taludes utilizando simulaciones de Monte Carlo
Roberto J. Camargo R. 1
Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia
Resumen
El análisis de riesgo en la estabilidad de taludes es un desafío para el campo de la ingería civil debido a las implicaciones en la seguridad humana y la calidad de vida. En este artículo se presenta un modelo y una herramienta formulados para determinar el riesgo asociado a un talud. El objetivo es proporcionar tanto un modelo teórico como una herramienta operativa de aplicación simple que permita asociar un riesgo aproximado a un sistema específico. Para el desarrollo de este modelo se estudió y se encontró una manera aproximada de modelar la variabilidad presente en los parámetros del suelo. Este proceso incluye el ajuste de cada parámetro a una distribución de probabilidad Log-‐Normal. A partir de esto se puede realizar un análisis de equilibrio límite, en este caso, el de falla circular ideado por Bishop, para cada grupo de datos. Al realizar estas simulaciones de Monte Carlo, se puede determinar la probabilidad de falla para cada sistema. Después de realizar el análisis de sensibilidad pertinente se compararon los resultados con los obtenidos por Escobar y Valencia (2012). Se encontró una diferencia del 9% entre los dos modelos de cálculo. Esta herramienta desarrollada realizar análisis simples respecto a riesgo en taludes y de esta manera registrar amenazas de manera oportuna.
1. Introducción
En los últimos años se han logrado avances importantes en cuanto a la variabilidad inherente presente en los suelos. La principal causa de este fenómeno es el proceso de deposición en suelos (Lacasse & Nadim, 1996). Por esta razón, los métodos tradicionales de análisis de estabilidad de taludes, los cuales dan un resultado determinístico, deben ser modificados, para que dichos modelos puedan tener una mejor capacidad predictiva. Es claro que los efectos de estas variaciones son importantes (Wang, Cao, & Au, 2010), por lo que es necesario tenerlas en cuenta dentro de un marco probabilístico, en el cual, esta
1 Trabajo presentado como proyecto de grado para optar al título de Ingeniero Civil. rj.camargo561@uniandes.edu.co
incertidumbre sea considerada de una manera más sistemática (Chowdhury & Rao, 2010). Actualmente, esta variabilidad se estima por medio de juicios personales, basados en la experiencia, lo cual lleva a tomar decisiones conservadoras (Schweiger, Thurner, & Pottler, 2001). Estos juicios subjetivos han generado la necesidad de realizar análisis probabilístico de taludes, ya que se tienen incertidumbres grandes al momento de modelar los parámetros del suelo (Rubio, Hall, & Anderson, 2004). Es posible que en Colombia el fenómeno observado por Schweiger, Thurner y Pottler (2001) se agudice más que en otras partes del mundo debido a la falta de herramientas y tecnología en campo disponible para este tipo de análisis. Aunque existen diferentes métodos que incluyen estas variaciones en los análisis de estabilidad (Método del Segundo Momento de Primer Orden, Método de Confiabilidad de Primer Orden) El método de la Simulación de Monte Carlo utilizando métodos de equilibrio límite (El-‐Ramly, Morgenstern, & Cruden, 2002) es de los más poderosos, debido a su simplicidad conceptual y a su robustez (Wang, Cao, & Au, 2010). Es importante mencionar que el análisis probabilístico se basa en el supuesto de que cada parámetro del suelo se puede modelar por medio de una distribución de probabilidad (Jin, Um, Woo, & Woo, 2012). Varios autores concuerdan en afirmar que las variaciones presentes en las propiedades del suelo se pueden tener en cuenta al realizar un análisis probabilístico de los problemas (Johari & Javadi, 2012); (Hidalgo & Assis, 2011); (Leynaud & Sultan, 2010) y (Cruz, 2012).
Aunque otros autores han hecho avances significativos en la producción de herramientas que permitan un cálculo rápido de la estabilidad de taludes (Paz, Taboada, Rivas, Giráldez, & Araújo, 2011), aún no se ha encontrado registro de una herramienta sencilla que logre una noción aproximada al riesgo asociado a un talud determinado. Se encuentra, entonces, que existe una necesidad en proporcionar un modelo y una herramienta simple que facilite el cálculo del riesgo asociado a una ladera. Para la construcción de esta herramienta, se utilizó la “Simulación de Monte Carlo”, ya que en los estudios realizados por Cruz, (2012) y Wang, Cao y Au (2010), se ha demostrado que los resultados de dicho método representan el comportamiento mecánico del suelo. Es evidente entonces, la importancia de una herramienta de este tipo en el país, debido a las
características montañosas de Colombia y por el hecho de que hay un número importante de construcciones que se encuentran cerca o en zonas propensas a deslizamientos (Córdoba, Moreno, Ramírez, & Rentería, 2007) . Si se tiene en cuenta que aproximadamente el 90% de los daños ocasionados por deslizamientos pueden ser evitados con una correcta identificación del problema (Mostajo, 2009) resulta que la necesidad de una herramienta que permita esta identificación es una prioridad de primer orden.
Para lograr esta herramienta es necesario modelar tanto la variabilidad en los parámetros del suelo como el mecanismo de falla del terreno.
2. Procedimiento para elaboración del modelo
A continuación se presenta un diagrama de flujo con el proceso utilizado para el desarrollo del modelo 2.
Gráfica 1. Diagrama de flujo para el modelo
3. Modelación de los parámetros del suelo
En este punto, para determinar el valor de los parámetros del suelo, es necesario realizar, inicialmente, un análisis estadístico. Se debe encontrar la media muestral y la varianza de los datos. Con la formula especificada a continuación:
𝜇 =1 𝑛 𝑥!
!
!!!
(1)
Sin embargo, debido a la falta de recursos, o de tecnología en las partes más remotas del país, no es posible tomar un número significativo de muestras para realizar el análisis estadístico pertinente. Entonces, es necesario hacer dos simplificaciones en cuanto a la modelación de los parámetros del suelo.
2 Código adjunto para su ejecución en MatLab®
i. La media muestral se toma como el valor del parámetro obtenido de una o pocas muestras.
ii. La varianza se calcula haciendo uso del coeficiente de variación (CoV). El coeficiente de variación se define como la relación entre la media muestral de unos datos y su correspondiente varianza (Cruz, 2012). Por lo tanto, el valor de varianza se obtiene al multiplicar el valor medio del parámetro por su correspondiente coeficiente de variación. Algunos rangos de valores para los coeficientes de variación son presentados en la tabla 1. Aunque este parámetro se puede modificar fácilmente en el modelo, los valores utilizados son presentados en la tabla 2.
Tabla 1. Rangos para el coeficiente de variación (Srivastava & Babu, 2009)
Tabla 2. Valores utilizados para el coeficiente de variación (Sánchez Silva, 2005)
Además de lo anterior, con el valor de la media y de la varianza, se puede ajustar una distribución normal a cada parámetro. Sin embargo, teniendo en cuenta que los parámetros no pueden tomar valores negativos, se asume que los parámetros siguen una distribución Log-‐Normal (Baecher & Christian, 2003). Para utilizar esta distribución, es necesario realizar una transformación a los parámetros, para que se ajusten al espacio Log-‐Normal (Sánchez Silva, 2005).
𝜎!"#$ = log(𝜎!+ 1) (2)
𝜇!"#$ = log 𝜇 −𝜎!"#$
2 (3)
Con estos parámetros es posible generar los valores aleatorios que siguen la distribución mencionada anteriormente, y de esta manera calcular el aspecto más importante de desempeño para el análisis de confiabilidad, es decir, la probabilidad de falla (pf) (Srivastava & Babu, 2009).
Propiedad Rango,CoV,(%) Peso%específico 2,13 Cohesión 6,80 Ángulo%de%fricción 7,20 Propiedad CoV+(%) Peso%específico 3 Cohesión 12 Ángulo%de%fricción%interno 40
4. Análisis de estabilidad
Existen diferentes métodos para calcular la estabilidad de un sistema determinado, hay métodos muy simples que se reducen a aplicar una sola ecuación (Método del Arco Circular) hasta métodos complejos que pueden incorporar una superficie de falla arbitraria (Método de Mongenstern-‐Price). Con fines de simplificar el modelo, el método de análisis de estabilidad, se realizó utilizando el método planteado por Bishop, para falla circular (Bishop, 1954). El método de Bishop, asume que las fuerzas entre dovelas es horizontal, lo que significa que no se tiene en cuenta la resistencia al corte entre las mismas. Entonces en la figura 1, se presenta un esquema de las fuerzas consideradas para cada dovela.
Figura 1. Fuerzas actuantes sobre una dovela (Duncan & Wright, 2005)
Entonces, el sistema se vuelve una serie de segmentos, y se calcula la estabilidad de cada uno, por lo tanto la estabilidad del sistema es la suma de la estabilidad de cada elemento.
Bishop presenta un método para computar el factor de seguridad de un sistema, el cual representa la relación entre los momentos resistentes y los momentos actuantes en el sistema, por medio de la siguiente ecuación.
𝑓𝑠 = 𝑐!𝑏 + 𝑊 − 𝑢𝑏 tan 𝜙′ sec 𝛼 1 +𝑓𝑠 tan 𝜙′ tan 𝛼1 ∗
1
𝑊 sin 𝛼 (4)
Debido a que el factor de seguridad se encuentra en ambos lados de la ecuación, para encontrar el valor verdadero, es necesario realizar un proceso iterativo. Sin embargo, se ha logrado encontrar que el factor de seguridad no es una medida consistente del riesgo, ya que para valores iguales de factor de seguridad se puede encontrar niveles de riesgo diferentes (Li & Lumb, 1987). Entonces para tener una noción adecuada del riesgo, se va a utilizar el margen de seguridad para evaluar la estabilidad de un sistema, el cual representa la diferencia en magnitud de los momentos actuantes y los momentos resistentes sobre el sistema. El cálculo del margen de seguridad se hace de forma similar,
𝑀𝑆 = 𝑐!𝑏 + 𝑊 − 𝑢𝑏 tan 𝜙′ sec 𝛼
1 +𝑓𝑠 tan 𝜙′ tan 𝛼1 − 𝑊 sin 𝛼 (5)
Es importante mencionar que el volumen de cada dovela se simplifico como el producto entre su altura en la mitad, y el ancho (Duncan & Wright, 2005). Esta simplificación es posible debido a que, dado que las dovelas son relativamente delgadas, la pendiente de la superficie de falla se puede aproximar igual a la superficie del talud, por lo tanto este cálculo tiene como resultado un volumen cercano al valor real.
5. Determinación de la superficie crítica de falla
Para determinar la superficie de falla crítica se partió del siguiente supuesto: esta superficie pasa por el pie del talud. Esta suposición permite considerar que los cálculos necesarios son simplificados, y por lo tanto el costo computacional se reduce. La razón de esto es que debido al enfoque de aplicación del modelo, la mayoría de sistemas son estables en la parte inferior del talud, ya sea por vías, poliductos o vivienda construidas en esta zona. Entonces el proceso para
encontrar la superficie de falla crítica, tiene 4 pasos que se describen a continuación:
1) Encontrar el radio del círculo que pasa por el pie del talud y por la cabeza del mismo, con centro (0,0).
2) Aumentar el centro en cierta proporción para encontrar un nuevo círculo con mayor radio.
3) Hacer este proceso hasta obtener 4 círculos, que ocupen la mayoría del espacio probable de falla para el sistema. Normalmente se toma el cuarto círculo lo suficientemente grande, lo cual se especifica en el aparte siguiente.
4) Para cada círculo se calcula el margen de seguridad y se toma como valor definitivo el menor entre todos los encontrados.
Para los resultados presentados más adelante, se tomaron círculos a 20%, 40% y 80% más grandes que el círculo original. Un caso específico se muestra a continuación.
Este caso tiene un talud de altura igual a 8 metros, en el cual se evidencia el tamaño de los círculos.
Figura 3. Tamaño de las superficies de fallas seleccionadas para una altura de 8 metros
6. Simulación de Monte Carlo
Para la Simulación de Monte Carlo, se encontró que el número ideal de simulaciones que genera un equilibrio entre exactitud de los resultados y costo computacional fue de 1.000 iteraciones, para llegar a este número óptimo, se hizo el proceso de:
!1# 0# 1# 2# 3# 4# 5# 6# 7# 8# 9# !10# 0# 10# 20# 30# 40# 50# 60# 70# Circulo#1# Talud# Circulo#2# Circulo#3# Circulo#4#
i. Aumentar el número de iteraciones a 10.000. En este caso el modelo toma seis veces el tiempo requerido para 1.000 iteraciones.
ii. Disminuir el número de iteraciones a 100. Aunque con este número de iteraciones el modelo es confiable, con un número mayor de datos se tiene una mayor capacidad de predicción.
Cada vez que el modelo calcula el margen de seguridad, lo realiza con diferentes valores de los parámetros del suelo, los cuáles siguen una distribución Log-‐ Normal. Entonces el cálculo de la probabilidad de falla es el número de veces que el margen de seguridad es menor o igual a cero, dividido por el número de repeticiones que realiza el modelo.
7. Análisis de Sensibilidad
Para comprobar si el modelo es adecuado para su aplicación operativa, se realizó un análisis de sensibilidad para cada uno de los parámetros del modelo. En este análisis se utilizaron los siguientes casos hipotéticos.
Tabla 3. Casos hipotéticos para análisis de sensibilidad
Gráfica 2. Análisis de sensibilidad para el peso específico
h 8 h 15 h 13
beta 3 beta 3 beta 2
hw 4 hw 1 hw 0
Phi 20 Phi 25 Phi 15
C1(kPa) 100 C1(kPa) 20 C1(kPa) 200 γ1(kN/m3) 20 γ1(kN/m3) 22 γ1(kN/m3) 16 C3 C1 C2 0.0%$ 10.0%$ 20.0%$ 30.0%$ 40.0%$ 50.0%$ 60.0%$ 16$ 18$ 20$ 22$ 24$ 26$ 28$ Pr ob ab ili da d) de )Fa lla )(%) ) Peso)Específico)(kN/m3)) Sensibilidad)Peso)Especifico) C1$ C2$ C3$
En primer lugar, para el peso específico, se observa que la sensibilidad del modelo es limitada a los cambios importantes de la propiedad del suelo.
Gráfica 3. Análisis de sensibilidad para el ángulo de fricción
En la Gráfica 3, el análisis muestra que para ángulo de fricción interna pequeños, la probabilidad de falla es inversamente proporcional al valor del ángulo. Sin embargo, para ángulo más grandes, el valor de la probabilidad de falla no muestra mayores fluctuaciones.
Gráfica 4. Análisis de sensibilidad para la cohesión del suelo
En la Gráfica 4, sucede algo muy similar a lo observado en la Gráfica 3. Se evidencia que para valores pequeños de cohesión, se tienen probabilidades de falla mayores. En el caso de cohesiones grandes, no se aprecia un cambio drástico en la probabilidad de falla.
0.0%$ 10.0%$ 20.0%$ 30.0%$ 40.0%$ 50.0%$ 60.0%$ 70.0%$ 6$ 11$ 16$ 21$ 26$ 31$ 36$ 41$ Pr ob ab ili da d) de )Fa lla )(%) ) Ángulo)de)Fricción) Sensibilidad)Ángulo)de)Fricción) C1$ C2$ C3$ 0.0%$ 10.0%$ 20.0%$ 30.0%$ 40.0%$ 50.0%$ 60.0%$ 0$ 200$ 400$ 600$ 800$ 1000$ 1200$ Pr ob ab ili da d) de )Fa lla )(%) ) Cohesión)(kPa)) Sensibilidad)Cohesión) C1$ C2$ C3$
Gráfica 5. Análisis de sensibilidad para la altura del talud
En el caso de la altura, la Gráfica 5 muestra que el modelo no es sensible a esta. Una posible explicación, es que la altura máxima para un sistema determinado está dada por el tipo de material que lo compone. Hay que aclarar que lo observado sucede para el material del caso 3, pero existe la probabilidad de que el modelo se comporte diferente para distintos tipos de material.
Gráfica 6. Análisis de sensibilidad para la pendiente de la superficie del talud
En la Gráfica 6, se puede determinar que el modelo es sensible a los cambios en la pendiente de la superficie del talud. En este escenario, la probabilidad de falla es mayor conforme aumenta la pendiente del talud.
20.0%% 25.0%% 30.0%% 35.0%% 40.0%% 45.0%% 50.0%% 0% 50% 100% 150% 200% 250% 300% 350% Pr ob ab ili da d) de )Fa lla )(%) ) Altura)del)Talud)(m)) Sensibilidad)Altura) 0.0%$ 10.0%$ 20.0%$ 30.0%$ 40.0%$ 50.0%$ 60.0%$ 70.0%$ 80.0%$ 90.0%$ 0$ 10$ 20$ 30$ 40$ 50$ 60$ 70$ Pr ob ab ili da d) de )Fa lla )(%) ) Pendiente)Talud)(Grados)) Sensibilidad)Pendiente)
Gráfica 7. Análisis de sensibilidad para el nivel freático
En último lugar, la Gráfica 6 tiene un comportamiento similar al observado en la Gráfica 5. Entre mayor sea el nivel freático, la probabilidad de falla es mayor. Se puede decir, entonces, que la probabilidad de falla aumenta si el material se encuentra saturado en comparación con el mismo material en estado seco.
Los datos anteriores muestran que el parámetro para el cual el modelo es más sensible, es el cambio de pendiente. De igual manera, entre las tres propiedades mecánicas del suelo (peso específico, ángulo de fricción interna y cohesión) el ángulo de fricción es el que más influye sobre el modelo, seguido de cerca por la cohesión del suelo. Por otra parte, el peso específico es la propiedad que menos influye sobre los resultados del modelo.
De igual manera, para todos los parámetros, se observa una variación importante cuando estos toman valores pequeños. Esto se le puede atribuir a que la Simulación de Monte Carlo no funciona de manera tan efectiva cuando se tienen probabilidades pequeñas (Wang, Cao, & Au, 2010).
8. Comparación del modelo con otro modelo de cálculo de mayor
complejidad
Para determinar si el modelo se adapta bien a la realidad, se va a comparar con el estudio realizado en la vía Medellín-‐Bogotá por Escobar y Valencia (2012). Este estudio se concentró en dos taludes encontrados en esta vía y su análisis de estabilidad por medio de la mayoría de métodos conocidos en la actualidad como los métodos de Bishop, Morgestern-‐Price y Sarma entre otros. El suelo encontrado en el K41+500 tiene un peso específico de 13.6 kN/m3, cohesión de 8
40.0%% 45.0%% 50.0%% 55.0%% 60.0%% 65.0%% 70.0%% 0% 2% 4% 6% 8% 10% 12% 14% 16% Pr ob ab ili da d) de )Fa lla )(%) ) Nivel)Freá2co)(m)) Sensibilidad)Nivel)Freá2co)
kPa y un ángulo de fricción de 29 grados (Escobar & Valencia, 2012). Entonces, para una pendiente de aproximadamente 45 grados, la probabilidad de falla toma una valor de 81.7%.
Al introducir estos valores para los parámetros del modelo, el resultado arrojado fue una probabilidad de falla del 89.3%. Teniendo en cuenta que el modelo utilizado por Escobar y Valencia (2012) se encarga de utilizar métodos más avanzados para la determinación de la probabilidad de falla, la diferencia de aproximadamente 9% entre los dos resultados. Dependiendo de la tolerancia que se tenga, análisis adicionales pueden ser requeridos.
9. Conclusiones
En conclusión, este artículo presenta un modelo teórico y una herramienta técnica que permita calcular de una manera simple la probabilidad de falla de un sistema determinado. Como se observó en la comparación del modelo, los valores arrojados por el mismo tienden a ser conservadores, lo cual ya se había logrado demostrar (Rubio, Hall, & Anderson, 2004) Sin embargo, estos valores conservadores no se encuentran tan alejados de la realidad, como los encontrados por Escobar y Valencia (2012). Como se ha mencionado anteriormente, la principal ventaja de este modelo sobre otros, es la simplicidad del mismo. Es importante mencionar que existen muchos modelos para calcular el riesgo (Estrada, 2013), pero pocas veces estos modelos tiene en cuenta el comportamiento mecánico del suelo, a diferencia del modelo presentado en este artículo.
Sin embargo, este modelo tiene ciertas limitaciones que deben ser tenidas en cuenta al momento de su aplicación. La primera de ellas es la presión de poros. Al momento de realizar los cálculos se asumió una distribución lineal de las presiones en los poros del suelo. No obstante, se sabe que las presiones no necesariamente se distribuyen de esta manera (Requelme, 2012).
Se considera que el modelo es útil en el análisis de riesgo en taludes, mientras que la herramienta desarrollada es simple y puede lograr una mayor cobertura.
10.
Bibliografía
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Anexo 1: Código para su ejecución en MatLab®
clear all
clc
%Se definen todas las propiedades del sistema (altura, pendiente y suelo) h=20; beta=2; pp=13.6; c=200; phi=25; hw=20; pw=10; cfpp=0.03; cfphi=0.12; cfc=0.4;
%Se calculan los volumenes de las dovelas para los 4 circulos con geometria %basica deltaXC1=h/tand(beta); RC1=(deltaXC1^2+h^2)/(2*h); deltaYC1=-RC1+h; L1=sqrt(deltaXC1^2+h^2); angC1=asind(L1*sind(90-beta)/RC1); beti=angC1/10; alfasC1=zeros(10,1); for i=2:10 alfasC1(1)=beti/2; psi=90-beti/2; alfasC1(i)=180+alfasC1(i-1)-2*psi; end bC1=RC1*sind(beti)/sind(psi); AC1=zeros(10,2); AmC1=zeros(10,2); dC1=zeros(10,1); h1C1=zeros(10,1); AreasC1=zeros(10,1); for i=2:10 AC1(1,1)=bC1*cosd(alfasC1(1)); AC1(1,2)=bC1*sind(alfasC1(1));
AmC1(1,1)=0.5*AC1(1,1); AmC1(1,2)=0.5*AC1(1,2); h1C1(1)=AmC1(1,1)*tand(beta)-AmC1(1,2); dC1(1)=bC1*cosd(alfasC1(1)); AreasC1(1)=dC1(1)*h1C1(1); AC1(i,1)=bC1*cosd(alfasC1(i))+AC1(i-1,1); AC1(i,2)=bC1*sind(alfasC1(i))+AC1(i-1,2); AmC1(i,1)=0.5*bC1*cosd(alfasC1(i))+AC1(i-1,1); AmC1(i,2)=0.5*bC1*sind(alfasC1(i))+AC1(i-1,2); h1C1(i)=AmC1(i,1)*tand(beta)-AmC1(i,2); dC1(i)=bC1*cosd(alfasC1(i)); AreasC1(i)=dC1(i)*h1C1(i); end kC2=0.2*RC1; RC2=RC1+kC2; deltaYC2=deltaYC1; deltaXC2=sqrt(RC2^2-(deltaYC2-kC2)^2); L1=sqrt(deltaXC2^2+h^2); omC2=90-(asind(h/L1)); angC2=asind(L1*sind(omC2)/RC2); beti=angC2/10; for i=2:10 alfasC2(1)=beti/2; psi=90-beti/2; alfasC2(i)=180+alfasC2(i-1)-2*psi; end bC2=RC2*sind(beti)/sind(psi); AC2=zeros(10,2); AmC2=zeros(10,2); dC2=zeros(10,1); h1C2=zeros(10,1); AreasC2=zeros(10,1); for i=2:10 AC2(1,1)=bC2*cosd(alfasC2(1)); AC2(1,2)=bC2*sind(alfasC2(1));
AmC2(1,1)=0.5*AC2(1,1); AmC2(1,2)=0.5*AC2(1,2); h1C2(1)=AmC2(1,1)*tand(beta)-AmC2(1,2); dC2(1)=bC2*cosd(alfasC2(1)); AreasC2(1)=dC2(1)*h1C2(1); AC2(i,1)=bC2*cosd(alfasC2(i))+AC2(i-1,1); AC2(i,2)=bC2*sind(alfasC2(i))+AC2(i-1,2); AmC2(i,1)=0.5*bC2*cosd(alfasC2(i))+AC2(i-1,1); AmC2(i,2)=0.5*bC2*sind(alfasC2(i))+AC2(i-1,2); if AmC2(i,1)<deltaXC1 h1C2(i)=AmC2(i,1)*tand(beta)-AmC2(i,2); else h1C2(i)=h-AmC2(i,2); end dC2(i)=bC2*cosd(alfasC2(i)); AreasC2(i)=dC2(i)*h1C2(i); end kC3=0.4*RC1; RC3=RC1+kC3; deltaYC3=deltaYC1; deltaXC3=sqrt(RC3^2-(deltaYC3-kC3)^2); L1=sqrt(deltaXC3^2+h^2); omC3=90-(asind(h/L1)); angC3=asind(L1*sind(omC3)/RC3); beti=angC3/10; for i=2:10 alfasC3(1)=beti/2; psi=90-beti/2; alfasC3(i)=180+alfasC3(i-1)-2*psi; end bC3=RC3*sind(beti)/sind(psi); AC3=zeros(10,2); AmC3=zeros(10,2); dC3=zeros(10,1); h1C3=zeros(10,1); AreasC3=zeros(10,1); for i=2:10 AC3(1,1)=bC3*cosd(alfasC3(1));
AC3(1,2)=bC3*sind(alfasC3(1)); AmC3(1,1)=0.5*AC3(1,1); AmC3(1,2)=0.5*AC3(1,2); h1C3(1)=AmC3(1,1)*tand(beta)-AmC3(1,2); dC3(1)=bC3*cosd(alfasC3(1)); AreasC3(1)=dC3(1)*h1C3(1); AC3(i,1)=bC3*cosd(alfasC3(i))+AC3(i-1,1); AC3(i,2)=bC3*sind(alfasC3(i))+AC3(i-1,2); AmC3(i,1)=0.5*bC3*cosd(alfasC3(i))+AC3(i-1,1); AmC3(i,2)=0.5*bC3*sind(alfasC3(i))+AC3(i-1,2); if AmC3(i,1)<deltaXC1 h1C3(i)=AmC3(i,1)*tand(beta)-AmC3(i,2); else h1C3(i)=h-AmC3(i,2); end dC3(i)=bC3*cosd(alfasC3(i)); AreasC3(i)=dC3(i)*h1C3(i); end kC4=0.8*RC1; RC4=RC1+kC4; deltaYC4=deltaYC1; deltaXC4=sqrt(RC4^2-(deltaYC4-kC4)^2); L1=sqrt(deltaXC4^2+h^2); omC4=90-(asind(h/L1)); angC4=asind(L1*sind(omC4)/RC4); beti=angC4/10; for i=2:10 alfasC4(1)=beti/2; psi=90-beti/2; alfasC4(i)=180+alfasC4(i-1)-2*psi; end bC4=RC4*sind(beti)/sind(psi); AC4=zeros(10,2); AmC4=zeros(10,2); dC4=zeros(10,1); h1C4=zeros(10,1); AreasC4=zeros(10,1); for i=2:10 AC4(1,1)=bC4*cosd(alfasC4(1));
AC4(1,2)=bC4*sind(alfasC4(1)); AmC4(1,1)=0.5*AC4(1,1); AmC4(1,2)=0.5*AC4(1,2); h1C4(1)=AmC4(1,1)*tand(beta)-AmC4(1,2); dC4(1)=bC4*cosd(alfasC4(1)); AreasC4(1)=dC4(1)*h1C4(1); AC4(i,1)=bC4*cosd(alfasC4(i))+AC4(i-1,1); AC4(i,2)=bC4*sind(alfasC4(i))+AC4(i-1,2); AmC4(i,1)=0.5*bC4*cosd(alfasC4(i))+AC4(i-1,1); AmC4(i,2)=0.5*bC4*sind(alfasC4(i))+AC4(i-1,2); if AmC4(i,1)<deltaXC1 h1C4(i)=AmC4(i,1)*tand(beta)-AmC4(i,2); else h1C4(i)=h-AmC4(i,2); end dC4(i)=bC4*cosd(alfasC4(i)); AreasC4(i)=dC4(i)*h1C4(i); end
%Se definen los parametros para el analisis de estabilidad sum1=0; sum2=0; sum3=0; sum4=0; iter=0; itermax=5; f=0.3; ppm=pp; pps=ppm*cfpp; phim=phi; phis=phim*cfphi; cm=c; cs=cm*cfc; ms=zeros(100,1);
%Se inicia el ciclo de las simulaciones de Monte Carlo for s=1:100 ppsln=log(pps^2+1); ppln=log(ppm)-0.5*ppsln; phisln=log(phis^2+1); philn=log(phim)-0.5*phisln; csln=log(cs^2+1); cln=log(cm)-0.5*csln;
pp=lognrnd(ppln,ppsln); phi=lognrnd(philn,phisln); c=lognrnd(cln,csln); pesosC1=pp*AreasC1(:,1); pesosC2=pp*AreasC2(:,1); pesosC3=pp*AreasC3(:,1); pesosC4=pp*AreasC4(:,1); while iter<itermax for i=1:10 coh(i)=c*dC1(i); ratio=dC1(1)*sind(beta); por=pw*(hw-i*ratio)/2; pres(i)=por*dC1(i); sum1=sum1+coh(i)*1/cosd(alfasC1(i)); sum2=sum2+(pesosC1(i)-pres(i))*tand(phi)*1/cosd(alfasC1(i)); sum3=sum3+(1+(tand(phi)*tand(alfasC1(i)))/f); sum4=sum4+(pesosC1(i)*sind(alfasC1(i))); end fs=((sum1+sum2)/sum3)/sum4; margenC1=((sum1+sum2)/sum3)-sum4; fC1=fs; iter=iter+1; sum1=0; sum2=0; sum3=0; sum4=0; end iter=0; while iter<itermax for i=1:10 coh(i)=c*dC2(i); ratio=dC2(1)*sind(beta); por=pw*(hw-i*ratio)/2; pres(i)=por*dC2(i); sum1=sum1+coh(i)*1/cosd(alfasC2(i)); sum2=sum2+(pesosC2(i)-pres(i))*tand(phi)*1/cosd(alfasC2(i)); sum3=sum3+(1+(tand(phi)*tand(alfasC2(i)))/f); sum4=sum4+(pesosC2(i)*sind(alfasC2(i))); end
fs=((sum1+sum2)/sum3)/sum4; margenC2=((sum1+sum2)/sum3)-sum4; fC2=fs; iter=iter+1; sum1=0; sum2=0; sum3=0; sum4=0; end iter=0; while iter<itermax for i=1:10 coh(i)=c*dC3(i); ratio=dC3(1)*sind(beta); por=pw*(hw-i*ratio)/2; pres(i)=por*dC3(i); sum1=sum1+coh(i)*1/cosd(alfasC3(i)); sum2=sum2+(pesosC3(i)-pres(i))*tand(phi)*1/cosd(alfasC3(i)); sum3=sum3+(1+(tand(phi)*tand(alfasC3(i)))/f); sum4=sum4+(pesosC3(i)*sind(alfasC3(i))); end fs=((sum1+sum2)/sum3)/sum4; margenC3=((sum1+sum2)/sum3)-sum4; fC3=fs; iter=iter+1; sum1=0; sum2=0; sum3=0; sum4=0; end iter=0; while iter<itermax for i=1:10 coh(i)=c*dC4(i); ratio=dC4(1)*sind(beta); por=pw*(hw-i*ratio)/2; pres(i)=por*dC4(i); sum1=sum1+coh(i)*1/cosd(alfasC4(i)); sum2=sum2+(pesosC4(i)-pres(i))*tand(phi)*1/cosd(alfasC4(i)); sum3=sum3+(1+(tand(phi)*tand(alfasC4(i)))/f); sum4=sum4+(pesosC4(i)*sind(alfasC4(i))); end
fs=((sum1+sum2)/sum3)/sum4; margenC4=((sum1+sum2)/sum3)-sum4; fC4=fs; iter=iter+1; sum1=0; sum2=0; sum3=0; sum4=0; end matmarg(1,1)=margenC1; matmarg(1,2)=margenC2; matmarg(1,3)=margenC3; matmarg(1,4)=margenC4; margen(s)=min(matmarg); end
%Se calcula la probabilidad de falla fallas=0; for q=1:s if margen(q)<0; fallas=fallas+1; end end Probabilidad=fallas/s
