1
Series de Fourier
"Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones", Genaro González
2
...
3
)
3
(
2
)
2
(
)
(
)
(
2
)
(
1+
+
+
=
=
−
=
∑
∞ =t
sen
t
sen
t
sen
n
nt
sen
t
t
f
nπ
La primera serie de Fourier de la historia
Euler 1744 escribe en una carta a un amigo:
¿Es cierto?
Observemos que en t = 0
hay problemas → π/2 = 0 ¡¡
3
Funciones Periódicas
Una
función periódica
f(t)
cumple que para todo
valor de
t
:
f(t) = f(t
+ T)
.
Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante
T
que cumple lo anterior se le llama el
periodo
fundamental
(o simplemente periodo) de la
función.
Observa que:
f(t) = f(t
+ nT)
, donde
n = 0,
±
1,
±
2,
±
3,...
4
Ejemplo: ¿Cuál es el periodo de la función
Si f(t) es periódica se debe cumplir:
Como cos(t + 2kπ) = cos(t) para cualquier entero k,
entonces, para que se cumpla la igualdad, se requiere que:
T/3 = 2k1π y T/4 = 2k2π.
Es decir:
T = 6k1π = 8k2π
con k1 y k2 enteros.
El valor mínimo de T se obtiene con k1= 4, k2= 3, es
decir, T = 24π.
?
cos
cos
(
3)
(
4)
f(t)
=
t+
t ) ( ) ( T) f(t t T t T 4 3 cos cos + + + = + f(t) ( t ) ( t ) 4 3 cos cos + = =5 Gráfica de la función 0 50 100 150 200 -3 -2 -1 0 1 2 3 f(t)=cos(t/3)+cos(t/4) t f(t) 24π T
)
(
)
(
f(t)
t t 4 3cos
cos
+
=
6
¿Es la suma de dos funciones
periódicas una función periódica?
Depende. Consideremos la función:
f(t) = cos(
ω
1t) + cos(
ω
2t).
Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que:
ω
1T = 2π
m yω
2T = 2π
n. Es decir, que cumplan:T = m/ (2
π ω
1) = n/ (2π ω
2)n
m
=
2 1ω
ω
7
Ejemplo: para la función cos(3t) + cos((
π
+3)t)tenemos que ¿Es periódica? + π = ω ω 3 3 2 1 0 5 10 15 20 25 30 -2 -1 0 1 2 f(t)=cos(3t)+cos((3+π)t) t f(t)
8
Para que exista periodicidad ω
1/
ω
2debe ser
un
número racional (n/m)
.
Ejercicios
: Encontrar el periodo de las
siguientes funciones, si es que son periódicas:
1)
f(t) = sen(nt)
, donde n es un entero.
2)
f(t) = sen
2(2
π
t)
3)
f(t) = sen(t) + sen(t
+
π/2
)
4)
f(t) = sen(
ω
1t) + cos(
ω
2t)
9
Si f1 (t) tiene periodo T1 y f2 (t) tiene periodo T2 , ¿es posible que f1 (t) + f2 (t) tenga periodo
T < min(T1 ,T2 )?
T1 = 5
T2 = 5
10
Podemos construir incluso un ejemplo de dos funciones de
igual periodo, cuya suma puede tener un periodo tan
pequeño como queramos. Sea N un entero, y definamos:
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < < ≤ ≤ = 1 1 , 0 1 0 ), 2 ( ) ( 1 t N N t t N sen t f π ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < < ≤ ≤ = 1 1 ), 2 ( 1 0 , 0 ) ( 2 t N t N sen N t t f π
extendida periódicamente con T = 1:
+∞ < < ∞ − + = f t t t f1( ) 1( 1),
extendida periódicamente con T = 1:
+∞ < < ∞ − + = f t t t f2( ) 2( 1), ⎩ ⎨ ⎧ +∞ < < ∞ − + + + < ≤ = + t t f t f t t N sen t f t f ), 1 ( ) 1 ( 1 0 , ) 2 ( ) ( ) ( 2 1 2 1 π N N T 1 2 2 2 = = = π π ω π
11
¿Puede una función f(t) cumplir la condición
f(t) = f(t + T) para todo t y no tener un periodo fundamental?
⎩
⎨
⎧
=
entero
un
es
no
si
0
entero
un
es
si
1
)
(
1t
t
t
f
1
enteros
son
no
y
si
0
enteros
son
y
si
1
)
(
)
(
1 1=
⇒
⎩
⎨
⎧
+
+
=
+
=
T
T
t
t
T
t
t
T
t
f
t
f
12
⎩
⎨
⎧
=
entero
un
es
o
irracional
es
si
0
entero
un
no
pero
racional
es
si
1
)
(
2t
t
t
f
1 enteros o es irracional son y si 0 enteros no pero racionales son y si 1 ) ( ) ( 2 2 = ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ + + = + = T T t t T t t T t f t f⎩
⎨
⎧
=
+
irracional
es
si
0
racional
es
si
1
)
(
)
(
2 1t
t
t
f
t
f
T = ?
13 ... 3 ) 3 ( 2 ) 2 ( 2 = + + + − sen t sen t t sen t π ¿Cómo lo alcanzó? Volvamos al resultado de Euler: ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + + = + + + = ... ) ( ... ) ( 3 2 3 2 t i t i it t i t i it e e t S e e e e t S t t sen i e e t S it it cos 1 2 1 2 1 1 ) ( − + − = − =
{
(2 ) (3 ) ...}
... ) 3 cos( ) 2 cos( cos ... ) ( 2 1 3 2 + + + + + + + = + + + = − t sen t sen t sen i t t t e e e t S it i t i t 2 ; 4 ... 7 1 5 1 3 1 1 2 2 1 ... 3 ) 3 ( 2 ) 2 ( 4 π π π π = + − = + − + − → = + − = + + + C C t C t t sen t sen t sen Integrando término a término: Utilizando la fórmula de Euler para cada término:Particularizamos t
14
Fourier series java applet
(
http://www.falstad.com/fourier/
)
...
3
)
3
(
2
)
2
(
2
=
+
+
+
−
sen
t
sen
t
t
sen
t
π
...
3
)
3
(
2
)
2
(
)
(
2
2
...
3
)
3
(
2
)
2
(
)
(
2
−
−
−
−
=
+
+
−
+
−
+
−
=
+
t
sen
t
sen
t
sen
t
t
sen
t
sen
t
sen
t
π
π
15
(1) La función de Euler es periódica de periodo T = 2
π
.(2) La serie es una función impar.
No es sorprendente, pues se trata de suma de senos de periodos enteros.
(3) En el intervalo 0 < t < 2
π
, la serie aproxima a (π-t)/2.Pero no fuera del intervalo...
(4) Da saltos bruscos entre valores positivos y negativos. (5) La aproximación no es buena en "los extremos"...
Ninguna de estas dos últimas cuestiones era conocida o sospechada ni por Euler, ni por Fourier...
19
Joseph Fourier
En diciembre de 1807 Joseph
Fourier presentó un sorprendente artículo a la Academia de Ciencias en París. En él afirmaba que
cualquier función puede escribirse en forma de serie trigonométrica semejante al ejemplo de Euler.
Polémica: Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)
era uno de los muchos que opinaba que algo así era simplemente imposible...
Jean Baptiste Joseph Fourier 1768-1830
21
Fourier basó su trabajo en el estudio físico de la ecuación del calor o de difusión:
Describe cómo el calor o una gota de tinta se difunden en un medio.
Lord Kelvin (1736-1813): electricidad por los cables trasatlánticos, edad de la Tierra,...
t
u
k
x
u
∂
∂
=
∂
∂
1
2 222
Serie trigonométrica de Fourier
Algunas funciones periódicas
f(t)
de periodo
T
pueden expresarse por la siguiente serie,
llamada
serie trigonométrica de Fourier
Donde ω
0= 2
π
/T
se denomina frecuencia
fundamental.
]
)
(
)
cos(
[
)
(
1 0 0 0 2 1∑
∞ =+
+
=
n n nn
t
b
sen
n
t
a
a
t
f
ω
ω
...
)
3
(
)
2
(
)
(
...
...
)
3
cos(
)
2
cos(
)
cos(
)
(
0 3 0 2 0 1 0 3 0 2 0 1 0 2 1+
+
+
+
+
+
+
+
=
t
sen
b
t
sen
b
t
sen
b
t
a
t
a
t
a
a
t
f
ω
ω
ω
ω
ω
ω
23
...
3
)
3
(
2
)
2
(
2
=
+
+
+
−
sen
t
sen
t
t
sen
t
π
]
)
(
)
cos(
[
)
(
1 0 0 0 2 1∑
∞ =+
+
=
n n nn
t
b
sen
n
t
a
a
t
f
ω
ω
a
0= 0, a
1= 0, a
2= 0 ...
b
1= 1, b
2= 1/2, b
3= 1/3,...
24
¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?
Dada una función periódica
f(t),
¿cómo se
obtiene su serie de Fourier?
Necesitamos calcular los coeficientes
a
0,a
1,a
2,...,b
1,b
2,...
Lo haremos gracias a la
ortogonalidad
de
las funciones seno y coseno.
]
t)
sen(n
ω
b
t)
(n
ω
[a
a
f(t)
n n n∑
∞ =+
+
=
1 0 0 0 2 1cos
25
Ortogonalidad
Se dice que las funciones del conjunto
{f
k(t)}
son
ortogonales
en el intervalo
a < t < b
si
dos funciones cualesquiera
f
m(t), f
n(t)
de
dicho conjunto cumplen:
⎩
⎨
⎧
=
≠
=
∫
f
(t)f
(t)
dt
r
para
para
m
m
n
n
n b a n m0
26
Ejemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el
intervalo –1 < t < 1, ya que:
Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son
ortogonales en el intervalo –
π
< t <π
, ya que0
4
1 1 4 1 1 3 1 1 2=
=
=
− − −∫
∫
t
dt
t
dt
t
t
0
2
cos
2=
=
− −∫
π π π πt
sen
tdt
sent
27
Ortogonalidad de senos y cosenos
Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el
intervalo -T/
2< t < T/2:
{1, cos(
ω
0t), cos(2
ω
0t), cos(3
ω
0t),...,
sen(
ω
0t), sen2
ω
0t, sen3
ω
0t,...}
28
Vamos a verificarlo probándolo a pares: 1.- f(t) = 1 vs. cos(mω0t): Ya que m es un entero.
0
)
2
2
2
cos
1
0 0 0 2 2 0 0 2 2 0=
=
=
=
=
− −∫
m
ω
sen(m
π
m
ω
)
T/
sen(m
ω
m
ω
t)
sen(m
ω
t)dt
(m
ω
T/ T/ T/ T/ ω0= 2π/Τ29 2.- f(t) = 1 vs. sen(mω0t): 3.- cos(mω0t) vs. cos(nω0t): 0 2 cos 2 cos 1 cos 1 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 = − = = − = − −
∫
)] T/ (mω )-T/ (mω [ mω mω t) (mω t)dt sen(mω T/ T/ T/ T/ ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = ≠ =∫
− / 2 0 0 t)dt t)cos(n cos(m 2 / 2 / 0 0 n m para T n m para T Tω
ω
cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)] cos2θ = ½ (1+cos2θ)
30 4.- sen(mω0t) vs. sen(nω0t): 5.- sen(mω0t) vs. cos(nω0t):
m,n
cualquier
para
t)dt
(n
ω
t)
sen(m
ω
T/ T/0
cos
2 2 0 0=
∫
−⎩
⎨
⎧
≠
=
≠
=
∫
−2
0
0
2 2 0 0n
m
para
T/
n
m
para
t)dt
t)sen(n
ω
sen(m
ω
T/ T/sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)] sen2 A =½ (1-cos2θ)
31
¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?
Vamos a aprovechar la ortoganilidad
que
acabamos de demostrar del conjunto de
funciones:
{1, cos(ω
0t), cos(2ω
0t), cos(3ω
0t),..., sen(ω
0t), sen2ω
0t, sen3ω
0t,...}con ω
0= 2
π/Τ, en el intervalo
-
T/
2
< t <
T/
2,
para calcular los coeficientes a
0,a
1,a
2,... ,
b
1,b
2,... de la serie de Fourier:
]
t)
sen(n
ω
b
t)
(n
ω
[a
a
f(t)
n n n∑
∞ =+
+
=
1 0 0 0 2 1cos
32
Multiplicando ambos miembros de la igualdad por
cos(m
ω
0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:,...
3
,
2
,
1
)
cos(
)
(
2 / 2 / 0 2=
=
∫
−m
dt
t
m
t
f
a
T T T mω
∑ ∫
∑ ∫
∫
∫
∞ = − ∞ = − − −+
+
=
1 2 / 2 / 0 0 1 2 / 2 / 0 0 2 / 2 / 0 0 2 1 2 / 2 / 0cos
cos
cos
cos
)
cos(
)
(
n T T n n T T n T T T Tt)dt
(m
ω
t)
sen(n
ω
b
t)dt
(m
ω
t)
(n
ω
a
t)dt
(m
ω
a
dt
t
m
t
f
ω
0 0, si m ≠ 0 0, si m ≠ 0 T/2, si m = n33
Observa que el caso anterior no incluye a a0, m = 0
que debemos tratar a parte:
∫
−=
2 / 2 / 0(
)
2
T Tdt
t
f
T
a
T
a
t)dt
(m
ω
t)
sen(n
ω
b
t)dt
(m
ω
t)
(n
ω
a
t)dt
(m
ω
a
dt
t
m
t
f
n T T n n T T n T T T T 0 1 2 / 2 / 0 0 1 2 / 2 / 0 0 2 / 2 / 0 0 2 1 2 / 2 / 02
1
cos
cos
cos
cos
)
cos(
)
(
=
+
+
=
∑ ∫
∑ ∫
∫
∫
∞ = − ∞ = − − −ω
0 T, si m = 0 0, si m ≠ 0 T/2, si m = n34
Similarmente, multiplicando por sen(m
ω
0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:,...
3
,
2
,
1
)
(
)
(
2 / 2 / 0 2=
=
∫
−m
dt
t
m
sen
t
f
b
T T T mω
∑ ∫
∑ ∫
∫
∫
∞ = − ∞ = − − −+
+
=
1 2 / 2 / 0 0 1 2 / 2 / 0 0 2 / 2 / 0 0 2 1 2 / 2 / 0cos
)
(
n T T n n T T n T T T Tt)dt
t)sen(m
ω
sen(n
ω
b
t)dt
t)sen(m
ω
(n
ω
a
t)dt
sen(m
ω
a
dt
t)
sen(m
ω
t
f
0 0 0, si m ≠ 0 T/2, si m = n35
Un ejemplo históricamente importante:
Encontrar la serie de Fourier para la función
de onda cuadrada de periodo
T
:
La expresión para
f(t)
en
–T/
2< t <
T/
2es:
1 f(t) t . . . -T/ 2 0 T/2 T . . . -1 ⎩ ⎨ ⎧ < < < < − − = 2 2 0 1 0 1 ) ( T T t para t para t fω
0= 2
π/Τ
36
Coeficiente
a
0:
∫
− = 2 / 2 / 1 0 ( ) T T T f t dt a⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
=
∫
∫
− 2 / 0 0 2 / 2 0 T T Tdt
dt
a
⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = − 0 2 / 2 / 0 2 T T T t t=
0
⎩ ⎨ ⎧ < < < < − − = 2 2 0 1 0 1 ) ( T T t para t para t f37
Coeficientes
a
n:
∫
− = /2 2 / 0 2 ( )cos( ) T T T n f t n t dt a ω ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⋅ + ⋅ − =∫
∫
− 2 / 0 0 0 2 / 0 2 1 cos( ) 1 cos( ) T T T n n t dt n t dt aω
ω
0 ) ( 1 ) ( 1 0 2 / 0 0 2 / 0 0 0 2 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = − T T T sen n t n t n sen nω ω ω ω 0 para n ≠ ⎩ ⎨ ⎧ < < < < − − = 2 2 0 1 0 1 ) ( T T t para t para t f38
Coeficientes b
n:
∫
− = /2 2 / 0 2 ( ) ( ) T T T n f t sen n t dt bω
= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − =∫
∫
− 2 / 0 0 0 2 / 0 2 ( ) ( ) T T T n sen n t dt sen n t dt bω
ω
⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = − 0 2 / 0 0 2 / 0 0 0 2 1 cos( ) 1 cos( ) T T T n t n t n nω ω ω ω[
(1 cos( )) (cos( ) 1)]
1 − − − =π
π
π
n n n[
1 ( 1) )]
para 0 2 ≠ − − = n n nπ
⎩ ⎨ ⎧ < < < < − − = 2 2 0 1 0 1 ) ( T T t para t para t f39
Finalmente, la serie de Fourier queda como
En la siguiente figura se muestran: la
componente fundamental y los armónicos 3,
5 y 7, así como la suma parcial de estos
primeros cuatro términos de la serie para
ω
0=
π (
ω
0= 2
π/Τ), es decir, T = 2:
[
]
(
)
∑
∞ =−
−
=
+
+
+
=
1 0 0 5 1 0 3 1 0)
)
1
2
(
1
2
1
4
)
(
...
)
5
(
)
3
(
)
(
4
)
(
nt
n
sen
n
t
f
t
sen
t
sen
t
sen
t
f
ω
π
ω
ω
ω
π
40 -1 -0.5 0 0.5 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
1.5 Componentes de la Serie de Fourier
t Componentes Suma fundamental tercer armónico quinto armónico séptimo armónico
[
( ) (3 ) (5 ) ...]
4 ) ( 15 0 0 3 1 0 + + += sen t sen t sen t t
f
ω
ω
ω
π
41
Nota:
Para expresarse como serie de Fourier
f(t),
no necesita estar centrada en el origen.
Simplemente debemos tomar el intervalo,
donde está definida, como el periodo de la
serie.
La ortogonalidad
de las funciones seno y
coseno no sólo se da en el intervalo de
–T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que
cubra un periodo completo:
de t
0a t
0+ T, con t
0arbitrario,
con el mismo resultado.
42
Habíamos calculado los coeficientes para:
⎩ ⎨ ⎧ < ≤ − < ≤ = T t T para T t para t f 2 / 1 2 / 0 1 ) ( ⎩ ⎨ ⎧ < < < < − − = 2 / 0 1 0 2 / 1 ) ( T t para t T para t f
Si los calculamos para la misma función desplazada tienen que ser los mismos:
1 f(t) t . . . -T/ 2 0 T/2 T . . . -1 1 f(t) t . . . -T/ 2 0 T/2 T . . . -1
43
De hecho si repetimos para cualquier intervalo de longitud el periodo T de la función, será lo mismo: 1 f(t) t . . . t 0 t0 +T . . . -1
∫
∫
∫
∫
= = = = + − T T T t t T T T T T T f t dt f t dt f t dt f t dt a ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 0 2 2 / 2 / 1 0 0 0∫
∫
=
=
=
− T T T T T nf
t
n
t
dt
f
t
n
t
dt
a
(
)
cos(
)
...
2(
)
cos(
0)
2 / 2 / 0 2ω
ω
∫
∫
=
=
=
− T T T T T nf
t
sen
n
t
dt
f
t
sen
n
t
dt
b
(
)
(
)
...
2(
)
(
0)
2 / 2 / 0 2ω
ω
44
Ejercicio: encontrar la serie de Fourier para
2
)
(
t
t
f
=
π
−
la función con la que empezamos el tema. O sea, demostrar que Euler tenía razón.
45 ) 3 cos( 1 ) ( ) cos( 1 ) ( definitiva en todo para 0 ) ( )) 3 cos( 1 ( 3 ) ( ) ( 2 1 si , 0 1 si , 1 ) cos( )) 3 cos( 1 ( 3 ) cos( ) ( 2 2 )) 3 cos( 1 ( 3 ) ( 2 0 1 0 1 3 2 0 0 0 3 2 0 0 0 3 2 0 0 t t n sen b t n a t f n dt t n sen t dt t n sen t f T b n n dt t n t dt t n t f T a dt t dt t f T a n n n n T n T n T + = + + = = + = = ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = + = = = + = =
∑
∑
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∞ = ∞ = ω ω ω π ω ω π ω π π π π 3 2 periodo de ) 3 cos( 1 ) (t = + t T = π fCalcula la serie de Fourier de la función periódica:
La serie es la propia función...
46
Nota: a partir de ahora entenderemos que f(t) está definida sólo en el intervalo que especifiquemos. Y que la serie de Fourier la extiende periódicamente, con periodo T igual al intervalo de definición. En muchos libros se habla de
extender de forma par o impar una función. La serie de
Fourier extenderá periódicamente los patrones siguientes:
t
t
Extensión par
47
Funciones Pares e Impares
Una función (periódica o no) se dice
función par
(o con simetría par) si su
gráfica es simétrica respecto al eje vertical,
es decir, la función f(t) es par si
f(t) = f(-t)
π 2π f(t) t −π −2π48
En forma similar, una función f(t) se dice
función impar
(o con simetría impar), si su
gráfica es simétrica respecto al origen, es
decir, si cumple lo siguiente:
-f(t) = f(-t)
π 2π
f(t)
t
−π −2π
49
Ejemplo
: ¿Las siguientes funciones son
pares o impares?
f(t) = t + 1/t ,
g(t) = 1/(t
2+1).
Solución:
Como
f(-t) = -t -
1/t = -
f(t),
por lo tanto
f(t)
es
función impar.
Como
g(-t) = 1/((-t)
2+1) = 1/(t
2+1) = g(t),
por
lo tanto
g(t)
es función par.
50
Ejemplo
: ¿La función
h(t) = f(1+t
2)
es par o
impar? (
f
es una función arbitraria).
Solución:
Sea g(t) = 1 + t
2. Entonces h(t) = f(g(t)).
Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)).
Pero g(-t) = 1+(-t)
2= 1 + t
2= g(t),
finalmente h(-t) = f(g(t)) = h(t), de modo que
h(t) es función par, sin importar como sea
f(t).
51
Ejemplo
: De acuerdo al ejemplo anterior,
todas las funciones siguientes son pares:
h(t) = sen (1+t
2)
h(t) = exp(1+t
2) + 5/ (1+t
2)
h(t) = cos (2+t
2) + 1
h(t) = (10+t
2) -
(1+t
2)
1/2etc...
52
•
Si
f
(
x
)
es
par:
∫
=
adx
x
f
0)
(
2
∫
− a adx
x
f
(
)
∫
af
x
dx
0)
(
a -a∫
− a adx
x
f
(
)
53
•
Si
f
(
x
)
es
impar:
0
=
∫
− a adx
x
f
(
)
a -a∫
− a adx
x
f
(
)
54
Como la función
sen
(n
ω
0t)
es una función
impar
para todo
n
y la función
cos
(n
ω
0t)
es
una función par
para todo
n
, es de esperar
que:
•
Si
f(t)
es par, su serie de Fourier no
contendrá
términos seno, por lo tanto
b
n= 0
para todo
n
.
•
Si
f(t)
es impar, su serie de Fourier no
contendrá
términos coseno, por lo tanto
55
Por
ejemplo
, la señal cuadrada, que hemos
analizado:
Es una función impar, por ello su serie de
Fourier no contiene términos coseno:
1 f(t) t . . . -T/ 2 0 T/2 T . . . -1
[
(
)
(
3
)
(
5
)
...
]
4
)
(
51 0 0 3 1 0+
+
+
=
sen
t
sen
t
sen
t
t
f
ω
ω
ω
56
P2. Septiembre 2005
a) Obtener el desarrollo en serie de Fourier de las funciones
π π ≤ ≤ − = = x g x x x x f ( ) sin y ( ) cos en Respuesta.
[
]
∑
∞ =+
+
=
1 0cos(
)
sin(
)
2
)
(
n n nnx
b
nx
a
a
x
f
f(x) = |sen(x)|, x є [-π,π], 2π periódica57
[
]
[
cos(
1
)
1
]
1
2
1
)
1
sin(
)
1
sin(
1
)
cos(
sin
2
)
cos(
)
(
1
2 0 0−
−
−
=
=
−
+
+
=
=
=
=
∫
∫
∫
−π
π
π
π
π
π π π πn
n
dx
x
n
x
n
dx
nx
x
dx
nx
x
f
a
nimpar
n
,
0
par;
n
,
)
1
(
4
;
4
2 0−
=
−
=
=
na
nn
a
a
π
π
58
1
4
)
2
cos(
4
2
sin
2 1−
−
=
∑
∞ =n
nx
x
nπ
π
f(x) = |cos(x)|, x є [-π,π], 2π periódicaFunción par → desarrollo en cosenos, bn = 0
[
]
∫
∫
∫
−
+
+
=
=
=
=
− 2 / 0 2 / 0)
1
cos(
)
1
cos(
2
)
cos(
cos
4
)
cos(
)
(
1
π π π ππ
π
π
dx
x
n
x
n
dx
nx
x
dx
nx
x
g
a
n59
impar
n
,
0
par;
n
,
)
1
(
4
;
4
2 0=
−
±
=
=
na
nn
a
a
π
π
1
4
)
2
cos(
)
1
(
4
2
cos
2 1−
−
−
=
∑
∞ =n
nx
x
n nπ
π
60
Onda
triangular
(Triangle Wave)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
+
−
2 2 2"
5
5
cos
3
3
cos
1
cos
4
2
x
x
x
π
π
61
Right Triangular Wave
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
"
3
3
sin
2
2
sin
1
sin
2
x
x
x
62
Saw Tooth Wave
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
+
−
"
3
3
sin
2
2
sin
1
sin
2
x
x
x
π
63
Ejercicio: demostrar que la serie de Fourier para
π
π
α
−
<
<
=
t
t
t
f
(
)
cos(
),
con periodo T = 2π (frecuencia fundamental
ω0 = 1) y α un número real no entero, es:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+
=
∑
∞ =)
cos(
)
1
(
2
1
)
(
)
cos(
1 2 2t
n
n
sen
t
n nα
α
α
π
π
α
α
64
Observa que si tomamos t = 0 entonces:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+
=
∑
∞ =)
cos(
)
1
(
2
1
)
(
)
cos(
1 2 2t
n
n
sen
t
n nα
α
α
π
π
α
α
y con α = 1/2.∑
∞ =−
−
+
=
1 2 2)
1
(
2
1
)
(
n nn
sen
α
π
α
α
α
π
∑
∑
∞ = ∞ =−
−
+
=
−
−
+
=
1 2 1 2 21
4
)
1
(
4
2
)
2
/
1
(
)
1
(
2
n n n nn
n
π
π
π
<
<
−
t
65
O que si tomamos t = π entonces:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+
=
∑
∞ =)
cos(
)
1
(
2
1
)
(
)
cos(
1 2 2t
n
n
sen
t
n nα
α
α
π
π
α
α
π
π
<
<
−
t
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
=
∑
∞ =1 2 21
2
1
)
(
)
cos(
nn
sen
α
α
α
π
π
α
π
α
nt
)
(
1
)
cos(
π
=
−
∑
∞ =−
+
=
1 2 21
2
1
)
tan(
α
π
α
α
nα
n
π
66
Que la integral traspase los sumatorios en la
deducción de las fórmulas para los coeficientes de la serie de Fourier, equivale a asumir que la serie converge uniformemente... Recordemos
qué es convergencia uniforme.
Sea la serie infinita:
y definamos sus sumas parciales como:
Convergencia uniforme
∑
∞ ==
1)
(
)
(
n nx
u
x
S
∑
==
k n n kx
u
x
S
1)
(
)
(
67
Diremos que S converge a f(x) en un intervalo si
∀ε > 0 existe para todo x del intervalo un N > 0 tq.:
N
k
x
f
x
S
k(
)
−
(
)
<
ε
siempre
que
>
Observemos que en general N dependerá de ε y
del punto x (convergencia puntual).
Si N solo depende de ε, pero no de x, decimos que la convergencia es uniforme.
Que la serie sea uniformemente convergente es "bueno" porque:
68
(1) Si cada término un(x) de una serie es
continuo en (a, b) y la serie es uniformemente convergente a f(x), entonces:
(a) f(x) es también continua en (a, b).
(b)
∫ ∑
∑∫
∞ = ∞ ==
1 1)
(
)
(
n b a n b a n nx
dx
u
x
dx
u
(2) Si cada término un(x) de una serie posee derivada en (a, b) y la serie derivada es
uniformemente convergente, entonces:
∑
∑
∞ = ∞ ==
1 1)
(
)
(
n n n nu
x
dx
d
x
u
dx
d
69
¿Cómo probar la convergencia uniforme de una serie? (1) Encontrar una expresión "cerrada" para Sk(x) y
aplicar la definición o
(2) utilizar la prueba M de Weierstrass:
Si existe {Mn}n = 1, 2,... tq. |un(x)|
≤
Mn y además∑
∑
∞ = ∞ = ⇒ 1 1 nte uniformeme converge ) ( converge n n n n u x M70
nte
uniformeme
converge
6
1
1
)
(
1
)
,
(
en
)
(
)
(
2 1 2 2 2 2 1 2S
n
n
n
nx
sen
n
M
n
nx
sen
x
S
n n n⇒
=
≤
⇒
=
−
=
∑
∑
∞ = ∞ =π
π
π
Ejemplo:
71
Condiciones de Dirichlet
Condiciones de convergencia de la serie de Fourier de f(x), suficientes pero no necesarias.
(1) f(x) tiene un número finito de discontinuidades en un periodo.
(2) f(x) tiene un número finito de máximos y mínimos en un periodo. (3)
∫
<
∞
Tdx
x
f
(
)
72
Si se cumplen las condiciones de Dirichlet, entonces la serie de Fourier converge a f(x) si x es un punto de continuidad y a: si x es un punto de discontinuidad.
(
(
)
(
)
)
2
1
+ −+
f
x
x
f
73 ⎩ ⎨ ⎧ < ≤ − < < − =
π
π
π
x x x x f 0 , 0 , 0 ) (2
2
1
)
(
0
1
)
(
2
2
2
0 2 0 0 0π
π
π
π
π
π
π
π π π π π=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
−
=
=
=
∫
∫
∫
− −x
x
dx
x
dx
dx
x
f
a
T
Desarrolla en serie de Fourier:74 π π π π π π π π π π π π π π π π 2 2 0 0 0 0 0 ) 1 ( 1 1 cos cos 1 sin 1 sin ) ( 1 cos ) ( 0 1 cos ) ( 1 n n n n nx n dx nx n n nx x dx nx x dx dx nx x f a n n − − = + − = − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − = =
∫
∫
∫
∫
− − n nxdx x bn 1 ( )sin 1 0 − = =∫
ππ
π
∑
∞ = ⎭⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − − + = 1 2 sin 1 cos ) 1 ( 1 4 ) ( n n nx n nx n x fπ
π
75
La función f es continua en (−π, π) excepto en x = 0. Así su
serie de Fourier converge en x = 0 a:
La serie es una extensión periódica de la
función f. Las discontinuidades en x = 0,
±2π, ±4π, … convergen a: 2 2 ) 0 ( ) 0 ( + + f − =
π
f Y las discontinuidades en x = ±π, ±3π, … convergen a: 2 2 0 2 ) 0 ( ) 0 ( + + f − = π + = π f 0 2 ) 0 ( ) ( + + f − = fπ
76 x x x S x x S S sin 2 2 1 sin cos 2 4 , sin cos 2 4 , 4 2 3 1 = = + + = + π + + π π π π
97
Ejercicio de examen: Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función
[ ]
0
,
1
,
1
)
(
t
=
−
t
2t
∈
f
de modo que converja uniformemente a f(t) en [0,1].
Respuesta.
Para que el desarrollo de Fourier se pueda definir debe ser 2L-periódica.
Para que converja uniformemente, se debe extender f(t) a de
modo que: 1. sea continua en [-L,L].
2. sea continua a trozos en [-L,L].
) ( ~ t f ) ( ~ t f ) ( ~ t f ′
98
La continuidad se consigue con la extensión par de f (f´ = -2t es continua en [-L,L] ) con L = 1. Re (z) Im (z)
par
función
ser
por
0
sin
cos
2
)
(
~
1 0=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
∑
∞ = n n n nb
t
L
n
b
t
L
n
a
a
t
f
π
π
1 -199
N
3
4
3
2
2
)
1
(
2
)
1
(
)
(
)
1
(
4
)
cos(
)
1
(
2
)
cos(
)
1
(
1 0 2 1 1 2 0 2 1 0 2 1 1 par ~ 2=
=
−
=
−
=
−
−
=
=
−
=
−
=
∫
∫
∫
∫
− −dt
t
dt
t
a
n
dt
t
n
t
dt
t
n
t
a
n f nπ
π
π
( )
n
t
n
t
f
n nπ
π
cos
)
1
(
4
3
2
)
(
~
1 2 2∑
∞ =−
−
=
[ ] = = ∈0,1 ) ( ~ ) ( t t f t f100
P2. Septiembre 2006
a) (4 puntos)
1. Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función f(x) = x2 -π ≤ x ≤ π, con f(x) = f(x + 2π)
2. Estudiar si el desarrollo obtenido converge uniformemente a f(x) en [-π,π]
3. Basándose en los resultados obtenidos, calcular la suma de la serie numérica
4. A partir del desarrollo de Fourier de la función f(x), obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función
g(x) = x(x2 – π2) -π ≤ x ≤ π, con g(x) = g(x + 2π)
∑
∞=1 4
1
101
Respuesta.
1. f(x) = x2, x є [-π,π], 2π periódica
Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0:
=
=
=
=
=
+
=
∫
∫
∫
∑
− ∞ = π π π ππ
π
π
π
0 2 2 2 0 2 0 1 0)
cos(
2
)
cos(
1
3
2
2
)
cos(
2
)
(
dx
nx
x
dx
nx
x
a
dx
x
a
nx
a
a
x
f
n n n102 n
n
nx
n
nx
x
n
nx
x
n
)
1
(
2
2
)
sin(
2
)
cos(
2
)
sin(
1
2
2 0 3 0 2 0 2−
=
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+
=
π
π
π
π π π)
cos(
)
1
(
4
3
)
(
1 2 2nx
n
x
f
n n∑
∞ =−
+
=
π
n nn
a
=
4
2(
−
1
)
103
[
]
(
-
,
)
hay
convergenc
ia
uniforme
en
continua
,
-en
continua
⎭
⎬
⎫
′
π
π
π
π
f
f
[
]
(
)
5 5 2 2 1 2 2 2 0 25
2
5
1
)
(
2
)
(
1
π
π
π π π π π π=
=
+
+
=
− − ∞ = −∫
∑
∫
x
dx
x
b
a
a
dx
x
f
n n n 2.104
∑
∞ =+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
1 4 2 2 416
1
2
1
3
2
5
2
nn
π
π
90
1
2 1 4π
=
∑
∞ = nn
4.(
)
[
]
)
cos(
)
1
(
12
)
(
3
3
)
(
periódica
2
,
,
,
)
(
1 2 2 2 2 2nx
n
x
f
x
x
g
x
x
x
x
g
n n∑
∞ =−
=
−
=
−
=
′
−
∈
−
=
π
π
π
π
π
π
) sin( ) 1 ( 12 ) ( : uniforme ia convergenc Por 1 3 nx n x g n n∑
∞ = − =105
Fenómeno de Gibbs
Si la serie de Fourier para una función f(t) se
trunca para lograr una aproximación en suma
finita de senos y cosenos, es natural pensar que a
medida que agreguemos más armónicos, el sumatorio se aproximará más a f(t).
Esto se cumple excepto en las discontinuidades
de f(t), en donde el error de la suma finita no
tiende a cero a medida que agregamos armónicos. Por ejemplo, consideremos el tren de pulsos u onda cuadrada:
[
(
)
(
3
)
(
5
)
...
]
4
)
(
15 0 0 3 1 0+
+
+
=
sen
t
sen
t
sen
t
t
f
ω
ω
ω
106 -1 -0.5 0 0.5 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
1.5 Serie con 1 arm ónico
[
( )]
4 ) (t sen 0t fω
π
=107 -1 -0.5 0 0.5 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
1.5 Serie con 3 arm ónicos
[
(
)
(
3
)
(
5
)
]
4
)
(
51 0 0 3 1 0t
sen
t
sen
t
sen
t
f
ω
ω
ω
π
+
+
=
108 -1 -0.5 0 0.5 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
109 -1 -0.5 0 0.5 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
110 -1 -0.5 0 0.5 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
111
Fenómeno de
Fenómeno de
Gibbs
Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
112
Fenómeno de
Fenómeno de
Gibbs
Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
114
Forma compleja de la serie de Fourier
Consideremos la serie de Fourier para una
función periódica
f(t),
con periodo
T = 2
π
/
ω
0.
Es posible obtener una forma alternativa
usando las fórmulas de Euler:
]
)
(
)
cos(
[
)
(
1 0 0 0 2 1∑
∞ =+
+
=
n n nn
t
b
sen
n
t
a
a
t
f
ω
ω
)
(
)
(
)
(
)
cos(
0 0 0 0 21 0 2 1 0 t in t in i t in t ine
e
t
n
sen
e
e
t
n
ω ω ω ωω
ω
− −−
=
+
=
115
Sustituyendo:
Y usando el hecho de que 1/i = -i:
Y definiendo: ] ) ( ) ( [ ) ( 1 21 2 1 0 2 1