Solucion S5_ Integral Definida

(1)

Departamento de Ciencias Calculo 2_Ingeniería

1 SESIÓN 5

Tema: Integral definida

1. Calcule las siguientes integrales definidas:

1) Hallar 2 0

cos 2

π

xdx



Solución:

En primer lugar, sea u2x Su diferencial es du2dx, de aquí 2 du dx Ahora sustituyendo, se obtiene

2 0

cos

2

π

udu



2 0 1 cos 2 π udu 



2 0 1 2 π senu 



2 0 1 2 2 π sen x 

_

 





1 1 2. 2.0 2 2 2 π sen sen     _ _ __      0 0 0 2) Hallar 2 0

cos(

)

π

Lnx dx



Solución:

En primer lugar, sea t Lnx Su diferencial es dt 1dx, x  de aquí dxxdt. Recordar que t e Ln x  t x e , entonces t dxe dt. Ahora sustituyendo, se obtiene

(2)

Departamento de Ciencias Calculo 2_Ingeniería 2 2 1

cos(

)

π

Lnx dx



2 1

cos

π t

te dt





Luego, según el método de ILATE, identificamos a

cos( )

t

como Trigonométrica y

e

tcomo Exponencial.

Sea ucos( )t , su diferencial es du sen t dt( ) Además, sea dve dtt , integrando sería vet. Ahora aplicando la definición



udvuv



duv, se obtiene

cos( ) t e t dx



cos( )( )t et 



( )(et sen t dt( )) cos( )( )t et ( )(et sen t dt( ))  

_

…. (I)

Posteriormente, según el método de ILATE, identificamos a

sen t

( )

t

e

como Exponencial.

Sea usen t( ), su diferencial es ducos( )t dt Además, sea dve dtt , integrando sería vet. Ahora aplicando la definición



udvuv



duv, se obtiene

( ) t

e sen t dx



(sen t( ))( )et 



( )(cos( ))et t dt….(II) Reemplazando (II) en (I):



etcos( )t dx (cos( ))( ) (t et  sen t( ))( )et 



( )(cos( ))et t dt 2



etcos( )t dx(cos( ))( ) (t et  sen t( ))( )et

cos( ) (cos( ))( ) ( ( ))( ) 2 t t t t e sen t e e t dx 



Luego, reemplazando en la primera integración:

2 1

cos(

)

π

Lnx dx



2 1

cos

π t

te dt





2 1

cos(

)

π

Lnx dx



(cos( ))( ) ( ( ))( ) 2 t t t e  sen t e 

(3)

Departamento de Ciencias Calculo 2_Ingeniería 3 2 1

cos(

)

π

Lnx dx





cos( ) ( )



2 t e t sen t    _{ }   



cos( ) ( )



2 e Ln x e Lnx sen Lnx   _ _   



cos( ) ( )



2 x Lnx sen Lnx   _{ }   

Luego, reemplazando los valores de x

cos 4 Ln 2 sen Ln 2                _{ }_ _ _{ }_ _ _{ }__        



 





 



1 cos 1 1 2 Ln sen Ln   _{ }    1 cos 4 Ln 2 sen Ln 2 2                  _{ }_ _ _{ }_ _ _{ }___{ }           3) Hallar 3 2 1 (4 2 ) x sen(4xx dx)



Solución:

En primer lugar, sea 2

4 u xx Su diferencial es du  ( 2x 4)dx, de aquí 2 4 du dx x    Ahora sustituyendo, se obtiene

3 3 2 1 1

(4 2 )



x sen

(4

x



x dx

)



sen u du

( )



 cos( )u  cos(4xx2) Luego, reemplazando los valores de x:

 cos(4 3 3 )x  2 cos(4 1 1 )x  2  cos(3)cos(3)

(4)

Departamento de Ciencias Calculo 2_Ingeniería 4 4) Hallar 2 1 (ln ) e x dx



Solución: 2 1 1 (ln ) (ln )(ln ) e e x dx x x dx



Sea uLn x( ), su diferencial es du 1dx x

 Además, sea dvLnx, integrando sería

( n 1) vx L x

Ahora aplicando la definición



udvuv



duv, se obtiene

1 (ln )(ln ) e x x dx



₁ 1 ( ( ))( )( ( ) 1) ( ( ) 1) e Ln x x Ln x x Ln x dx x      _{  }  



1 ( ( ))( )( ( ) 1) ( ( ) 1) e Ln x x Ln x Ln x dx   

_

 1 1 ( ( ))( )( ( ) 1) ( ) e e Ln x x Ln x  Ln x dx dx        









(Ln x( ))( )(x Ln x( ) 1) ( )(x Lnx 1) x     





(Ln x( ))( )(x Ln x( ) 1) x Lnx 1 1   _ _   __





(Ln x( ))( )(x Ln x( ) 1) x Lnx 1 1   _   _





( )(x Ln x( ))(Ln x( ) 1) x Lnx 2   _  _





( ) (x  Ln x( ))(Ln x( ) 1) Lnx 2  _    _ 2 ( ) (x  Ln x( )) Ln x( ) Lnx 2  _    _ 2 ( ( )) 2 ( ( )) 2 x Ln x x Ln x x    Reemplazando el valor de x: 2 1

(ln )

e

x dx



2 ( ( )) 2 ( ( )) 2 e Ln e e Ln e e    - 2 (Ln (1))2(Ln(1))2 = e 2e2e    0 0 2 e 2

(5)

Departamento de Ciencias Calculo 2_Ingeniería 5 5) Hallar 4 1 3 xdx e



Solución:

En primer lugar, sea

1 2 t x t x Su diferencial es 1 2 1 2 dt x dx de aquí ₁ 2 1 2 dt dx x   . Luego, 1 2 1 2 2 dt x dx xdt dx (2 xdt)( 1)  dx( 1) 2 xdt dx   2( x dt) dx 2tdtdx

Luego reemplazando en la integral definida inicial:

4 4 1 1 3 3 t(2 ) xdx e tdt e 



4 1

6 e tdt

t





Luego, según el método de ILATE, identificamos a

t

como Algebraica y

e

tcomo Exponencial. Sea u t , su diferencial es dudt. Además, sea dve dtt , integrando sería vet.



udvuv



duv, se obtiene 6



e tdxt 6 ( )( )



t et 



e dtt







6 tet et  





6 tet et  

Reemplazando el valor de “t” en función a “x”:





4

1

6 xe x e x

(6)

6 Reemplazando los valores de “x”:



4 4

 

1 1



6 4e e 6 1e e      



2 2

 

1 1



6 2e e 6 e e      



2

  

1 6 3e 6 2e   



2 1



6 3e 2e    6) Hallar 1 2 3 0 ( 1) x x  dx



Solución:

En primer lugar, sea 2

1 ux  Su diferencial es du2xdx de aquí 2 du dx x  . Luego, 1 1 2 3 3 0 0

(

1)

( )

2 du

x x

dx

x u

x







1 ₃ 0 2 u du 



1 3 0 1 2 u du 



1 4 0 2 4 u x 



Reemplazando el valor de “t” en función a “x”:

1 2 4 0

(

1)

8 x







Reemplazando los valores de “x”:

2 4 2 4 (1 1) (0 1) 8 8     4 4 (2) (1) 16 1 15 8 8 8 8     

(7)

Departamento de Ciencias Calculo 2_Ingeniería 7 7) Hallar 8 2 0 sec xdx 



Solución: Aplicando integrales 8 0 tan x  

_

Reemplazando los valores de x: tan tan 0 8    2 1   8) Hallar 2 3 2 3 4 tan x e xdx e    



Solución: Aplicando integrales: 2 2 3 3 2 4 4 tan e dx e xdx     

_



_

2 3 3 2 4 (sec 1) e x e x dx    



 2 2 3 3 2 4 4 (sec e x e xdx dx           _  _    



2 2 3 3 4 4 (tan ) e x e x x     

_

 

_

2 3 4 ( tan ) e x x x     

_

(8)

Departamento de Ciencias Calculo 2_Ingeniería 8 2 3 4 (tan ) e x   

_

3 (tan tan ) 2 4 e     9) Hallar 4 ₂ 0cos x dx x 



Solución: Sabiendo que: 4 4 2 2 0 0 sec cos x dx x xdx x   



Según el método de ILATE, identificamos a

x

como Algebraica y

sec xdx

2 como Exponencial. Sea ux, su diferencial es dudx. Además, sea dvsec2x, integrando sería vtanx



udvuv



duv, se obtiene 4 2 0 sec x xdx 



4 0 tan tan x x xdx   

_

4 0 tan tan x x xdx   



4 0 tan ln(cos ) x x x   



tan ln(cos ) 0 tan 0 ln(cos 0)

4 4 4        ln 2 0 0 4 2      _ _    ln

 

2 ln(2) 4     (ln 2

 

1/ 2) ln(2) 4    

(9)

Departamento de Ciencias Calculo 2_Ingeniería 9 1ln 2

 

ln(2) 4 2     ln 2

 

4 2    10) Hallar 4 ₂ 2( 1)( 2) xdx x  x



Solución: Considerando: 2 ( 1)( 2) ( 1)( 1)( 2) 1 1 2 x x A B C x  x  x x x  x x  x Multiplicando por el MCM=(x+1)(x-1)(x+2) ( 1)( 1)( 2) ( 1)( 1)( 2) 1 1 2 x A B C x x x x x x x x x          _ _ _ _ _ _    ( 2)( 1) ( 1)( 2) ( 1)( 1) xA x x B x x C x x Para hallar el valor de A,B y C hacemos:

Si x1: 1B(1 1)(1 2)  1B(6) 1 6 B Si x 1: 1 A( 1 1)( 1 2)       1A( 2) 1 2 A  Si x 2: 2 C( 2 1)( 2 1)       2 C(3)  

(10)

10 2

3 C 

Luego, la integral será:

4 4 2 2 2 1 2 1 6 3 2 ( 1)( 2) 1 1 2 xdx x x x x x  _     _   _   _    _  



4 2 1 1 2 2(x 1) 6(x 1) 3(x 2) dx    _   _     



4 4 4 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 x 1dx 6 x 1dx 3 x 2dx      



4 4 4 2 2 2 ln( 1) ln( 1) 2ln( 2) 2 6 3 x x x 











Reemplazando los valores de x:

ln(5) ln(3) ln(3) ln(1) 2ln(6) 2ln(4) 2 2 6 6 3 3       3ln(5) 3ln(3) ln(3) ln(1) 4ln(6) 4ln(4) 6      

 

2ln 3 4ln 4 3ln 5 4ln 6 6      4 3 3 4 4 5 ln 3 6 6 x x        2000 ln 729 6        11) Hallar 1 ₂ 1 ₂ 1 ₂ 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 x x dx dx dx x x x     _ _   



Solución:

La primera integral, la resolvemos usando cambio de variable: Sea ux21 Su diferencial es

2 du xdx de aquí 2 du dx x  .

(11)

Departamento de Ciencias Calculo 2_Ingeniería 11 Luego, 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 x du dx dx arctgx x u     _ _ 



1 1 1 1 ln u arctgx   

_



_

Reemplazando el valor de “u” en función de “x”:

1 1 2 1 1 ln(x 1) arctgx    

_



_



₂





 

2



 

ln 1 1 ln 1 1 arctg 1 arctg 1        

4

4 π

π

  





_{  }

 

_

  



2 π  12) Hallar 2 1 x xe dx



Solución:

En primer lugar, según el método de ILATE, identificamos a

x

como Algebraica y

e

xcomo Exponencial.

Sea ux, su diferencial es dudx. Además, sea dvex, integrando sería vex. Ahora aplicando la definición



udvuv



duv, se obtiene

2 1 x xe dx



2 1 x x xe e  

_

2 2 1 1 x x xe e 

_



_

2 2 2e e (e e)     2 e  13) Hallar 5 2 3 9 x x  dx



(12)

12

Solución:

En primer lugar, sea ux29. Su diferencial es du2xdx, de aquí . 2 du dx

x 

Ahora sustituyendo, se obtiene

2 9 x x  dx



₂du u x x    _ _  



1 2 u du 



5 3/2 3 1 ( ) 2 3 / 2 u 

_

5 2 3/2 3 1 ( 9) 3 x  

_

1₍₅2 ₉₎3/2 1₍₃2 ₉₎3/2 3 3     1(16)3/2 1(0)3/2 3 3   64 3  14) Hallar 4 1 ln(sin ) cosx xdx 



Solución:

En primer lugar, sea usenx. Su diferencial es ducosxdx, de aquí . cos

du dx

x 

Ahora sustituyendo, se obtiene

4 1 ln(sin ) cosx xdx 



4 1 ln( ) π u du 

_

Según el método de ILATE, identificamos a

ln u

x

0como Algebraica. Sea vlnu, su diferencial es dv 1.

u

 Además, sea dt1du, integrando sería tu

(13)

Departamento de Ciencias Calculo 2_Ingeniería 13 4 4 4 1 1 1 1 ln( ) ln π π π u du u u u du u     _{ }  



 

4 4 1 1 ln π π u u du 

_{ }



Reemplazando el valor de “u” en función de “x”:

4 4

1 1

ln( )

π π

senx senx senx



_



_

ln( ) 1ln( 1) 1

4 4 4

π π π

sen sen sen sen sen sen

   

2 2

ln( ) (1) ln( (1)) (1)

2 2 4

π sen sen sen sen

   





2 ln 2 ln 2 (1) ln( (1)) (1) 2 4 π sen sen sen sen

    

2 1 2

ln 2 ln 2 (1) ln( (1)) (1)

2 2 sen sen 2 sen

 

 _  _  

 

2 ln 2 2

(1) ln( (1)) (1)

4 sen sen 2 sen

     15) Hallar 3 2 1 16 9 dx x x 



Solución:

En primer lugar, observemos que no es aplicable ninguna de las reglas básicas de integración expuestas anteriormente. Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que 2

 

2 2

16x  9 4x 3 es de la forma u2a2 . Por tanto, hacemos la sustitución

(14)

14

4 3sec

sec 4 3sec sec

3 4

x θ

ua θ  x θ  θ  x

Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos

3sec tan

4 θ

θdθ

dx



y 3 tanθ 16x29

Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado

3 2 1 3sec tan 4 3sec 3 tan 16 9 4 θ θdθ dx θ θdθ x x  



3 1 1 3dθ 



3 1

1

3 θ





3 2 1

1

16

9

3

3 x

arctg







1 3 15 1 7 3arctg 3 3arctg 3   1 7 15 3 arctg arctg 3    __  __  

2. Resolver los siguientes problemas

1) La función costo marginal de un fabricante es: C'0.8q4. Si actualmente la fábrica produce 50

q unidades al día, ¿Cuánto costará doblar la producción?

Solución:

La función costo, C (q), se halla integrando la función costo marginal, C ‘(q), así 100 100 0 0 ' 0.8 4 C  q



4x θ 2 16x 9 3

(15)

15 Para calcular esta integral, solo se integra su primer y segundo componente, quedando la función costo, C (q) de esta forma:

100 2 0 0.8 4 2 q q   _  _  



Para hallar el costo de doblar la producción a 100 unidades, se da de la siguiente manera:

2 2 0.8(100) 0.8(0) 4(100) 4(0) 2 2     80 50 4 100 x  x 4400

2) La definición de costo marginal de un fabricante es:

dC

0.02 q

30 dq





. Si la w2sproducción actual es q = 70 unidades por semana, ¿cuánto más costará incrementar la producción a 100 unidades por semana?

Solución:

La función costo, C (q), se halla integrando la función costo marginal, C ‘(q), así 100 100

70 70

' 0.02 30

C  q



Para calcular esta integral, solo se integra su primer y segundo componente, quedando la f función costo, C (q) de esta forma:

100 2 70 0.02 30 2 q q   _  _  



Para hallar el costo de doblar la producción a 100 unidades, se da de la siguiente manera:

2 2 0.02(100) 0.02(70) 30(100) 30(70) 2 2     100 3000 49 2100   951

3) Una fábrica creada en 2000 ve como poco a poco empieza a desgastarse su equipo, por lo que sus costos de mantenimiento empieza a aumentar. Si se conoce que el incremento de esos costos viene dada por la función: 2

'( ) 140 9800

M t  t  en euros por año. ¿qué costo total tendrá esta fábrica desde el año 2010 al 2015?

(16)

16 La función incremento de costo de mantenimiento, M (t), se halla integrando la función incremento de costo, M‘(t), así 5 5 2 0 0 '( ) 140 9800 M t  t 



Para calcular esta integral, solo se integra su primer y segundo componente, quedando la función costo, C (q) de esta forma:

5 2 0 140 4 2 t q   _  _  



Para hallar el costo total que tendrá esta fábrica desde el año 2010 al 2015, se da de la siguiente manera: 2 2 140(5) 140(0) 9800(5) 9800 3 3     5833.33 49000 54833.33

4) Una persona deja el grifo abierto a las ocho de la mañana. El agua sale a razón de: dG 50t 20 dt   litros por hora. Si no cierra el grifo hasta la tres de la tarde, ¿Cuántos litros se habrá derramado?

Solución:

La razón a la que se sale el agua, G (t), se halla integrando la función , G‘(t), así

7 7

0 0

'( ) 50 20 G t  t



7 2 0 50 20 2 t t   _  _  



Para hallar la cantidad de litros de agua derramada, se da de la siguiente manera:

2 2 50(7) 50(0) 20(7) 20(0) 2 2     25 49 20 7x  x 1365

5) En un partido de máxima expectación, las puertas de un estadio de fútbol se abren a las 16:00 horas, y los aficionados entran en él a razón de: 3 2

5(1 t) 185(1 t)

(17)

17 después de la apertura de las puertas de acceso. ¿cuántos aficionados entrarán hasta las 18:00 horas, cuando está previsto el comienzo del partido?

Solución:

La cantidad de aficionados que entran V(t), se halla integrando la función de la razón en la que entran, V’(t) 2 2 3 2 0 0 '( ) 5(1 ) 185(1 ) V t   t  t



2 4 3 0 5(1 ) 185(1 ) 4 3 t t     _  _  



Para halar la cantidad de aficionados que entrarán en dos horas, se da de la siguiente manera:

3 2 3 2 5(3) 185(3) 5(1) 185(1) 4 3 4 3     _  _{ }  _     4510 3 

6) El beneficio marginal de una cierta compañía es de: x/20

B'(x) 10(20 x)e dólares por unidad cuando el nivel de producción es de “x” unidades. Si el beneficio de la compañía es de $12 000 cuando se produce 150 unidades. Determine el beneficio implicado en incrementar la producción de 100 a 300 unidades.

Solución:

El beneficio ( )B x se determina integrando '( )B x con respecto a x . Así

/20

( ) '( ) 10(20 ) x B x 



B x dx



x e dx

Para integrar ambos miembros, se emplea la integración por partes usando el método de ILATE,

identificamos a 20

x

e

 como Exponencial y

(20



x

)

como Algebraica.

Sea u20x, su diferencial es du 1. Además, sea dvex/20dx, integrando sería

/20

20 x . v  e



udvuv



duv, se obtiene

  

      



x/20 x/20



x/20

(20 x)e (20 x)20e 20e ( 1)

 

(18)

Departamento de Ciencias Calculo 2_Ingeniería 18      x/20   x/20 (20 x)20e 20( 20)e  _e x/20_(20x₄₀₀₄₀₀₎   x/20   e (20x 400 400)  _10(20x)e x/20   x/20 200xe

Luego, reemplazando los valores de x:

  x/20300



100 200xe    300/20  100/20 200(300e 200e )  _20000e15₍₃_{e )}10

7) Una función de costo marginal de un fabricante es:

600 50 500 2    q q q cq dc . Si c está en dólares, determine el costo implicado en incrementar la producción de 100 a 300 unidades.

Solución: Considerando: 2 ₅₀ ₆₀₀ ₍ ₁₀₎₍ ₆₀₎ ₁₀ ₆₀ q q A B q  q  q q q q Multiplicando por el MCM ( q60)(q10) ( 60)( 10) ( 10)( 60) 60 10 q A B q q q q q q        _ _ _ _    qA q( 60)B q( 10) Para hallar el valor de A y B hacemos:

Si q 60: 60 B( 70)    6 7B Si q10:

(19)

Departamento de Ciencias Calculo 2_Ingeniería 19 10 (70) 1 7 A A   Luego, la integral será:

300 300 2 100 100 500 500 50 600 ( 10)( 60) qdq q q  q  q q



300 100 1 6 7 7 500 10 60 dq q q      _  _      



4 4 2 2 1 6 500 500 7(q 60)dq 7(q 10)dq    



4 4 2 2 500 1 500 6 1 7 7( 60) 7 ( 10) x dq dq q q    



4 4 2 2 500 6 500 ln( 60) ln( 10) 7 7 x q q  



 



3000ln(360) 3000ln(160) 500ln(290) 500ln(90) 7

  