INVARIANTES, PARIDAD
Un invariante es una cosa o una cantidad que no cambia. Muchos problemas se resuelven buscando algo que no cambia cuando el problema se simplifica. En muchas ocasiones lo que no cambia es la paridad, el ser par o impar.
Un sencillo principio matemático que da mucho más juego del que parece a primera vista es la simple distinción entre los números pares e impares. Conviene tener presente las siguientes propiedades, todas ellas muy fáciles de demostrar:
¾ Los números pares e impares se van alternando así que, para cualquier número entero n, los números n y n+1 tienen paridades distintas. De forma más general, n y n+ a tienen distinta paridad siempre que a sea impar y tienen la misma paridad si a es par.
¾ La suma de dos números con la misma paridad es siempre un número par mientras que la suma de dos números de distinta paridad es siempre impar.
¾ El producto de dos números en el que al menos uno de ellos es par siempre es par; el
producto de dos números impares es impar.
La idea del test de paridad es realmente sencilla y consiste en que un número impar no se puede obtener como suma de números pares. Aunque se trata de un enunciado verdaderamente simple los problemas que utilizan esta idea no lo son tanto.
La razón de esto es que no siempre es evidente que haya que aplicar el test de paridad. En varios problemas donde hay que decidir si lo que se nos propone es o no posible hay algo que permanece invariante y eso es muchas veces la paridad.
Veamos distintos problemas donde subyace oculta la paridad y en los que se puede aplicar esta prueba.
Actividad 1
Escribe 6 ceros y 5 unos en una fila en el orden que quieras en tu cuaderno. Hacemos un juego que consiste en tachar cada vez dos números y:
¾ si los dos números que quitas son iguales, escribe en lugar de los dos números que has quitado 1 cero.
¾ si los dos números son distintos, escribe en lugar de los dos números que has quitado 1 uno.
1. ¿Cuántas veces puedes jugar hasta que te quede un solo número? 2. ¿Qué número sale al final?
3. ¿Qué hubiera pasado si, con las misma reglas, hubieras empezado con 5 ceros y 6 unos?
Imagina que has escrito en tu cuaderno los números del 1 al 15. Se permite quitar dos números a y b y sustituirlo por su diferencia a-b.
¾ ¿Puede quedar al final 1 cero?
ACTIVIDAD 2
Algunas preguntas fáciles de contestar si se piensa en la paridad. Intenta redactar de manera clara la respuesta.¾ Quieres medir 125 cc de agua y dispones de tres recipientes de 1, 5 y 25 cc. ¿Puedes hacerlo con 10 mediciones de los mismos?
¾ Alicia compró un cuaderno de 96 hojas y numeró sus páginas desde el 1 al 192. Pedro señaló 25 de esas hojas y sumó los 50 números que marcaban. ¿Pudo obtener 2000 como suma?
¾ ¿Se pueden elegir 22 enteros cuyo producto sea 1 y su suma 0?
¾ Un cuadrado mágico consiste en una distribución de números en filas y columnas, formando un cuadrado, de forma que los números de cada fila, columna y diagonal suman lo mismo. Por ejemplo:
6 3 13 8 9 4 10 7 14 11 5 0
1 12 2 15
La pregunta es: ¿Se puede formar un cuadrado mágico con los 36 primeros números primos?
¾ Consideremos un tablero de ajedrez en el que se quitan dos esquinas diagonalmente opuestas. ¿Es posible cubrir el tablero con fichas de dominó, cada una de ellas del tamaño de dos cuadros del tablero?
ACTIVIDAD 3
En un tablero de 5 x 5 se colocan los números 1, 2, 3, 4 y 5 de forma que en los cuadraditos simétricos de la diagonal principal se pone el mismo número y no hay ningún número repetido en ninguna fila ni en ninguna columna. ¿Puedes haber puesto dos números iguales en la diagonal principal?
Y si usas un tablero de 4 x 4 donde colocas los números 1, 2, 3 y 4 con las mismas reglas que antes, ¿qué sucede? (Indicación: Este problema se basa en el anterior.)
ACTIVIDAD 4
¾ En un tablero de ajedrez, un caballo está en cierta posición y retorna ella después de 19 movimientos.
• ¿Es esto posible?. ¿Puede llegar a otra casilla del mismo color?.
• Si hace 20 movimientos, ¿puede volver a la casilla en la que estaba?
¾ En un tablero de damas de 8 x 8 colocamos 25 damas de forma simétrica respecto a una de las diagonales
¿Puede no haber ninguna dama en esa diagonal? ¿Tiene que haber una dama en esa diagonal? ¿Cuántas tiene que haber?
¾ Responde ahora a las mismas preguntas si cambia el tamaño del tablero y ahora es de 15 x 15.
¾ Vuelve a responder a esas preguntas si en cualquiera de los casos anteriores nos encontramos con que colocamos 20 damas.
ACTIVIDAD 5
¿Sabes cómo se juega al dominó?
Colocamos todas las fichas de dominó en cadena y resulta que un extremo de la cadena es un 5. ¿Qué número hay en el otro extremo?
Seguimos con el dominó. De las 28 fichas, quitamos las siete en las que aparece algún cuadrado en blanco. ¿Podemos formar una cadena con las 21 restantes?
Principio del palomar o principio de Dirichlet
Imagínate en un parque observando un montón de palomas. Las cuentas y son 23. De repente suena un ruido que las asusta y se van volando todas al palomar que está enfrente y se esconden en los agujeros del palomar. Los cuentas y son 20. No hace falta ser un lince para concluir “que al menos dos palomas se han refugiado en el mismo agujero”. Este Hecho sin importancia aparente, suele recibir el nombre de principio del palomar o principio de
Dirichlet: si m palomas ocupan n nidos y m es mayor que n, entonces hay al menos un nido con dos o más palomas.
Dirichlet, uno de los matemáticos famosos del siglo XIX, lo utilizó extensamente trabajando en teorías de números y logró con él resultados sorprendentes y profundos.
ACTIVIDAD 6
¾ Supongamos que tenemos 10 palomas y 9 palomares donde pueden anidar. a) ¿Podemos asegurar que en cada palomar hay alguna paloma?
b) ¿Podemos asegurar que en algún palomar hay más de una paloma?
c) ¿Puedes responder a las mismas preguntas si tuviéramos 18 palomas y 17 palomares?
d) ¿Y si en general hay N+1 palomas y N palomares.
¾ Una caja contiene bolígrafos de cuatro colores, azul, negro, rojo y verde. ¿Cuál es el menor número de bolígrafos que tenemos que sacar de la caja para estar seguros de que hay al menos dos de un color?.
¾ En la nariz de los seres humanos hay un número de células olfativas que no supera los 5000000. En Andalucía hay 7500000 de personas. Justifica que hay dos personas que tienen exactamente el mismo número de células olfativas.En España hay 43500000 personas. Nos preguntamos que cuántas personas habrá con el mismo número de células olfativas. ¿Cuántas podemos asegurar que hay?
¾ En una frutería hay 25 cajas de manzanas que son de tres tipos y cada caja contiene manzanas de una sola clase. Justifica que hay al menos nueve cajas que tienen el mismo tipo de manzanas.
¾ En esta clase hay 25 alumnos. ¿Cuántos de vosotros habéis nacido como mínimo el mismo mes?
ACTIVIDAD 7
¾ Tenemos un cuadrado cuya diagonal mide 3 cm y marcamos en él 10 puntos al azar. Demuestra que siempre tendremos dos puntos que están a distancia no mayor que 1 cm.
¾ Y ahora con un cuadrado de 1 m. de lado en el que marcamos en él, al azar, 51 puntos. Prueba que al menos tres de ellos están incluidos en un cuadrado de 20 cm. de lado.
¾ En una excavación arqueológica se ha extraído un bloque de mineral translúcido, de forma cúbica y 30 centímetros de arista, que contiene en su interior 85 insectos fosilizados. Razonar que a partir de este bloque puede obtenerse otro cubo de 11 centímetros de arista, que contenga, al menos, 4 de esos insectos.
ACTIVIDAD 8
¾ SUMA : Probar que dados cinco números naturales, siempre es posible elegir tres de ellos cuya suma es múltiplo de tres.
¾ RESTA: (Veamos previamente una propiedad de la división)
Calcula los restos de dividir los número 127 y 93 entre 7; calcula ahora el resto de dividir 127 – 93 entre 7. ¿Qué relación hay entre ellos?
Si el resto de dividir el número a entre 7 es r1 y el resto de dividir b entre 7 es r2, ¿cuál es el resto de dividir a-b entre 7?
¿Y si el divisor es un número cualquiera? Si dos números dan el mismo resto al dividirlo entre un tercero, ¿qué se puede decir de su diferencia?
¾ Escojamos al azar seis números naturales. ¿Podemos asegurar que siempre hay dos de ellos cuya diferencia es múltiplo de 5?