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1. Sistemas de referencia. TEMA 51. Sistemas de referencia en el plano y en el espacio. Ecuaciones de la recta y el plano. Relaciones afines.

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(1)

1. Sistemas de referencia.

TEMA 51

Sistemas de referencia en el plano y en el espacio.

Ecuaciones de la recta y el plano. Relaciones afines.

En la primera sección se introducen los sistemas de referencia afines de n, y en la

segundase obtienen ecuaciones implícitas y paramétricas de sus subvariedades afines. En la última sección se analiza la posición relativa de subvariedades, probando la fórmula de Grassmann y aplicándola en los casos más significativos: rectas y planos de 3.

1. Sistemas de referencia.

A lo largo del tema  es un cuerpo, cuyos elementos se llamarán escalares, y n es un entero positivo. Dados puntos A,B de n con A = (a

1,...,an) y B = (b1,...,bn), la resta

B – A = (b1– a1,...,bn– an) se denomina vector de origen A y extremo B. Cada punto

Pn se identifica con el vector de extremo P y origen (0,...,0). Se llama suma del punto

P = (p1,...,pn)n y el vector u = (u1,...,un) al punto Q = (p1  u1,...,pn  un). 1.1 Sistema de referencia afín

Un sistema de referencia afín en n es una (n 1)-upla  = {O ; u

1,...,un} donde O es un

punto cualquiera de n, llamado origen de , y  = {u

1,...,un} es una base del -espacio

vectorial n, llamada base de .

De este modo, para cada punto Xn existen escalares únicos x

1,...,xn tales que

X – O = x1u1  ...  xnun

(2)

2. Subvariedades afines.

1.2 Cambio de sistema de referencia afín

Dados sistemas de referencia afín 1 = {O1; u1,...,un} y 2 = {O2; v1,...,vn} de n se trata

de estudiar la relación entre las coordenadas (x1,...,xn) e (y1,...,yn) de un punto Xn

respecto de 1 y 2. Para ello se necesita conocer las coordenadas (p1,...,pn) de O1 respecto de 2 y la matriz  = (aij) de paso de la base 1 = {u1,...,un} a 2 = {v1,...,vn}. Esto

significa que

O1– O2 = p1v1  ...  pnvn ;uj = a1jv1  ...  anjvn, esto es,

luego, para cada índice i con 1 i  n. Estas igualdades se escriben en

forma matricial como .

2. Subvariedades afines.

2.1 Definiciones

Un subconjunto S de n es una subvariedad afín de n si existen un punto Pn y un

subespacio vectorial H de n tales que S = P  H = {P  u : u H }. Nótese que en tal caso

H es único, determinado por S, puesto que H = {B – A : A, BS }, y se dice que H es el

subespacio de dirección de S. Es claro que S = Q  H para cada punto Q S. Por ello, las subvariedades afines de n que contienen al vector nulo son sus subespacios vectoriales. La

dimensión de S, que se denota dim(S ), es la de su subespacio de dirección, como subespacio

vectorial. Las subvariedades afines de n de dimensión n – 1 se llaman hiperplanos.

yivi i=1 n

X O– 2 X O– 1O1–O2 xjuj j=1 n

pivi i=1 n

xj aijvi i=1 n

        pivi i=1 n

j=1 n

= = = = yi aijxjpi j=1 n

= 1 y1  yn 1 0 0  0 p1 a11 a12  a1n      pn an1an2  ann 1 x1  xn =

(3)

2. Subvariedades afines.

2.2 Ecuaciones paramétricas de una subvariedad afín

Sean S = P  H una subvariedad afín y  = {O ; u1,...,un} un sistema de referencia afín

de n. El punto Xn, de coordenadas (x

1,...,xn) respecto de , pertenece a S si y sólo si

el vector X – P pertenece a H, esto es, X – P es combinación lineal de los vectores de un sistema generador H ={v1,...,vm} de H. Así, si (p1,...,pn) son las coordenadas respecto

de  del punto P, resulta que XS si y sólo siexisten escalares 1,...,m tales que

x1u1  ...  xnun = X – O = (P – O) (X – P) = p1u1  ...  pnun 1v1  ... mvm (2.2.1)

Si los vectores de H se expresan, respecto de la base de , mediante

vj = a1ju1  ...  anjun,

sustituyendo en (2.2.1), el punto X pertenece a S si y sólo si existen 1,...,m tales que

Como las coordenadas de un vector respecto de una base son únicas, esto equivale a que

xi = pi  ai11  ...  aimm para cada índice i con 1 i  n (2.2.2)

Estas igualdades se denominan unas ecuaciones paramétricas de S respecto de .

2.3 Ecuaciones implícitas de una subvariedad afín

Nótese que si r = dim(S ), las igualdades (2.2.2) equivalen a que

Como dim(H ) = r podemos suponer que el menor de la matriz  = (aij) correspondiente

a las r primeras filas y columnas es no nulo. En tal caso, XS si y sólo si

xiui i=1 n

piuijvj j=1 m

i=1 n

piuij aijui i=1 n

        j=1 m

i=1 n

pi aijj j=1 m

         ui i=1 n

= = = rg x1–p1 a11  a1m x2–p2 a21  a2m     xnpn an1 anm rg a11  a1m a21  a2m    an1  anm rg v 1, v, mdim H  dim S  r = = = = =

(4)

2. Subvariedades afines.

para cada índice j con r  1  j  n (2.3.1)

Se dice que (2.3.1) son unas ecuaciones implícitas de S respecto del sistema de referencia .

2.4 Ejemplos

1. Si S es un hiperplano, (2.3.1) se reduce a una única ecuación, de la forma

A1(x1 – p1) ... An(xn– pn) = 0,

donde (p1,...,pn) son las coordenadas respecto de  de un punto PS. En el caso n = 3 se

dice que S es un plano.

2. Si dimS = 1 se dice que S es una recta. Entonces, su subespacio de dirección H admite un sistema generador H = {v1} formado por un único vector, por lo que si en (2.2.2) denotamos ai1 = ai y 1 = t,las ecuaciones paramétricas de S se escriben en este caso

xi = pi  ait para cada índice i con 1 i  n

Si además n = 2 las rectas son hiperplanos, por lo que S admite una ecuación implícita de la forma A1(x1 – p1)A2(x2– p2) = 0, y si (a1, a2) son las coordenadas respecto de  de un vector director de su subespacio de dirección, S tiene por ecuaciones paramétricas

x1 = p1  a1t ; x2 = p2  a2t

3. Si S es una recta de 3, sus ecuaciones paramétricas serán de la forma

x1 = p1 a1t ; x2 = p2 a2t ; x3 = p3 a3t

donde (p1, p2, p3) son las coordenadas de un punto de S y (a1, a2, a3) son las coordenadas de un vector director de su subespacio de dirección. Las ecuaciones implícitas de S son

det x1p1a11 a1r x2–p2a21 a2r     xrpr ar1 arr xjpj aj1  ajr 0 =

(5)

3. Posición relativa de dos subvariedades afines.

, lo que se suele escribir en la forma ,

llamada ecuación continua de S. Desarrollando estas igualdades obtenemos unas ecuaciones implícitas de S, que adoptan la forma

lo que pone de manifiesto que cada recta de 3es intersección de dos planos.

3. Posición relativa de dos subvariedades afines.

Fijamos en esta sección dos subvariedades afines S1 y S2 de n, cuyos subespacios de dirección denotamos por H1 y H2, dos puntos cualesquiera P1S1 y P2S2, y su resta, el vector = P2– P1. Estudiamos en primer lugar la naturaleza de la intersección de S1 y S2.

3.1 Intersección de subvariedades afines

1. La intersección S1 S2 es no vacía si y sólo si H1  H2.

2. Si la intersección S1 S2 es no vacía entonces es una subvariedad afín de n cuyo subespacio de dirección es H1 H2.

Demostración

1. Si S1 S2 es no vacía tomamos un punto PS1 S2. Como P y P1 pertenecen a S1 su resta P – P1H1. Análogamente P2– PH2, luego sumando,

= P2– P1 = (P – P1)  (P2– P)H1  H2

Recíprocamente, si se cumple esto último han de existir vectores 1H1 y 2H2 tales que  = P2– P1 = 1 2.Por tanto, el punto P = P22 = P11 S1 S2.

rg x1–p1 a1 x2–p2 a2 x3–p3 a3 1 = x1–p1 a1 --- x2–p2 a2 --- x3–p3 a3 ---= = A1x1p1 A 2x2–p2 A 3x3–p3 = 0 B1x1p1 B 2x2–p2 B 3x3–p3 = 0   

(6)

3. Posición relativa de dos subvariedades afines.

2. Elegimos un punto PS1  S2, lo que nos permite escribir S1 = P  H1 y S2 = P  H2. Así, cada punto XS1 S2 se escribe como X = P1 = P2 para ciertos vectores 1H1 y

2H2. Por ello 1 = 2H1  H2, luego XP H1  H2, lo que prueba que S1  S2 está contenido en P H1  H2. El contenido recíproco se prueba análogamente, y así se tiene la igualdad S1  S2 = P H1  H2, de lo que se deduce que S1  S2 es subvariedad afín y que su subespacio de dirección es H1  H2. 

A continuación estudiamos la menor subvariedad afín que contiene a S1 y S2.

3.2 Suma de subvariedades afines

SeanL la recta vectorial engendrada por y H = L H1 H2. La variedad afín S que pasa por P1 y tiene a H por subespacio de dirección se llama suma de S1 y S2, y es la menor subvariedad afín de n que contiene a S

1 y S2. Se suele denotar S = S1  S2 pero, como veremos después, sus elementos no son las sumas de un punto de S1 y otro de S2.

Demostración

Como H contiene a H1 es obvio que S1 = P1H1 P1H = S. Además, P2 = P1P1L P1 H = S,

por lo que S = P2 H y así, como H contiene a H2, resulta que S2 = P2H2 P2  H = S. Por ello, S es una subvariedad afín que contiene a S1 y S2. Ahora se trata de comprobar que es la menor de entre las subvariedades que contienen a S1 y S2. Sea pues T una de ellas y denotemos por HT su subespacio de dirección.

Tanto P1 como P2 pertenecen a T, por lo que HT, es decir, L  HT. Veamos que

también H1 HT. Dado 1H1, el punto P11S1 T, y como T = P1 HT, se concluye

que 1HT. Análogamente H2  HT, luego HT es un subespacio vectorial de n que

contiene a los tres subespacios L, H1 y H2, por lo que también contiene a su suma H. En consecuencia, S = P1 H P1 HT = T, como queríamos probar. 

3.3 Observación

(7)

3. Posición relativa de dos subvariedades afines.

S1  S2 {P  Q : P S1,QS2} (3.3.1) Por ejemplo, sean P1 = (0, 0), P2 = (0, 1), H1 = H2 el subespacio vectorial engendrado por el vector u = (1, 0), S1 = P1 H1 y S2 = P2 H2.

Con las notaciones precedentes,  = P2– P1 = (0, 1), luego H = L H1 H2 = 2,pues H contiene a los vectores u y , que constituyen una base de 2. En consecuencia,

S1  S2 = P1  H =P1  2 =2

Sin embargo, los puntos de S1 son los de la forma (x, 0) y los de S2 son (x´,1), por lo que el miembro de la derecha de (3.3.1) es la recta {y = 1} de 2. A pesar de esto, se denota

S1  S2 a la menor subvariedad afín de n que contiene a S1 y S2. Pasamos a exponer el resultado fundamental del tema, en cuya prueba mantenemos todas las notaciones anteriores.

3.4 Fórmula de Grassmann

1. Si la intersección S1 S2 es no vacía, entonces

dim(S1)  dim(S2)= dim(S1  S2) dim(S1 S2) 2. Si la intersección S1 S2 es vacía, entonces

dim(S1)  dim(S2)= dim(S1  S2) dim(H1 H2) – 1

Demostración

1. Si S1 S2 es no vacía se deduce de 3.1 que H1  H2, luego H = H1 H2 y por ello, dim(S1  S2) = dim(H )= dim(H1  H2) = dim(H1)  dim(H2)– dim(H1 H2), (3.4.1) empleando, para la última igualdad, 12.4.1. En 3.1 vimos que H1 H2 es el subespacio de dirección de S1 S2, luego sus dimensiones coinciden.

Por la misma razón, dim(H1) = dim(S1) ydim(H2) = dim(S2). Sustituyendo en (3.4.1), dim(S1  S2) = dim(S1)  dim(S2) – dim(S1 S2)

(8)

3. Posición relativa de dos subvariedades afines.

2. El subespacio de dirección de S1  S2 es H = L H1  H2 que, en virtud de 3.1, contiene estrictamente a la suma H1  H2, ya que H1  H2. Por ello,

dim(S1  S2) = dim(H ) = 1 dim(H1  H2) (3.4.2) Empleando de nuevo 12.4.1,

dim(H1  H2) = dim(H1)  dim(H2)– dim(H1 H2) = dim(S1)  dim(S2)– dim(H1 H2), lo que reemplazado en (3.4.2) proporciona la igualdad del enunciado. 

3.5 Definiciones y ejemplos

1. Las subvariedades afines S1 y S2 se dicen paralelas si son disjuntas y H1 H2 o H2  H1. 2. Dos hiperplanos S y T que no se cortan son paralelos. En efecto, por ser S y T distintos, la menor subvariedad afín S  T que contiene a ambos es , luego si HS y HT son sus

subespacios de dirección, se deduce de la fórmula de Grassmann que

2n – 1 = dim(S )  dim(T )  1 = dim(S  T )  dim(HSHT) = n  dim(HSHT)

luego dim(HT)=n – 1 = dim(HSHT) = dim(HS),y así HS = HT, y S y T son paralelos.

3. Dos rectas distintas S1 y S2 de 3 se dicen coplanarias si S1  S2 es un plano, y se dice que se cruzan en caso contrario, es decir, si S1  S2 = 3. Si S1 y S2 son coplanarias y no son paralelas, su intersección no es vacía, pues si lo fuera, en virtud de 3.4.2,

2 = dim(S1)  dim(S2)= dim(S1  S2) dim(H1 H2) – 1 = 1dim(H1 H2) Así dim(H1 H2) = 1 = dim(H1), o sea, H1 = H2. Esto es falso pues S1 y S2 no son paralelas. 4. Sean S1 y S2 un plano y una recta de 3, respectivamente. Si S1 y S2 no se cortan son paralelas. En efecto, S1  S2 =3 y empleando 3.4.2,

4 = dim(S1)  dim(S2) 1= dim(S1  S2) dim(H1 H2) = 3dim(H1 H2), luego dim(H1 H2) = 1 = dim(H2), o sea, H2  H1, es decir, S1 y S2 son paralelas.

(9)

1. Producto escalar.

TEMA 52

Producto escalar. Producto vectorial y producto mixto.

Aplicación a la resolución de problemas físicos y geométricos.

En la primera sección se estudia la noción de producto escalar en un espacio vectorial real o complejo E, y se prueban las desigualdades de Cauchy-Schwarz y Minkowski. Esta última permite introducir en E la estructura de espacio normado inducida por el producto escalar y, mediante la ley del paralelogramo, se caracterizan las normas de un espacio que provienen de un producto escalar. Para terminar la sección se estudia la matriz de Gram del producto escalar en el caso finito dimensional, lo que se emplea en la siguiente para probar que E es suma directa de un subespacio y su complemento ortogonal. Esto da pie a introducir, para E = 3, los productos vectorial y mixto y estudiar sus propiedades, mientras que algunas de sus aplicaciones se presentan en la última sección.

1. Producto escalar.

A lo largo del tema  =  o  denota, indistintamente, el cuerpo de los números reales o el de los números complejos, y E un -espacio vectorial con elemento neutro 0E.

1.1 Espacio euclídeo

1. Se dice que la aplicación  : E E   es definida positiva si (u, u) es un número real positivopara cada vector no nulo u E.

2. Se dice que eshermítica si para cada par de vectores u,vE. Nótese que si  =  esto significa que es simétrica, o sea, .

3. Se dice que eslineal por la derecha si para cada uE, la aplicación

u : E   : v (u, v)

v u,  = u v,

(10)

1. Producto escalar.

es lineal. En particular u(0E) = 0, esto es, (u, 0E) = 0, luego (0E, 0E) = 0.

4. Si se satisfacen las tres propiedades anteriores se dice que es un producto escalar y que el par (E,)esun espacio euclídeo.

5. Por ser hermítica y linealpor la derecha resulta que en un espacio euclídeo se cumple (1.1.1) 6. En particular, si  =  el producto escalar es bilineal, esto es, lineal por ambos lados, y simétrica.

1.2 Desigualdades de Cauchy-Schwarz y Minkowski

Sean (E,)un espacio euclídeo y u,vE. Entonces,

1. Desigualdad de Cauchy-Schwarz: . Además, se da la igualdad

si y sólo si los vectores u y v son proporcionales.

2. Desigualdad de Minkowski: .

Demostración

1. La desigualdad se cumple trivialmente si v es nulo, y de hecho en tal caso es una igualdad. Suponemos por tanto que v no es nulo, y puesto que  es definida positiva, el

número complejo cumple

(1.2.1) Calculemos los tres últimos términos del miembro de la derecha de (1.2.1). De la definición de z se deduce que , y como éste es un número real coincide con su conjugado. Además , por lo que al sustituir estos valores en (1.2.1), obtenemos au1bu2,v = au1,v b u2,v u v,  2 u u,  v v,   u v,u v  u u, v v,  2 u u,  v v,z u v,  v v,  ---– = 0u zv,u zv  = u u,  z u v,  z u v, z 2v v, zu v,  – u v,  2 v v,  ---= z 2v v,  u v,  2 v v,  ---=

(11)

1. Producto escalar.

, y de aquí el resultado.

Para que se dé la igualdad ha de ser 0 = (u zv, u zv), o sea u zv = 0E, esto es, u y

v son proporcionales. Recíprocamente, si u y v son proporcionales, digamos u = v para

cierto , y teniendo en cuenta que (v, v), y que , resulta que

2. Empleando las propiedades del producto escalar,

, y ahora basta emplear la desigualdad de Cauchy-Schwarz. 

Esta desigualdad permite dotar a un espacio euclídeo de

estructura de espacio normado.

1.3 Norma inducida por un producto escalar

1. Si (E,)esun espacio euclídeo, la aplicación E   : u  se denomina forma

cuadrática inducida por , y su raíz cuadrada

: E   : u 

es una norma en E, que se dice inducida por . De hecho, la desigualdad de Minkowski es

y tomando raíces cuadradas se obtiene la desigualdad triangular para . El resto de las propiedades que ha de cumplir una norma se demuestran de modo inmediato.

2. La norma que acabamos de introducir satisface la llamada ley del paralelogramo:

La prueba es una mera comprobación, empleando las propiedades del producto escalar. 0u zv,u zv  u u,  u v,  2 v v,   ---– =  =  u u, v v, u v,  2 =   v,vv v,   v v, 2 = 0 u v,u v – u u, –v v, =u v, v u, =2Reu v, 2 u v,  u u,  u u,uv 2 u 2 v 2  2 u vuv 2 = uv 2 u v 2 = 2 u 2 v 2

(12)

1. Producto escalar.

3. Recíprocamente, toda norma en el -espacio vectorial E que satisface la ley del paralelogramo está inducida por un producto escalar .

De hecho es rutinario comprobar que, necesariamente, viene dado por las fórmulas

si  =  (1.3.1)

si  = , (1.3.2)

y requiere cierto esfuerzo probar que la aplicación así definida es lineal por la derecha. Todo lo anterior es válido sin necesidad de asumir que el espacio E es finito-dimensional, pero en lo sucesivo nos ceñiremos a espacios de este tipo y supondremos que  = .

1.4 Matriz de Gram de un producto escalar

1. Sean  = {e1,...,en} una base del espacio euclídeo real (E,)y denotemos gij= (ei,ej)

para cada par de índices i,j tales que 1i,j  n. Se llama matriz de Gram de respecto de  a la matriz M(, ) = (gij).

2. Dos vectores u,vE se dicen ortogonales respecto de si (u, v) = 0. Los vectores uE tales que = 1 se llaman unitarios.

3. La base  se dice ortogonal si (ei,ej) = 0 para i j. Por supuesto, esto equivale a decir

que la matriz M(, ) es diagonal. Una base ortogonal formada por vectores unitarios se

dice ortonormal. Esto equivale a decir que la matriz M(, ) es la identidad.

4. Como es bilineal, dados vectores y se tiene la igualdad

u v,  1 4 --- u v 2 u v– 2 –   = u v,  1 4 --- u v 2 u v– 2 – i u iv– 2 i u iv 2 –    = u u xiei i=1 n

= v yiei i=1 n

= u v,x1 xn M, y1 yn t =

(13)

1. Producto escalar.

5. El producto escalar standard de E = n se denota y es aquél cuya matriz

respecto de la base canónica de n es la matriz identidad de orden n. Por tanto, dados dos

vectores u = (x1,...,xn), v = (y1,...,yn) resulta que . La norma asociada a

este producto escalar es el módulo: .

6. Supongamos en particular que n = 2 o 3 y consideremos la forma bilineal

: nn   : (u,v)  cos(u,v)

Observamos que la norma inducida por es también el módulo, ya que como cos 0 = 1, se

tiene . Así, por (1.3.1), , lo que proporciona un

procedimiento para el cálculo del coseno del ángulo que forman dos vectores en función de

sus coordenadas: cos(u,v) = .

1.5 Existencia de bases ortonormales

1. Si es un producto escalar en el espacio finito dimensional real E, existe una base  de

E ortonormal respecto de .

2. Para cada base E = {u1,...,un} de E, la matriz M(,E) tiene determinante no nulo.

Demostración

1. Razonamos por inducción sobre n = dim(E ), siendo trivial el caso n = 1: basta elegir un vector no nulo uE, pues la base  = { } es ortonormal. Si n 1 elegimos un vector unitario no nulo eE, y definimos el subespacio vectorial, de dimensión n – 1,

,   u v,   xiyi i=1

= uu u,xi2 i=1 n

= = u v u u,  = u 2 = u u,   =  ,  u v,   u v ---xiyi i=1

xi2 i=1 n

yi2 i=1 n

---= e u u ---=

(14)

2. Ortogonalidad. Producto vectorial y producto mixto.

H = {uE : (e, u) = 0} = kere

En efecto, dim (H )  n, pues e H, y por 12.4.1, dim (H ) = dim (E ) – dim (Im e)n – 1,

luego dim (H ) = n – 1. Por la hipótesis de inducción, el subespacio H admite una base ortonormal ´ = {e2,...,en}, luego  = {e1 = e,e2,...,en} es una base ortonormal de E.

2. Sean  = {e1,e2,...,en} una base ortonormal de E y . Entonces,

Así, la matriz A = (aij) de paso de la base E a la base  cumple que M(,E) = AtA, por

lo que detM(,E) = (detA)2 0. 

2. Ortogonalidad. Producto vectorial y producto mixto.

2.1 Complemento ortogonal

1. Sea H un subespacio vectorial del espacio euclídeo real (E,). Se llama complemento

ortogonal de H al conjunto

= {E : (u,) = 0 para cada uH },

que es un subespacio vectorial de E, pues si H = {u1,u2,...,ur} es una base de H, entonces

. Además, puesto que  es definida positiva, .

2. De hecho, . Para verlo basta comprobar que , y para

ello prolongamos H hasta una base E = {u1,u2,...,un} de E, utilizando 12.2.5, y

denotamos M(, E) = (gij). Entonces, un vector  = x1u1 ...  xnun de E pertenece a

si y sólo si uj akjek k=1 n

= gij ui,uj  akiek k=1 n

aljel l=1 n

,         akialj k l,

= = = ek,elakiakj k=1 n

= HH kerui i=1

= HH = 0E E = HHdim H  =n rH

(15)

2. Ortogonalidad. Producto vectorial y producto mixto.

para cada índice i con 1i  r (2.1.1)

Puesto que detM(,E) 0, su submatriz formada por las r primeras filas tiene rango r,

y se desprende de (2.1.1) que .

3. De lo anterior se deduce que , pues es obvio que y además

4. La igualdad es falsa, en general, en espacios E de dimensión infinita, en los que sólo la cumplen los subespacios vectoriales H que son cerrados para la topología en E asociada a la norma inducida por .

2.2 Producto vectorial

1. Sean u = (x1,x2,x3) y v = (y1,y2,y3) vectores linealmente independientes en E = 3. El complemento ortogonal de H = [u,v] respecto del producto escalar standard de 3tiene dimensión 1, y si  = {e

1,e2,e3} es la base canónica de 3, el desarrollo formal

por la primera fila del determinante de la matriz proporciona el vector u v, que se denomina producto vectorial de u y v, en ese orden, y cuyas coordenadas respecto de la base  son u v = (x2y3– x3y2,x3y1– x1y3,x1y2– x2y1). Este vector es no nulo, por la independencia lineal de u y v, y es inmediado comprobar que

Por ello el vector u  v genera . La definición de producto vectorial se extiende mediante la misma fórmula al caso en que los vectores u y v son linealmente dependientes,

0 ui, xjui,ujj=1 n

gijxj j=1 n

= = = dim H =n rH = H HH dim H = ndim H = dim H 

H = H ,   e1 e2 e3 x1 x2 x3 y1 y2 y3 u u,v   = v u,v = 0 H

(16)

2. Ortogonalidad. Producto vectorial y producto mixto.

pero en este caso u v = 0E. De hecho, a partir de las propiedades de los determinantes que vimos en 19.1.3, es inmediato comprobar que

2. La aplicación  : 33  3 es bilineal y antisimétrica, esto es, u v = – v u. 3. Sea la norma inducida en 3por su producto escalar standard. Se cumple que

(2.2.1) En efecto, desarrollando el segundo miembro resulta

= =

4. De aquí se desprende, por 1.4.6, que , por lo que

5. Una igualdad con muchas aplicaciones es la siguiente:

que, como la anterior, se prueba desarrollando ambos miembros, y que en particular pone de manifiesto la no asociatividad del producto vectorial, ya que, por ejemplo,

;

2.3 Producto mixto

1. Se define el producto mixto de los tres vectores u, v y de 3, en ese orden, como

Si estos vectores son u = (x1,x2,x3), v = (y1,y2,y3) y  = (z1,z2,z3), es claro que

uv 2 = u 2 v 2 u v, 2 u 2 v 2u v, 2 x 1 2 x 2 2 x 3 2     y 12y22y32–x1y1x2y2x3y32 = x1y2– yx2 1  2 x 1y3–x3y1  2 x 2y3–x3y2  2   = uv 2 uv 2 u 2 v 2 1 cos2 u v,  –   = uv = u v senu v,uv  = u, v– u v,  e1e2e2 = 0Ee1e2 e 2 = –e2e1e2 = e2,e1 e2–e2,e2 e1 = –e1 u v, ,   = u v, 

(17)

3. Aplicaciones.

Así, de nuevo por las propiedades 19.1.3, se tiene

2. La aplicación , ,: 3 3 3  es trilineal y antisimétrica, esto es, cambia de signo al intercambiar la posición de dos de los factores. Además, de 19.2.2 se sigue que: 3. Los vectores u, v, constituyen una base de 3 si y sólo si .

4. En particular, si {u,v} son vectores linealmente independientes en 3, entonces los vectores {u,v, u v} constituyen una base de 3, pues

3. Aplicaciones.

3.1 Proyecciones

1. Sea E = {u1,u2,...,un} una base ortonormal del espacio euclídeo real (E,). Cada

vector E se escribe como combinación lineal , y se observa que

, por lo que

2. Estos coeficientes tienen un importante contenido geométrico: es lo que mide la proyección ortogonal del vector  sobre la recta vectorial Hi = [ui].

u v, ,   det x1 x2 x3 y1 y2y3 z1 z2 z3 = u v, ,   0 u v u, ,v   uv, ,u v uv,uvuv 2 0  = = =  xjuj j=1 n

= ui,  ui xjuj j=1 n

,         xi = =  ui,ui i=1 n

= ui,

(18)

3. Aplicaciones.

En efecto, el vector es suma de y , por lo

que i es la proyección ortogonal de  sobre Hi y, desde

luego,

3.2 Areas y volúmenes

1. El área S del paralelogramo con

vértices consecutivos A,B,C,D mide . En

efecto, denotando h la altura del paralelogramo sobre la base

AB, y el ángulo que forman AB y AD, por 2.2.4,

Por supuesto, el área del triángulo ABC mide S/2.

2. El volumen del paralelepípedo del que son aristas concurrentes OA,OB y OC, mide . En efecto, si h es la altura sobre la base de la que son aristas OA yOB, el área de ésta es , y en consecuencia . Si  es el ángulo que forma el vector con el vector ortogonal a la base, se tiene

, y por fin

3.3 Las ciencias aplicadas

No podemos sino reseñar algunas magnitudes físicas que se definen mediante los productos escalar, vectorial y mixto. Recordemos, a título de ejemplo, que el trabajo W realizado por

i=ui,uiHii uj,  uj j in

= Hi i = ui, ui = ui, ui = ui, S = ABAD S = AB h = AB AD sen = ABAD V = OA OB OC, ,S = OA OBV = OA OBh OC OAOB h= OC cos V = OA OBOC cos = OA OB,OC  = OA OB OC, ,A B C D hO A B C

(19)

3. Aplicaciones.

una fuerza constante al desplazar su punto de aplicación a lo largo del vector que une los puntos P y Q es , que el momento de dicha fuerza, aplicada en un punto P, respecto de otro punto O, es el producto vectorial , o que la fuerza de

Lorentz a la que se encuentra sometida una carga eléctrica q situada dentro un campo magnético de valor y que se mueve con velocidad es .

F

W = F PQ,

OP F

(20)

1. Distancia entre variedades afines.

TEMA 53

Relaciones métricas: perpendicularidad,

distancias, ángulos, áreas, volúmenes,...

En la primera sección se introduce la distancia entre dos subvariedades afines, y se da un procedimiento efectivo para su cálculo. Las propiedades de bisectrices y planos bisectores se estudian en la sección segunda, y en la tercera se calculan áreas y volúmenes.

1. Distancia entre variedades afines.

1.1 Proyección perpendicular sobre una subvariedad

1. A lo largo del tema denotamos  = n, equipado con el producto escalar standard

. La norma inducida por él se denotará y las coordenadas de cada punto de  estarán referidas al sistema de referencia canónico que tiene por centro O = (0,...,0) y por base la canónica {e1,...,en}.

2. Sea S = P  HS la subvariedad afín que pasa por el punto P y tiene a HS por subespacio de dirección. Para cada Q se llama subvariedad afín perpendicular a S que pasa por Q a la subvariedad , donde es el complemento ortogonal de HS en .

3. La intersección no es vacía, pues en caso contrario, por 51.3.4.2, se tiene

= = , lo que es absurdo. ,   SQ=Q HSHSSSQ

dim S S  Q = 1 dim S  dim S  Q dim H–  SHS

(21)

1. Distancia entre variedades afines.

4. De hecho es un punto, al que se llama proyección perpendicular de Q sobre S, y se denota S(Q ). En efecto, como S y se cortan, se sigue de 51.3.1 que el subespacio de

dirección de es , luego

La aplicación S :  S

se denomina proyección perpendicular sobre S. Obsérvese que QS si y sólo si S(Q ) = Q. 5. Si QS, la recta que une Q con S(Q) se llama recta perpendicular a S que pasa por Q. 6. La descomposición del espacio euclídeo  como suma directa de HS y su complemento ortogonal induce una aplicación lineal : definida como sigue: cada vector use escribe de modo único como suma u = u1  u2, con u1HS y u2 , y se define . Las aplicaciones S y se relacionan como sigue: fijados PS y

Q, y puesto que , se concluye que S(Q) – PHS y Q –S(Q) . Como además

Q – P = (S(Q) – P )  (Q –S(Q))

se deduce que . Ahora ya pasamos a estudiar:

1.2 Distancia y proyección perpendicular

1. Dados puntos P = (p1,...,pn) y Q = (q1,...,qn) en ,se llama distancia entre P y Q, y se

denota d(P,Q), al número real .

2. Si S y T son subvariedades afines de  se define la distancia entre S y T como

d(S,T ) = inf {d(P,Q) : PS, Q T} SSQSQSSQHSHS =  0 dim S SQ = dim HSHS = 0  = HSHSpH S HS HSpH S u = u1 pHSS  S SQ   QHS S  PQ – = pHSQ P–  d P Q,PQq1–p1 2 qnpn  2   = =

(22)

1. Distancia entre variedades afines.

3. Si Q y S es una subvariedad afín de  se tiene d(Q,S ) = d(Q,S(Q)). En efecto,

se trata de probar que para cada punto PS se cumple que

lo que equivale, por 1.1.6, a que . Denotando  = Q – P,

y la desigualdad a probar es . Ahora bien,

, y como 1 y 2 son ortogonales, .

4. Supongamos ahora que S es un hiperplano. Elegimos un punto P = (p1,...,pn)S.

Como tiene dimensión 1, 52.2.1, y si u = (u1,...,un) es un vector director de , un

punto X = (x1,...,xn)S si y sólo si X – P HS, esto es, , o sea,

f (x1,...,xn) = u1(x1– p1) ...  un(xn– pn) = 0 (1.2.1)

Fijado un punto Q = (q1,...,qn) resulta que , luego existe un número

real t tal que S(Q) = Q  tu, y como S(Q)S, se ha de cumplir que

u1(q1tu1– p1) ...  un(qntun– pn) = 0, o sea,

(1.2.2)

En consecuencia, utilizando (1.2.2),

(1.2.3)

En los casos n = 2,3 la fórmula (1.2.3) proporciona la distancia desde un punto a la recta del plano o al plano del espacio que tienen (1.2.1) por ecuación implícita.

Q–S QQ PQ P pH SQ P–  – –  Q P– 1 = pHS  2 =  – 1HS 2    2   ,   12,12 1 2 2 2 21,2   = = =  2 1 2 2 2  2 2  = HSHSX P u,   = 0 SQ = Q  u   t u1p1–q1  u  npnqnu1 2  u n 2   --- –f q 1, q, nu1 2  u n2   ---= = d Q S,d Q,S QQS Q tu t u f q 1, q, nu1 2  u n 2   ---= = = = =

(23)

1. Distancia entre variedades afines.

5. El cálculo de la distancia entre dos subvariedades afines S = P  HS y T = Q  HT se reduce a lo visto en el tercer apartado, pues si R = Q  (HS HT) se cumple la igualdad

d(S,T ) = d(P,R ) (1.2.4)

Para probarla, observamos que para cada par de puntos MS y N T, los vectores y , por lo que CMN = Q uv R, y . Así,

d(S,T ) = inf = inf d(P,R )

Recíprocamente, , y la proyección R(P)R, por lo que existen vectores uHS y vHT tales que R(P) = Q  u  v. Por ello, los puntos M = P – u S,

N = Q  vT, y , de donde

6. Consideremos ahora el caso en que S y T son subvariedades paralelas, digamos HS HT. Con las notaciones anteriores, R = T, por lo que d(S,T ) = d(P,T ).

Estos resultados adoptan formas sencillas cuando  = 3. Veámoslas a continuación.

1.3 Distancias en el espacio euclídeo

1. Sean P un punto y S una recta en  = 3. Fijados dos puntos

A,QS, resulta que

(1.3.1)

La igualdad es obvia si PS, pues en tal caso ambos miembros son nulos. Si P S, consideremos el punto B = S(P). Por 1.2.3 es la altura sobre la base AQ

u = PM HS v = QN HT MN = PCMN MN · M S N T,    PCMN · M S N T,        d P R,  = d P,R PPR P = MN d P R,  = PR P = MNd S T,d P S,APAQ AQ ---= d P S,  = PB A B Q P S

(24)

2. Angulo entre variedades afines.

del triángulo APQ, por lo que si  es el área de este triángulo, . En

52.3.2 se prueba que , y basta igualar ambas expresiones.

2. Sean S y T dos rectas en . Si se cortan, d(S,T ) = 0, y si son paralelas ya hemos visto que d(S,T ) = d(P,T ), donde P es un punto arbitrario de S. Supongamos pues que S y T ni se cortan ni son paralelas. Decimos en tal caso que S y T se cruzan y las escribimos como S = A  [u] y T = B  [v]. Se tiene

(1.3.2)

En efecto, denotemos P = A u, Q = B  v, y sea V el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas AP, AB y

BQ. En 52.3.2 se demuestra que

Por otro lado, el área de la base de dicho paralelogramo es , y su altura es d(S,T ). Por tanto, y basta igualar las expresiones de V.

2. Angulo entre variedades afines.

2.1 Definiciones

1. Se llama ángulo que forman dos hiperplanos S y T, y se denota (S,T ), al que forman los vectores directores de los complementos ortogonales y de sus subespacios de dirección y . Por tanto, si unas ecuaciones implícitas de S y T son

S : u1(x1– a1) ...  un(xn– an) = 0 ; T : v1(x1– b1) ...  vn(xn– bn) = 0,

y denotamos u = (u1,...,un) y v = (v1,...,vn) los vectores directores de y , resulta

2 = AQ d P S,  2 = APAQ d S T,  u v AB, ,uv ---= V = AP AB BQ, ,  = u v AB, ,APBQ = uv V = d S T,  u vHSHTHS HT HSHTS T A B Q P

(25)

2. Angulo entre variedades afines.

Se deduce en particular que, (S,T ) = 0 si S y T son paralelos.

2. Dadas dos rectas S = A  [1] y T = B  [2], se llama ángulo que forman S y T al que forman sus vectores directores 1 y 2. Por tanto, . También en este caso (S,T ) = 0 si S y T son paralelas.

Debemos comprobar que en el caso en que S y T son rectas del plano las dos definiciones precedentes coinciden. Observamos que si unas ecuaciones implícitas son

S : u1(x1– a1)  u2(x2– a2) = 0 ; T : v1(x1– b1) v2(x2– b2) = 0, sus vectores directores son 1 = (u2, – u1) y 2 = (v2, – v1), luego

3. Definimos el ángulo que forman una recta S = A  [1] y el hiperplano T = B  H como el complementario del que forman las rectas S y .

2.2 Hiperplanos bisectores

1. Consideremos dos hiperplanos S y T definidos en forma implícita por

S : u1(x1– a1) ...  un(xn– an) = 0 ; T : v1(x1– b1) ...  vn(xn– bn) = 0

Para simplificar los cálculos posteriores podemos suponer que los vectores u = (u1,...,un) y

v = (v1,...,vn) son unitarios. Queremos describir el lugar geométrico Bis(S,T ) denominado

bisector de S y T, formado por los puntos Q = (x1,...,xn) que equidistan de S y T. Nótese

que, empleando (1.2.3), QBis(S,T ) si y sólo si

S T,    cos u v,u v --- u1v1 unvn u1 2  u n 2   v1 2  v n 2   ---= = S T,    cos 1,2 1 2 ---= 1,2    cos 1,2 1 2 --- u2v2u1v1 u1 2 u2 2  v1 2 v2 2  --- u v,u v --- cosu v,  = = = = Hu1x1–a1  u  nxnan = v1x1–b1  v  nxnbn

(26)

2. Angulo entre variedades afines.

Por lo tanto Bis(S,T ) es unión de dos hiperplanos, Bis(S,T ) = M1 M2, definidos por

M1 = {(u1– v1)x1 ...  (un– vn)x1 = c1} ; M2 = {(u1 v1)x1 ...  (un vn)x1 = d1} Debe observarse que estas ecuaciones son, respectivamente, la diferencia y la suma de las ecuaciones implícitas elegidas para S y T.

En el caso excepcional en que S y T son paralelos, los vectores u y v son proporcionales y unitarios, luego bien u = v, bien u = – v, y así bien M1 es vacío, bien lo es M2. El que no es vacío de entre estos hiperplanos es también paralelo a S y T. Se dice entonces que Bis(S,T ) es el hiperplano medio entre S y T.

2. Suponemos en lo que sigue que tanto M1 como M2 son de hecho hiperplanos, y vamos a comprobar que son ortogonales entre sí, esto es, lo son los complementarios de sus subespacios de dirección, pues tienen por vectores directores a los vectores

1 = (u1– v1,...,un– vn) y 2 = (u1 v1,...,un vn),

que son ortogonales, ya que

3. Los planos bisectores M1 y M2 dividen en dos partes iguales el ángulo que forman S y T. Lo comprobaremos sólo para M2. Denotando 2 el ángulo que forman S y T, y el que forma S con M2, todo se reduce a probar que cos 2= cos 2. Ahora bien,

y por lo tanto, empleando la fórmula del coseno del ángulo doble que vimos en 38.1.3,

2.3 Rectas bisectrices 1,2   uivi uivii=1 n

ui2 i=1 n

vi2 i=1 n

– 1 1– 0 = = = =  cos cosu,2 ---u u vu u v,  1u v,u v,u v   --- 1 u v,  2 1 u v,  --- 1u v,  2 ---= = = = = 2 cos cosu v,  u v,u v --- u v,  2 cos21 cos2 = = = = = T S P A C B M1 M2

(27)

3. Areas y volúmenes.

Sean S y T dos rectas concurrentes. Si P es su punto común y u,v son vectores directores unitarios suyos, consideramos el rombo de vértices P, A = P u, B = A  v, y C = P  v. Por tratarse de un rombo, las diagonales PB y CA cumplen

;

Así, por 2.2.3, la recta M1 que une P con B, y su perpendicular M2 que pasa por P, esto es, la paralela por P a la recta que une A y C, son las dos bisectrices de S y T.

3. Areas y volúmenes.

1. En 52.3.2 probamos que el área del paralelogramo con vértices consecutivos A,B,C y D mide . Si los cuatro puntos están en el plano 2 y sus coordenadas son

A = (a1,a2), B = (b1,b2), C = (c1,c2), D = (d1,d2), consideramos la inmersión de 2en 3dada por 2 3: (x

1,x2) (x1,x2,0), de modo que

y . Así,

Por supuesto, el área del triángulo ABC mide S/2, y para calcular el área encerrada por un polígono basta triangularla y sumar.

2. Si M es un paralelepípedo del que son aristas concurrentes AB, AC y AD, donde

A = (a1,a2,a3), B = (b1,b2,b3), C = (c1,c2,c3), D = (d1,d2,d3), se demuestra en 52.3.2 que el volumen V de M mide

PA PB,    1 2 ---PA PC,  = CP CA,  1 2 ---CP CB,  = S = ABAD AB = b1–a1,b2–a2,0 AD = d1–a1,d2–a2,0 S det 1 1 1 a1 b1 d1 a2 b2 d2 =

(28)

3. Areas y volúmenes.

Se puede demostrar que el volumen del tetraedro de aristas concurrentes AB, AC y AD es la sexta parte de V. VAB AC AD, ,  det b1–a1 b2–a2 b3–a3 c1–a1 c2–a2 c3–a3 d1a1d2a2 d3a3 det 1 a1a2 a3 1 b1 b2 b3 1 c1 c2 c3 1 d1d2d3 = = =

Referencias

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