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PRINCIPIO DE MINIMA ENERGIA POTENCIAL COMPLEMENTARIA. Principio de Mínima Energía Potencial Complementaria

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Academic year: 2021

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(1)

Apéndice A

Principio de Mínima Energía Potencial Complementaria

A.1- Introducción

Se define como energía potencial complementaria * para sistemas elásticos a la expresión:

* Wi* R Ui. i

 

(Ec. A.1)

* :

Es una función cuyas variables son fuerzas (o tensiones) * :

i

W Es la energía de deformación complementaria función de fuerzas (o tensiones).

:

i

U Son desplazamientos conocidos y Ri son fuerzas desconocidas aplicadas en los

puntos cuyo desplazamiento es conocido.

A continuación se analiza el significado de cada uno de los términos que conforman la E.P.C.

Recuérdese que un sistema se dice elástico si la curva de descarga coincide con la curva de carga (Figura A.1) de modo que al retirar la carga no quedan deformaciones permanentes ni se ha disipado energía.

(2)

Figura A.1

Ciertos materiales que se comportan como elásticos para pequeñas velocidades de carga pueden comportarse como elásticos pero viscosos, es decir que para variaciones relativamente “rápidas” de la carga exhiben un ciclo de histéresis.

La energía de deformación complementaria corresponde al área de la región sombreada de la Figura A.2. La denominación de energía complementaria resulta obvia por ser el complemento respecto de la energía interna de deformación, cuya suma es igual al área del rectángulo P e. .

Figura A.2

Aunque el principio de mínima energía potencial complementaria (P.M.E.P.C.) que se enuncia a continuación es válido para sistemas elásticos en general (lineales o no lineales) en el presente contexto se utilizará únicamente en sistemas linealmente elásticos. Para sistemas lineales Wi* es numéricamente igual a Wi pero el asterisco indica que Wi* está en función de

fuerzas o solicitaciones, y no en función de los desplazamientos o deformaciones como es el caso de Wi. i W * i W

(3)

Figura A.3

Al segundo término, 

R Ui. i

, no se le asigna significado físico específico, aunque por su expresión representa un “trabajo mecánico”; en realidad, para cargas estáticas, es decir cargas aplicadas en forma progresiva a medida que se producen las deformaciones, estos términos representan el doble (con signo cambiado) del trabajo realizado por las fuerzas desconocidas Ri aplicadas en los puntos de desplazamiento conocido Ui.

Las fuerzas desconocidas (a priori) Ri son normalmente denominadas “reacciones de

apoyo”. Recuérdese que se define como apoyos a los puntos cuyo desplazamiento se conoce (en la mayoría de los casos los desplazamientos conocidos son nulos por lo que la sumatoria tiene habitualmente pocos términos o bien ninguno).

El producto R Ui. i tiene signo positivo si el desplazamiento prefijado Ui tiene el mismo sentido que la incógnita, en caso contrario tiene signo menos. Todo esto es independiente de signo menos en la expresión (Ec. A.1).

Como ejemplo considérese la viga de la Figura A.4 cargada uniformemente.

1 l l2 1 R 2 R i W * i W

(4)

Momento flector en una sección genérica x (Ec. A.2) 2 1 . ( ) . 2 q x M xR x 0xl1

2 1 2 1 . ( ) . . 2 q x M xR x R x ll1xl1l2

La energía de deformación por flexión (despreciamos la energía de deformación por corte) es: 1 2 2 0 * . 2. . l l i i M W W dx E I   

(Ec. A.3)

Por ser nulos los desplazamientos en todos los apoyos, se tiene que: * Wi*

 (Ec. A.4)

Según la (Ec. A.2) el momento flector M es una función lineal en las variables R R1, 2. La expresión (Ec. A.3) ilustra que la energía de deformación complementaria es una función cuadrática en las variables R R1, 2.

Debe reconocerse que las variables de la función Wi* y consecuentemente * según

(Ec. A.4), son R R1, 2, mientras que “x” es una variable auxiliar para realizar la integración en (Ec. A.3).

Si en un tramo además de la carga distribuida "q" hay una carga concentrada P, para calcular la energía interna (o la complementaria) de ambas cargas es necesario en primer término calcular el momento flector total: MP q, MPMq

Figura A.5 Está claro entonces que:

 

2 2 2 , P q P q M M M         (Ec. A.5) 1 R R2

(5)

O sea que para calcular la energía interna total de “P” y de “q” hay que calcular primero el momento flector total M(x) y luego evaluar la integra de la (Ec. A.3):

2 1 . ( ) . 2 q x M xR x 0xa (Ec. A.6)

2 1 . ( ) . . 2 q x M xR x P x a 0 xl1

2 1 2 1 . ( ) . . . 2 q x M xR x P x a R x ll1xl1l2

La integral de la (Ec. A.3) se evalúa sobre tres intervalos de la variable “x”.

Si se tiene una viga como en la Figura A.6 con un apoyo elástico y un desplazamiento prefijado , se debe considerar al resorte como parte del sistema elástico agregando la energía correspondiente: Figura A.6

 

1 2 2 2 2 0 * . 2. . 2. l l i R M W dx E I K  

 (Ec. A.7)

Luego la energía potencial complementaria es:

 

1 2 2 2 2 1 2 0 * . . 2. . 2. l l R M dx R E I K  

  (Ec. A.8)

Esta expresión pone nuevamente en evidencia que * es una función cuadrática en las variables R1 y R2. 1 R 2 R 2 l 1 l

(6)

A.2- Enunciado del Principio de Mínima Energía Potencial

Complementaria

En el ejemplo que ilustra la Figura A.7 cualquier par de valores para las fuerzas R1 y R2 satisface equilibrio ya que el empotramiento en el nudo 3 producirá siempre las reacciones necesarias para lograr el equilibrio.

Figura A.7

Las reacciones de apoyo en el empotramiento resultan funciones de R1 y R2, y se

calculan a través de las ecuaciones de equilibrio de la estática (suma de fuerzas y suma de momentos iguales a cero).

De entre todos los pares de fuerzas R1 y R2 que satisfacen equilibrio existe uno sólo que además cumple con las condiciones de compatibilidad.

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de fuerzas en equilibrio cumpla compatibilidad está dada por el principio de mínima energía potencial complementaria P.M.E.P.C.

De entre todos los sistemas de fuerzas en equilibrio aquel que hace mínimo a * es el único que cumple las condiciones de compatibilidad.

* Equilibrio COMPATIBILIDAD mínimo     

Es fundamental reconocer que el sistema de fuerzas debe estar en equilibrio para que *

mínimo implique compatibilidad. En general * debe ser expresado únicamente en función de las incógnitas hiperestáticas Xi y por lo tanto, el número de incógnitas es igual al grado de

hiperestaticidad.

Adoptando un sistema isostático sobre el que actúen además de las cargas exteriores, las incógnitas o fuerzas hiperestáticas, se puede asegurar que el sistema cumple equilibrio. En efecto, bastará determinar las reacciones de apoyo del isostático

1

(7)

planteando ecuaciones de equilibrio estático. Dichas reacciones no constituyen nuevas variables del problema ya que pueden expresarse en función de las incógnitas hiperestáticas.

Si se consideran más incógnitas independientes que las estrictamente necesarias la condición de mínimo puede lograrse sin respetar el equilibrio y el resultado no tiene sentido. En general * presenta términos cuadráticos en las variables Xi provenientes de Wi* y términos

lineales provenientes de 

R Ui. i

.

Las condiciones para que la función * pase por un mínimo son:

1 * 0 X    ; 2 * 0 X    ; ……. ; * 0 n X    (Ec. A.9)

La (Ec. A.9) es por lo tanto un sistema de ecuaciones lineales que permite determinar los valores de las fuerzas incógnitas Xi.

Volviendo al ejemplo de la viga de la Figura A.7 y recordando que existe equilibrio para cualquier par de fuerzas R R1, 2 se puede representar *como función de las variables R1 y R2.

*

Tiene la forma de un paraboloide de eje vertical.

Figura A.8

El valor mínimo de *, vale decir 0*, no tiene ningún significado físico ni utilidad

práctica específica, razón por la cual normalmente que es necesario calcular su valor numérico. Lo que realmente interesa es el punto para el cual se produce el mínimo

R10,R20

, ya que corresponde al valor de las fuerzas que cumplen las condiciones compatibilidad (además de las de equilibrio).

0 0

1 , 2 R R 0 1 R 0 2 R 1 R 2 R *

(8)

El Principio de Mínima Energía Potencial Complementaria (P.M.E.P.C.) tiene un campo de aplicación más amplio en la teoría de las estructuras que la que se analiza en el presente curso, siendo aplicable a sistemas isostáticos e hiperestáticos en general. También se pueden calcular tensiones

 , ,etc

en función de los esfuerzos

M M etc, t,

.

En el presente contexto se aplicará el P.M.E.P.C. exclusivamente a la resolución de problemas hiperestáticos en estructuras de barras.

A.3- Método de las Fuerzas como aplicación del P.M.E.P.C.

Volviendo sobre la viga de la Figura A.4 se demostrará que las ecuaciones del sistema (Ec. A.9) son exactamente las ecuaciones de compatibilidad del método de las fuerzas si se eligen como incógnitas hiperestáticas a las reacciones de apoyo X1 y X2.

Figura A.9

Se podemos expresar el momento flector en cualquier sección del sistema hiperestático como:

0 1. 1 2. 2

MMX MX M (Ec. A.10)

Donde:

0:

M Es el momento causado por las fuerzas exteriores en la estructura isostática fundamental

1:

M Es el momento flector causado por una fuerza unitaria colocada en el punto de aplicación de la incógnita hiperestática X1.

2:

M Es el momento flector causado por una fuerza unitaria colocada en el punto de aplicación de la incógnita X2.

La primera ecuación de (Ec. A.9) es:

1 * 0 X    (Ec. A.11)

Según (Ec. A.3) y (Ec. A.4) se tiene:

1

(9)

1 2 2 1 1 1 0 * * . . 2. . l l W M dx X X X E I         

(Ec. A.12)

Introduciendo la derivada parcial dentro del signo integral y aplicando la regla de la cadena, se tiene: 1 2 1 2 1 1 0 1 0 * . . . . . . l l l l M M M dx M dx X E I X E I       

(Ec. A.13)

Ya que según (Ec. A.10): 1

1 M M X   

Reemplazando en (Ec. A.13) el momento M según (Ec. A.10) y recordando (Ec. A.11) se obtiene: 0 1 1 2 2 1 . . . . 0 . M X M X M M dx E I   

(Ec. A.14) 0 1 2 1 1 1 2 1 . . . 0 .  .  . 

M M dx X

M M dx X

M M dx E I E I E I O sea: 01 X1. 11 X2. 12 0  (Ec. A.15)

Que es la ecuación de compatibilidad correspondiente al "corte" donde actúa la incógnita hiperestática X1.

Conclusión:

Las condiciones de * mínimo representan directamente las ecuaciones de compatibilidad del Método de las Fuerzas.

Vale decir que el P.M.E.P.C. provee una forma alternativa de plantear las ecuaciones de compatibilidad.

La expresión (Ec. A.10) se consideró sólo para ilustrar que la aplicación del P.M.E.P.C. a un problema hiperestático puede conducir a las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones. Para aplicar el P.M.E.P.C. a una viga o pórtico se puede omitir el planteo de los estados "0", "1", "2", etc. que es imprescindible en el caso de aplicar trabajos virtuales. Se puede plantear directamente el momento flector en cada tramo, tal como se hizo en las (Ec. A.2) y (Ec. A.6), para luego calcular:

* . i i W M M dx X X    

 (Ec. A.16)

(10)

Este procedimiento resulta más simple que calcular primero la integral para M2 y luego derivar. Si en algún tramo se anula el término

i

M X

 , la integral en ese tramo también se anula.

El momento flector se expresa como si se tratara de un problema isostático considerando a las Xi como cargas exteriores.

Para la viga de la Figura A.10 se tiene:

Figura A.10

Tramo Momento Flector 1

M X   2 M X   1-2 2 1 . . 2 q x X x 0xl x 0 2-3

2 1 2 . . . 2 q x X x X x llx2.l x

x l

 

2. 2 2 1 1 2 1 0 0 2. 2 1 2 2 0 * 1 . 1 . . . . 0 . 2 . 2 * 1 . . . . 0 . 2 l l l q x q x X x x dx X x X x l x dx X E I E I q x X x X x l x l dx X E I                     

(Ec. A.17) 3 3 4 1 2 3 3 4 1 2 8 5 . . . . 2. . 3 6 5 2 17 . . . . 6 6 24 l X l X q l l X l X q l          1 11 . . 28 Xq l 2 32. . 28 Xq l

Si se agregan dos desplazamientos prefijados como en el caso de la Figura A.11, se obtiene:

1

(11)

Figura A.11

" "

1 1 2 2

* Wi igual que en el caso anterior U X. U X.

     (Ec. A.18)

Las condiciones de mínimo son:

" " 1 1 " " 2 2 * 0 * 0

igual que en el caso anterior

igual que en el caso anterior

W U X W U X                   (Ec. A.19)

Recuérdese que en (Ec. A.19) U1 y U2 son los módulos de los desplazamientos prefijados. El sentido de los mismos se tuvo en cuenta al plantear el segundo término del segundo miembro de (Ec. A.18). (Si Ui tiene igual sentido que Xi el producto U Xi. i es

positivo).

Analícese ahora qué ocurre si se consideran como incógnitas hiperestáticas a los momentos flectores sobre los apoyos como en método de tres momentos.

Figura A.12

Expresando todo en función de las nuevas incógnitas X1 y X2, comenzando por las reacciones de apoyo R1 y R2: 1 X 1 X 1 U 2 U 1 R R2 i l ld X2 1 X 1 X 2 i R 2d R 1 R R3 2 X 1 X X2 1 U 2 U

(12)

1. 1 . . 0 2 i i i l R lXq l   1 1 . 1 . 2 i i q l R X l  

2. 1 . . 0 2 i i i i l R lXq l

2 . 1 2 . . 0 2 d d d d l R lXXq l  2 2 2 i d RRR  2 1 2 1 1 1 . . . 2 i d i d d l l R q X X l l l            

2 1 1 2 2 * . . . 2. . M dx R U R U E I

   2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 * . . . . 2. . 2 2 i i d i i d d l l l M dx q X U q X X U E I l l l l                               

El momento en la estructura hiperestática como superposición de los estados isostáticos "0", "1" y "2" será:

0 1. 1 2. 2 MMX MX M

Los términos del segundo miembro de esta expresión difieren de (Ec. A.10) porque la estructura fundamental ha cambiado. Se trata de dos vigas simplemente apoyadas y los estados auxiliares corresponden a momentos unitarios sobre los apoyos.

Aplicando ahora la condición de mínimo tenemos:

3 1 2 1 1 ( ) * . . 0 . i i d a U U U M M dx X E I l l l       

 2 2 2 ( ) * . . 0 . d b U M M dx X E I l        



Los términos ( )a y ( )b provienen de derivar 

R Ui. i

.

0 1 2 1 1 1 2 1 0 1 2 2 1 2 2 2 . . ( ) . . . 0 . . . . . ( ) . . . 0 . . . M M M M dx a X M dx X M dx E I E I E I M M M M dx b X M dx X M dx E I E I E I              

(Ec. A.20)

Nuevamente las expresiones de la (Ec. A.20) deducidas del P.M.E.P.C. coinciden exactamente con las ecuaciones de tres momentos. Los términos ( )a y ( )b coinciden con los

(13)

términos de carga provenientes de los desplazamientos prefijados de los apoyos. Aquí no hay ningún problema de signo si se respeta la sencilla convención adoptada. Este ejemplo muestra que es conveniente tomar a las fuerzas Ri asociadas a desplazamientos prefijados Ui como

incógnitas hiperestáticas ya que se simplifica la expresión 

R Ui. i

.

P.M.E.P.C. aplicado a reticulados hiperestáticos

Si bien los ejemplos precedentes se refieren a vigas, el P.M.E.P.C. también puede aplicarse también a sistemas reticulados. Sea por ejemplo el reticulado hiperestático de la Figura A.13.

Figura A.13

Todos los desplazamientos conocidos son nulos, luego:

 

2 11 1 1 * * . . 2 j j j N W A E l         

(Ec. A.21)

Expresando Nj en función de X1 y X2 recurriendo a los estados "0", "1" y "2":

1 X 2 X 2 X 1 X

(14)

Resulta:

0 1. 1 2. 2

j j j j

NNX NX N (Ec. A.22)

Se plantea ahora la condición de mínimo * igualando a cero las derivadas parciales de

*

con respecto a cada una de las incógnitas Xi.

Como ejemplo se desarrolla la primera de las ecuaciones de compatibilidad:

 

2 11 11 1 1 1 1 1 * 1 . . . 0 . . 2 j j j j j j j N N N A E A E X X X l l                       

(Ec. A.23)

Introduciendo (Ec. A.22) en (Ec. A.23) se obtiene:

11 11 11 0 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 . . . 0 . . . j j j j j j j j j N N N N X N X N A E A E A E l l l                                    

(Ec. A.24)

Aquí no existe ninguna diferencia operativa con el método de las fuerzas aplicando trabajos virtuales.

A.4- Teorema de Castigliano (1875)

Partiendo de la expresión de la energía potencial complementaria:

* Wi* R Ui. i

 

Las condiciones de mínimo exigen que: * 0 i i i W U R     De donde: * i i W U R    (Ec. A.25)

La (Ec. A.25) expresa el Teorema de Castigliano:

La derivada parcial de la energía potencial complementaria expresada en función de las fuerzas externas respecto a una de estas fuerzas, es igual al desplazamiento de su punto de aplicación, medido en la dirección y sentido de la fuerza.

(15)

El teorema de Castigliano permite también calcular el desplazamiento de un punto "i" en que no actúa una fuerza externa. Se agrega al sistema una fuerza ficticia Xi aplicada en "i" en la

dirección del desplazamiento buscado, se expresa W* en función de Xi y después de derivar se

impone Xi 0.

Teorema de Menabrea (1858)

En el caso de apoyos rígidos, todos los desplazamientos conocidos son nulos por lo que las condiciones de mínimo resultan:

* 0 i W X    (Ec. A.26)

La expresión (Ec. A.26) expresa el teorema de Menabrea o segundo teorema de Castigliano, o también teorema del trabajo mínimo.

En un sistema hiperestático de apoyos rígidos, sometido sólo a fuerzas exteriores de valores dados, las reacciones hiperestáticas toman valores tales que hacen mínimo al trabajo de deformación.

El teorema de Menabrea es anterior al trabajo de Castigliano, pero por ser este último autor quien utilizó metódicamente estos conceptos en una diversidad de cálculos prácticos es que se conocen ambos teoremas anteriores como el primer y el segundo Teorema de Castigliano.

El P.M.E.P.C. es una generalización del Teorema de Menabrea. Asimismo puede considerarse como una generalización de los teoremas de Castigliano. Dicho principio es una expresión variacional del trabajo de deformación conocido también como Teorema de Domke.

En ocasiones durante el curso, por brevedad, se refiere al P.M.E.P.C. en forma genérica como” Teorema de Castigliano”.

A.5- Efectos térmicos en el P.M.E.P.C.

Se considera ahora una barra de reticulado que experimenta un aumento en su temperatura en un valor  t 0 sin variar sus propiedades elásticas (E=cte).

(16)

Figura A.15

La recta del diagrama Ne se corre hacia la derecha como se muestra en la Figura A.15. La energía complementaria de deformación Wi* está representada por el área del trapecio

OABD, que se compone de un triángulo AEB y un rectángulo OAED, por lo que resulta:

2 0 1 * . . 2 N W N e K   (Ec. A.27)

Para el caso  t 0 el diagrama se corre hacia la izquierda y la energía de deformación complementaria Wi*corresponde al área rayada de la Figura A.16.

Figura A.16

Nótese que la zona a izquierda del eje "N " corresponde a valores negativos de Wi*.

Para este caso sigue siendo válida la expresión (Ec. A.27) si se tiene en cuenta que e0 resulta

negativo para  t 0.

Se puede observar que tanto en la Figura A.15 como en la Figura A.16 la energía interna de deformación Wi está representada por el área del triángulo ABC.

Una manera de comprobar la validez de la (Ec. A.27) en la siguiente: N K 0 e

 

. tan A E K l   ( ) ( ) N K 0 e

 

. tan A E K l   * i W

(17)

Figura A.17

Observando la Figura A.17 se aprecia que: dW*e dN.

De donde: * W e N    (Ec. A.28)

La (Ec. A.28) expresa que la derivada de la energía complementaria de deformación es igual al valor de la elongación de la barra. (Esto es válido para sistemas lineales y no lineales).

Derivando (Ec. A.27) tenemos por (Ec. A.28):

0 * W N e e N K      (Ec. A.29)

Este resultado está de acuerdo con lo indicado en las Figura A.15 y Figura A.16, teniendo en cuenta que el signo de e0 depende del signo de t.

Para el caso de un tramo de viga de longitud dx sometida a flexión, corresponde una expresión similar a (Ec. A.27):

2 1 * . . . 2 . i M W dx M d E I    Donde d0 reemplaza a e0: d0t.dx t .

ts ti

h     * i Wt . M E I dN

(18)

La energía Wi* por flexión en un tramo de longitud "l" se obtiene integrando: 2 0 * . . 2. . l i t M W M dx E I     

(Ec. A.30)

El producto

M.t

es positivo si el signo de la curvatura causado por el momento coincide con el signo de la curvatura térmica.

Deformaciones iniciales en una barra

Para el caso de una barra que resultó " larga " o " corta " también es aplicable la (Ec. A.27): 2 0 * . 2. N W N e K  

Convención: Barra traccionada  "N" es positivo Barra " larga "  "e0" es positivo

Barra " corta "  "e0" es negativo.

Ejercicio Nº 1:

Calcular por el teorema de Castigliano el giro en el extremo B de la viga de la Figura A.19.

Figura A.19 Tomando momentos en B resulta:

2 A P X R l   2 l 2 l B R

(19)

Tramo Momento Flector M X   A-C . 2 P X x l        0 2 l x   x l  C-B . . 1 4 2 2 l z z P X l                 0 2 l z   1 2 z l         TomandoX 0 e integrando: 2 2 2 2 0 0 * 1 1 1 . . . . . . 2 . 4 2 2 16. . l l B W P x l z z P l dx P dz X E I l E I l E I               

 

    2 . 16. . B P l E I  

El signo menos indica que el sentido de B es antihorario, por ser opuesto al sentido del

momento ficticio X .

Ejercicio Nº 2:

La viga de la Figura A.20 tiene un apoyo elástico y en desplazamiento prefijado

. Se adopta como incógnita hiperestática la fuerza “X” aplicada en el punto C.

Figura A.20 2. A RX 1 x 2 x A R

(20)

Tramo Momento Flector M X   A-B 2. .X x1 0x1l 2.x1 C-B X x. 2 0x2 2.l x2 2 2 * . . 2. . 2. A R M dx X E I K

  2 1 2 1 1 2 2 0 0 2. . . * 4. .2. . . . 0 . . l l X x X x X x dx x dx X E I E I K       

3 4. 4 . 0 . l X E I K          3 4. 4 . X l E I K         (Ec. A.31)

Las dos incógnitas RA y X son:

3 . . 8 . 3 E I X l  0 A R  (Ec. A.32)

No hay equilibrio. La condición de mínimo se logra no teniendo energía en el resorte ni en el tramo AB de la viga. El resultado (Ec. A.32) sería correcto en el caso de tener un empotramiento en el punto B que asegure el equilibrio.

Figura A.21

(21)

Ejercicio Nº 3:

Resolver la viga de la Figura A.23 con desplazamientos prefijados en los apoyos B y C.

Figura A.22

Aquí no hay que considerar dos incógnitas porque hay una única incógnita hiperestática. Eligiendo como única incógnita hiperestática a la fuerza X en el apoyo C.

Tramo Momento Flector

M X   C-D X x. 1 0 1 2 l x   x1 D-B . 2 . 2 2 l XxP x   0 2 2 l x   2 2 l x        B-A .

3

.

3

2 P X lxlx 0x3l

lx3

Tomando momento respecto de A se tiene:

3 B. . . .2. 0 2 lP lX l 3 B . 2. 2 P X   3 * * . . 2. . 2 C B W X P X         

2. 0 * . . 2. . l C B M M dx X E I X      

 (Ec. A.33) 2 l 2 l B C 1 x 2 x 3 x B C

(22)

Un procedimiento alternativo sería girar la viga y considerar que el desplazamiento del apoyo B es nulo: 2. B a l l   a2.B Figura A.23 El desplazamiento del apoyo C resulta:

' 2.

C a C C B

 

* W* X. C'

 

Se ha llegado nuevamente a (Ec. A.33) de donde se despejaX :

3 13 3 . . . . 32 2 C B E I X P l     (Ec. A.34) a B C ' C

(23)

Ejercicio Nº 4:

La viga continua de dos tramos de la Figura A.24 sufre un aumento de temperatura t en la cara superior.

Figura A.24

Se elige a RB como incógnita y se aprovecha la simetría:

1 . 2 A B RR 1. . 2 B MR x 2 B M x R    2 0 * * 2. . . 2. . l t M W M dx E I     

; 0 1 . . * 2 2. . . 0 . 2 l B t B R x x dx R E I          

3 2 0 1 . . . 0 2 . 6 4 l B t R x x E I   3. . . B t E I R l   3. . . 2 B t ME I t  t A R B R t

(24)

Ejercicio Nº 5:

En la viga biempotrada de la Figura A.25 el apoyo B gira sin desplazarse un ángulo prefijado .

Figura A.25

Se elige como incógnitas hiperestáticas a la reacción RB y al momento de empotramiento

B M . . B B MR xM B M x R    B 1 M M     2 0 * . . 2. . l B M dx M E I

0 * 1 . . . . 0 . l B B B R x M x dx R E I     

  

0 * 1 . . . 1 . 0 . l B B B R x M dx M E I       

2 6. . . B E I R l   MB 4. .E I. l  (Ec. A.35) B M B R

(25)

Ejercicio Nº 6:

Estudiar el marco cerrado autoequilibrado de la Figura A.26.

Figura A.26

.

E Icte q.2.lP

Por simetría bastará considerar solo la mitad. Analizando la simetría se deduce que el corte en A es nulo.

Tramo Momento Flector

M N   M X   A-B . 2 P xX 0 1 B-C . . 2 P lXN x x 1 C-D

2 . . . 2 2. 2 P P x l x X N l l     l 1 * W*  * 0 N    ; * 0 X    ; 1 . 14 N   P ; 41. . 126 XP l 2 P

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