1.
Funci´
on derivada
Maple posee un comando para encontrar la funci´on derivada de una funci´on dada, que es el comandodiff (exige poner la variable respecto de la cual se desea derivar). Equivalentemente, se puede utilizar la notaci´on de Leibnitz d
dx que se encuentra en la barra de la izquierdaExpression:
Agreguemos algo que necesitaremos para resolver algunos de los ejercicios. Para definir funciones con varias leyes en Maple se usa el comando piecewise. Tambi´en se puede usar la plantilla establecida en la barra Expression. Recordemos que el operador de asignaci´on es := (asigna el valor de la izquierda al nombre de la derecha). Entonces por ejemplo:
Ejercicios
1. Grafica las siguientes funciones junto con sus funciones derivadas en los intervalos indicados y conjetura relaciones entre ellas:
a) f(x) = senx+ cosx 2,x∈[−2π,2π] b) f(x) =x3 −2x2 −x+ 2, x∈[−2,3] c) f(x) = senx|x|,x∈[−2π,2π] d) f(x) = x2 x >0 −x2 x≤0 , x∈[−3,3] e) f(x) =|senx|,x∈[−5,5]
La funci´on derivada no existe en aquellos puntos donde
... En los intervalos donde la funci´on es creciente, la funci´on derivada es ... En los intervalos donde la funci´on es decreciente, la funci´on derivada es ... En los puntos donde hay un extremo (m´aximo o m´ınimo) local de la funci´on,
la funci´on derivada puede ser ... o bien ...
¡Atenci´on! Grafica la siguiente funci´on junto con su derivada seg´un la realiza el programa y analiza el resultado: f(x) = senx
|x| ,x∈[−2π,2π]
Puedes realizar derivadas de orden superior colocando el orden luego del signo $ en el comando diff:
2. Considera las funciones del ejercicio anterior y grafica cada una de ellas junto con su derivada segunda.
¿Puedes establecer alguna relaci´on entre el signo de la derivada segunda y la concavidad de la gr´afica de la funci´on? Si es as´ı ¿cu´al?
... ¿Puedes concluir algo acerca de la gr´afica de la funci´on en los puntos donde la derivada segunda se anula?
... ¿Y si se combina esta informaci´on con alguna relativa a la derivada primera? ... 3. a) Encuentra y grafica la recta tangente a la gr´afica de la funci´onf(x) =x3
−4x2
+x+6 en los puntos de abscisa: x=−1, x= 0, x= 1, x= 2 yx= 3.
b) Realiza el gr´afico de la funci´on anterior con una secuenciaanimadade rectas tangentes en los puntos (xi, f(xi)) para−1< xi <3.Ayuda: Puedes utilizar el comando seq
(con la opci´oninsequence=true) y hacer variar la abscisa del punto donde se calcula la recta tangente de la forma xi =−1 +
i
5 para i de 0 a 20.
4. Al hacer las gr´aficas de una funci´on y su recta tangente en un determinado punto, habr´as notado que en general en las cercan´ıas del punto las ordenadas de los puntos sobre la funci´on y sobre la recta tangente son muy pr´oximos. Ver´as esto con m´as detalle cuando estudies aproximaciones lineales. En general, si x0 es la abscisa del punto de tangencia,
podemos decir que para x cercano a x0,f(x)≈l(x) =f(x0) +f
′
(x0) (x−x0).
Utiliza la ecuaci´on de la recta tangente en el punto que se indica, para aproximar el valor de la funci´on que se pide, y grafica la funci´on junto con la recta en un entorno del punto:
a) f(x) =√x, x0 = 4, f(3,5)
b) f(x) =x5
+ 37x,x0 = 1, f(1,2)
c) f(x) = x
x+ 1, x0 = 1, f(1,3)
5. Las aproximaciones realizadas en el ejercicio anterior pueden mejorar si en lugar de aprox-imar el valor de cada funci´on en el punto con el valor sobre la recta tangente se utiliza una par´abola que coindida con la funci´on en un punto adecuado, tenga la misma recta tangente a la curva en ese punto, y tenga la misma concavidad, cosa que se logra pidiendo
p(x0) = f(x0) p′ (x0) =f ′ (x0) p′′ (x0) =f ′′ (x0)
siendo p la funci´on cuya gr´afica es la par´abola. Encuentra esta par´abola para cada uno de los apartados del ejercicio anterior, graf´ıcala y utiliza su ecuaci´on para realizar la aproximaci´on del valor de la funci´on en el punto en cuesti´on.
6. Repite el ejercicio anterior con una funci´on c´ubica cque verifique:
c(x0) = f(x0) c′ (x0) = f ′ (x0) c′′ (x0) =f ′′ (x0) c′′′ (x0) = f ′′′ (x0)
7. Averigua sobre los Polinomios de Taylor, por ejemplo en el sitio
http://descartes.cnice.mec.es/materiales didacticos/Desarrollo serie taylor /Desarrollo en serie de taylor.htm,
e investiga el comando TaylorApproximation de Maple en el paqueteStudent[Calculus1].
2.
Funciones
raras
Conocemos que la funci´onf(x) =|x| es un t´ıpico ejemplo de una funci´on continua en un punto que no es derivable en ese punto. Existen tambi´en funciones continuas en todo punto que no son derivables en ning´un punto.
Tal es el caso, por ejemplo, de la funci´on blancmange o curva fractal de Takagi.
Esta funci´on f : R → R se obtiene como el l´ımite de una sucesi´on de sumas de funciones fn
continuas y peri´odicas cuyas gr´aficas son poligonales en forma de sierra.
Recordando que la funci´on menor entero se define para cada x como el mayor entero menor o igual que x, para x > 0 podemos expresar el resto de la divisi´on x/2 con cociente entero mediante la ley: mod (x) = x−2jx
2
k
(por ejemplo mod (7,15) = 1,15). Para cada n∈N0 definamos: fn(x) =
1
2n(1− |mod (2 n
x)−1|). Vemos las gr´aficas de las funciones f0, f1, f2, f3:
f0(x) = (1− |mod (x)−1|)
f1(x) =
1
f2(x) = 1 4(1− |mod (4x)−1|) f3(x) = 1 8(1− |mod (8x)−1|)
1 X n=0 1 2n (1− |mod (2 n x)−1|) 2 X n=0 1 2n (1− |mod (2 n x)−1|)
3 X n=0 1 2n (1− |mod (2 n x)−1|)
¿Qu´e sucede con la cantidad de puntos de no derivabilidad a medida que la cantidad de sumandos aumenta?
Para discutir:Si la cantidad de puntos de no derivabilidad defnaumenta a medida quencrece
¿por qu´e no considerar el l´ım
n→∞f
n(x) en lugar de l´ım n→∞
Pn
k=1fk(x) para pensar en una funci´on
que tiene infinitos puntos de no derivabilidad?