I. E. S. A N D R É S D E V A N D E L V I R A

(1)

I . E . S . A N D R É S D E V A N D E L V I R A D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G Í A T E C N O L O G Í A I N D U S T R I A L 1 º C U R S O : 2 0 1 1 / 2 0 1 2 © J . G a r r i g ó s P1 1 A RA Línea de cierre R1 R2 R R3 2 3 R5 R4 B RB 5 P4 P3 4 P2

(2)

I . E . S . A N D R É S D E V A N D E L V I R A D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G Í A © J . G a r r i g ó s P á g i n a 1

Í N D I C E

1 . E S T Á T I C A . . . 2

2 . E S T Á T I C A G R Á F I C A . . . 2

2 . 1 . C O M P O S I C I Ó N D E F U E R Z A S C O N C U R R E N T E S E N U N P L A N O . . . 2 2 . 2 . C O M P O S I C I Ó N D E F U E R Z A S N O C O N C U R R E N T E S . . . 4 2 . 3 . D E S C O M P O S I C I Ó N D E U N A F U E R Z A E N D O S C O M P O N E N T E S . . . 8 2 . 4 . D E S C O M P O S I C I Ó N D E U N A F U E R Z A E N T R E S : M É T O D O D E C U L M A N . . . 1 2 2 . 5 . D E S C O M P O S I C I Ó N D E U N S I S T E M A D E F U E R Z A S E N D O S C O M P O N E N T E S . . . 1 3

3 . E S T R U C T U R A S . . . 1 6

3 . 1 . D E F I N I C I Ó N D E E S T R U C T U R A S Y A C C I O N E S A Q U E S E V E N S O M E T I D A S . . . 1 6 3 . 2 . E S T R U C T U R A S R E T I C U L A R E S . . . . 1 7 3 . 3 . E S F U E R Z O S E N S I S T E M A S R E T I C U L A R E S P L A N O S . . . 1 8

4 . C Á L C U L O D E E S F U E R Z O S E N E S T R U C T U R A S P O R E S T Á T I C A

G R Á F I C A . . . 1 9

4 . 1 . C Á L C U L O D E E S T R U C T U R A S P O R E L M É T O D O G R Á F I C O D E C R E M O N A . . . 1 9 4 . 2 . C Á L C U L O D E E S T R U C T U R A S P O R E L M É T O D O G R Á F I C O D E C U L M A N . . . 2 6 4 . 3 . C Á L C U L O D E E S T R U C T U R A S P O R E L M É T O D O G R Á F I C O D E R I T T E R . . . . 2 9

A N E X O A : U N I D A D E S D E F U E R Z A . . . 3 4

P R O B L E M A S . . . 3 5

(3)

I . E . S . A N D R É S D E V A N D E L V I R A D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G Í A © J . G a r r i g ó s P á g i n a 2

1 . E S T Á T I C A

E s t á t i c a . - E s l a p a r t e d e l a m e c á n i c a q u e e s t u d i a e l e q u i l i b r i o d e l o s c u e r p o s s o m e t i d o s a f u e r z a s. A l c o n j u n t o d e p r o c e d i m i e n t o s o m e t o d o l o g í a q u e s e f u n d a m e n t a e n p r o p i e d a d e s g e o m é t r i c a s p a r a l a r e s o l u c i ó n d e p r o b l e m a s d e e q u i l i b r i o d e f u e r z a s , s e d e n o m i n a E s t á t i c a G r á f i c a o G r a f o s t á t i c a . H a s t a l a a p a r i c i ó n d e l o s p r o g r a m a s v e c t o r i a l e s d e C A D , e l m é t o d o d e l a e s t á t i c a g r á f i c a t e n í a m e n o s e x a c t i t u d q u e e l m é t o d o a n a l í t i c o m a t e m á t i c o . H o y e n d í a , l a p r e c i s i ó n p u e d e s e r l a m i s m a , y l o q u e e s m e j o r , e s t e e s m u c h o m á s r á p i d o e i n t u i t i v o , d a n d o u n a v i s i ó n m á s g e n e r a l q u e e l c á l c u l o a n a l í t i c o , q u e h a c e n d e é l u n m é t o d o m u y a d e c u a d o d e e s t u d i o p a r a l a m a t e r i a d e t e c n o l o g í a i n d u s t r i a l d e b a c h i l l e r a t o .

2 . E S T Á T I C A G R Á F I C A

2 . 1 . C O M P O S I C I Ó N D E F U E R Z A S C O N C U R R E N T E S E N U N P L A N O

E s t e e s e l c a s o e n q u e t o d a s l a s f u e r z a s s e e n c u e n t r a n s i t u a d a s e n u n p l a n o . E s t a s f u e r z a s p u e d e n t e n e r :  E l m i s m o o d i s t i n t o p u n t o d e a p l i c a c i ó n  L a m i s m a o d i s t i n t a s d i r e c c i o n e s . L a a c c i ó n c o n j u n t a d e t o d a s l a s f u e r z a s e s p o s i b l e s u s t i t u i r l a p o r u n a s o l a q u e l l a m a r e m o s r e s u l t a n t e ( R ) . A c a d a u n a d e l a s f u e r z a s i n d i v i d u a l e s q u e c o m p o n e n e l s i s t e m a s e d e n o m i n a n c o m p o n e n t e s d e l a r e s u l t a n t e . L a r e s u l t a n t e s e d e t e r m i n a m e d i a n t e l a o p e r a c i ó n c o m p o s i c i ó n d e f u e r z a s. S i l o q u e s e d e t e r m i n a n s o n l a s c o m p o n e n t e s a p a r t i r d e l a r e s u l t a n t e a e s t a o p e r a c i ó n s e d e n o m i n a d e s c o m p o s i c i ó n d e f u e r z a s . E l c a s o m á s s e n c i l l o d e d e s c o m p o s i c i ó n d e f u e r z a s , e s a q u e l , e n q u e t o d o s t i e n e n i g u a l l í n e a d e a c c i ó n o s o p o r t e :

(4)

I . E . S . A N D R É S D E V A N D E L V I R A D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G Í A © J . G a r r i g ó s P á g i n a 3 D a d o q u e s e s o b r e e n t i e n d e q u e e l l e c t o r c o n o c e s o b r a d a m e n t e e l c a r á c t e r v e c t o r i a l d e l a f u e r z a , e n a d e l a n t e n o s e i n d i c a r á a f i n d e f a c i l i t a r e l t r a t a m i e n t o d e t e x t o y g r á f i c o s . S i l a s f u e r z a s s o n d e s e n t i d o s c o n t r a r i o s , s e a g r u p a n , s e g ú n l a f i g u r a , y s e r e s t a n l a s r e s u l t a n t e s p a r c i a l e s . C u a n d o e l s i s t e m a d e f u e r z a s e s c o n c u r r e n t e e n u n p u n t o O , a p l i c a m o s a p a r t e e l p o l í g o n o d e f u e r z a s ( P D F ) , y t r a s l a d a m o s l a r e s u l t a n t e A E a l s i s t e m a , d e m a n e r a q u e p a s e p o r O . F 3 F 2 F 1 R F 1 + F 2 + F 3 = R P 1 P 3 P 4 P 2 P 5 A o R P1 P2 _P3 P4 O R P4 P1 P2 P3 R1,2 R1,2 ,3

A

B

C

D

E

P D F

(5)

I . E . S . A N D R É S D E V A N D E L V I R A D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G Í A © J . G a r r i g ó s P á g i n a 4 L a c o n s t r u c c i ó n s e b a s a e n l a e x t e n s i ó n d e l m é t o d o d e l p a r a l e l o g r a m o , d o n d e s e h a b r í a n i d o o b t e n i e n d o p a r c i a l y s u c e s i v a m e n t e R 1 , 2 d e P 1 a P 2 ( A C ) , R 1 , 2 , 3 d e R 1 , 2 y P 3 ( A D ) , y R 1 , 2 , 3 , 4 = R ( A E ) , c o m o s u m a d e t o d a s l a s f u e r z a s . O b s e r v a n d o l a f i g u r a , s e p u e d e a p r e c i a r q u e p a r a q u e l a r e s u l t a n t e f u e s e n u l a , b a s t a r í a q u e e l p u n t o A , c o i n c i d i e s e c o n E . D e e s t o e s p o s i b l e o b t e n e r l a s i g u i e n t e c o n c l u s i ó n , p a r a s i s t e m a s c o n c u r r e n t e s e n e q u i l i b r i o : S i u n s i s t e m a c o n c u r r e n t e e n u n p u n t o , e s t á e n e q u i l i b r i o , l a r e s u l t a n t e e s n u l a , y l a r e p r e s e n t a c i ó n d e l P D F e s u n a p o l i g o n a l c e r r a d a . A s í , s i s e d e s e a r a e n c o n t r a r u n a f u e r z a e n e l s i s t e m a a n t e r i o r p a r a a n u l a r e l s i s t e m a y d e j a r l o e n e q u i l i b r i o , d i c h a f u e r z a s e r í a i g u a l a l a r e s u l t a n t e p e r o d e s e n t i d o c o n t r a r i o .

2 . 2 . C O M P O S I C I Ó N D E F U E R Z A S N O C O N C U R R E N T E S

C u a n d o l a s f u e r z a s n o s o n c o n c u r r e n t e s , i r e m o s h a c i e n d o s u m a s p a r c i a l e s ( p r o p i e d a d a s o c i a t i v a ) h a s t a o b t e n e r l a r e s u l t a n t e . S e a e l s i g u i e n t e s i s t e m a d e f u e r z a s d e s l i z a n t e s y c o p l a n a r i a s , d e l q u e q u e r e m o s h a l l a r s u r e s u l t a n t e : P 5 P 2 P 1 P 3 P 4

(6)

I . E . S . A N D R É S D E V A N D E L V I R A D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G Í A © J . G a r r i g ó s P á g i n a 5 P a r a r e s o l v e r l o o p e r a m o s d e l a s i g u i e n t e f o r m a : A ) T o m a m o s u n p u n t o c u a l q u i e r a “ O ” ( p o l o ) , y s e l l e v a P 1 , y a c o n t i n u a c i ó n P 2 , p a r a o b t e n e r R 1 , 2 . D i c h a R 1 , 2 , l a d e s p l a z a m o s p a r a l e l a d e s d e e l p o l í g o n o e f u e r z a s a l p o l í g o n o f u n i c u l a r , y h a b r á d e p a s a r p o r A ( P 1P 2 ) . B ) L a l í n e a R 1 , 2 t r a z a d a p o r A , c o r t a r á a l a l í n e a d e a c c i ó n d e P 3 e n B . T r a z a m o s e n e l P D F R 1 , 2 , 3 r e s u l t a n t e d e R 1 , 2 y P 3 , y l a d e s p l a z a m o s p a r a l e l a a l P o l í g o n o F u n i c u l a r ( P F ) , h a c i é n d o l a p a s a r p o r B , l a c u a l c o r t a a l a l í n e a d e a c c i ó n d e P 4 e n C . C ) S i g u i e n d o e l m i s m o s i s t e m a , l a r e s u l t a n t e R 1 , 2 , 3 , 4 h a b r á d e p a s a r p o r C , y c o r t a r á e n D a l a l í n e a d e a c c i ó n d e P 5 . D ) H a l l a m o s f i n a l m e n t e R 1 , 2 , 3 , 4 , 5 q u e s e r á i g u a l a l a r e s u l t a n t e R , o b t e n i d a d e R 1 , 2 , 3 , 4 y P 5 . H a c i e n d o p a s a r e n P F , R 1 , 2 , 3 , 4 , 5 = R , p o r e l p u n t o D o b t e n d r e m o s l a r e s u l t a n t e d e l s i s t e m a . A c a d a u n a d e l a s f u e r z a s q u e p a r t e n d e l p o l o d e l P D F s e l e s d e n o m i n a “ r a d i o s p o l a r e s ”. P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 R1,2 R1,2,3 R1,2,3,4 P5 R A B C _D R O E R1,2 R1,2,3 R1,2,3,4 POLÍGONO DE FUERZAS (PDF) POLÍGONO FUNICULAR (PF)

(7)

I . E . S . A N D R É S D E V A N D E L V I R A D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G Í A © J . G a r r i g ó s P á g i n a 6 E s i m p o r t a n t e o b s e r v a r q u e c u a l q u i e r t r i á n g u l o d e l P D F e s h o m ó l o g o d e t r e s r e c t a s q u e e n e l P F s e c o r t a n e n u n p u n t o . L o s r a d i o p o l a r e s q u e p a r t e n d e O , s e d e n o m i n a n t e n s i o n e s f u n i c u l a r e s y l a l í n e a p o l i g o n a l A B C D S i e n l a l í n e a d e a c c i ó n d e R s e e s c o g e u n p u n t o c u a l q u i e r a , c o m o e l E ( P F d e l a f i g u r a a n t e r i o r ) , r e s u l t a l a p o l i g o n a l A B C D E . S u p o n i e n d o q u e t a l p o l i g o n a l e s u n h i l o f i j a d o e n E y c o n l o s v é r t i c e s m e n c i o n a d o s e n l a s i n t e r s e c c i o n e s d e l a s f u e r z a s c o m p o n e n t e s , e s f á c i l c o m p r o b a r q u e l a d i s p o s i c i ó n a d o p t a d a e s l a d e e q u i l i b r i o d e l h i l o b a j o l a a c c i ó n d e l a s f u e r z a s d a d a s , s i e n d o l a s t e n s i o n e s d e l h i l o d e c a d a t r a m o p r e c i s a m e n t e l a s r e s u l t a n t e s p a r c i a l e s h a l l a d a s . S u p ó n g a s e a h o r a , q u e d e s e a m o s o b t e n e r l a r e s u l t a n t e p a r c i a l d e P 2 y P 3 . E n e l P D F l a r e s u l t a n t e s e r á R 2 , 3 . P a r a e n c o n t r a r e l p u n t o d e l P F p o r d o n d e p a s a R 2 , 3 , n o s b a s a r e m o s e n l o s i n d i c a d o a n t e r i o r m e n t e . D a d o q u e e l t r i á n g u l o d e P D F ( P 2 - P 3 - R 2 3 ) , l e c o r r e s p o n d e u n h a z d e r e c t a s c o n c u r r e n t e s e n e l P F , b a s t a r á t r a z a r p o r e l p u n t o X ( i n t e r s e c c i ó n d e P 2 y P 3 ) , l a r e s u l t a n t e p a r c i a l R 2 , 3 , q u e s e r á p a r a l e l a a l R 2 , 3 , d e l P D F . P1 P2 P3 P4 P5 R2,3 A B C _D R _E R1,2 R1,2,3 R1,2,3,4 P1 P2 P3 P4 R1,2 R1,2,3 R1,2,3,4 P5 R R2,3 O X

(8)

I . E . S . A N D R É S D E V A N D E L V I R A D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G Í A © J . G a r r i g ó s P á g i n a 7 E n e l P F s e d a l a s i t u a c i ó n d e l a s f u e r z a s ( n o s i e n d o n e c e s a r i o q u e d i c h o p o l í g o n o i n d i q u e s u m a g n i t u d ) . E n e l P D F , s e m u e s t r a l a i n t e n s i d a d , s e n t i d o y d i r e c c i ó n d e l a s f u e r z a s , p e r o n u n c a s u s i t u a c i ó n . P o r l o g e n e r a l e l P D F t a l y c o m o s e h a r e p r e s e n t a d o a n t e r i o r m e n t e , e s d e c i r , u t i l i z a n d o e l o r i g e n d e l a p r i m e r a f u e r z a c o m o p o l o O , n o s e s u e l e e m p l e a r , y e s m á s u s u a l e l m é t o d o q u e s e d e s c r i b e a c o n t i n u a c i ó n : S u p ó n g a s e e l s i s t e m a d e t r e s f u e r z a s P 1 , P 2 y P 3 d e l a s i g u i e n t e f i g u r a , y s e a d o p t a u n p o l o a r b i t r a r i o “ O ” , q u e n o c o n t i e n e a P 1 . P a r a e s t a c o n s t r u c c i ó n n o s a y u d a r e m o s d e u n a f u e r z a a u x i l i a r a r b i t r a r i a R o , q u e p a s e p o r u n p u n t o c u a l q u i e r a d e P 1 , p o r e j e m p l o ( A ) . L a r e s u l t a n t e d e R o y P 1 s e r á R 1 , e s d e c i r R 1 = P 1 + R o , d o n d e R 1 p a s a p o r e l p u n t o A y c o r t a a B e n P 2 . P a r a t e r m i n a r l a c o n s t r u c c i ó n y h a l l a r l a r e s u l t a n t e b a s t a r á c o m p l e t a r e l P D F , y t r a s l a d a r p a r a l e l a s d e R 2 y R 3 a l P F . R e s u l t a n d o e l P u n t o D ( i n t e r s e c c i ó n d e l o s r a d i o s p o l a r e s R o y R 3 ) , e l l u g a r p o r d o n d e h a b r á d e p a s a r l a r e s u l t a n t e R . P 1

R

P 2 P 3 P 1 P 2 P 3

R

R o R o R 1 R 1 R 2 R 2 R 3 R 3 P D F P F A B C D O

(9)

I . E . S . A N D R É S D E V A N D E L V I R A D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G Í A © J . G a r r i g ó s P á g i n a 8 O b s e r v e l a c o r r e s p o n d e n c i a e n t r e l o s t r i á n g u l o s d e l P D F y l a i n t e r s e c c i ó n d e t r e s r e c t a s c o n c u r r e n t e s e n e l P F . E n n u e s t r o c a s o l a c o r r e s p o n d e n c i a e s :  T r i á n g u l o R o , P 1 , R 1 , p r o d u c e l a i n t e r s e c c i ó n e n e l p u n t o A d e R o , P 1 , R 1  T r i á n g u l o R 1 , P 2 , R 2 , p r o d u c e l a i n t e r s e c c i ó n e n e l p u n t o B d e R 1 , P 2 , R 2  T r i á n g u l o R 2 , P 3 , R 3 , p r o d u c e l a i n t e r s e c c i ó n e n e l p u n t o C d e R 2 , P 2 , R 3  T r i á n g u l o R o , R , R 3 , p r o d u c e l a i n t e r s e c c i ó n e n e l p u n t o D d e R o , R , R 3 . D e l a m i s m a f o r m a q u e e n e l m é t o d o d e s c r i t o a n t e r i o r m e n t e , c u a n d o e l P D F s e c o n s t r u y e d e e s t a f o r m a a l o s v e c t o r e s a u x i l i a r e s R o , R 1 , R 2 y R 3 s e l e s d e n o m i n a n R a d i o s P o l a r e s . S i e n l u g a r d e d e t e r m i n a r l a f u e r z a R, r e s u l t a n t e d e l s i s t e m a , s e d e b i e r a e n c o n t r a r s u e q u i l i b r a n t e, é s t a s e r í a e n t o d o i g u a l a R ( i n t e n s i d a d , d i r e c c i ó n y p o s i c i ó n ) , s a l v o e n s u s e n t i d o , q u e s e r í a e l c o n t r a r i o .

2 . 3 . D E S C O M P O S I C I Ó N D E U N A F U E R Z A E N D O S C O M P O N E N T E S

S e n o s p u e d e n p r e s e n t a r d i f e r e n t e s c a s o s : A . - D e s c o m p o n e r l a r e s u l t a n t e R e n d o s , c u y a s l í n e a s d e a c c i ó n s o n c o n o c i d a s ( L 1 y L 2 ) . E s t e p r o b l e m a s o l o t e n d r á s o l u c i ó n s i l a s d o s r e c t a s o l í n e a s d e a c c i ó n ( L 1 y L 2 ) , s o n c o n c u r r e n t e s e n u n m i s m o p u n t o . R L 1 L 2

(10)

I . E . S . A N D R É S D E V A N D E L V I R A D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G Í A © J . G a r r i g ó s P á g i n a 9 L a s o l u c i ó n d e e s t e p r o b l e m a e s m u y s e n c i l l o , p u é s b a s t a r á t r a z a r p o r e l a f i j o d e R ( e x t r e m o d e l v e c t o r R , d o n d e e s t a l a p u n t a d e f l e c h a ) , u n a r e c t a p a r a l e l a a L 2 q u e c o r t e a L 1 , y u n a r e c t a p a r a l e l a a L 1 q u e c o r t e a L 2 , r e s u l t a n d o d e l o s p u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n A y B l o s a f i j o s d e l a s f u e r z a s c o m p o n e n t e s ( P 1 y P 2 ) , c u y o p u n t o d e a p l i c a c i ó n e s l a i n t e r s e c c i o n d e L 1 y L 2 . A e s t a c o n s t r u c c i ó n s e l e d e n o m i n a l a r e g l a d e l p a r a l e l o g r a m o . B . - D e s c o m p o n e r l a r e s u l t a n t e R e n d o s f u e r z a s , c o n o c i d a l a l í n e a d e a c c i ó n o r e c t a s o p o r t e d e u n a f u e r z a , y u n p u n to “ A ” p o r e l q u e d e d e b e p a s a r l a o t r a . R e a l m e n t e e s t e e s e l m i s m o p r o b l e m a q u e e l a n t e r i o r , p u e s t o q u e b a s t a r á h a l l a r l a i n t e r s e c c i ó n f r L 1 c o n R , u u n i r e s t e p u n t o c o n A , o b t e n i e n d o L 2 . P e r o s u p o n g a m o s q u e R y L 1 s e c o r t a n f u e r a d e l o s l í m i t e s d e l d i b u j o , c o m o e n e s e l c a s o d e l a s i g u i e n t e f i g u r a . R L 1 L 2 O P 1 P 2 A B R L 1 A

(11)

I . E . S . A N D R É S D E V A N D E L V I R A D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G Í A © J . G a r r i g ó s P á g i n a 1 0 P a r a d a r s o l u c i ó n a e s t e p r o b l e m a o p e r a r e m o s d e l a s i g u i e n t e f o r m a : A ) T r a z a m o s e l P D F c o n u n p o l o a r b i t r a r i o O , d e s d e d o n d e p a r t e n d o s r a d i o s p o l a r e s R 1 , R 2 a l o s e x t r e m o s d e R . B ) C o m o e l t r i a n g u l o R 1 , R 2 , R , d a r á l u g a r e n e l P F a u n p u n t o d o n d e s e c o r t a n l a s p a r a l e l a s a R 1 , R 2 y R , p o r e l p u n t o A d e l P F , t r a z a m o s l a p a r a l e l a a R 2 h a s t a q u e c o r t e a R e n u n p u n t o “ B ” . P o r e l p u n t o B , t r a z a m o s l a p a r a l e l a a R 1 , q u e c o r t a r á a L 1 e n “ C ” . C ) U n i m o s c o n u n a r e c t a R 3 , e n e l P F l o s p u n t o s A y C . D ) E n e l P D F , t r a z a m o s p o r O e l r a d i o p o l a r R 3 p a r a l e l o a l a r e c t a R 3 d e l P F . E ) S i l l a m a m o s P 1 a l a f u e r z a s i t u a d a e n l a l í n e a d e a c c i ó n L 1 ; l a i n t e r s e c c i ó n e n e l P F d e P 1 , R 1 y R 3 d e b e d a r u n t r i á n g u l o e n e l P D F , p o r l o c u a l , b a s t a r á t r a z a r e n e l P D F d e s d e l a i n t e r s e c c i ó n d e R 1 y R , u n a l í n e a p a r a l e l a a L 1 h a s t a c o r t a r a R 3 , d e d o n d e o b t e n d r e m o s l a f u e r z a P 1 . F ) P a r a o b t e n e r l a f u e r z a q u e p a s a p o r e l p u n t o A , q u e l l a m a r e m o s P 2 , u n i m o s e n P D F e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n d e P 1 c o n R 3 , c o n e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n d e R c o n R 2 , o b t e n i e n d o a s í l a s e g u n d a c o m p o n e n t e b u s c a d a . C . - D e s c o m p o n e r l a r e s u l t a n t e R , e n d o s f u e r z a s P 1 , y P 2 p a r a l e l a s a l a d a d a y q u e p a s e n p o r l o s p u n t o s A y B . 0 R L 1 A R 1 R 2 R R 3 B C R 1 R 2 R 3 P 2 P 1 P 2 P 1

(12)

I . E . S . A N D R É S D E V A N D E L V I R A D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G Í A © J . G a r r i g ó s P á g i n a 1 1 A s i m p l e v i s t a e s t e p r o b l e m a n o t i e n e s o l u c i ó n d a d o q u e l a s c o m p o n e n t e s n o s o n c o n c u r r e n t e s a l s e r p a r a l e l a s . C u a n d o s e d a e s t e c a s o a d o p t a m o s q u e d i c h a s c o m p o n e n t e s c o n c u r r e n e n e l i n f i n i t o . E l p r o c e s o p a r a r e s o l v e r e l p r o b l e m a e s l e s i g u i e n t e : A ) T r a z a m o s u n P D F c o n l a r e s u l t a n t e R , y u n p o l o c u al q u i e r a “ O ” , d e s d e d o n d e p a r t e n l o s r a d i o s p o l a r e s R 1 y R 2 h a s t a l o s e x t r e m o s d e R . B ) P o r l a r e g l a d e l t r i á n g u l o R 1 , R 2 , R d e l P D F , t r a z a m o s p o r u n p u n t o c u a l q u i e r a ( X ) d e l a l í n e a d e a c c i ó n d e R d e l P F , r e c t a s p a r a l e l a s a R 1 y R 2 h a s t a c o r t a r a l a s l i n e a s d e a c c i ó n d e l a s c o m p o n e n t e s P 1 y P 2 q u e p a s a n p o r l o s p u n t o s A y B . C ) E n e l P F u n i m o s p o r R 3 , l o s p u n t o s d e i n t e r s e c c i ó n d e R 1 c o n l a l i n e a d e a c c i ó n q u e p a s a p o r A , c o n l a i n t e r s e c c i ó n d e R 2 c o n l a l í n e a d e a c c i ó n d e B . D ) T r a s l a d a m o s u n a p a r a l e l a a R 3 a l P D F , d e f o r m a q u e p a s e p o r e l p o l o “ O ” . R B A R B A R 1 R 1 R 2 R 2 R 3 R 3 P 1 P 1 P 2 X R O

(13)

I . E . S . A N D R É S D E V A N D E L V I R A D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G Í A © J . G a r r i g ó s P á g i n a 1 2

X

Y

r

XY

R

L

1

L

2

L

3

R

r

XY

r

3

R

XY

+ r

3

C U L M A N

E s t e p r o b l e m a t i e n e u n a s o l u c i ó n ú n i c a c u a n d o s o n c o n o c i d a s l a s l í n e a s d e a c c i ó n d e l a s f u e r z a s y e s t á n n o s e c o r t a n e n u n p u n t o f o r m a n d o u n h a z . A l p r o c e d i m i e n t o q u e p e r m i t e e n c o n t r a r s o l u c i ó n a n u e s t r o p r o b l e m a s e l e d e n o m i n a m é t o d o C u l m a n . S e a l a f u e r z a a d e s c o m p o n e r R y l a s t r e s r e c t a s s o p o r t e L1, L2 y L3. D i b u j a m o s u n a r e c t a X Y q u e v a d e s d e e l p u n t o X , i n t e r s e c c i ó n d e c u a l q u i e r a d e l a s r e c t a s s o p o r t e c o n l a f u e r z a R, a l p u n t o Y, p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n d e l a s o t r a s d o s r e c t a s s o p o r t e . . A c o n t i n u a c i ó n d e s c o m p o n e m o s R e n l a s d i r e c c i o n e s d e L3 y l a d e l a r e c t a RX Y e n e l P D F . C o m o l a f u e r z a rX Y e s c o n c u r r e n t e c o n l a s d i r e c c i o n e s d e L1 y L2 s e p u e d e d e s c o m p o n e r e n l a s f u e r z a s r1 y r2 e n e l P D F , q u e d a n d o r e s u e l t o e l p r o b l e m a . U n c a s o p a r t i c u l a r s e p u e d e p l a n t e a r c u a n d o L1 y L2 s o n p a r a l e l a s e n t r e s í y R y L3 n o l o s o n , n i e n t r e e l l a s , n i c o n l a s a n t e r i o r e s . E l p r o c e d i m i e n t o d e o b t e n c i ó n d e l a s c o m p o n e n t e s d e l a s f u e r z a s e s

2

'

r

2

r

1

L

1

RM RN

s

A B C D E

(17)

3 . E S T R U C T U R A S

3 . 1 . D E F I N I C I Ó N D E E S T R U C T U R A S Y A C C I O N E S A Q U E S E V E N

S O M E T I D A S

S e d e n o m i n a e s t r u c t u r a a t o d a d i s p o s i c i ó n o r d e n a d a y e s t a b l e c a p a z d e s o p o r t a r s i n r o m p e r s e l a s c a r g a s o e s f u e r z o s a l a s q u e s e v e n s o m e t i d a s . N o s e c o n s i d e r a n c o m o e l e m e n t o s d e l a s e s t r u c t u r a s l a s c o n s t r u c c i o n e s a u x i l i a r e s d e e s t a s , c o m o t u b e r í a s , m o n t a n t e s d e d e c o r a c i ó n , a i s l a m i e n t o s , t a b i q u e r í a s , e t c . . P o r e l l o e s p r e c i s o a l d i s e ñ a r e s t r u c t u r a s q u e é s t a s s e a n a u t o s u f i c i e n t e s p a r a s o p o r t a r l o s s i s t e m a s d e c a r g a s q u e a c t ú a n s o b r e e l l a s y a s u v e z s e a n c a p a c e s d e t r a n s m i t i r l a s a l t e r r e n o d o n d e e s t á n a s e n t a d a s . C o n d e f o r m a c i o n e s q u e n o s o b r e p a s e n l o s l í m i t e s r e g l a m e n t a r i o s , n i p o n g a n e n p e l i g r o l a e s t a b i l i d a d o r e s i s t e n c i a d e l a e s t r u c t u r a . L a n o r m a v i g e n t e e n n u e s t r o p a í s e s e l d e n o m i n a d o C ó d i g o T é c n i c o d e l a E d i f i c a c i ó n d e 2 0 0 6 ( R e a l D e c r e t o 3 1 4 / 2 0 0 6 B O E 2 8 / 0 3 / 2 0 0 6 ) - h t t p : / / w w w . c o d i g o t e c n i c o . o r g / i n d e x . p h p ? i d = 3 3 - , d o n d e s e e s t a b l e c e u n a c l a s i f i c a c i ó n d e l o s t i p o s d e c a r g a s q u e a c t ú a n s o b r e e d i f i c a c i o n e s y e s t r u c t u r a s . L a s a c c i o n e s a c o n s i d e r a r e n e l d i s e ñ o d e u n p r o y e c t o r e a l s o n :  G r a v i t a t o r i a s .  D e l v i e n t o .  T é r m i c a s .  S í s m i c a s  E m p u j e s d e t i e r r a  e t c . .  A c c i o n e s g r a v i t a t o r i a s . - S o n l a s c a r g a s p r o d u c i d a s p o r e l p e s o d e l a p r o p i a e s t r u c t u r a , e l d e l o s e l e m e n t o s q u e s o p o r t a y p o s i b l e s o b r e c a r g a d e n i e v e d e p e n d i e n d o d e l a a l t i t u d s o b r e e l n i v e l d e l m a r .

(18)

I . E . S . A N D R É S D E V A N D E L V I R A D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G Í A © J . G a r r i g ó s P á g i n a 1 7  A c c i o n e s d e l v i e n t o . - S o n l a s c a r g a s q u e l a e s t r u c t u r a h a b r á d e s o p o r t a r d e b i d o a l v i e n t o , e s t a s a c c i o n e s d e p e n d e n d e l a f o r m a d e l a c o n s t r u c c i ó n , s u s u p e r f i c i e y e l l u g a r g e o g r á f i c o d o n d e e s t á i m p l a n t a d a .  A c c i o n e s t é r m i c a s . - E n e s t e b l o q u e s e c o n s i d e r a n l a s v a r i a c i o n e s d e t e m p e r a t u r a q u e p u e d e n a f e c t a r a l a e s t r u c t u r a . E n e l c á l c u l o d e e s t a s a c c i o n e s , s a l v o q u e s e d i s p o n g a n d a t o s c o n c r e t o s , s e s u e l e t o m a r c o m o m á r g e n e s d e d i s e ñ o  3 0 º C .  A c c i o n e s s í s m i c a s . - S o n l a s a c c i o n e s q u e p u e d e n l l e g a r a p r o d u c i r l o s s e í s m o s s o b r e l a s c o n s t r u c c i o n e s . P a r a e l l o s e e s t a b l e c e p o r m e d i o d e l o s o r g a n i s m o s c o m p e t e n t e s d e c a d a p a í s u n o s c o e f i c i e n t e s q u e h a b r á n d e t e n e r s e e n c u e n t a p a r a e l c á l c u l o e n f u n c i ó n d e d o n d e s e i m p l a n t e l a e s t r u c t u r a .  E m p u j e s d e l t e r r e n o . - T i e n e e n c u e n t a l a a c c i ó n q u e e l t e r r e n o p u e d e e j e r c e r s o b r e l a c o n s t r u c c i ó n d e f o r m a l a t e r a l . S u c á l c u l o e x i g e u n c o n o c i m i e n t o b á s i c o d e l a m e c á n i c a d e l s u e l o . E s t a s a c c i o n e s v a r í a n c o n l o s t i p o s d e t e r r e n o , s i e s t o s s o n s e c o s o a n e g a d o s , a s í c o m o e l í n d i c e d e h u e c o s q u e t i e n e n l o s m i s m o s ( e s t a d o d e c o m p a c t a c i ó n ) .

3 . 2 . E S T R U C T U R A S R E T I C U L A R E S .

U n o d e l o s t i p o s d e e s t r u c t u r a m á s c o m u n e s , s o n l o s d e n o m i n a d a s s i s t e m a s r e t i c u l a r e s p l a n o s , q u e e s t á n f o r m a d a s p o r u n c o n j u n t o d e b a r r a s s i t u a d a s e n u n p l a n o c o n s t i t u y e n d o u n a r e d d e t r i á n g u l o s . L o s v é r t i c e s d e l o s t r i á n g u l o s q u e g e n e r a l m e n t e s e s i t ú a n e n e l c o n t o r n o d e l a e s t r u c t u r a , s e l l a m a n n u d o s. L o s n u d o s s e u n e n m e d i a n t e b a r r a s , q u e p u e d e n s e r s u p e r i o r e s o i n f e r i o r e s e n e l c o n t o r n o , o m o n t a n t e s ( b a r r a s v e r t i c a l e s ) y d i a g o n a l e s e n e l i n t e r i o r .

(19)

I . E . S . A N D R É S D E V A N D E L V I R A D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G Í A © J . G a r r i g ó s P á g i n a 1 8 P a r a q u e u n s i s t e m a r e t i c u l a r p l a n o s e a e s t á t i c a m e n t e d e t e r m i n a d o y e s t a b l e d e b e v e r i f i c a r s e q u e , s i N e s e l n ú m e r o d e n u d o s y B e l n ú m e r o d e b a r r a s s e c u m p l a q u e : B = 2 N – 3 E n t r e l o s s i s t e m a s r e t i c u l a r e s s e c o n o c e n t r e s t i p o s f u n d a m e n t a l e s : J á c e n a s ( f i g . a ) , a r m a d u r a d e c u b i e r t a o c u c h i l l o s ( f i g . b ) , y a r c o s o p ó r t i c o s ( f i g . c )

3 . 3 . E S F U E R Z O S E N S I S T E M A S R E T I C U L A R E S P L A N O S

P a r a e l c á l c u l o d e l a s t e n s i o n e s e x i s t e n t e s e n l a s b a r r a s s e p u e d e n s e g u i r m e t o d o l o g í a s d i v e r s a s , g r á f i c a s o a n a l í t i c a s , s i b i e n e n t o d o s l o s c a s o s s e p a r t i r á d e l a s s i g u i e n t e s h i p ó t e s i s d e c á l c u l o : a ) L o s n u d o s c o n s t i t u y e n a r t i c u l a c i o n e s i d e a l e s s i n r o z a m i e n t o b ) L a s c a r g a s q u e a c t ú a n s o b r e s i s t e m a s r e t i c u l a r e s s e s u p o n d r á n q u e e s t á n a p l i c a d o s a l o s n u d o s y e n e l p l a n o d e l a e s t r u c t u r a r e s i s t e n t e .

(20)

I . E . S . A N D R É S D E V A N D E L V I R A D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G Í A © J . G a r r i g ó s P á g i n a 1 9 c ) L a s b a r r a s s o n r e c t a s y s u s d e f o r m a c i o n e s d e s p r e c i a b l e s e n r e l a c i ó n a s u s d i m e n s i o n e s . P a r a l a d e t e r m i n a c i ó n d e e s f u e r z o s e n l a s b a r r a s s e e m p l e a n m é t o d o s g r á f i c o s ( C r e m o n a , C u l m a n y R i t t e r ) o e l a n a l í t i c o . D e l o s p r i m e r o s , t a n t o e l m é t o d o d e C u l m a n c o m o e l d e R i t t e r p e r m i t e n c o n o c e r t e n s i o n e s a i s l a d a s e n s ó l o a l g u n a s b a r r a s , m i e n t r a s q u e e n C r e m o n a l o s e s f u e r z o s s e c a l c u l a n e n t o d a s s u s b a r r a s . L a s t e n s i o n e s d e l a s b a r r a s s o n d e d o s t i p o s : t r a c c i ó n o c o m p r e s i ó n . E n e l p r i m e r o l a b a r r a t i e n d e a a l a r g a r s e y e n e l s e g u n d o a a c o r t a r s e . L a s d o s t e n s i o n e s q u e a c t ú a n s o b r e u n a b a r r a q u e u n e l o s n u d o s h y k s e r á n i g u a l e s y o p u e s t a s . S i e l n u d o h s e e n c u e n t r a s o m e t i d o a l a t e n s i ó n T h k ( c o r r e s p o n d i e n t e a l a b a r r a h - k ) y e n l a t e n s i ó n e n e l n u d o k l a d e n o m i n a m o s T k h , s e c u m p l e q u e T h k = - T k h

4 . C Á L C U L O D E E S F U E R Z O S E N E S T R U C T U R A S P O R

E S T Á T I C A G R Á F I C A

4 . 1 . C Á L C U L O D E E S T R U C T U R A S P O R E L M É T O D O G R Á F I C O D E

C R E M O N A

U n o d e l o s m é t o d o s g r á f i c o s m á s u t i l i z a d o s p a r a e l c á l c u l o d e l a s t e n s i o n e s e n l a s b a r r a s e n e s t r u c t u r a s r e t i c u l a r e s e s e l d e n o m i n a d o m é t o d o d e C r e m o n a . E s t á b a s a d o e n q u e t o d a s l a s f u e r z a s i n t e r i o r e s y e x t e r i o r e s d e u n s i s t e m a r e t i c u l a r d e b e n e q u i l i b r a r s e e n c a d a u n o d e l o s n u d o s d e l m i s m o . E l m é t o d o d e C r e m o n a s e r e a l i z a p o r e l l o n u d o a n u d o , r e c o r r i é n d o l o s t o d o s y e s t a b l e c i e n d o l a c o n d i c i ó n d e e q u i l i b r i o ( p o l í g o n o d e f u e r z a s P D F , c e r r a d o ) . P a r a l l e v a r a c a b o d e f o r m a o r d e n a d a l a

(21)

P1

A

RA

1 B

RB

5 P4

P3

P2

P1 = P3 = 150 kg

P2 = 200 kg

P4 = 250 kg

2

4

3

a p l i c a c i ó n d e l p r o c e d i m i e n t o , d e b e e m p e z a r s e p o r u n n u d o d o n d e e x i s t a n ú n i c a m e n t e d o s b a r r a s e i r p r o g r e s a n d o h a s t a c o n c l u i r e n e l ú l t i m o . S u p ó n g a s e l a a r m a d u r a a s i m é t r i c a d e l a s i g u i e n t e f i g u r a , d o n d e s o n c o n o c i d a s l a s f u e r z a s q u e a c t ú a n s o b r e l a e s t r u c t u r a . L a f o r m a d e p r o c e d e r e n e s t e m é t o d o e s l a s i g u i e n t e : A ) E n p r i m e r l u g a r c a l c u l a m o s l a s r e a c c i o n e s e n l o s a p o y o s A y B , u t i l i z a n d o l a l í n e a d e c i e r r e . B ) E n u m e r a m o s t o d o s l o s n u d o s d e l a a r m a d u r a , g e n e r a l m e n t e c o m e n z a n d o p o r u n o e n e l q u e s o l o c o n c u r r e n d o s b a r r a s , p o r e j e m p l o e n n u d o n ú m e r o 1 C ) A c o n t i n u a c i ó n v a m o s a i m p o n e r a l n u d o 1 l a c o n d i c i ó n d e q u e s e e n c u e n t r e e n e q u i l i b r i o , p a r a l o q u e s e r á s u f i c i e n t e q u e l a s f u e r z a s a p l i c a d a s a é l : R A , P 1 y l a s t e n s i o n e s T1 , 2 y T1 , 3 d e l a s b a r r a s b1 , 2 y b1 , 3 s e e q u i l i b r e n ; e s d e c i r , d e n u n p o l í g o n o c e r r a d o .

(22)

P1

1 A

RA

Línea de ci_erre

R1

R2

R

R3

2

3 R5

R4

B

RB

5 P4

P3

4 P2

P1 = P3 = 150 kg

P2 = 200 kg

P4 = 250 kg

R3

RB

_P4 P3

R5

R4

RA

R

P2

R2

P1

R1

O

Línea de ci_erre D ) P a r a q u e s e c u m p l a C ) , e n e l P F y e n t o r n o a l n u d o 1 s e e s t a b l e c e u n o r d e n d e t r a z a d o d e c a r g a s , c o m e n z a n d o p o r l a s f u e r z a s q u e s e c o n o c e n , y e n s e n t i d o d e l a s a g u j a s d e l r e l o j . E n n u e s t r o c a s o c o m e n z a m o s e n e l P D F p o r e l p u n t o d e a p l i c a c i ó n d e R A , o b s e r v a n d o e l a r c o t r a z a d o a l r e d e d o r d e l n u d o 1 d e l P F , a l a c a b a r R A s e g u i r e m o s p o r P 1 q u e y a e s t á t r a z a d a e n e l P D F ; l u e g o p o r e l e x t r e m o d e l a f l e c h a d e P 1 t r a z a m o s u n a p a r a l e l a a l a b a r r a b1 , 2 d e l a e s t r u c t u r a , y p a r a c e r r a r e l p o l í g o n o , t r a z a m o s o t r a p a r a l e l a a l a b a r r a b1 , 3 q u e h a d e p a s a r p o r

(23)

I . E . S . A N D R É S D E V A N D E L V I R A D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G Í A © J . G a r r i g ó s P á g i n a 2 2 e l p u n t o d e a p l i c a c i ó n d e l v e c t o r R A , y q u e c o r t a r a a l a p a r a l e l a t r a z a d a a n t e r i o r m e n t e . E ) A c o n t i n u a c i ó n y o b s e r v a n d o e l a r c o t r a z a d o a l r e d e d o r d e l n u d o 1 e n e l P F , n o s s i t u a m o s s o b r e e l i n i c i o d e R A y v a m o s s i g u i e n d o e l c a m i n o t r a z a d o y a s i g n a n d o e l s e n t i d o a l a s t e n s i o n e s a l a s b a r r a s e n e l s e n t i d o e n q u e n o s m o v e m o s . F ) R e c o r d a m o s , q u e a u n q u e e n e l P D F , l a s c o m p o n e n t e s d e l a s f u e r z a s P 1 , P 2 , P 3 , P 4 , l a r e s u l t a n t e R y l a s r e a c c i o n e s R A y R B e s t é n t r a z a d a s e n l í n e a s p a r a l e l a s t o d a s e l l a s r e c a e n s o b r e l a m i s m a l í n e a d e a c c i ó n y s e s e p a r a n a e f e c t o s d e d i b u j o . G ) E l s i g u i e n t e p a s o s e r á l o c a l i z a r u n n u d o d e l q u e d e s c o n o z c a m o s e l v a l o r d e d o s d e l a s f u e r z a s q u e a c t ú a n s o b r e é l , e n n u e s t r o c a s o a a u n q u e e s t á e l n u d o 5 t o m a m o s e l n u d o 2 p a r a s e g u i r u n o r d e n , d e j a n d o T1,2 T1,3

R3

RB

_P4 P3

R5

R4

RA

R

P2

R2

P1

R1

O

Línea de ci_erre

P1

1 A

RA

Línea de ci_erre

R1

R2

R

R3

2

3 R5

R4

B

RB

5 P4

P3

4 P2

(24)

I . E . S . A N D R É S D E V A N D E L V I R A D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G Í A © J . G a r r i g ó s P á g i n a 2 3 e l n u d o 5 p a r a e l f i n a l , e l c u a l , n o s s e r v i r á d e c o m p r o b a c i ó n d e l a c o r r e c c i ó n d e l c á l c u l o . G ) D e l n u d o 2 c o n o c e m o s l a t e n s i ó n d e l a b a r r a b 1 , 2 , y l a c o m p o n e n t e P 2 , y d e s c o n o c e m o s l a s t e n s i o n e s T 2 , 3 y T 2 , 4 d e l a s b a r r a s b 2 , 3 y b 2 , 4 . , p o r l o c u a l , e l a r c o a t r a z a r e n e l P F p a r t i r á d e l a b a r r a b 1 , 2 y t e r m i n a r a e n l a b 2 , 3 . H ) E n n u e s t r o c a s o , y y a e n e l P D F , p a r t i r e m o s d e l a f i j o ( l u g a r d e l a f l e c h a ) d e l v e c t o r T 1 , 2 , l l e g a r e m o s a l o r i g e n d e P 2 , q u e r e c o r r e r e m o s v e r t i c a l m e n t e y h a c í a a b a j o . P o r e l a f i j o d e P 2 t r a z a m o s u n a p a r a l e l a a l a b a r r a b 2 , 4 , y p o r e l a f i j o d e T 1 , 2 u n a p a r a l e l a a b 2 , 3 h a s t a c o r t a r a l a p a r a l e l a a n t e r i o r . V o l v i e n d o a r e a l i z a r e l r e c o r r i d o e n e l P D F , e n e l s e n t i d o i n d i c a d o p o r e l a r c o d e l P F , i n d i c a m o s e l s e n t i d o d e l a s t e n s i o n e s T 2 , 4 y T 2 , 3 , c o m p r o b a n d o q u e e l p o l í g o n o s e h a c e r r a d o . I ) D e l a m i s m a f o r m a o p e r e m o s c o n l o s n u d o s r e s t a n t e s h a s t a l l e g a r a l n u d o 5 q u e n o s s e r v i r á c o m o c o m p r o b a c i ó n d e l o s t r a z a d o s a n t e r i o r e s . N o t a : C u a n d o h a b l a m o s d e t e n s i ó n e n l a b a r r a b1 , 2 y l a i n d i c a m o s c o m o T1 , 2, e s t á t e n s i ó n e s t á m i r a d a d e s d e e l n u d o 1 ; s i m i r á r a m o s l a t e n s i ó n d e e s a m i s m a b a r r a d e s d e e l n u d o 2 , l a t e n s i ó n s e r í a T2 , 1 q u e t e n d r í a e l m i s m o v a l o r q u e T1 , 2, p e r o s e r í a d e s e n t i d o c o n t r a r i o , e s d e c i r : T1 , 2 = - T2 , 1 e s t o m i s m o s e c u m p l e p a r a c u a l q u i e r o t r a b a r r a . F i n a l m e n t e e l d i b u j o q u e d a r í a c o m o s e i n d i c a e n l a s i g u i e n t e f i g u r a .

(25)

GRUPO I.E.S ANDRÉS DE VANDELVIRA

ALBACETE DEPARTAMENTO DE TECNOLOGÍA

J.Garrigós

_D

1º BCH

Segunda

1cm/100 kg

ALBERTO CURSO EVALUACIÓN

FECHA ESCALA

CÁLCULO DE UNA ESTRUCTURA POR EL

MÉTODO DE CREMONA

26/12/2009













- Barra 1-2 compresión 523.8 kg - Barra 1-3 tracción 463 kg - Barra 2-3 compresión 503,9 kg ESCALA - 1 cm ¦ 100 kg - Barra 3-4 tracción 194,4 kg - Barra 2-4 compresión 245,6 kg - Barra 3-5 compresión 161,6 kg - Barra 4-5 compesión 264.5 kg - Reacción en el apoyo A RA - 328,5 kg - Reacción en el apoyo B RB - 421,5 kg



  



 



  



_ 

















_











































(26)

I . E . S . A N D R É S D E V A N D E L V I R A D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G Í A © J . G a r r i g ó s P á g i n a 2 5 P a r a s a b e r s i l a s b a r r a s e s t á n s o m e t i d a s a c o m p r e s i ó n o t r a c c i ó n a d o p t a r e m o s l a s i g u i e n t e r e g l a : S i l a t e n s i ó n e n t r a a l n u d o , l a b a r r a e s t a r á s o m e t i d a a c o m p r e s i ó n y l a m a r c a r e m o s c o n e l s i g n o . S i l a t e n s i ó n s a l e d e l n u d o , l a b a r r a e s t a r á s o m e t i d a a t r a c c i ó n , y l a m a r c a r e m o s c o n e l s i g n o . E j e m p l o . S i e s t a m o s e n e l n u d o 1 d e l a e s t r u c t u r a , o b s e r v a m o s e n e l P D F q u e l a t e n s i ó n d e l a b a r r a T 1 , 2 e n t r a r í a a l n u d o p o r l a b a r r a b 1 , 2 , p o r l o c u a l , l a b a r r a e s t a r á s o m e t i d a a c o m p r e s i ó n . S i e s t a m o s e n e l n u d o 3 d e l a e s t r u c t u r a , o b s e r v a m o s q u e l a t e n s i ó n T 3 , 4 d e l a b a r r a b 3 , 4 i r í a c o n l a d i r e c c i ó n d e l a b a r r a s a l i e n d o d e l n u d o s e g ú n s e i n d i c a e n e l P D F , p o r l o c u a l , d i r e m o s q u e e s t a b a r r a e s t á s o m e t i d a a t r a c c i ó n . E n e s t e p u n t o , t a n s o l o q u e d a s a b e r e l v a l o r d e l a s t e n s i o n e s d e l a s b a r r a s , l o c u a l s a b r e m o s d i b u j a n d o e l P D F a e s c a l a , e n n u e s t r o c a s o a d o p t a r e m o s u n a e s c a l a d e 1 c m = 1 0 0 k g1, c o n l o c u a l b a s t a r á m e d i r e l v a l o r d e l a s t e n s i o n e s y a p l i c a r l e s l a e s c a l a a d o p t a d a p a r a o b t e n e r e l v a l o r d e l a t e n s i ó n d e l a s d i s t i n t a s b a r r a s d e l a e s t r u c t u r a . P o r l a s c a r a c t e r í s t i c a s d e l o s m é t o d o s g r á f i c o s , e s m u y i m p o r t a n t e l a e x a c t i t u d d e l d i b u j o , d a d o q u e u n p e q u e ñ o e r r o r d e t r a z a d o i m p l i c a a c u m u l a r u n g r a n e r r o r e n e l n u d o f i n a l , d a n d o l a i m p r e s i ó n q u e e l p r o c e s o e s t á m a l r e a l i z a d o , c u a n d o e l e r r o r s o l o e s d e b i d o a l t r a z a d o . 1 E n l o s d i b u j o s a n t e r i o r e s n o s e c u m p l e l a e s c a l a 1 c m = 1 0 0 k g , a l h a b e r s i d o d e s f o r m a d o s p o r l a n e c e s i d a d d e l t r a t a m i e n t o d e i m á g e n e s e n u n p r o c e s a d o r d e t e x t o s .

(27)

4 . 2 . C Á L C U L O D E E S T R U C T U R A S P O R E L M É T O D O G R Á F I C O D E

C U L M A N

P e r t e n e c e a l m é t o d o g e n e r a l d e l a s s e c c i o n e s m u y u t i l i z a d o e n M e c á n i c a A p l i c a d a . S e b a s a e n p r a c t i c a r u n c o r t e i m a g i n a r i o e n l a e s t r u c t u r a y e s t a b l e c e r a c o n t i n u a c i ó n l a s c o n d i c i o n e s d e e q u i l i b r i o d e c a d a u n a d e l a s p a r t e s e n q u e s e h a d i v i d i d o e l c o n j u n t o . P a r a d e t e r m i n a r e l e s f u e r z o e n l a s b a r r a s p , q y r d e l a f i g u r a , e n p r i m e r t é r m i n o s e c a l c u l a n l a s r e a c c i o n e s e n l o s a p o y o s m e d i a n t e e l p r o c e d i m i e n t o y a c o n o c i d o . C o n t i n u a m o s h a c i e n d o u n c o r t e i m a g i n a r i o C C ’ q u e c o m p r e n d a l a s b a r r a s o b j e t o d e e s t u d i o . L a s t e n s i o n e s ( f u e r z a s ) i n t e r i o r e s d e l a s b a r r a s , q u e d e s i g n a r e m o s p o r

P

,

Q

y

R



P

,

Q

y

R



d e b e r á n e s t a r e n e q u i l i b r i o c o n c a d a u n a d e l a s p a r t e s e n q u e s e h a d i v i d i d o l a a r m a d u r a . D i c h a s t e n s i o n e s s ó l o e s p o s i b l e q u e a c t ú e n e n l a s d i r e c c i o n e s d e l a s b a r r a s , y a q u e d e o t r a m a n e r a h a r í a n g i r a r a é s t a s , p o r l o c u a l t a l e s e s f u e r z o s s ó l o p o d r á n s e r d e t r a c c i ó n o c o m p r e s i ó n .

P1

P2

P3

P4

P5

RA

R1

R2

R3

R4

R5

R6

P1

P2

P3

P4

P5

R

O

R1

R2

R3

R4

R5

R6

RB

RA

Línea de cierre

C

C'

p

q

r

RB

(28)

I . E . S . A N D R É S D E V A N D E L V I R A D E P A R T A M E N T O D E T E C N O L O G Í A © J . G a r r i g ó s P á g i n a 2 7 S e g u i d a m e n t e e s t a b l e c e m o s l a r e s u l t a n t e

Fi

d e l a s f u e r z a s q u e o b r a n a u n o d e l o s l a d o s d e l c o r t e ( e n n u e s t r o c a s o a d o p t a r e m o s e l l a d o i z q u i e r d o ) , i n c l u y e n d o l a r e a c c i ó n e n e l a p o y o R A .

RA



P

1 

P

2 

Fi

. L a f u e r z a c a l c u l a d a p a s a r á p o r l a i n t e r s e c c i ó n d e R 3 c o n l a l í n e a d e c i e r r e d e l P F ( p u n t o C ) Ú n i c a m e n t e n o s q u e d a d e s c o m p o n e r l a f u e r z a F i e n t r e s f u e r z a s P, Q y R q u e l a e q u i l i b r e n y e s t é n e n l a s b a r r a s p , q y r ( m é t o d o d e C u l m a n ) . E l p r o c e d i m i e n t o e s e l s i g u i e n t e : 1 . P r o l o n g a m o s l a d i r e c c i ó n d e u n a d e l a s b a r r a s h a s t a q u e c o r t e a l a l í n e a d e a c c i ó n d e F i ( p u n t o D ) . 2 . U n i m o s D c o n e l p u n t o d e i n t e r s e c c i ó n d e l a s b a r r a s p y q ( p u n t o E ) . 3 . T r a z a m o s e n e l P D F p a r a l e l a s a D E y D F , o b t e n i é n d o s e l a s f u e r z a s

X

y

R

(

X

e s u n a f u e r z a a u x i l i a r d e c o n s t r u c c i ó n s u m a d e

P

y

Q

)

. S e h a d e c u m p l i r : 4 . L a f u e r z a

X

c a l c u l a d a s e d e s c o m p o n e e n l a s d i r e c c i o n e s d e l a s b a r r a s p y q , e n c o n t r á n d o s e l a s t e n s i o n e s

P1

P2

P3

P4

P5

RA

RB

R

R1

R2

R3

R4

R5

R6

C

C'

P

Q

R

Fi

C

D

E

F

p

q

r

X

cerrado)

polígono

un

forman

,

.

(

Fi

es

la

equilibran

te

Así

Fi

X

y

R

i

F

X

R









(29)

Q

y

P

.

X



P



Q



P





Q





R





0

, e s t o e s , e l s i s t e m a d e f u e r z a s d e l a i z q u i e r d a e s t á e q u i l i b r a d o p o r l a s t e n s i o n e s d e l a s b a r r a s p o r d o n d e s e h a e f e c t u a d o e l c o r t e . T a l y c o m o s e h a c o n s i d e r a d o e n e l p r o b l e m a , u t i l i z á n d o s e e l s i s t e m a d e f u e r z a s d e l l a d o i z q u i e r d o d e l a a r m a d u r a , s i l a s t e n s i o n e s e n c o n t r a d a s s e d i r i g e n h a c i a e l n u d o s i t u a d o a l a i z q u i e r d a d e l c o r t e , l o s e s f u e r z o s s o n d e c o m p r e s i ó n, e n t a n t o q u e s i s e d i r i g e n h a c i a e l n u d o s i t u a d o a l a d e r e c h a d e l c o r t e e s d e t r a c c i ó n . E n e s t e e j e m p l o l a s t e n s i o n e s Q y R s o n d e t r a c c i ó n y P e s d e c o m p r e s i ó n .

P1

P2

P3

P4

P5

RA

RB

R1

R2

R3

R4

R5

R6

P1

P2

P3

P4

P5

R

O

R1

R2

R3

R4

R5

R6

RB

RA

Línea de cierre

C

C'

P

Q

R

Fi

R

X

Q

P

MÉTODO DE CULMAN:

Si las tensiones se dirigen hacia el

nudo situado a la izquierda del corte

COMPRESIÓN.

En sentido contrario TRACCIÓN.

C

D

E

F

p

q

r

(30)

4 . 3 . C Á L C U L O D E E S T R U C T U R A S P O R E L M É T O D O G R Á F I C O D E

R I T T E R .

S e a u n a e s t r u c t u r a r e t i c u l a r p l a n a s o b r e l a q u e a c t ú a n l a f u e r z a s

6

5 ,

4 ,

3 ,

2 ,

1 P

P

y

P

, e n l a c u a l d e s e a m o s e n c o n t r a r e l e s f u e r z o a q u e e s t á s o m e t i d a l a b a r r a b2 5, e s t o e s , l a b a r r a q u e u n e l o s p u n t o s 2 y 5 . P a r a e l l o , s e a p l i c a u n c o r t e C C ’ , d e m a n e r a q u e d i c h o c o r t e p a s e p o r l a b a r r a q u e s e p r e t e n d e c a l c u l a r . D a d o q u e l a e s t r u c t u r a e s t á e s t á t i c a , l a s d o s p a r t e s e n q u e l a d i v i d i m o s , a t r a v é s d e l c o r t e C C ’ , t e n d r á n q u e e s t a r e n e q u i l i b r i o c o n l a s t e n s i o n e s T2 4, T2 5 y T3 5 ( s i t o m a m o s l a p a r t e i z q u i e r d a d e l a s e c c i ó n ) , o T4 2, T5 2 y T5 3 ( s i s e t o m a l a p a r t e d e l a d e r e c h a ) . S e g ú n e s t o , s i c o n s i d e r a m o s e l t r a m o d e l a p a r t e i z q u i e r d a , p a r a d e t e r m i n a r T2 5 , b a s t a r á t o m a r m o m e n t o s r e s p e c t o a l p u n t o K ( p u n t o d o n d e s e c o r t a n l a s r e c t a s q u e p a s a n p o r l a s b a r r a s b2 4 y b3 5) , d e t o d a s l a s f u e r z a s e x t e r i o r e s e i n t e r i o r e s q u e o b r a n a l a i z q u i e r d a d e l a s e c c i ó n C C ’, n o o l v i d a r i n c l u i r l a r e a c c i ó n e n l e a p o y o RA. S e h a t o m a d o e l p u n t o K c o m o c e n t r o d e m o m e n t o s p o r q u e a l c o n c u r r i r e n é l l a s b a r r a s b2 4 y b3 5, l a s t e n s i o n e s d e e s t a s b a r r a s r e s p e c t o a e s t e p u n t o e s c e r o ( M = A B s e n  = 0 y a q u e e l s e n  = 0 p o r p a s a r l a s f u e r z a s p o r e l p u n t o K) . S u p o n d r e m o s i n i c i a l m e n t e q u e t o d a s l a s t e n s i o n e s e n l a s b a r r a s s o n d e t r a c c i ó n , e s d e c i r , s e a l e j a n d e l o s n u d o s 2 y 3 . P o r o t r o l a d o , s e a MK e l m o m e n t o r e s u l t a n t e d e RA, P 1 y P 2 c o n r e l a c i ó n a K, c u y o s i g n o e s e l i n d i c a d o p o r l a f i g u r a . C o m o e l M h a d e s e r c e r o c o n r e s p e c t o a l p u n t o K, s e v e r i f i c a :

0 *

₂₅ 25





__K K

T

d

M

D e d o n d e s e c a l c u l a l a t e n s i ó n T2 5, m i d i e n d o d2 5 c o n l a e s c a l a d e l o n g i t u d e s y d e t e r m i n a n d o MK p o r l a e x p r e s i ó n : K p K p K A A K