Lección 32: Algunas ideas sobre la integral doble. Introducción al Cálculo Infinitesimal I.T.I. Gestión

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Texto completo

(1)

Lecci´

on 32: Algunas ideas sobre la integral

doble

Introducci´on al C´alculo Infinitesimal I.T.I. Gesti´on

(2)

Esquema:

- Idea de integral doble - Teorema de Fubini

(3)

Integral doble

R ⊂ R2 subconjunto acotado

(4)

Integral doble

R ⊂ R2 subconjunto acotado

f : R → R funci´on de dos variables

La representaci´on gr´afica de f es una superficie acotada S, y podemos preguntarnos por el volumen delimitado por S y R

x y z f R (x,y) S

(5)

Integral doble

R ⊂ R2 subconjunto acotado

f : R → R funci´on de dos variables

La representaci´on gr´afica de f es una superficie acotada S, y podemos preguntarnos por el volumen delimitado por S y R Definimos la integral de f en R como dicho volumen, y la denotaremos por

Z

R

(6)

Integral doble

Idea: Dividir R en peque˜nos rect´angulos, y el volumen vendr´a dado por la suma de los volumenes de los prismas

(7)

Integral doble

Idea: Dividir R en peque˜nos rect´angulos, y el volumen vendr´a dado por la suma de los volumenes de los prismas

- integral superior (prismas superiores) - integral inferior (prismas inferiores)

(8)

Integral doble

Idea: Dividir R en peque˜nos rect´angulos, y el volumen vendr´a dado por la suma de los volumenes de los prismas

f : R ⊂ R2 → R funci´on integrable en R si la integral superior y la integral inferior coinciden. En tal caso, ese valor es la integral de f en R

(9)

Funciones integrables

f : R ⊂ R2 → R funci´on

- Si f es continua en R, entonces es integrable - Si f es acotada en R, entonces es integrable

(10)

Propiedades de la integral doble 1. Linealidad: Z R (αf(x, y)+βg(x, y))dxdy = =α Z R f(x, y)dxdy + β Z R g(x, y)dxdy 2. Si f(x, y) ≤ g(x, y) en R, entonces Z R f(x, y)dxdy ≤ Z R g(x, y)dxdy

3. Sean R1, R2 disjuntas. Entonces

Z R1∪R2 f(x, y)dxdy = Z R1 f(x, y)dxdy + Z R2 f(x, y)dxdy

(11)

C´alculo de integrales dobles: Teorema de Fubini f : R ⊂ R2 → R funci´on continua

Reduciremos el c´alculo de RR f(x, y)dxdy a dos integrales de una variable

(12)

C´alculo de integrales dobles: Teorema de Fubini f : R ⊂ R2 → R funci´on continua

Reduciremos el c´alculo de RR f(x, y)dxdy a dos integrales de una variable

Teorema de Fubini:

Si R = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}, con g1, g2 funciones continuas (g1 ≤ g2), entonces

Z R f(x, y)dxdy = Z b a Z g2(x) g1(x) f(x, y)dy dx

(13)

C´alculo de integrales dobles: Teorema de Fubini f : R ⊂ R2 → R funci´on continua

Teorema de Fubini:

Si R = {(x, y) ∈ R2 : a x b, g

1(x) ≤ y ≤ g2(x)}, con g1, g2 funciones continuas (g1 ≤ g2), entonces

Z R f(x, y)dxdy = Z b a Z g2(x) g1(x) f(x, y)dy dx Primero hallamos Rgg2(x) 1(x) f(x, y)dy (que depender´a de

(14)

C´alculo de integrales dobles: Teorema de Fubini f : R ⊂ R2 → R funci´on continua

Teorema de Fubini:

Si R = {(x, y) ∈ R2 : c y d, h

1(y) ≤ x ≤ h2(y)}, con h1, h2 funciones continuas (h1 ≤ h2), entonces

Z R f(x, y)dxdy = Z d c Z h2(y) h1(y) f(x, y)dx dy

(15)

C´alculo de integrales dobles: Teorema de Fubini Ejemplos: 1. Z R (xy +y + 1)dxdy, con R = [0,2] ×[0,1] 2. Z R (xy +y + 1)dxdy, con R = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 1} Y X 1 1 2 R y=x

(16)

C´alculo de integrales dobles: Teorema de Fubini Ejemplos: 3. Z R (1 + 2x2 + 2y2)dxdy, con R = {(x, y) ∈ R2 : y ≤ x ≤ 2y, 0 ≤ y ≤ 1} 4. Z R y xdxdy, con R = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ x} X Y 1 R y=x y=x2

(17)

C´alculo de integrales dobles: Teorema de Fubini Ejemplos:

5. Determinar el volumen de la regi´on delimitada por los planos

2x + 3y + 4z = 12, x = 0, y = 0, z = 0 X Y Z 4 3 6 X Y 4 6 R S y=-(2/3)x+4 6. Z R

(18)

C´alculo de integrales dobles: Teorema de Fubini Ejemplos: 7. Z R (2√x − 3y2)dxdy, con R = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ √4 x}

(19)

C´alculo de integrales dobles: Cambio a coordenadas polares f : R ⊂ R2 → R

Mediante un cambio de variables → integral doble m´as sencilla

- Coordenadas polares    x = rcos(θ) y = rsin(θ)

(20)

C´alculo de integrales dobles: Cambio a coordenadas polares f : R ⊂ R2 → R

Mediante un cambio de variables → integral doble m´as sencilla

- Coordenadas polares    x = rcos(θ) y = rsin(θ)

Cambio a coordenadas polares:

Z R f(x, y)dxdy = Z R f(r cos(θ), rsin(θ))rdrdθ

(21)

C´alculo de integrales dobles: Cambio a coordenadas polares f : R ⊂ R2 → R

Mediante un cambio de variables → integral doble m´as sencilla

- Coordenadas polares    x = rcos(θ) y = rsin(θ)

Cambio a coordenadas polares:

Z R f(x, y)dxdy = Z R f(r cos(θ), rsin(θ))rdrdθ

- Interesante si en f(x, y) aparece una expresi´on del tipo x2+y2 - Se suele combinar con el teorema de Fubini

(22)

C´alculo de integrales dobles: Cambio a coordenadas polares Cambio a coordenadas polares:

Z R f(x, y)dxdy = Z R f(r cos(θ), rsin(θ))rdrdθ Ejemplos: 1. RR(x2 +y2 + 1)dxdy, con R = {(x, y) ∈ R2 : x2 +y2 ≤ 4}

(23)

C´alculo de integrales dobles: Cambio a coordenadas polares Cambio a coordenadas polares:

Z R f(x, y)dxdy = Z R f(r cos(θ), rsin(θ))rdrdθ Ejemplos: 1. RR(x2 +y2 + 1)dxdy, con R = {(x, y) ∈ R2 : x2 +y2 ≤ 4} Z R (x2 +y2 + 1)dxdy = Z R (r2 + 1)rdrdθ, siendo ahora R = {(r, θ) ∈ R2 : 0 r 2,0 θ 2π}

(24)

C´alculo de integrales dobles: Cambio a coordenadas polares Cambio a coordenadas polares:

Z R f(x, y)dxdy = Z R f(r cos(θ), rsin(θ))rdrdθ Ejemplos: 1. RR(x2 +y2 + 1)dxdy, con R = {(x, y) ∈ R2 : x2 +y2 ≤ 4} Z R (x2 +y2 + 1)dxdy = Z R (r2 + 1)rdrdθ, siendo ahora R = {(r, θ) ∈ R2 : 0 r 2,0 θ 2π} Finalmente, Z R (r2 + 1)rdrdθ = Z 2π 0 Z 2 0 (r3 +r)dr dθ = 12π

(25)

C´alculo de integrales dobles: Cambio a coordenadas polares Cambio a coordenadas polares:

Z R f(x, y)dxdy = Z R f(r cos(θ), rsin(θ))rdrdθ Ejemplos: 2. RR x2(x2+y2)2dxdy, R = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0, x2+y2 = 1} = {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ √1 − x2}

(26)

C´alculo de integrales dobles: Cambio a coordenadas polares Cambio a coordenadas polares:

Z R f(x, y)dxdy = Z R f(r cos(θ), rsin(θ))rdrdθ Ejemplos: 2. RR x2(x2+y2)2dxdy, R = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0, x2+y2 = 1} = {(x, y) ∈ R2 : −1 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ √1 − x2} Z R x2(x2 +y2)2dxdy = Z R r7cos2(θ)drdθ, siendo ahora R = {(r, θ) ∈ R : 0 ≤ r ≤ 1,0 ≤ θ ≤ π}

(27)

C´alculo de integrales dobles: Cambio a coordenadas polares Cambio a coordenadas polares:

Z R f(x, y)dxdy = Z R f(r cos(θ), rsin(θ))rdrdθ Ejemplos: Finalmente, Z R r7cos2(θ)drdθ = Z 2 0 Z 1 0 r7cos2(θ)dr dθ = 1 8 Z π 0 cos2(θ)dθ = π 16

(28)

C´alculo de integrales dobles: Cambio a coordenadas polares Cambio a coordenadas polares:

Z R f(x, y)dxdy = Z R f(r cos(θ), rsin(θ))rdrdθ Ejemplos: 3. RRe−x2−y2dxdy, con R = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4}

(29)

C´alculo de integrales dobles: Cambio a coordenadas polares Cambio a coordenadas polares:

Z R f(x, y)dxdy = Z R f(r cos(θ), rsin(θ))rdrdθ Ejemplos: 3. RRe−x2−y2dxdy, con R = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4} Z R e−x2−y2dxdy = Z R re−r2drdθ, siendo ahora R = {(r, θ) ∈ R2 : 0 r 2,0 θ 2π}

(30)

C´alculo de integrales dobles: Cambio a coordenadas polares Cambio a coordenadas polares:

Z R f(x, y)dxdy = Z R f(r cos(θ), rsin(θ))rdrdθ Ejemplos: 3. RRe−x2−y2dxdy, con R = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 4} Z R e−x2−y2dxdy = Z R re−r2drdθ, siendo ahora R = {(r, θ) ∈ R2 : 0 r 2,0 θ 2π} Finalmente, Z R re−r2rdrdθ = Z 2π 0 Z 2 0 re−r2dr dθ = π(1 − e−4)

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