2 1 TRANSPOSICION DE TERMINOS EN 6 11. 2(80 – 2 1) – 4 1 = 40 SUST DE 9 EN 8 12. 1 = 80 OPER ALGE PROSICION RAZON 1. B = 2 1; C = 2 3; HIPOTESIS 2. 110 = α ; 100 = β HIPOTESIS 3. α + β= 1 + A + β SUMA DE ANGULOS 4. β+ 3 +90 =180 PAR LINEAL 5. 3 = 180 -90- β OPER ALGE 6. 1 = 180 -90 – α OPER ALGE 7. α + β= 90 – α SUSTITUCION

(9)

8. α + β= 90 – X + 180 – 90 – β+4 SUSTITUCION 9. α + β= 180 + A 2 OPER ALGE 10. 110 + 100 = 180 + A 2 SUSTITUCION 11. A = 60 OPER ALGE PROPOSICION RAZON 1. AP BQ = PB AQ HIPOTESIS 2. AP = AB – PB RESTA DE SEGMENTOS 3. AQ = QB – AB RESTA DE SEGMENTOS

4. (AB – PB)BQ = PB (QB – AB) SUSTITUCION DE 1 EN 3 5. ABBQ – PBBQ = PBQB – PBAB OPER ALGE

6. ABBQABBQPB= 2PBQBABBQPB- PBABABBQPB OPER ALGE 7. AB = 2PBQBBQ+PB OPER ALGE

PROPOSICION RAZON

1. AoE = EoD ; AoB =BoC ; QS II OE HIPOTESIS 2. 2 1 = 160 HIPOTESIS 3. 1 = 80 HIPOTESIS 4. 1 = 2 +30 SUMA DE ANGULOS 5. 80 = 2 + 30 SUSTITUCION DE 3 EN 4 6. 2 = 50 OPER ALGE 7. 2 2 + 3 = 160 SUMA DE ANGULOS 8. 3 = 60 OPER ALGE 9. 1 = 3 + 4 SUMA DE ANGULOS 10. 80 = 60+ 4 SUSTITUCION DE 3 EN 9 11. 4 = 20 OPER ALGE 12. 5 = 180 – 1 – 4 RESTA DE SEGMENTOS 13. 5 = 180 – 80 – 20 SUSTITUCION DE 3 Y 14. 5 = 80 15. A = 1 16. A = 80 17. A + X + 90 + 5 = 360 18. X = 110 A 120 60 Â B T) < X =? O 100 60 Ê P C x D PROPOSICIONES RAZONES 0) <E + <2 = 100 Hipótesis

(10)

1) AB CD hipótesis

2) OP AB ^ CD línea auxiliar 3) <0= 120 hipótesis

4) <A + <O= 180 por par lineal 5) <A + 120 = 180 sustitución 3 en 4 6) <A = 60 operación algebraica 7) < A ^ < 1; < 2 ^ < X definición

8) < A = < 1; < 2 = < X ángulos internos alternos entre paralelas 9) < 1 = 60 transitivo 6 y 8 10) < 1 = < B definición 11) <E= 60 sustitución 9 en 10 12) 60 + <2= 100 sustitución 11 en 1 13) <2 = 40 operación algebraica 14) <X = 40 transitivo 13 y 8 B H)AB=24u H BC=40u D T)DE=? DH=? A E C PROPOSICIONES RAZONES 1) AB=24u; BC=40u Datos 2) AC2=402-242 Pitágoras 3) AC=32 Op. Alg

4) AC2=AB2+BC2-2AB.BC.COS˂B Ley cosenos 5)322=242+402-2.24.40.COS˂B Susti. 1,3 en 4 6) ˂B=53,13; ˂1=26.56 Bisectriz

7) ˂C=90-53,13=36.87 Resta de ángulos 8) AH=32.SEN36,87 Pit agoras

9) AH=19,2 Op. Alg 10) DH=X Reflexivo

11) BE.COS26,56=24 Pitágoras 12) BE=26,83 Op. Alg

13) DE=Y Reflexivo

14) EC2=402+26,832-2.40.26,86COS36,87 Ley Cosenos 15) EC=24,55 Op. Alg

16) AE=32-24,55=7,45 Resta de segmentos 17)32COS36,87=HC Pitágoras

(11)

18) HC=25,6 Op. Alg

19) BH=40-25,6=14,4 Resta de segmentos 20) EC.AD.BH=AE.DH.BC T. Menelao 21)24,5(19,2-X)14,4=7,45.X.40 Sustitución 22) X=7,2u Op. Alg

23) HC.BD.AE=BH.DE.AC T. Menelao 24)25,6(28,83-Y)7,45=14,4.Y.32 Sustitución 25) Y=10.7 Op. Alg

A H)AC=10 D AE=4 T)A AEC=? E C B PROPOSICONES RAZONES 1) AC=10; AE=4; ˂E=90 Datos 2) AD=DC=5 Por Punto medio 3) ED2=25-16=3 Pitágoras 4) A AED=3.4 Teorema 2

5) A AED=G O . Alg 6) D=punto medio Dato

7) A AEC=A EDC Por punto medio 8) A AEC=6+6 Sustitución

9) A AEC=12 Op. Alg

B H) BE bisectriz externa ABC α BD bisectriz interna ABC T) α=β

β

E A H D D

PROPOSICIONES RAZONES

1) BE bisectriz externa ABC Hipótesis 2) BD bisectriz interna ABC

3) 2<2+2<1=180 <s adyacentes cuyos no comunes son colineales 4) <1+<2=90 o. Algebraica

(12)

5) α +<D=90 <s agudos del EBH 6) <B+<D=90 <s agudos del BHD 7) α +<D=<B+<D Transitivo 5 ^ 6 8) α=<B O. Algebraica C H) ABC Escaleno H Su Ortocentro E D T) AE.EC=BE.EH H A B PROPOSICIONES RAZONES 1) ABC escaleno Datos 2) H Su Ortocentro

3) ˂ E= ˂D =90 Por Ortocentro 4) ˂2 = ˂2 Opuestos por el vértice 5) ˂3=90-˂2; ˂4=90-˂2 Angulos agudos 6) ˂C=90-˂4 7) ˂C=90-90-˂4 Sustitucion 8) ˂C=˂2 Op. Alg 9) AEH≈ ECB 10) AE = AH = EH Proposicion EB CB EC

11) AE.EC=BE.EH Op. Alg

Q A P B

H) 1 + 1 = 2 T) AB=5 PB QB 5

APXBQ=PBXAQ

(13)

1) APXBQ=PBXAQ hipótesis 1) 1 + 1 = 2 hipotesis PB QB 5

2) AP=AB-PB resta de segmentos 3) AQ=QB-AB resta de segmentos

4) (AB-PB)BQ=PB(QB-AB) sust de 4^3 en 1

5) ABXBQ-PBXBQ=PBXQB-PBXAB prop. Distrib. De la multi. 6) ABXBQ=2PBXQB-PBXAB reducción e términos

7) ABXBQ = 2PBXQB - PBXAB dividimos por AB,PB,QB ABXPBXQB ABXPBXQB ABXPBXQB simplificamos 8) 1 = 2 - 1 o. algebraica

PB AB QB

9) 1 + 1 = 2 sust de 2 en 10 PB QP AB

10) 2 = 2 multi. De extremos y medios 5 AB

11) 2AB=10 dividimos para 2 12) AB=5 A T) ABXHD=AH2 D B H C PROPOSICIONES RAZONES 1) ˂A=˂D=˂H=90 datos 2) ˂1=˂1 por anti paralelas 3) ˂P=90-˂1 resta de ángulos 4) ˂q=90-˂1 resta de ángulos 5) ˂P=˂q transitivo 3^4

6) ABH = ADH por ángulos agudos 7) AD = BH = AH proporción AH AD DH

8) AB = AH operaciones algebraicas AH DH

(14)

9) ABXHD=AH2 29. A D T) X=? X B E PROPOSICIONES RAZONES 1. AC=AD hipótesis 2. CB=BE 3. AD ІІ BE

4. <1≈<1 a lados = se ponen ángulos = 5. <2≈<2

6. <A+<B=180° <s internos del mismo lado del tramo 7. <1=<B+<2

8. 2<1=<A+<B

9. 2<X=180 Óp. Algebraicas 10. <X=90

(15)

B Q 122. T1) PQ II AC P p T2) PQ=(a+c-b)/2 A C PROPOSICIONES RAZONES 1. PDQE trazo auxiliar 2. P^Q < Rectos (grafico) 3. <1=<1^<2=<2 Datos 4. PC=PC^AQ=AQ Reflexivo 5. ΔDPC=ΔBPC A.C 6. ΔABQ=ΔQAE 7. DP=PB^DQ=QD Partes correspondientes 8. PQ IIAC El seg q une(…)medios s las lados 9. PQ=AC/2 de un Δ es =a la mitad del 3er lado 10. BC=DC=a partes correspondientes

11. AC=b 12. AB=AE=c

13. AD=b-a Resta de segmentos 14. EC=b-c

15. DE=b-(b-q)-(b-c) 16. DE=b-b+a+b+c 17. DE=a+b+c

(16)

Proposición RAZON

1. AB=8; BD=6; AD=10; B=2 1 hipotesis 2. AD2=BD2+ AB2- 2BDABcosB ley d cosenos 3. 100=36 +6 4-96 cosB sust de 1 en 2 4. B=90 oper alge

5. AC=64+64 pitagoras 6. AC = 11.31 oper alge

7. ABBC=AEEC propiedad de bisectrices 8. 88=X11.31-X sust de 1 en 7

9. 11.31-X = X oper alge 10. X = 5.66 oper alge

11. DC2=AD2+ AC2- 2ADACcosA ley de cosenos 12. 4 = 100 + 127.92 – 226.2cosA sust de 1 y 6 en 11 13. A=8.14 oper alge

14. DE2=AD2+ AE2- 2ADAEcosA ley de cosenos 15. DE = 100+32.04-112.06 sust de 1 en 14 16. DE = 4.47 oper alge PROPOSICION RAZON 1. AH=3.6; BC =8; B y H =90 ; C 2 1 hipotesis 2. BH=BH ; 2 = 2 reflexivo 3. ΔABH = ΔBHD CA 4. BH= HA POR PARTES 5. AH=3.16 POR PARTES

6. BCEC=ABDE= ACDC POR PARTES 7. AC = 7.2 + DC SUMA DE SEG 8. 8EC= 7.2+DCDC SUST DE 1 Y 7 EN 6 9. BC2=AC .HC POSTULADO

(17)

10. AC= (BH + HC)HC SUSTITUCION 11. 64 = ( 3.6 + HC )HC SUSTITUCION 12. HC = 6.2BC = BC – 9 OPER ALGE 13. DC=64 -36 SUSTITUCION 14. DC= 18 OPER ALGE 15. EC = 7.2 +48 SUMA DE SEGMENTOS 16. EC = 2.24 OPER ALGE 17. DE2 = DC2 – EC POSTULADO 18. DE =1.08 OPER ALGE A P B Q APPB=AQ QB DATOS

AB-PBPB=AB+BQBQ RESTA DE SEGMENTOS ABPB-1=ABBQ+1 OPERACIONES ALGEBRAICAS AB1PB-1QB=2

1PB-1BQ=2AB AP.BQ=AQ.PB

AQ.PB=(AB+BQ)(PQ-BQ) SUSTITUCION DE DOS EN 6

AP.BQ=AB.BQ+BQ.PQ-AB.BQ-BQ² OPERACIÓN ALEGEBRAICA AP.BQ=AB.PQ+BQ(PQ-AB-BQ) AP.BQ=AB.PQ-AP.BQ 2AP.BQ=AB.PQ AB= 2APPQ 1 2 3 DEMOSTRACION N° | PROPOSICION | RAZON | 1. L1 Y L2 Y L3 Y L4 TRAZO AUXILIAR 2. L1 L2 L3 L4 L5 PARALELAS

3. α1Y α2 OPUESTOS POR EL VERTICE 4. α1≈ α2 CONGRUENTES

(18)

6. α3=30 DATOS 7. α6=20 DATOS

8. α3Y α4 ALTERNOS INTERNOS DEFINICION 9. α3≈ α4 CONGRUENTE

10. α3=30 TRANSITIVO

11. α5Y α6 ALTERNOS INTERNOS DEFINICION 12. α5≈ α6 CONGRUENTE 13. α5= 20 TRANSITIVO 14. α=α4+α5 SUMA DE ANGULOS 15. α=50 OPERACIÓN ALGEBRAICA 16. αβ=α2+α2 SUMA DE ANGULOS 17. αβ= 40 OPERACIÓN ALGEBRAICA 18. α+β=90 SUMA DE ANGULOS 19. 50+40=90 SUSTITUCION 16 Y 18 EN 19 20. α+β=90 OPERACIÓN ALGEBRAICA B Q 24 M A 31 C H) BM=MC=14 T) EQ=? DEMOSTRACION 1 BM=MC=14 DATOS 2 AC=31 3 AB=24 4 Q=2<1 5 C=2<2 6 <E=<4 7 <A=<3

8 AB²= BC²+AC²-2BC.AC-2BCACCOSC LEY DE COSENOS 9 24²=28²+31²-2(28)(31) COSC SUST..1,2,3 EN 8 10 <C= 48 OPERACION ALGEBRAICA

11 AM²=AC²+BM²-2MC.AC.COSC LEY DE COSENOS 12 AM²=31²+14²-2(31)(14)COS48 SUST1,2,3,10 EN 11 13 AM=24 OPERACION ALGEBRAICA

14 MC²= (AM)²+AC²-2(AB)(AC)COS3 LEY DE COSENOS 13 <3=26 OPERACION ALGEBRAICA

(19)

14 <C=2<2 DATOS 15 C+22=180 SUMA DE SEGMENTOS 16 <2=66 OPERACION ALGEBRAICA 17 3+C+2+21=180 SUMA DE SEGMENTOS 18 <1=20 OPERACION ALGEBRAICA 19 <4=4+2+5-180 SUMA DE SEGMENTOS 20 <4=94 OPERACION ALGEBRAICA 21QCSEN26=31SEN40 LEY DE SENOS 22QC=21.24 OPERACION ALGEBRAICA 23EQSEN66=21.14SEN94 LEY DE SENOS 24QC=19.3 OPERACION ALGEBRAICA B 9 D Y 7 A C T) Y=? 1 AD=7 2 DB=9 3 BC=9 DATOS 4 <1=<1

5 ∆ADC≈∆DBC CONGRUENCIA DE TRIANGULOS 6AD=DB TRANSITIVO

7AB=16 SUMA DE SEGMENTOS

(20)

9ACDC=Y9=16Y SUSTITUCION DE 3 EN 8 10ACDC=Y9-16Y OPERACIONES ALGEBRAICAS 11Y²=(16)(9) OPERACIONES ALGEBRAICAS 12√Y²=√144 13Y=12 A D B H C T) AH²=AD X HD DEMOSTRACION <A=<H=<D=90 DATOS AB ES ANTIPARALELA HD TEOREMA <1=<2 ≈ DE∆ ∆ABH≈∆DHC ∆≈ AHHD=ADAH ≈ ∆

AH²= AD. HD OPERACIONES ALGEBRAICAS

B H X F XX E 70 D A C H) AB=BC T) < =? DEMOSTRACION

(21)

1<E=2< 1 2<D =<H=90 DATOS 3< 1= 70 4< 1= 110 5 A D B H C T) DC=b³a² DEMOSTRACION B A C T) α = 90 -β2 DEMOSTRACION B N C M

(22)

H) NQ BC CN=10 Y BM=8 T) MN=? Q DEMOSTRACION NQ BC DATOS 1 CN=10 Y BM=8 DATOS 2 <1=<1; <2=<2 DATOS 3 <2=<3 ALTERNOS INTERNOS 4 <2=<2 TRANSITIVO 5 NQ=NC LADOS IGUALES 6 BM=MD LADOS IGULES 7 MN= NQ-MB RESTA DE SEGMENTOS 8 MN= 10-8 SUSTITUCION 9 MN= 2 OPERACIÓN ALGEBRAICA E 2 D F A 3 A 4 B 3 C T) A= ¿ DEMOSTRACION