Primer Nivel Segunda Comunicación
Esta es una nueva comunicación que entablamos con los participantes de la Olimpíada. Como en las ocasiones anteriores queremos destacar la valorable actitud de aceptar los desafíos que traen aparejados el abordar las situaciones problemáticas. Situaciones que, en algunas oportunidades, traen reminiscencias de otras circunstancias ya transitadas y en otras oportunidades se transforman en verdaderos retos a superar. Esperamos que a partir de cualquiera de esas interpretaciones que realicen los intrépidos estudiantes que resuelven problemas, asuman la real dimensión de ese trabajo, y lo valioso que significa, nada más y nada menos, aceptar el desafío y salir airoso del mismo. Nosotros, particularmente, consideramos que salir airosos de un desafío significa: tomar la responsabilidad que la ocasión requiere, leer comprensivamente la problemática que se presente, poner en juego los conocimientos construidos y apropiados, ensayar posibles soluciones, enunciar en un lenguaje adecuado los argumentos que respaldan las respuestas, explicitar los resultados de manera que los demás los puedan entender, compartir y analizar otras respuestas y soluciones y sentir la satisfacción de haber realizado la tarea de manera plena y consciente.
No es poco lo que se está haciendo, tal vez en algunas oportunidades se sienta que el esfuerzo es grande y que no rinde frutos de manera inmediata, pero les podemos asegurar, desde nuestra experiencia, que estas acciones fortalecen tanto la capacidad creadora como la capacidad comunicativa.
¡Ojalá sigan sintiendo una gran satisfacción por la tarea emprendida!
Ahora planteamos unos problemas para practicar:
1) Los vértices A, B, C y D forman un cuadrado. Sobre los lados DC y AD se construyen triángulos equiláteros AFD y DEC respectivamente. Sea O el punto de intersección de las diagonales del cuadrado ABCD. Justifique si el triángulo FDE tiene menor, mayor o igual área que el triángulo DCO
(Como sugerencia considere la recta que contiene al lado FD) (Tomado en el examen 2013)
2) Por el mundial, la gaseosa preferida de Martín ofrece la siguiente promoción:
“Para que disfrutes de los partidos con tu gaseosa favorita, te cambiamos 6 botellas vacías por una botella llena”
Si Martín tiene en su casa 51 botellas vacías, ¿cuántas botellas gratis podrá obtener con la promoción?
3) Hallar todas las soluciones reales de la siguiente ecuación: 1/3 . 33x = 27x – 6
4) Carolina y Lucía se estrenan para el próximo maratón. Carolina comienza corriendo 500 metros y agrega cada día, 500 metros más; en cambio Lucía, un poco más vaga, empieza con 200 metros y cada día aumenta la mitad de los metros recorridos el día anterior. ¿Será verdad que a los 15 días de haber empezado el entrenamiento, Lucía llevaría recorrido el triplo de lo recorrido por Carolina?
5) Sabiendo que 2x-1 es un divisor del polinomio P(x)= (1- k) x2 – x + 4 – k, se pide hallar otro divisor de P(x).
6) Para un determinado producto, no de primera necesidad, los consumidores deciden no adquirirlo si el precio es de $50, y en cambio, si el precio bajara un 20%, adquirirían 4 productos. Suponiendo que se trata de una función lineal, indicar
a) ¿Cuál sería el ingreso para un comerciante que llega a vender 15 de esos productos? b) ¿Cuál sería el ingreso máximo para ese mismo comerciante?
7 ) En varios mapas aparecen las ciudades Los Rosales, Los Cardos y Las Gaviotas. Como en el aula había mapas de distintos tamaños, la Profesora de Matemática les propuso a sus alumnos la siguiente actividad: “Midan en el mapa nº 1 la distancia “lineal” que hay entre las distintas ciudades. La respuesta de sus alumnos fue, entre Los Rosales y Los Cardos hay 15cm de distancia, entre Los Cardos y Las Gaviotas hay 20cm y entre Los Rosales y Las Gaviotas hay 14cm”. Luego la Profesora les propuso que analizaran: “Si en el mapa nº 2 la distancia entre Los Rosales y Las Gaviotas es de 21cm, ¿cuál será
la distancia, en el mapa, entre cada una de las ciudades?” ¿Qué habrán respondido los alumnos? Nosotros no podemos ver el mapa, pero ¿podemos suponer que las ciudades forman un triángulo, si las “unimos” de a dos con segmentos de recta?
8) Un camino recto en la ciudad de Jujuy, tiene una inclinación de 20° con respecto a la horizontal. Desde un bar (A) situado en el camino, una persona ve un helicóptero con un ángulo de elevación de 55° y en el mismo instante, desde otro bar (B) situado a 200 metros del anterior, otra persona lo ve pero con un ángulo de elevación de 65°. Encontrar la distancia desde el punto B al helicóptero y la altura con respecto a la horizontal que viaja el helicóptero.
9) Dos amigos juegan una partida de dominó, hallar la probabilidad de que al levantar una de las fichas se obtenga un número de puntos que sea mayor que 8 o múltiplo de 5.
1 0 ) ¿ Q u é n ú m e r o s r e a l e s v e r i f i c a r á n l a s i g u i e n t e i n e c u a c i ó n x3 – 2x2 – x < –2?
11) Se realizó una encuesta en una ciudad de Buenos Aires preguntando a las personas si fumaban o si bebían. Se obtuvieron los siguientes resultados:
El 30% de la población fuma, el 35% de la población bebe y el 70% de los que fuman, también beben. ¿Qué porcentaje de la población no fuma ni bebe?
A
12) Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 se pueden formar distintos números si a esas cifras se las agrupa de manera creciente y sin repetirlas. Utilizando únicamente las operaciones de suma y de resta, se puede operar con esos números para obtener distintos resultados. Por ejemplo, al número 40 se lo puede obtener mediante la combinación de esos números y operaciones: 12 + 34 – 5 + 6 – 7. ¿Qué agrupamiento, bajo las mismas condiciones, se podría hacer para obtener el número 55?
Si ahora las cifras son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, ¿cómo se podría obtener, bajo las mismas condiciones, el número 30?
13) ¿Cuál es el menor número, entero positivo, divisible por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9?
14) A través de un estudio de mercado, se llegó a la conclusión que cuando un equipo de
audio se pone obsoleto su precio se deprecia linealmente según la ecuación
P = A. ) n x
(1 , en donde “A” es el precio inicial del equipo, “n” es el tiempo que debe transcurrir, en años, para que pierda todo el precio inicial, y “x” el precio actual (0 ≤ x ≤ n). Si el equipo costaba inicialmente $5400 y se deprecia totalmente a los 20 años, ¿en qué período de tiempo el precio cumplirá la relación $1350 ≤ P ≤ $3240?
15) Un lápiz tiene forma de prisma hexagonal y en su interior tiene una mina de grafito de forma cilíndrica. Si el lápiz tiene 18mm de largo, los lados del hexágono miden 4mm y la mina tiene 3mm de “ancho”, ¿cuál será el volumen de la parte del lápiz que no está ocupado por la mina?
Respuestas:
1) Los triángulos tienen igual área 2) 10 botellas
4) No es verdad, Carolina llevará recorrido 60.000 m y Lucía 174.757,56 m (aproximadamente)
5) – x – 1
6) I(15) = $187,50 , Ingreso máximo: $250
7) 21 cm; 22,5 cm; 30 cm . Sí, podemos suponer que forman un triángulo (cumplen la relación triangular)
8) Distancia del punto B al helicóptero: 943,46 m (aprox); Altura del helicóptero: 1.008,28 m (aprox)
9) 5/14 10)
