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Resumen.Nuestrapropuesta,lacualesresultadodeunainvestigaciónenproceso,se encuentra inserta en el nivel Medio Superior y es relativa a la Geometría Analítica, específicamentealaconstruccióndelascónicas.Senutredelplegadodepapelydelusodeun softwaredegeometríadinámica(CabriGeomètreII)comorecursosdidácticos.Sureferencia teóricaestábasadaenlosnivelesdelrazonamientogeométricodeVanHiele.
Caracterizamos,así,laconstruccióngeométricaentresmomentos:laintuiciónatravésdel plegadodepapel;lavisualizaciónvíaunsoftwaredegeometríadinámicacomoherramienta didáctica argumentativa; y por último formalizando las argumentaciones y conjeturas establecidasalanalizarlascónicasvíalatécnicadelDebateCientífico.
Palabrasclave:construccióngeométrica,cónicas,intuiciónmatemática
Introducción
¿Qué es construir un concepto matemático?, ¿qué procesos tienen lugar durante esta
construcción? Específicamente en el campo de la Geometría Analítica, ¿cómo motivar la construccióndelascónicas?
Contestarestaspreguntashaconducidoalaexploraciónderecursosestratégicosquepermitan transitar entre los niveles de razonamiento geométrico. Este escrito corresponde a una investigaciónenprocesoquedescansaenlabúsquedadeuncaminohacialaconstrucciónde objetosgeométricos,paraelcasoespecíficodelestudiodelascónicas.Elobjetivoesconstruiruna propuestadeaplicaciónenelaulaquepuedaextenderseaotrostópicosmatemáticos.
NuestrainvestigacióntomalosnivelesdelrazonamientogeométricodeVanHiele(VanHiele, 1990)comomarcoparaelaprendizaje,víasusaportacionesacercadelosdistintostiposde razonamientogeométricodelosestudiantesalolargodesuformaciónmatemática,locuálesvan desdeelrazonamientovisualhastaelformalyabstracto.Nuestrotrabajoseencuentrainsertoen elnivelMedioSuperioryesrelativoalaGeometríaAnalítica.
Esampliamentecompartidoqueunadelasdificultadesenelaprendizajedelageometríaesla articulaciónentrelosprocesosdevisualizaciónylosprocesosdejustificación.Eldiscursoescolar,a CONSTRUCCIONESGEOMÉTRICAS:DELAINTUICIÓNALAFORMALIZACIÓN.ELCASODE LASCÓNICAS
EfrénMarmolejo,GemaMoreno,SilviaHernández,AmínBahena
UniversidadAutónomadeGuerrero México
[email protected],[email protected]
Campodeinvestigación: PensamientoGeométrico Nivel: Medio
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230 esterespecto,debellevardeunaargumentacióninformalqueseapoyafuertementeenla
visualizaciónͲyporlotantoesdecarácterdescriptivoͲaunaorganizacióndiscursivaformalque encadenaproposicionesusandoreglaslógicas.
Porello,lametodologíaquehemosdesarrolladosealimentadedosrecursosparalaenseñanza: elplegadodepapelyelusodeunsoftwaredegeometríadinámica.Separteentonces,dela intuiciónatravésdeldobladodepapel,seguidadelavisualizaciónvíaunsoftwaredegeometría dinámicacomoherramientadidácticaargumentativa(Larios,2007)yporúltimolaformalización delasargumentacionesyconjeturasestablecidasalanalizarlascónicasvíalatécnicadelDebate Científico (Legrand, 1993/2006). Caracterizando así, la construcción geométrica en tres momentos:intuición,argumentaciónyformalización.
ApelandoalaIntuición
Esatravésdeldoblezdepapelqueintroducimoslafasemanipulativade“palpar”conceptos, visualizar y modelarpropiedades.La “manipulación” facilita lacomprensióndeconceptos geométricos,dotadesignificadoalosalumnosypropiciaeldescubrimientodepropiedades, desarrollalaintuición,fomentalacreatividadysenutreelcarácterlúdico.Así,latécnicadel plegadodepapel,comounaestrategiaparalaenseñanzadelaGeometría,proporcionaunmedio eficazparalamanipulacióndelosobjetosgeométricos.
Enestecontexto,laslíneasserándoblecesylospuntosseráninterseccióndedoblecesopuntos marcadosconellápiz.Comopreliminar,esimprescindiblededicarunasesióndetrazosbásicos previoaldesarrollodelaconstruccióndelascónicas(líneaperpendicular,líneaparalela,mediatriz ypuntomediodeunsegmento,puntosimétrico,líneasimétrica,bisectrizdeunángulo,etc.). Porlotanto,ennuestrapropuestaparaeldesarrollodelasconstruccionesdelascónicas (parábola,elipse,hipérbola),explotamoslaideaderectastangentescomoenvolventesdelas curvascónicas,medianteelplegadodepapel(García,s.f.).Encadaactividadsondiscutidaslas razonesquesustentantalconstrucción,enfatizandolosargumentosintuitivosquelasvalidan.
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231 Hacialavisualizacióndinámica
Enestafase,laconstruccióndelascónicasserealizadeformasemejantealarealizadaconel dobladodepapel,perohaciendousodeunsoftwaredegeometríadinámica(CabriGeomètreII). Sinembargo,aquíseacentúalaaccióndeproporcionarimpulsosquemotivenlaargumentación delosestudiantes.
Escogimoselusodeunsoftwaredebidoalassiguientescaracterísticasdelmediogeométrico dinámico(MinisteriodeEducaciónNacional,2004):
a) Lacapacidaddearrastredelasfigurasconstruidasquefavorecelabúsquedaderasgosque permanecenvivosduranteladeformación.
b) Elusoextensivodellugargeométricoytraza(huellaquedejaunafigurageométrica cuandoselearrastra)quepermitevisualizarydescubrirhechosgeométricos.
c) La animación de figuras permite presenciar el proceso constructivo de un hecho geométrico.
Elpapelquejueganlasconstruccionesgeométricasrealizadasenelentornodelageometría dinámicaesfundamental,puesseconviertenenlosobjetosde“experimentación”sobrelateoría, sin utilizar de manera directa el discurso. La manera de reaccionar ante los estímulos proporcionadosporelindividuoylosinstrumentosutilizadosparaproporcionartalesestímulos,se puedenconvertirenherramientasparaqueelindividuoexpresesusobservaciones,conjeturaso argumentaciones.Deestaforma,secontribuyeasuperarunodelosobstáculosprincipalesdel aprendizajedelageometría,lastensionesentrelosprocesosdevisualizaciónysupotencial heurísticoenlaresolucióndeproblemasylosprocesosdejustificaciónysupotencialpedagógico paradarsentidoalaorganizacióndeductivadelconocimientomatemático.
Consecuentemente,explotamoslacapacidaddinámicaquetieneunsoftwaredegeometría dinámica,comounmediadorentreelconocimientogeométricoyelindividuo.Elobjetivoesque losestudiantessistematicensusobservaciones,conjeturasyargumentacionesparaquelas refinen,einducirunacercamientoalaconstruccióndelascónicas.
ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 232 Formalización Enestaúltimaetapa,hacemosuso,conmayorénfasis,latécnicadelDebateCientífico(Legrand, 1993/2006).ElDebateCientíficoesentendidocomoaquelqueseinstauraentrelosestudiantesa partirdesituacionesproblemáticasintroducidasporelprofesor,oapropósitodecuestioneso conjeturasquelosmismosestudiantesaportan.Eldebatecientíficoesaquelenelquelos enunciadosquesetrabajansonconjeturalesytodoalumnopuedesometersuspropiasconjeturas algrupodetrabajo,cabemencionarlaimportanciadeunambientequepermitaestaaperturasin temoraquelasaseveracionesqueserevelenfinalmenteequívocasnoproduzcanmalestarentre quienlasevocó.
Enesesentido,dentrodeestametodología,secaracterizanlasformasdecomportamientodel alumnoydelprofesor,asícomoelestablecimientodelosrolesquedesempeñan.
Eljuegodelalumno.Sedaunanegociacióndidácticaenlaqueéstevaaatenderyanalizarlas aseveracionesypropósitosdesusigualesy,porotraparte,debeconvencerlosdequesus participacionessonaceptables.LoquesebuscaesNOcentrareltrabajoalrededordela opinióndelinstructor.
Existepuesunfundamentoepistemológicodeladidácticadeldebatecientíficosehace necesariotomarencuentalasconjeturas,comoelencadenamientodeideasquevana considerarsecomoverdaderas,laspruebaspersonalesparaquepuedapersuadirsealos demásdelaveracidaddetalesconjeturas.Enestesistema,el“alumnoͲmatemático”tiene porinterlocutorasuminiͲcomunidad,esdecir,conjuntodepersonasconlasqueinteractúa. Eljuegodelprofesor.Exigejugarsimultáneamenteuntriplejuego:epistemológico,didáctico ysocial.
×Desdeelpuntodevistaepistemológico,afindequepercibalosdiferentesnivelesde
argumentación que se presenten y ayude al microuniverso a captar lo que está
fundamentalmenteenjuego.
×EneljuegoDidáctico,setrataprimordialmentedepermitiralosestudiantesintroducirse enproblemáticascientíficasdifícilesconservandounsentidoimparcial,construyendoun historial de las ideas fuertes, llevando una bitácora personal, de tal forma que permaneciendoneutro,formeunamemoriadelaclase.
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233 ×EnelsentidoSocial,setomandosperspectivas,porunlado,sehacenecesariasu
presenciaafindeorganizarlasparticipacionesdelosasistentes,yevitarundescontrol; porelotro,elcoordinadordeberedefinirsuestatussocialyhaceraunladolaimagen tradicionalcomoespecialista;enpocaspalabras,deberenegociarelcontratohabitual. Conestetipodemetodología,sebuscaqueunapartedelasconjeturaspropuestasporlos alumnos,despuésdeserprobadas,seconserven;seleccionandoentrelasintuicionesespontáneas quesonprofundasyquevanaproporcionarafirmacionesyaquellasquesonmuyintuitivasyque desembocanenresultadosfalsos.Sepresentaporlotantountripleproblema:loqueesfalso,la identificacióndeprocedimientosparaconservarloprobadocomoverdaderoylaadquisiciónde unsentidocrítico.
Loanteriorimplica,queconlaimplementacióndelDebateCientíficopormediodelaconstrucción ydiscusióndeideasgenerales,losrazonamientosenelloutilizadosseannecesarios,accesiblesy naturales,buscarquelosalumnos,puedanmanipularlasmatemáticas,paraquefinalmentea partirdeenunciadosgeneraleslesatribuyansentidoscompatiblesconlosdelmatemático profesionalyfinalmenteelaccesoaunaformadediscursoqueconfiereaaquellosqueladominan ciertaautonomíadepensamiento.
Hacemosusodeestatécnicaconelobjetivodeconducirlosargumentosempleadosporlos estudiantes,enlaconstruccióndelascónicas,hacialadefinicióncomolugargeométricoysu definiciónanalítica.
Conclusión
Enelaula,debendesarrollarseexperienciasquepermitanalestudiantetransitardesuscreencias personalesalasconcepcionesaceptadascomoválidas,conelpropósitodegenerarconviccionesy permitir eliminar ambigüedades en el proceso de elaboración colectiva del conocimiento matemático,esdecir,validarsusaseveraciones.
Invitamosalareflexiónacercadelasconcepcionesycreencias,sobrelosdistintosmodosde actuarenelaulaydelosdistintosmomentosqueatraviesaunestudianteenelcaminoala construccióndelascónicas.Presentamoslapropuestadeuncaminodeaccesoalaconstrucción delascónicas,víaelreconocimientodelasherramientasheurísticasdelestudianterescatando
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aquellas ideas elementales que conforman la definición de los conceptos matemáticos
involucrados,reflexionandosobreelprocesopropiodelaconstrucción.
Consideramospertinentequelaactividaddeenseñanzasobrelaconstruccióndeconceptos geométricos,debetomarlaprecaucióndellevaralestudiantealageneralización,sinbrindar conceptos y definiciones concluyentes de forma inmediata, procurar que se identifique gradualmenteconlosmétodosdelacienciaydesarrollarsuindependenciadepensamiento mediantelarealizacióndetareascreadoras.
Referenciasbibliográficas
García,J.,(S.f.)Construccionesgeométricascondoblecesdepapel.Obtenidoennoviembre12,
2006, del sitio Web del Proyecto Estímulo del Talento Matemático:
http://www.uam.es/proyectosinv/estalmat/.
Larios,V.(2007)El software para geometríadinámicacomomediador semióticoentrela geometríayelalumno.MemoriasdelaXIIConferenciaInteramericanadeEducaciónMatemática. (pp.281Ͳ288)Querétaro,México.
Legrand,M.(2006)Debatecientíficoencursosdematemáticasyespecifidaddelanálisis(E. Locia)Traducciónnopublicada.UniversidadAutónomadeGuerrero,México.(Trabajooriginal publicadoen1993).
Ministerio de Educación Nacional (2004) Pensamiento Geométrico y Tecnologías
Computacionales.ProyectodeNuevasTecnologíasalCurrículodeMatemáticasdelaEducación BásicaSecundariayMediadeColombia.DireccióndeCalidaddelaEducaciónPreescolar,Básicay
Media. Colombia. Obtenido en abril 12, 2006, de
http://www.colombiaaprende.edu.co/html/mediateca/1607/articlesͲ113753_archivo.pdf
VanHiele,P.M.(1990).Elproblemadelacomprensión,enconexiónconlacomprensióndelos escolaresenelaprendizajedelaGeometría(Deproblematiekvanhetinzicht,gademonstreedaan hetinzichtvanschoolkindereninmeetkundeͲleerstof).Tesisdoctoral.UniversidaddeUtrecht, Holanda.
ComitéLatinoamericanodeMatemáticaEducativaA.C. 235 ElcasodelaElipse Instrucción Construcción Apelandoalaintuición TomaunrecorteenformadecírculoymarcaunpuntoP distintodelcentroO.Marcaelpuntoyelcentroporlosdos lados,parafacilitarlavisiónaldoblar. DoblaelcírculodeformaquelacircunferenciapaseporPy desdobla. Repitelaoperaciónvariandoeldoblezdeformaquevaya
girandoporlospuntosdelacircunferencia.
¿Quéfiguradelimitanlosdobleces?,¿Quépapeldesempeñan elpuntoPenlafigura,lacircunferenciayO?¿Essimétricala figura?Deserasí,¿cuántosejesdesimetríatiene?¿Cuálesla
relacióndeéstosconlospuntosPyO?
Supongamoselradiodelacircunferenciaesryfijémonosen undoblez.MarcaelpuntoP’quealdoblarcaesobrePy desdoblayremarcaconunlápizlalíneadeldoblez.Unecon lápizP’conelcentro(asíOP’=r)yllamaMalpuntode interseccióndeOP’conlalíneamarcadaporeldoblez. ¿QuépodemosdecirdeP’MyMP?,¿CuántosumaOM+ MP?, ¿Qué argumento geométrico valida tu respuesta?, ¿Sucederálomismoconotrosdobleces?
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236 Hacialavisualizacióndinámica
Haciendousodelsoftware,enuncírculoconcentroO, escogemosunpuntoParbitrarioydiferentedelcentro.Con elcompás,setrazaunacircunferenciadeigualradioquela primerayconcentroenP,concentro(mover)enesta segundacircunferenciasetrazaotradeigualradio.Aligual queeneldobladodepapel,sebuscaqueestatercera circunferenciaalrotar,siempretoqueelpuntoP.
Setrazaunarectaquepasaporlainterseccióndelaprimera ylaterceracircunferencia.
Ocultandolostrazosinnecesariostendríauna apariencia similaraladeldobladodepapel.
Ledamostrazaalarectayanimaciónalpuntomovery
podemosverlafiguraquedescribenlasrectas.
UsandosimetríaaxialseencuentraelsimétricoP’deP.La
rectaesmediatrizdelsegmentoPP’,setrazaelradioOP’.A lainterseccióndelradioylarectalellamamosM.Comoel
triángulo MPP’ es isósceles MP’=MP, el radio OP’ =
OM+MP’=OM+MP,asílasumadelasdistanciasdeMOyMP
essiempreconstante,igualalradioOP’.
¿Quépuedesdecirde lossegmentosPM yP’M?,¿Qué importanciatienelospuntosMyO?,¿Yelradiodela
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Le damos traza al punto M y animación a mover, y
obtenemoslaimagendeunaelipse.
¿QuépasasiacercamosPaO?,¿Quépuedesdecirdela longituddelossegmentosMPyMP’?,¿Cuáleslalongitudde OP’?,¿CuáleslasumadelaslongitudesdeOMyMP?
Hacialaformalización
Sehacelaidentificacióndeltriángulocaracterísticoydelas
propiedades intuitivamente construidas dando paso
mediantesuubicaciónenelplanocartesiano.Finalmente,
seconstruyelaecuacióncorrespondientea ,
apartirdelosconceptosdedistanciaydelaubicaciónde
puntospreviamentedeldominiodelestudiante.
