APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA INGENIERIA CURVA DEL CABLE COLGANTE BAJO SU PROPIO PESO

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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA INGENIERIA

CURVA DEL CABLE COLGANTE BAJO SU PROPIO PESO

ECUACIÓN DEL CABLE COLGANTE BAJO SU PROPIO PESO

Se considera el caso de un cable colgado en sus extremos a una misma altura y se quiere establecer la ecuación cartesiana de la curva asumida por el cable debido a la acción de la gravedad.

En la siguiente figura se muestra un cable colgante suspendido en sus extremos a una misma altura.

Figura 1 Forma del cable colgando bajo la acción de su propio peso, con apoyos a igual altura

Para deducir la ecuación de la curva del cable colgando bajo la acción de su propio peso, se establece el origen del sistema cartesiano en el extremo inferior izquierdo del apoyo de la curva y se indican las siguientes variables:

𝐻𝐻 = Altura de los puntos de suspensión

𝐿𝐿 = Longitud entre puntos de suspensión

𝑤𝑤 = Peso específico lineal

ℎ = Distancia de caída en un punto de la curva

𝑦𝑦 = Altura de un punto de la curva

𝑥𝑥 = Distancia de un punto de la curva

(2)

Se realiza el análisis estático de un segmento del cable entre dos puntos de la curva, tal como se muestra en la siguiente figura:

Figura 2 Análisis estático de un segmento de curva

El punto P1 corresponde al punto más bajo sobre el cable colgante y el punto P2 es un punto arbitrario. Ambos puntos tienen fuerzas de tensión T1 y T2, respectivamente, las cuales actúan sobre líneas de acción tangentes a la curva en sus respectivos puntos.

El vector W corresponde al peso del segmento de cable. Realizando el análisis estático del segmento de cable:

� 𝐹𝐹𝑥𝑥 = 0 𝑇𝑇2cos𝜃𝜃 − 𝑇𝑇1 = 0  𝑇𝑇2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 = 𝑇𝑇1 Ec 1 � 𝐹𝐹𝑦𝑦 = 0 𝑇𝑇2sin𝜃𝜃 − 𝑊𝑊 = 0  𝑇𝑇2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃= 𝑊𝑊 Ec 2 Dividiendo Ec 1 entre Ec 2: 𝑇𝑇2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 𝑇𝑇2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 = 𝑊𝑊 𝑇𝑇1 Simplificando algebraicamente: 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝜃𝜃 = 𝑊𝑊 𝑇𝑇1 Aplicando identidad trigonométrica1:

1𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝜃𝜃=𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 P1 P2 θ W T2 T1 T2Sen θ T2Cos θ fabedupeper@gmail.com Página 2 de 41

(3)

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝜃𝜃 =𝑊𝑊𝑇𝑇 1

Ec 3

La Ec 3 se interpreta vectorialmente de la siguiente manera:

Figura 3 Interpretación vectorial de las fuerzas actuantes en el segmento de cable

Al utilizar el teorema de Pitágoras:

𝑇𝑇22 =𝑇𝑇12+𝑊𝑊2

Ec 4

Hallando raíz cuadrada:

𝑇𝑇2 =�𝑇𝑇12+𝑊𝑊2

Ec 5

La expresión Ec 5 permite hallar la tensión en el punto P2 conociendo la tensión T1 y el peso del segmento de cable.

El peso del segmento es el producto del peso específico lineal del cable2 (𝑤𝑤) y la longitud del segmento (𝑆𝑆), es decir:

𝑊𝑊 =𝑤𝑤𝑆𝑆 Ec 6 Reemplazando Ec 6 en Ec 3: 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝜃𝜃=𝑤𝑤𝑆𝑆𝑇𝑇 1 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝜃𝜃=𝑇𝑇𝑤𝑤 1𝑆𝑆 Ec 7

La línea de acción de la tensión T2 actúa sobre la línea tangente al cable en el punto P2, entonces, la pendiente de la recta tangente al cable en el punto P2 es igual a la pendiente del vector de la tensión T2:

2 El peso específico lineal es el producto de la densidad lineal (masa por unidad de longitud) y la gravedad.

T1 T2 W θ fabedupeper@gmail.com Página 3 de 41

(4)

𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠𝑝𝑝𝑝𝑝𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑠𝑠= 𝑚𝑚= 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝜃𝜃 Ec 8

La pendiente de la recta tangente en un punto de una curva es igual a la primera derivada de la función descrita por la curva3:

𝑚𝑚 =𝑝𝑝𝑦𝑦𝑝𝑝𝑥𝑥 Ec 9 Igualando Ec 8 y Ec 9: 𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥 =𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝜃𝜃 Ec 10 Reemplazando Ec 7 en Ec 10: 𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 𝑤𝑤 𝑇𝑇1𝑆𝑆 Ec 11

En la ecuación diferencial Ec 11, la variable 𝑆𝑆 depende de la distancia 𝑥𝑥, existente entre el punto P1 y P2. Derivando la Ec 11: 𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑥𝑥 � 𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥�= 𝑤𝑤 𝑇𝑇1 𝑝𝑝𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑥𝑥 𝑝𝑝2𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥2 = 𝑤𝑤 𝑇𝑇1 𝑝𝑝𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑥𝑥 Ec 12

Para expresar el diferencial 𝑝𝑝𝑆𝑆 en función de 𝑝𝑝𝑥𝑥, se utiliza la siguiente figura:

Figura 4 Relación geométrica de los diferenciales de longitud

Utilizando el teorema de Pitágoras:

𝑝𝑝𝑆𝑆2 =𝑝𝑝𝑥𝑥2+𝑝𝑝𝑦𝑦2 Dividiendo entre 𝑝𝑝𝑥𝑥2:

3 Explicación del cálculo diferencial

𝑝𝑝𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑥𝑥

𝑝𝑝𝑦𝑦

fabedupeper@gmail.com Página 4 de 41

(5)

𝑝𝑝𝑆𝑆2 𝑝𝑝𝑥𝑥2 = 𝑝𝑝𝑥𝑥2 𝑝𝑝𝑥𝑥2+ 𝑝𝑝𝑦𝑦2 𝑝𝑝𝑥𝑥2 Simplificando: 𝑝𝑝𝑆𝑆2 𝑝𝑝𝑥𝑥2 = 1 + 𝑝𝑝𝑦𝑦2 𝑝𝑝𝑥𝑥2 Hallando raíz cuadrada:

�𝑝𝑝𝑆𝑆2 𝑝𝑝𝑥𝑥2 = �1 + 𝑝𝑝𝑦𝑦2 𝑝𝑝𝑥𝑥2 Simplificando: 𝑝𝑝𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑥𝑥 =�1 +� 𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥� 2 Ec 13 Reemplazando Ec 13 en Ec 12: 𝑝𝑝2𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥2 = 𝑤𝑤 𝑇𝑇1 𝑝𝑝𝑆𝑆 𝑝𝑝𝑥𝑥 𝑝𝑝2𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥2 = 𝑤𝑤 𝑇𝑇1 �1 +𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥� 2 Ec 14

Para resolver la ecuación diferencial Ec 14, se realiza un cambio de variable. Expresando Ec 14 de la siguiente manera:

𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑥𝑥 � 𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥�= 𝑤𝑤 𝑇𝑇1�1 +� 𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥� 2 Ec 15

Se utiliza el siguiente cambio de variable:

𝑢𝑢= 𝑝𝑝𝑦𝑦𝑝𝑝𝑥𝑥 Ec 16 Reemplazando Ec 16 en Ec15: 𝑝𝑝𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 𝑤𝑤 𝑇𝑇1�1 +𝑢𝑢 2 Separando variables: fabedupeper@gmail.com Página 5 de 41

(6)

𝑝𝑝𝑢𝑢 √1 +𝑢𝑢2 = 𝑤𝑤 𝑇𝑇1𝑝𝑝𝑥𝑥 Integrando: � 𝑝𝑝𝑢𝑢 �

1 +

𝑢𝑢

2 = �

𝑤𝑤

𝑇𝑇

1

𝑝𝑝𝑥𝑥

Simplificando: � 𝑝𝑝𝑢𝑢 √1 +𝑢𝑢2 = 𝑤𝑤 𝑇𝑇1� 𝑝𝑝𝑥𝑥 Hallando la integral4: 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ (𝑢𝑢) =𝑇𝑇𝑤𝑤 1𝑥𝑥+𝐶𝐶1 Aplicando seno hiperbólico:

𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ�𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ (𝑢𝑢)�= 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝑇𝑇𝑤𝑤 1𝑥𝑥+𝐶𝐶1� Usando propiedades5: 𝑢𝑢 = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �

𝑇𝑇

𝑤𝑤

1

𝑥𝑥

+

𝐶𝐶

1� Reemplazando la Ec 16: 𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ � 𝑤𝑤 𝑇𝑇1𝑥𝑥+𝐶𝐶1� Ec 17

Para hallar el valor de la constante 𝐶𝐶1 recordamos la asignación del sistema cartesiano asumido anteriormente. En la mitad de la distancia 𝐿𝐿, el punto más bajo del cable, la pendiente de la recta tangente a la curva es igual a cero, es decir cuando 𝑥𝑥=𝐿𝐿⁄2 entonces la pendiente es 𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥⁄ = 0:

𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ � 𝑤𝑤 𝑇𝑇1𝑥𝑥+𝐶𝐶1� 0 =𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ ��𝑇𝑇𝑤𝑤 1� � 𝐿𝐿 2�+𝐶𝐶1� Hallando arco seno hiperbólico6:

𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ (0) = 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ ��𝑇𝑇𝑤𝑤 1� � 𝐿𝐿 2�+𝐶𝐶1�� Aplicando propiedades7: 0 =2𝑤𝑤𝐿𝐿𝑇𝑇 1 +

𝐶𝐶

1 4 Ver APÉNDICE 1 5𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ�𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ (𝑢𝑢)=𝑢𝑢 6𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ (0) = 0 7𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ�𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ(𝑢𝑢)=𝑢𝑢 fabedupeper@gmail.com Página 6 de 41

(7)

Despejando: 𝐶𝐶1 =−2𝑤𝑤𝐿𝐿𝑇𝑇 1 Ec 18 Reemplazando Ec 18 en Ec 17: 𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ � 𝑤𝑤 𝑇𝑇1𝑥𝑥+𝐶𝐶1� Sustituyendo: 𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ � 𝑤𝑤 𝑇𝑇1𝑥𝑥 − 𝑤𝑤𝐿𝐿 2𝑇𝑇1� Factorizando: 𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ � 𝑤𝑤 𝑇𝑇1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� Ec 19 Separando variables: 𝑝𝑝𝑦𝑦= 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� 𝑝𝑝𝑥𝑥 Integrando: � 𝑝𝑝𝑦𝑦= � 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� 𝑝𝑝𝑥𝑥 Ec 20

Usando cambio de variable:

𝑣𝑣= 𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2� Ec 21 Derivando: 𝑝𝑝𝑣𝑣 = 𝑤𝑤 𝑇𝑇1𝑝𝑝𝑥𝑥 Despejando: 𝑇𝑇1 𝑤𝑤 𝑝𝑝𝑣𝑣= 𝑝𝑝𝑥𝑥 Ec 22 Reemplazando Ec 21 y Ec22 en Ec 20: � 𝑝𝑝𝑦𝑦= � 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� 𝑝𝑝𝑥𝑥 � 𝑝𝑝𝑦𝑦=�𝑇𝑇𝑤𝑤 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ1 (𝑣𝑣)𝑝𝑝𝑣𝑣 Simplificando: fabedupeper@gmail.com Página 7 de 41

(8)

� 𝑝𝑝𝑦𝑦=𝑇𝑇𝑤𝑤 � 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ1 (𝑣𝑣)𝑝𝑝𝑣𝑣 Integrando: 𝑦𝑦= 𝑇𝑇𝑤𝑤 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ1 (𝑣𝑣) +𝐶𝐶2 Reemplazando Ec 20: 𝑦𝑦= 𝑇𝑇𝑤𝑤 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �1 𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2��+𝐶𝐶2 Ec 23

Para hallar el valor de la constante 𝐶𝐶2 en Ec 23, se tienen dos opciones:

• Cuando el valor de 𝑥𝑥= 0

• Cuando 𝑥𝑥=𝐿𝐿⁄2

Constante 𝐶𝐶2 cuando el valor de 𝑥𝑥= 0

Cuando el valor de la distancia es 𝑥𝑥= 0, el valor de la altura es 𝑦𝑦= 𝐻𝐻. Reemplazando estos valores en Ec 23:

𝑦𝑦= 𝑇𝑇𝑤𝑤 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �1 𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2��+𝐶𝐶2 Reemplazando: 𝐻𝐻 =𝑇𝑇1 𝑤𝑤 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤 𝑇𝑇1�0− 𝐿𝐿 2��+𝐶𝐶2 Reduciendo: 𝐻𝐻= 𝑇𝑇𝑤𝑤 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �−1 𝑇𝑇𝑤𝑤 1 𝐿𝐿 2�+𝐶𝐶2 Aplicando identidad hiperbólica8:

𝐻𝐻 =𝑇𝑇1 𝑤𝑤 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤𝐿𝐿 2𝑇𝑇1�+𝐶𝐶2 Despejando: 𝐻𝐻 −𝑇𝑇𝑤𝑤 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �1 2𝑤𝑤𝐿𝐿𝑇𝑇 1�=𝐶𝐶2 Ec 24 Reemplazando Ec 24 en Ec 23: 𝑦𝑦= 𝑇𝑇𝑤𝑤 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �1 𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2��+𝐶𝐶2 Sustituyendo: 8cosh(−𝑥𝑥) = cosh𝑥𝑥 fabedupeper@gmail.com Página 8 de 41

(9)

𝑦𝑦=𝑇𝑇𝑤𝑤 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �1 𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2��+𝐻𝐻 − 𝑇𝑇1 𝑤𝑤 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤𝐿𝐿 2𝑇𝑇1� Reordenando: 𝑦𝑦=𝐻𝐻+𝑇𝑇𝑤𝑤 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �1 𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� − 𝑇𝑇1 𝑤𝑤 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤𝐿𝐿 2𝑇𝑇1� Factorizando: 𝒚𝒚=𝑯𝑯+𝑻𝑻𝒘𝒘 �𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �𝟏𝟏 𝑻𝑻𝒘𝒘 𝟏𝟏�𝒙𝒙 − 𝑳𝑳 𝟐𝟐�� − 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 � 𝒘𝒘𝑳𝑳 𝟐𝟐𝑻𝑻𝟏𝟏�� Fórmula 1 Ecuación de la curva del cable colgante, con constantes 𝐻𝐻,𝐿𝐿,𝑤𝑤,𝑇𝑇1

Constante 𝐶𝐶2 cuando el valor de 𝑥𝑥=𝐿𝐿⁄2

Cuando el valor de la distancia es 𝑥𝑥=𝐿𝐿⁄2, el valor de la altura es 𝑦𝑦= a. Reemplazando estos valores en Ec 23:

𝑦𝑦= 𝑇𝑇𝑤𝑤 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �1 𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2��+𝐶𝐶2 Reemplazando: a =𝑇𝑇𝑤𝑤 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �1 𝑇𝑇𝑤𝑤 1� 𝐿𝐿 2− 𝐿𝐿 2��+𝐶𝐶2 Simplificando: a =𝑇𝑇𝑤𝑤 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ1 (0) +𝐶𝐶2 Aplicando función hiperbólica9:

a =𝑇𝑇𝑤𝑤1+𝐶𝐶2 Despejando: a−𝑇𝑇𝑤𝑤1 =𝐶𝐶2 Ec 25 Reemplazando Ec 25 en Ec 23: 𝑦𝑦= 𝑇𝑇𝑤𝑤 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �1 𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2��+𝐶𝐶2 Sustituyendo: 𝑦𝑦 =𝑇𝑇𝑤𝑤 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �1 𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2��+ a− 𝑇𝑇1 𝑤𝑤 Simplificando: 9cosh(0) = 1 fabedupeper@gmail.com Página 9 de 41

(10)

𝒚𝒚=𝐚𝐚+𝑻𝑻𝒘𝒘 �𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �𝟏𝟏 𝑻𝑻𝒘𝒘 𝟏𝟏�𝒙𝒙 −

𝑳𝑳

𝟐𝟐�� − 𝟏𝟏�

Fórmula 2 Ecuación de la curva del cable colgante, con constantes 𝑡𝑡,𝐿𝐿,𝑤𝑤,𝑇𝑇1

RELACIÓN ENTRE LAS VARIABLES 𝒘𝒘𝑯𝑯, 𝑳𝑳 y 𝐚𝐚

Utilizando la Fórmula 1: 𝑦𝑦 =𝐻𝐻+𝑇𝑇𝑤𝑤 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �1 𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤𝐿𝐿 2𝑇𝑇1�� Trasladando 𝐻𝐻: 𝑦𝑦 − 𝐻𝐻 =𝑇𝑇𝑤𝑤 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �1 𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤𝐿𝐿 2𝑇𝑇1�� Despejando: 𝑤𝑤 𝑇𝑇1(𝑦𝑦 − 𝐻𝐻) =�𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤 𝑇𝑇1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤𝐿𝐿 2𝑇𝑇1�� Eliminando agrupador: 𝑤𝑤 𝑇𝑇1(𝑦𝑦 − 𝐻𝐻) =𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤 𝑇𝑇1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤𝐿𝐿 2𝑇𝑇1� Despejando: 𝑤𝑤 𝑇𝑇1(𝑦𝑦 − 𝐻𝐻) +𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤𝐿𝐿 2𝑇𝑇1�=𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤 𝑇𝑇1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� Ec 26 Utilizando la fórmula 2: 𝑦𝑦= a +𝑇𝑇𝑤𝑤 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �1 𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� −1� Trasladando 𝑡𝑡: 𝑦𝑦 −a = 𝑇𝑇1 𝑤𝑤 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤 𝑇𝑇1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� −1� Despejando: 𝑤𝑤 𝑇𝑇1(𝑦𝑦 −a) =�𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤 𝑇𝑇1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� −1� Eliminando agrupador: 𝑤𝑤 𝑇𝑇1(𝑦𝑦 −a) =𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤 𝑇𝑇1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� −1 Despejando: 𝑤𝑤 𝑇𝑇1(𝑦𝑦 −a) + 1 =𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤 𝑇𝑇1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� Ec 27 Igualando Ec 26 y Ec 27: fabedupeper@gmail.com Página 10 de 41

(11)

𝑤𝑤 𝑇𝑇1(𝑦𝑦 − 𝐻𝐻) +𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤𝐿𝐿 2𝑇𝑇1�= 𝑤𝑤 𝑇𝑇1(𝑦𝑦 −a) + 1 Reordenando: 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �2𝑤𝑤𝐿𝐿𝑇𝑇 1�= 𝑤𝑤 𝑇𝑇1(𝑦𝑦 −a)− 𝑤𝑤 𝑇𝑇1(𝑦𝑦 − 𝐻𝐻) + 1 Factorizando: 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �2𝑤𝑤𝐿𝐿𝑇𝑇 1�= 𝑤𝑤 𝑇𝑇1[(𝑦𝑦 −a)−(𝑦𝑦 − 𝐻𝐻)] + 1 Suprimiendo paréntesis: 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �2𝑤𝑤𝐿𝐿𝑇𝑇 1�= 𝑤𝑤 𝑇𝑇1[𝑦𝑦 −a− 𝑦𝑦+𝐻𝐻] + 1 Eliminando: 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �2𝑤𝑤𝐿𝐿𝑇𝑇 1�= 𝑤𝑤 𝑇𝑇1(−a +𝐻𝐻) + 1 Reordenando: 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �𝟐𝟐𝑻𝑻𝒘𝒘𝑳𝑳 𝟏𝟏�= 𝒘𝒘 𝑻𝑻𝟏𝟏(𝑯𝑯 − 𝐚𝐚) +𝟏𝟏

Fórmula 3 Relación entre las variables de un cable colgante, con constantes a,𝐻𝐻,𝐿𝐿,𝑤𝑤,𝑇𝑇1

Con la fórmula 3 se puede determinar el valor de la tensión mínima 𝑇𝑇1, teniendo el valor de las constantes 𝑡𝑡,𝐻𝐻,𝐿𝐿,𝑤𝑤.

La curva descrita por la acción de la fuerza de gravedad sobre un cable colgante, sostenido en sus extremos a una misma altura y sometido al efecto de su propio peso, se denomina: catenaria10.

ECUACIÓN DE LA ALTURA DE CAÍDA DE LA CATENARIA

Para encontrar la ecuación de la distancia de caída de la catenaria en cualquier punto sobre la curva y conociendo la distancia 𝑥𝑥del punto al eje cartesiano, se utiliza la fórmula 1: 𝑦𝑦 =𝐻𝐻+𝑇𝑇𝑤𝑤 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �1 𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤𝐿𝐿 2𝑇𝑇1�� Despejando: −𝑇𝑇𝑤𝑤 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �1 𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤𝐿𝐿 2𝑇𝑇1��= 𝐻𝐻 − 𝑦𝑦

10 Catenaria: curva ideal que representa físicamente la curva generada por una cadena o cuerda o cable sin

rigidez flexional, suspendida de sus dos extremos y sometida a un campo gravitatorio uniforme.

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(12)

Trasladando: 𝐻𝐻 − 𝑦𝑦 =−𝑇𝑇𝑤𝑤 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �1 𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤𝐿𝐿 2𝑇𝑇1�� Multiplicando por -1: 𝐻𝐻 − 𝑦𝑦=𝑇𝑇𝑤𝑤 �−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �1 𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2��+𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤𝐿𝐿 2𝑇𝑇1�� Reordenando: 𝐻𝐻 − 𝑦𝑦 =𝑇𝑇𝑤𝑤 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �1 2𝑤𝑤𝐿𝐿𝑇𝑇 1� − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤 𝑇𝑇1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2��� Reemplazando: 𝐻𝐻 − 𝑦𝑦 =ℎ Sustituyendo: 𝒄𝒄 =𝑻𝑻𝒘𝒘 �𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �𝟏𝟏 𝟐𝟐𝑻𝑻𝒘𝒘𝑳𝑳 𝟏𝟏� − 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 � 𝒘𝒘 𝑻𝑻𝟏𝟏�𝒙𝒙 − 𝑳𝑳 𝟐𝟐���

Fórmula 4 Distancia vertical de caída de la catenaria, con constantes 𝐿𝐿,𝑤𝑤,𝑇𝑇1

LONGITUD DE LA CATENARIA

Para calcular la longitud 𝑆𝑆 del cable colgante bajo la acción de su propio peso se utiliza la integral de longitud de arco evaluándola desde cero hasta la longitud 𝐿𝐿:

𝑆𝑆=� �1 +�𝑝𝑝𝑦𝑦𝑝𝑝𝑥𝑥�2𝑝𝑝𝑥𝑥 𝐿𝐿 0 Ec 28 Reemplazando Ec 19 en Ec 28: 𝑆𝑆= � �1 +�

𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ

𝑇𝑇

𝑤𝑤

1�

𝑥𝑥 −

𝐿𝐿

2

��� 2 𝑝𝑝𝑥𝑥 𝐿𝐿 0

Sustituyendo identidad hiperbólica11:

𝑆𝑆=� ��

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ

𝑇𝑇1

𝑤𝑤

𝑥𝑥 −

𝐿𝐿

2

���

2 𝐿𝐿

0

𝑝𝑝𝑥𝑥

Hallando raíz cuadrada:

𝑆𝑆=� 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� 𝐿𝐿 0 𝑝𝑝𝑥𝑥 Ec 29 11(cosh (𝑥𝑥))2= 1 + (𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ(𝑥𝑥))2 fabedupeper@gmail.com Página 12 de 41

(13)

Haciendo cambio de variable: 𝑢𝑢 = 𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2� Ec 30 Derivando: 𝑝𝑝𝑢𝑢=𝑇𝑇𝑤𝑤 1𝑝𝑝𝑥𝑥 Separando variable: 𝑇𝑇1 𝑤𝑤 𝑝𝑝𝑢𝑢= 𝑝𝑝𝑥𝑥 Ec 31 Reemplazando Ec 30 y Ec 31 en Ec29: 𝑆𝑆= �𝑇𝑇𝑤𝑤 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ1 (𝑢𝑢)𝑝𝑝𝑢𝑢 𝐿𝐿 0 Simplificando: 𝑆𝑆= 𝑇𝑇𝑤𝑤 � 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ1 (𝑢𝑢)𝑝𝑝𝑢𝑢 𝐿𝐿 0 Integrando: 𝑆𝑆= 𝑇𝑇𝑤𝑤1[𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ(𝑢𝑢)|0𝐿𝐿] Reemplazando Ec 30: 𝑆𝑆=𝑇𝑇𝑤𝑤 �𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �1 𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2���0 𝐿𝐿 �

Resolviendo los límites:

𝑆𝑆=𝑇𝑇𝑤𝑤 �𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �1 𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝐿𝐿 − 𝐿𝐿 2�� − 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ � 𝑤𝑤 𝑇𝑇1�0− 𝐿𝐿 2��� Simplificando: 𝑆𝑆=𝑇𝑇𝑤𝑤 �𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �1 𝑇𝑇𝑤𝑤 1� 𝐿𝐿 2�� − 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ � 𝑤𝑤 𝑇𝑇1�− 𝐿𝐿 2��� Simplificando: 𝑆𝑆=𝑇𝑇𝑤𝑤 �𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �1 2𝑤𝑤𝐿𝐿𝑇𝑇 1� − 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �− 𝑤𝑤𝐿𝐿 2𝑇𝑇1�� Por propiedad12: 𝑆𝑆= 𝑇𝑇𝑤𝑤 �𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �1 2𝑤𝑤𝐿𝐿𝑇𝑇 1� − �−𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ � 𝑤𝑤𝐿𝐿 2𝑇𝑇1��� Reduciendo: 𝑆𝑆=𝑇𝑇𝑤𝑤 �𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �1 2𝑤𝑤𝐿𝐿𝑇𝑇 1�+𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ � 𝑤𝑤𝐿𝐿 2𝑇𝑇1�� Reduciendo: 12𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ(−𝑥𝑥) =−𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ(𝑥𝑥) fabedupeper@gmail.com Página 13 de 41

(14)

𝑆𝑆=𝑇𝑇𝑤𝑤 �1 2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �2𝑤𝑤𝐿𝐿𝑇𝑇

1�� Reordenando:

𝑺𝑺= 𝟐𝟐𝑻𝑻𝒘𝒘 �𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒄𝒄 �𝟏𝟏 𝟐𝟐𝑻𝑻𝒘𝒘𝑳𝑳 𝟏𝟏��

Fórmula 5 Longitud del cable colgante, con constantes 𝐿𝐿,𝑤𝑤,𝑇𝑇1

ECUACION DE LA TENSIÓN EN UN PUNTO DEL CABLE COLGANTE

Para encontrar el valor de la tensión en un punto determinado sobre el cable colgante bajo su propio peso y teniendo en cuenta la distancia 𝑥𝑥del punto al origen del plano cartesiano se utiliza la Ec 3:

𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝜃𝜃 =𝑊𝑊 𝑇𝑇1 Reemplazando en la Ec 10: 𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥 =𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝜃𝜃 𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 𝑊𝑊 𝑇𝑇1 Reemplazando la Ec 17: 𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ � 𝑤𝑤 𝑇𝑇1𝑥𝑥+𝐶𝐶1� 𝑊𝑊 𝑇𝑇1 =𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ � 𝑤𝑤 𝑇𝑇1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� Despejando: 𝑊𝑊

=

𝑇𝑇1

𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ

𝑇𝑇

𝑤𝑤

1�

𝑥𝑥 −

𝐿𝐿

2

�� Elevando al cuadrado: 𝑊𝑊2 =𝑇𝑇 12�

𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ

𝑇𝑇1

𝑤𝑤

𝑥𝑥 −

𝐿𝐿

2

��� 2 Reemplazando la Ec 4: 𝑇𝑇22 =𝑇𝑇12+𝑊𝑊2 Despejando: 𝑊𝑊2 =𝑇𝑇 22− 𝑇𝑇12 Igualando: 𝑊𝑊2 = 𝑇𝑇 22− 𝑇𝑇12 =𝑇𝑇12�

𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ

𝑇𝑇1

𝑤𝑤

𝑥𝑥 −

2

𝐿𝐿

��� 2 fabedupeper@gmail.com Página 14 de 41

(15)

𝑇𝑇22− 𝑇𝑇12 = 𝑇𝑇12�

𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ

𝑇𝑇

𝑤𝑤

1�

𝑥𝑥 −

𝐿𝐿

2

��� 2 Despejando: 𝑇𝑇22 =𝑇𝑇12+𝑇𝑇12�

𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ

𝑇𝑇1

𝑤𝑤

𝑥𝑥 −

𝐿𝐿

2

��� 2 Factorizando: 𝑇𝑇22 = 𝑇𝑇12�1 +�

𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ

𝑇𝑇1

𝑤𝑤

𝑥𝑥 −

𝐿𝐿

2

��� 2 �

Aplicando identidad hiperbólica13:

𝑇𝑇22 =𝑇𝑇12�

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ

𝑇𝑇1

𝑤𝑤

𝑥𝑥 −

𝐿𝐿

2

���

2 Hallando raíz cuadrada:

𝑇𝑇2 =𝑇𝑇1𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �

𝑇𝑇

𝑤𝑤

1�

𝑥𝑥 −

𝐿𝐿

2

��

𝑇𝑇2 Es la tensión en un punto arbitrario, se puede reemplazar por 𝑇𝑇.

𝑻𝑻= 𝑻𝑻𝟏𝟏𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �𝑻𝑻𝒘𝒘 𝟏𝟏�𝒙𝒙 −

𝑳𝑳 𝟐𝟐��

Fórmula 6 Tensión en un punto del cable colgante, con constantes 𝐿𝐿,𝑤𝑤,𝑇𝑇1

MAXIMA TENSIÓN EN UN CABLE COLGANTE BAJO SU PROPIO PESO

La máxima tensión se encuentra en los apoyos del cable, entonces, evaluando la fórmula 6 cuando 𝑥𝑥= 0: 𝑇𝑇=𝑇𝑇1𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� Reemplazando 𝑥𝑥= 0: 𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 =𝑇𝑇1𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝑇𝑇𝑤𝑤 1�0− 𝐿𝐿 2�� Simplificando: 𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥=𝑇𝑇1𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝑇𝑇𝑤𝑤 1�− 𝐿𝐿 2�� Reduciendo: 13(cosh (𝑥𝑥))2= 1 + (𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ(𝑥𝑥))2 fabedupeper@gmail.com Página 15 de 41

(16)

𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 = 𝑇𝑇1𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �−2𝑤𝑤𝐿𝐿𝑇𝑇 1� Aplicando propiedad14:

𝑻𝑻𝒎𝒎𝒎𝒎𝒙𝒙 =𝑻𝑻𝟏𝟏𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �𝟐𝟐𝑻𝑻𝒘𝒘𝑳𝑳 𝟏𝟏�

Fórmula 7 Tensión máxima en el cable colgante, con constantes 𝐿𝐿,𝑤𝑤,𝑇𝑇1

Si en la fórmula 6 se reemplaza 𝑥𝑥=𝐿𝐿⁄2 se obtiene 𝑇𝑇=𝑇𝑇1, equivalente a la tensión mínima en el punto más bajo de la catenaria.

MÁXIMA DISTANCIA DE CAIDA DE LA CATENARIA

Para calcular la distancia de la caída máxima de la catenaria, localizada en la mitad de la distancia entre los puntos de apoyo, se utiliza la fórmula 4 reemplazando 𝑥𝑥=

𝐿𝐿⁄2: ℎ= 𝑇𝑇𝑤𝑤 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �1 2𝑤𝑤𝐿𝐿𝑇𝑇 1� − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤 𝑇𝑇1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2��� Reemplazando 𝑥𝑥=𝐿𝐿⁄2: ℎ𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥= 𝑇𝑇𝑤𝑤 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �1 2𝑤𝑤𝐿𝐿𝑇𝑇 1� − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤 𝑇𝑇1� 𝐿𝐿 2− 𝐿𝐿 2��� Reduciendo: ℎ𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 =𝑇𝑇𝑤𝑤 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �1 2𝑤𝑤𝐿𝐿𝑇𝑇 1� − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ(0)� Por propiedad15: 𝒄𝒄𝒎𝒎𝒎𝒎𝒙𝒙 = 𝑻𝑻𝒘𝒘 �𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �𝟏𝟏 𝟐𝟐𝑻𝑻𝒘𝒘𝑳𝑳 𝟏𝟏� − 𝟏𝟏�

Fórmula 8 Máxima Distancia vertical de caída del cable colgante, con constantes 𝐿𝐿,𝑤𝑤,𝑇𝑇1

CONSTANTE GEOMÉTRICA DE UN CABLE COLGANTE BAJO SU PROPIO PESO

Cada cable colgante tiene dos constantes relacionadas con sus características físicas y mecánicas.

14cosh(−𝑥𝑥) =𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ(𝑥𝑥) 15𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ(0) = 1

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(17)

𝑤𝑤 = Peso específico lineal

𝑇𝑇1 = Tensión mínima

Llamaremos constante geométrica de un cable colgante a la siguiente relación:

𝜶𝜶 =𝑻𝑻𝒘𝒘 𝟏𝟏

Fórmula 9 Constante geométrica del cable colgante, con constantes 𝑤𝑤,𝑇𝑇1

En función de la fórmula 9 se obtienen las siguientes expresiones.

Relación entre las variables 𝛼𝛼𝐻𝐻, 𝐿𝐿 y a

Utilizando la fórmula 3: 𝒄𝒄𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �2𝑤𝑤𝐿𝐿𝑇𝑇 1�= 𝑤𝑤 𝑇𝑇1(𝐻𝐻 −a) + 1 Reemplazando la fórmula 9: 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛼𝛼𝐿𝐿2�= 𝛼𝛼(𝐻𝐻 −a) + 1 Despejando: 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛼𝛼𝐿𝐿2� −1 =𝛼𝛼(𝐻𝐻 −a) Multiplicando: 1 𝛼𝛼 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛼𝛼 𝐿𝐿 2� −1�=𝐻𝐻 −a Despejando: a +𝛼𝛼 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛼𝛼1 𝐿𝐿2� −1�= 𝐻𝐻 Trasladando: 𝑯𝑯=𝐚𝐚+𝟏𝟏𝜶𝜶 �𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �𝜶𝜶𝑳𝑳𝟐𝟐� − 𝟏𝟏�

Fórmula 10 Relación entre las variables de un cable colgante, con constantes a,𝐻𝐻,𝐿𝐿,𝛼𝛼

La fórmula 10 es una ecuación transcendente, se usa para determinar la constante característica 𝛼𝛼 de un cable colgante bajo su propio peso, conociendo la geometría de la curva catenaria.

Ecuación del cable colgante bajo su propio peso

(18)

Utilizando la fórmula 1: 𝑦𝑦 =𝐻𝐻+𝑇𝑇𝑤𝑤 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �1 𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤𝐿𝐿 2𝑇𝑇1�� Reordenando: 𝑦𝑦= 𝐻𝐻+ 𝑤𝑤1 𝑇𝑇1 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤 𝑇𝑇1 𝐿𝐿 2�� Reemplazando la fórmula 9: 𝒚𝒚= 𝑯𝑯+𝜶𝜶 �𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �𝜶𝜶 �𝒙𝒙 −𝟏𝟏 𝑳𝑳𝟐𝟐�� − 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �𝜶𝜶𝑳𝑳𝟐𝟐�� Fórmula 11 Ecuación de la curva del cable colgante, con constantes 𝐻𝐻,𝐿𝐿,𝛼𝛼

Utilizando la fórmula 2: 𝑦𝑦= a +𝑇𝑇1 𝑤𝑤 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤 𝑇𝑇1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� −1� Reordenando: 𝑦𝑦= a + 𝑤𝑤1 𝑇𝑇1 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� −1� Reemplazando la fórmula 9: 𝒚𝒚= 𝐚𝐚+𝜶𝜶 �𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �𝜶𝜶 �𝒙𝒙 −𝟏𝟏 𝑳𝑳𝟐𝟐�� − 𝟏𝟏�

Fórmula 12 Ecuación de la curva del cable colgante, con constantes 𝑡𝑡,𝐿𝐿,𝛼𝛼

Ecuación de la altura de caída del cable colgante:

Utilizando la fórmula 4: ℎ= 𝑇𝑇𝑤𝑤 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �1 2𝑤𝑤𝐿𝐿𝑇𝑇 1� − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤 𝑇𝑇1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2��� Reordenando: ℎ= 𝑤𝑤1 𝑇𝑇1 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝑇𝑇𝑤𝑤 1 𝐿𝐿 2� − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ � 𝑤𝑤 𝑇𝑇1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2��� Reemplazando la fórmula 9: 𝒄𝒄 =𝜶𝜶 �𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �𝜶𝜶𝟏𝟏 𝑳𝑳𝟐𝟐� − 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �𝜶𝜶 �𝒙𝒙 −𝑳𝑳𝟐𝟐���

Fórmula 13 Distancia vertical de caída del cable colgante, con constantes 𝐿𝐿,𝛼𝛼

(19)

Longitud del cable colgante Utilizando la fórmula 5: 𝑆𝑆= 2𝑤𝑤 �𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝑇𝑇1 2𝑤𝑤𝐿𝐿𝑇𝑇 1�� Reordenando: 𝑆𝑆= 𝑤𝑤2 𝑇𝑇1 �𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝑇𝑇𝑤𝑤 1 𝐿𝐿 2�� Reemplazando la fórmula 9 𝑺𝑺=𝜶𝜶 �𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒄𝒄 �𝜶𝜶𝟐𝟐 𝑳𝑳𝟐𝟐��

Fórmula 14 Longitud de cable colgante, con constantes 𝐿𝐿,𝛼𝛼

Ecuación de la tensión en un punto del cable colgante:

Utilizando la fórmula 6: 𝑇𝑇=𝑇𝑇1𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝑇𝑇𝑤𝑤 1�𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� Reemplazando la fórmula 9: 𝑇𝑇= 𝑇𝑇1𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛼𝛼 �𝑥𝑥 −𝐿𝐿2�� Reemplazando 𝑇𝑇1 de la fórmula 9: 𝑻𝑻= 𝒘𝒘𝜶𝜶 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �𝜶𝜶 �𝒙𝒙 −𝑳𝑳𝟐𝟐��

Fórmula 15 Tensión en un punto del cable colgante, con constantes 𝐿𝐿,𝑤𝑤,𝛼𝛼

Máxima tensión en un cable colgante

Utilizando la fórmula 7: 𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 =𝑇𝑇1𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �2𝑤𝑤𝐿𝐿𝑇𝑇 1� Reordenando: 𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 = 𝑇𝑇1𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝑇𝑇𝑤𝑤 1 𝐿𝐿 2� Reemplazando la fórmula 9: fabedupeper@gmail.com Página 19 de 41

(20)

𝑇𝑇𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 =𝑇𝑇1𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛼𝛼𝐿𝐿2� Reemplazando 𝑇𝑇1 de la fórmula 9:

𝑻𝑻𝒎𝒎𝒎𝒎𝒙𝒙 = 𝒘𝒘𝜶𝜶 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �𝜶𝜶𝟐𝟐�𝑳𝑳

Fórmula 16 Máxima tensión del cable colgante, con constantes 𝐿𝐿,𝑤𝑤,𝛼𝛼

Máxima distancia vertical de caída del cable colgante

Utilizando la fórmula 8: ℎ𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 = 𝑇𝑇𝑤𝑤 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �1 2𝑤𝑤𝐿𝐿𝑇𝑇 1� −1� Reordenando: ℎ𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥= 𝑤𝑤1 𝑇𝑇1 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝑇𝑇𝑤𝑤 1 𝐿𝐿 2� −1� Reemplazando la fórmula 9: 𝒄𝒄𝒎𝒎𝒎𝒎𝒙𝒙 = 𝟏𝟏𝜶𝜶 �𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �𝜶𝜶𝟐𝟐� − 𝟏𝟏�𝑳𝑳

Fórmula 17 Máxima Distancia vertical de caída del cable colgante, con constantes 𝐿𝐿,𝛼𝛼 CABLE COLGANTE CON APOYOS A DIFERENTE ALTURA

Las fórmulas para un cable colgante con apoyos a diferente altura se determinan en el apéndice 3.

(21)

ARCO EN FORMA DE CATENARIA

El arco en forma de catenaria tiene una longitud de separación entre los puntos de apoyo, 𝐿𝐿, y una máxima altura de elevación, 𝑀𝑀.

Para establecer la ecuación del arco en forma de catenaria se establece el origen del sistema cartesiano en el apoyo izquierdo del arco.

La separación entre apoyos se ubica en el eje de las abscisas y la altura de elevación se ubica en el eje de las ordenadas.

La fórmula 13 nos permite determinar la ecuación del arco en forma de catenaria

ℎ= 1𝛼𝛼 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛼𝛼𝐿𝐿2� − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛼𝛼 �𝑥𝑥 −𝐿𝐿2���

Reemplazamos la constante 𝛼𝛼 por la constante 𝛽𝛽 y la variable independiente ℎ por la variable independiente 𝑦𝑦.

𝒚𝒚=𝜷𝜷 �𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �𝜷𝜷𝟏𝟏 𝑳𝑳𝟐𝟐� − 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �𝜷𝜷 �𝒙𝒙 −𝟐𝟐���𝑳𝑳

Fórmula 18 Ecuación del arco en forma de catenaria, con constantes 𝐿𝐿,𝛽𝛽

(22)

Para utilizar la ecuación de la fórmula 18 es necesario determinar el valor de 𝛽𝛽. Utilizando la fórmula 17:

ℎ𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥=𝛼𝛼 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛼𝛼1 𝐿𝐿2� −1� Reemplazando 𝛼𝛼 por 𝛽𝛽 y ℎ𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥 por 𝑀𝑀.

𝑴𝑴 =𝜷𝜷 �𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �𝜷𝜷𝟏𝟏 𝑳𝑳𝟐𝟐� − 𝟏𝟏�

Fórmula 19 Relación entre las constantes 𝑀𝑀,𝐿𝐿,𝛽𝛽 en un arco con forma de catenaria

La fórmula 19 permite hallar el valor de 𝛽𝛽 conociendo la geometría del arco en forma de catenaria.

Se puede utilizar otra ecuación para la curva en forma de catenaria, en función de

𝑀𝑀,𝐿𝐿,𝛽𝛽. Utilizando la fórmula 18: 𝑦𝑦= 1𝛽𝛽 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛽𝛽𝐿𝐿2� − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛽𝛽 �𝑥𝑥 −𝐿𝐿2��� Multiplicando: 𝑦𝑦= 1𝛽𝛽 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛽𝛽𝐿𝐿2� −𝛽𝛽 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛽𝛽 �𝑥𝑥 −1 𝐿𝐿2�� Despejando: 𝑦𝑦+1𝛽𝛽 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛽𝛽 �𝑥𝑥 −𝐿𝐿2��=𝛽𝛽 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛽𝛽1 𝐿𝐿2Ec 32 Utilizando la fórmula 19: 𝑀𝑀 =𝛽𝛽 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛽𝛽1 𝐿𝐿2� −1� Multiplicando: 𝑀𝑀 = 1 𝛽𝛽 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛽𝛽 𝐿𝐿 2� − 1 𝛽𝛽 Despejando: 𝑀𝑀+𝛽𝛽1 =𝛽𝛽 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛽𝛽1 𝐿𝐿2Ec 33 Igualando Ec 32 y Ec 33: 𝑦𝑦+𝛽𝛽 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛽𝛽 �𝑥𝑥 −1 𝐿𝐿2��=𝛽𝛽 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛽𝛽1 𝐿𝐿2�= 𝑀𝑀+𝛽𝛽1 fabedupeper@gmail.com Página 22 de 41

(23)

𝑦𝑦+𝛽𝛽 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛽𝛽 �𝑥𝑥 −1 𝐿𝐿2��=𝑀𝑀+𝛽𝛽1 Despejando:

𝑦𝑦 =𝑀𝑀+𝛽𝛽 −1 𝛽𝛽 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛽𝛽 �𝑥𝑥 −1 𝐿𝐿2��

Factorizando:

𝒚𝒚=𝑴𝑴+𝜷𝜷 �𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 �𝜷𝜷 �𝒙𝒙 −𝟏𝟏 𝟐𝟐���𝑳𝑳

Fórmula 20 Ecuación del arco en forma de catenaria, con constantes 𝑀𝑀,𝐿𝐿,𝛽𝛽

PENDIENTE DE LA RECTA TANGENTE EN UN PUNTO DEL ARCO EN FORMA DE CATENARIA

El valor de la pendiente de la recta tangente en cualquier punto sobre la curva catenaria se obtiene al derivar la fórmula 18:

𝑦𝑦= 1 𝛽𝛽 �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛽𝛽 𝐿𝐿 2� − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛽𝛽 �𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2��� Derivando: 𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥= 1 𝛽𝛽 �−𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝛽𝛽 �𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� 𝛽𝛽� Multiplicando: 𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥 =−𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝛽𝛽 �𝑥𝑥 − 𝐿𝐿 2�� Ec 34

Por otra parte:

𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥 =𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝜃𝜃 Reemplazando en Ec 32: 𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥 =𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝜃𝜃 Sustituyendo: 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝜃𝜃 =−𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝛽𝛽 �𝑥𝑥 −𝐿𝐿2�� Despejando 𝜃𝜃: 𝜽𝜽= 𝒎𝒎𝒂𝒂𝒄𝒄 𝐭𝐭𝐚𝐚𝐭𝐭 �−𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒄𝒄 �𝜷𝜷 �𝒙𝒙 −𝑳𝑳𝟐𝟐���

Fórmula 21 Ecuación de la pendiente de la recta tangente al arco con forma de catenaria, con constantes 𝐿𝐿,𝛽𝛽

(24)

Al evaluar la fórmula 21 cuando 𝑥𝑥= 0, se obtiene el valor de la pendiente de la recta tangente al arco con forma de catenaria en el inicio de la curva:

𝜃𝜃 =𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐tan�−𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝛽𝛽 �𝑥𝑥 −𝐿𝐿2��� Reemplazando: 𝜃𝜃 =𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐tan�−𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝛽𝛽 �0−𝐿𝐿2��� Restando: 𝜃𝜃= 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐tan�−𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝛽𝛽 �−𝐿𝐿2��� Multiplicando: 𝜃𝜃 =𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐tan�−𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �−𝛽𝛽𝐿𝐿2��

Utilizando identidad hiperbólica16:

𝜃𝜃 =𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠 �− �−𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝛽𝛽𝐿𝐿

2��� Multiplicando:

𝜽𝜽 =𝒎𝒎𝒂𝒂𝒄𝒄 𝐭𝐭𝐚𝐚𝐭𝐭 �𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒄𝒄 �𝜷𝜷𝑳𝑳𝟐𝟐 ��

Fórmula 22 Pendiente de la recta tangente al arco con forma de catenaria en los apoyos, con constantes 𝐿𝐿,𝛽𝛽 AREA BAJO EL ARCO CON FORMA DE CATENARIA

Para determinar la fórmula del área bajo el arco con forma de catenaria se utiliza la Fórmula 20: 𝑦𝑦 =𝑀𝑀+𝛽𝛽 �1 1− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛽𝛽 �𝑥𝑥 −𝐿𝐿2��� Multiplicando: 𝑦𝑦 =𝑀𝑀+𝛽𝛽 −1 𝛽𝛽 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛽𝛽 �𝑥𝑥 −1 𝐿𝐿2�� Integrando: � 𝑦𝑦 𝐿𝐿 0 𝑝𝑝𝑥𝑥 =� �𝑀𝑀+𝛽𝛽 −1 𝛽𝛽 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛽𝛽 �𝑥𝑥 −1 𝐿𝐿2��� 𝐿𝐿 0 𝑝𝑝𝑥𝑥 Utilizando: 16𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ(−𝑚𝑚) =−𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ(𝑚𝑚) fabedupeper@gmail.com Página 24 de 41

(25)

𝐴𝐴= � 𝑦𝑦 𝐿𝐿 0 𝑝𝑝𝑥𝑥 Reemplazando: 𝐴𝐴 =� �𝑀𝑀+𝛽𝛽 −1 𝛽𝛽 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛽𝛽 �𝑥𝑥 −1 𝐿𝐿2��� 𝐿𝐿 0 𝑝𝑝𝑥𝑥 Separando integrales: 𝐴𝐴= � �𝑀𝑀+1𝛽𝛽� 𝐿𝐿 0 𝑝𝑝𝑥𝑥 − � �𝛽𝛽 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛽𝛽 �𝑥𝑥 −1 𝐿𝐿2��� 𝐿𝐿 0 𝑝𝑝𝑥𝑥 Denominando: 𝐴𝐴1 = � �𝑀𝑀+𝛽𝛽�1 𝐿𝐿 0 𝑝𝑝𝑥𝑥 Ec 35 𝐴𝐴2 =� �𝛽𝛽 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛽𝛽 �𝑥𝑥 −1 𝐿𝐿2��� 𝐿𝐿 0 𝑝𝑝𝑥𝑥 Ec 36 Se obtiene: 𝐴𝐴 =𝐴𝐴1 − 𝐴𝐴2 Ec 37 Resolviendo la Ec 35: 𝐴𝐴1 = � �𝑀𝑀+𝛽𝛽�1 𝐿𝐿 0 𝑝𝑝𝑥𝑥 Resolviendo la integral: 𝐴𝐴1 = �𝑀𝑀+1𝛽𝛽� 𝑥𝑥� 0 𝐿𝐿 Evaluando la integral: 𝐴𝐴1 = �𝑀𝑀+1𝛽𝛽� 𝐿𝐿 Multiplicando: 𝐴𝐴1 =𝑀𝑀𝐿𝐿+𝛽𝛽𝐿𝐿 Ec 38 Resolviendo la Ec 36. fabedupeper@gmail.com Página 25 de 41

(26)

𝐴𝐴2 =� �𝛽𝛽 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ �𝛽𝛽 �𝑥𝑥 −1 𝐿𝐿2��� 𝐿𝐿

0

𝑝𝑝𝑥𝑥

Haciendo cambio de variable:

𝑢𝑢 =𝛽𝛽 �𝑥𝑥 −𝐿𝐿2Ec 39 Derivando: 𝑝𝑝𝑢𝑢= 𝛽𝛽𝑝𝑝𝑥𝑥 Despejando: 𝑝𝑝𝑢𝑢 𝛽𝛽 =𝑝𝑝𝑥𝑥 Ec 40 Reemplazando Ec 39 y Ec en 40 en Ec 36: 𝐴𝐴2 =�𝛽𝛽 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ1 (𝑢𝑢)𝑝𝑝𝑢𝑢𝛽𝛽 Multiplicando: 𝐴𝐴2 =𝛽𝛽12� 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ(𝑢𝑢)𝑝𝑝𝑢𝑢 Resolviendo la integral: 𝐴𝐴2 =𝛽𝛽12𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ(𝑢𝑢) Reemplazando Ec 39: 𝐴𝐴2 =𝛽𝛽12𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝛽𝛽 �𝑥𝑥 −𝐿𝐿2�� Evaluando los límites:

𝐴𝐴2 =𝛽𝛽12𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝛽𝛽 �𝑥𝑥 −𝐿𝐿2��� 0 𝐿𝐿

Operando los límites:

𝐴𝐴2 = 𝛽𝛽12𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝛽𝛽 �𝐿𝐿 −𝐿𝐿2�� −𝛽𝛽12𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝛽𝛽 �0−𝐿𝐿2�� Sumando algebraicamente:

𝐴𝐴2 = 𝛽𝛽12𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝛽𝛽 �2𝐿𝐿�� −𝛽𝛽12𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝛽𝛽 �−𝐿𝐿2�� Aplicando identidad hiperbólica17:

𝐴𝐴2 = 𝛽𝛽12𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝛽𝛽 �2𝐿𝐿�� − �−𝛽𝛽12𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝛽𝛽𝐿𝐿2�� Multiplicando:

17𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ(−𝛽𝛽) =−𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ(𝛽𝛽)

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(27)

𝐴𝐴2 = 𝛽𝛽12𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝛽𝛽 � 𝐿𝐿 2��+ 1 𝛽𝛽2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝛽𝛽 � 𝐿𝐿 2�� Sumando: 𝐴𝐴2 = 𝛽𝛽22𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝛽𝛽 �𝐿𝐿2�� Ec 41 Reemplazando Ec 41 y Ec 38 en Ec 37: 𝐴𝐴 =𝐴𝐴1 − 𝐴𝐴2 Reemplazando: 𝑨𝑨=𝑴𝑴𝑳𝑳+𝜷𝜷 −𝑳𝑳 𝜷𝜷𝟐𝟐𝟐𝟐𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒄𝒄 �𝜷𝜷 �𝑳𝑳𝟐𝟐��

Fórmula 23 Área bajo el arco con forma de catenaria, con constantes 𝑀𝑀,𝐿𝐿,𝛽𝛽

La fórmula 20 expresa la suma de dos áreas, la primera está relacionada con el área del rectángulo 𝐴𝐴𝑅𝑅 el cual contiene al arco con forma de catenaria y la segunda es el área deficiente 𝐴𝐴𝐷𝐷 comprendida entre el rectángulo y el arco.

Por lo tanto:

𝐴𝐴𝑅𝑅 = 𝑀𝑀𝐿𝐿

𝐴𝐴𝐷𝐷 = 𝛽𝛽 −𝐿𝐿 𝛽𝛽22𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝛽𝛽 �𝐿𝐿2�� El área deficiente 𝐴𝐴𝐷𝐷 es un área negativa.

LONGITUD DEL ARCO CON FORMA DE CATENARIA

Para determinar la fórmula de la longitud del arco con forma de catenaria se utiliza la fórmula 14 y reemplazando 𝛼𝛼 por 𝛽𝛽:

𝑆𝑆=𝛼𝛼 �𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝛼𝛼2 𝐿𝐿2��

Reemplazando:

𝑺𝑺 =𝜷𝜷 �𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒄𝒄 �𝜷𝜷𝟐𝟐 𝑳𝑳𝟐𝟐��

Fórmula 24 Longitud de cable colgante, con constantes 𝐿𝐿,𝛽𝛽

(28)

APÉNDICE 1 SOLUCIÓN DE LA INTEGRAL � 𝒅𝒅𝒙𝒙 √𝟏𝟏+𝒙𝒙𝟐𝟐 Proceso: � 𝑝𝑝𝑥𝑥 √1 +𝑥𝑥2 Ec 42

Se realiza un cambio de variable:

𝑥𝑥= tan𝑢𝑢 Ec 43 Despejando 𝑢𝑢: 𝑢𝑢= 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐tan𝑥𝑥 Ec 44 Derivando (44): 𝑝𝑝𝑥𝑥= 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐2𝑢𝑢𝑝𝑝𝑢𝑢 Ec 45 Reemplazando Ec 44 y Ec 45 en Ec 42: � 𝑝𝑝𝑥𝑥 √1 +𝑥𝑥2 = �

𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐

2

𝑢𝑢

𝑝𝑝𝑢𝑢

�1 + (tan𝑢𝑢)2 Aplicando ley de exponentes:

� 𝑝𝑝𝑥𝑥

√1 +𝑥𝑥2 = �

𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐

2

𝑢𝑢

𝑝𝑝𝑢𝑢

√1 +𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠2𝑢𝑢 Utilizando identidad trigonométrica18:

� 𝑝𝑝𝑥𝑥 √1 +𝑥𝑥2 = �

𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐

2

𝑢𝑢

𝑝𝑝𝑢𝑢

sec𝑢𝑢 Simplificando: � 𝑝𝑝𝑥𝑥 √1 +𝑥𝑥2 = �sec𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑢𝑢 Multiplicando por: 181 +𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠2𝑢𝑢= sec𝑢𝑢 fabedupeper@gmail.com Página 28 de 41

(29)

sec𝑢𝑢+ tan𝑢𝑢 sec𝑢𝑢+ tan𝑢𝑢 � 𝑝𝑝𝑥𝑥 √1 +𝑥𝑥2 = �sec𝑢𝑢 sec𝑢𝑢+ tan𝑢𝑢 sec𝑢𝑢+ tan𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑢𝑢 Multiplicando: � 𝑝𝑝𝑥𝑥 √1 +𝑥𝑥2 =� 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐2𝑢𝑢+ sec𝑢𝑢tan𝑢𝑢 sec𝑢𝑢+ tan𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑢𝑢 Ec 46

Se realiza cambio de variable:

𝑚𝑚 = sec𝑢𝑢+ tan𝑢𝑢 Ec 47 Derivando: 𝑝𝑝𝑚𝑚= (sec𝑢𝑢tan𝑢𝑢+𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐2𝑢𝑢 )𝑝𝑝𝑢𝑢 Ec 48 Reemplazando Ec 47 y Ec 48 en Ec 46: � 𝑝𝑝𝑥𝑥 √1 +𝑥𝑥2 = � 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐2𝑢𝑢+ sec𝑢𝑢tan𝑢𝑢 sec𝑢𝑢+ tan𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑢𝑢 Reemplazando: � 𝑝𝑝𝑥𝑥 √1 +𝑥𝑥2 = � 𝑝𝑝𝑚𝑚 𝑚𝑚 Integrando: � 𝑝𝑝𝑥𝑥 √1 +𝑥𝑥2 = 𝐿𝐿𝑠𝑠𝑚𝑚 Reemplazando Ec 47: � 𝑝𝑝𝑥𝑥 √1 +𝑥𝑥2 = 𝐿𝐿𝑠𝑠 [sec𝑢𝑢+ tan𝑢𝑢] Reemplazando Ec 44: � 𝑝𝑝𝑥𝑥

√1 +𝑥𝑥2 =𝐿𝐿𝑠𝑠 [sec(𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐tan𝑥𝑥) + tan(𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐tan𝑥𝑥)]

Ec 49

Resolviendo sec(𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐tan𝑥𝑥):

Se realiza el siguiente reemplazo:

𝑣𝑣= 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐tan𝑥𝑥 Ec 50

(30)

Al reemplazar se obtiene:

sec

𝑣𝑣

= sec(

𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐

tan

𝑥𝑥

)

Ec 51

Calculando la tangente a ambos lados de la igualdad en Ec 50: tan𝑣𝑣= tan(𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐tan𝑥𝑥)

Utilizando identidad trigonométrica19:

tan𝑣𝑣= 𝑥𝑥

Utilizando las expresiones trigonométricas:

tan𝑣𝑣 =𝑥𝑥= 𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝑡𝑡𝑐𝑐𝑡𝑡𝑝𝑝𝑦𝑦𝑡𝑡𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑠𝑠𝑐𝑐𝑝𝑝𝑢𝑢𝑠𝑠𝑐𝑐𝑡𝑡𝑐𝑐 = 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐴𝐴 = 𝑥𝑥1

Se utiliza el valor del cateto opuesto de 𝑥𝑥 y el valor del cateto adyacente de 1 para encontrar el valor de la hipotenusa:

ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠𝑢𝑢𝑐𝑐𝑡𝑡= �𝐶𝐶𝐶𝐶2+𝐶𝐶𝐴𝐴2

ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠𝑢𝑢𝑐𝑐𝑡𝑡 =�𝑥𝑥2+ 1 Se calcula el valor de la secante:

sec𝑣𝑣 = ℎ𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑡𝑡𝑠𝑠𝑠𝑠𝑢𝑢𝑐𝑐𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝑡𝑡𝑐𝑐𝑡𝑡𝑝𝑝𝑦𝑦𝑡𝑡𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑡𝑡𝑠𝑠 = √𝑥𝑥2+ 1 1 sec𝑣𝑣=�𝑥𝑥2+ 1 Reemplazando la expresión Ec 51: sec(𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐tan𝑥𝑥) =�𝑥𝑥2+ 1 Ec 52

Por lo tanto, resolviendo la expresión Ec 49:

� 𝑝𝑝𝑥𝑥

√1 +𝑥𝑥2 = 𝐿𝐿𝑠𝑠 [sec(𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐tan𝑥𝑥) + tan(𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐tan𝑥𝑥)] Utilizando identidad trigonométrica y la Ec 52:

� 𝑝𝑝𝑥𝑥 √𝑥𝑥2+ 1= 𝐿𝐿𝑠𝑠 ��𝑥𝑥2+ 1 +𝑥𝑥� Reordenando: 19tan(𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐tan𝑥𝑥) =𝑥𝑥 fabedupeper@gmail.com Página 30 de 41

(31)

� 𝑝𝑝𝑥𝑥

√𝑥𝑥2+ 1= 𝐿𝐿𝑠𝑠 �𝑥𝑥+�𝑥𝑥2+ 1� Reemplazando la siguiente función hiperbólica inversa20:

𝐿𝐿𝑠𝑠 �𝑥𝑥+�𝑥𝑥2+ 1= 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ𝑥𝑥 Por lo tanto: � 𝒅𝒅𝒙𝒙 √𝒙𝒙𝟐𝟐+𝟏𝟏= 𝒎𝒎𝒂𝒂𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒄𝒄𝒙𝒙 20 Ver APÉNDICE 2 fabedupeper@gmail.com Página 31 de 41

(32)

APÉNDICE 2

DEMOSTRACIÓN DE LA IGUALDAD

𝒎𝒎𝒂𝒂𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒄𝒄𝒙𝒙= 𝑳𝑳𝒔𝒔 �𝒙𝒙+�𝒙𝒙𝟐𝟐+𝟏𝟏� El seno hiperbólico se expresa de la siguiente manera:

𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ𝑥𝑥=𝑠𝑠𝑥𝑥− 𝑠𝑠2 −𝑥𝑥 Expresando 𝑦𝑦= 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ𝑥𝑥 se obtiene:

𝑦𝑦= 𝑠𝑠𝑥𝑥− 𝑠𝑠2 −𝑥𝑥

La función inversa del seno hiperbólico se encuentra cambiando la posición de la variable dependiente y de la variable independiente:

𝑥𝑥=𝑠𝑠𝑦𝑦− 𝑠𝑠2 −𝑦𝑦 Expresando los exponentes positivos:

𝑥𝑥 =𝑠𝑠 𝑦𝑦 1

𝑠𝑠𝑦𝑦 2 Realizando multiplicación algebraica:

𝑥𝑥=

𝑠𝑠2𝑦𝑦1

𝑠𝑠𝑦𝑦 2 Realizando la división fraccionaria:

𝑥𝑥= 𝑠𝑠2𝑦𝑦−1 2𝑠𝑠𝑦𝑦 Multiplicando: 2𝑥𝑥𝑠𝑠𝑦𝑦 =𝑠𝑠2𝑦𝑦 1 Cambiando de posición: 0 = 𝑠𝑠2𝑦𝑦 12𝑥𝑥𝑠𝑠𝑦𝑦 Reordenando: 𝑠𝑠2𝑦𝑦 2𝑥𝑥𝑠𝑠𝑦𝑦1 = 0 Reemplazando 𝑠𝑠𝑦𝑦 =𝑚𝑚 𝑚𝑚22𝑥𝑥𝑚𝑚 −1 = 0 Cambiando de posición: 𝑚𝑚22𝑥𝑥𝑚𝑚= 1

Sumando ambos lados por el término del trinomio cuadrado perfecto:

(33)

𝑚𝑚22𝑥𝑥𝑚𝑚+𝑥𝑥2 = 1 +𝑥𝑥2 Factorizando:

(𝑚𝑚 − 𝑥𝑥)2 = 𝑥𝑥2+ 1 Hallando raíz cuadrada:

𝑚𝑚 − 𝑥𝑥 = �𝑥𝑥2 + 1 Despejando:

𝑚𝑚= 𝑥𝑥+�𝑥𝑥2 + 1 Sustituyendo 𝑚𝑚= 𝑠𝑠𝑦𝑦

𝑠𝑠𝑦𝑦 = 𝑥𝑥+�𝑥𝑥2+ 1 Hallando logaritmo natural a ambos lados:

𝐿𝐿𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦 = 𝐿𝐿𝑠𝑠 �𝑥𝑥+�𝑥𝑥2+ 1 Aplicado propiedad de logaritmo natural21:

𝑦𝑦= 𝐿𝐿𝑠𝑠 �𝑥𝑥+�𝑥𝑥2+ 1

Ec 53

Por otra parte, la siguiente expresión:

𝑥𝑥=𝑠𝑠𝑦𝑦−𝑠𝑠2−𝑦𝑦

Ec 54

Se puede expresar como:

𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ𝑦𝑦= 𝑠𝑠𝑦𝑦 − 𝑠𝑠−𝑦𝑦 2 Hallando arco seno hiperbólico a ambos lados:

𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ(𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ𝑦𝑦) =𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝑠𝑠𝑦𝑦− 𝑠𝑠2 −𝑦𝑦�

Aplicando propiedad hiperbólica22:

𝑦𝑦= 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ �𝑠𝑠𝑦𝑦− 𝑠𝑠2 −𝑦𝑦� Reemplazando Ec 54: 𝑦𝑦= 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ(𝑥𝑥) Ec 55 Igualando Ec 53 y Ec 55: 𝒎𝒎𝒂𝒂𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒄𝒄𝒙𝒙= 𝑳𝑳𝒔𝒔 �𝒙𝒙+�𝒙𝒙𝟐𝟐+𝟏𝟏� 21𝐿𝐿𝑠𝑠𝑠𝑠𝑦𝑦=𝑦𝑦 22𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ (𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ𝑦𝑦) =𝑦𝑦 fabedupeper@gmail.com Página 33 de 41

(34)

APÉNDICE 3

CABLE COLGANTE CON APOYOS A DIFERENTE ALTURA

Figura 5 Forma del cable colgando bajo la acción de su propio peso, con apoyos a diferente altura

Se considera el caso de un cable colgado en sus extremos a diferente altura y se va a determinar la ecuación cartesiana de la curva.

(35)

Para deducir la ecuación de la curva del cable colgando a diferente altura se establece el origen del sistema cartesiano en el extremo inferior izquierdo del apoyo izquierdo y se indican las siguientes variables:

𝑞𝑞 = Altura del apoyo izquierdo

𝑝𝑝 = Altura del apoyo derecho

𝑢𝑢 = Distancia entre los puntos de apoyo

𝑤𝑤 = Peso específico lineal

ℎ = Distancia de caída en un punto de la curva

𝑦𝑦 = Altura de un punto de la curva

𝑥𝑥 = Distancia de un punto de la curva

𝑡𝑡 = Distancia del punto más bajo de la curva al eje 𝑦𝑦

𝑡𝑡 = altura del punto más bajo de la curva al eje 𝑥𝑥

𝑇𝑇𝑚𝑚 = Tensión del cable en el apoyo izquierdo

𝑇𝑇𝑏𝑏 = Tensión del cable en el apoyo derecho

𝑇𝑇1 = Tensión mínima del cable

La Ec 17 nos indica el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva:

𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ � 𝑤𝑤 𝑇𝑇1𝑥𝑥+𝐶𝐶1� Reemplazando la fórmula 9: 𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥= 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ (𝛼𝛼𝑥𝑥+𝐶𝐶1) Ec 56

De la figura 5 se analiza el valor de la pendiente mínima en el punto más bajo de la catenaria.

Reemplazando en la Ec 56 cuando 𝑥𝑥=𝑡𝑡, 𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥⁄ = 0

𝑝𝑝𝑦𝑦

𝑝𝑝𝑥𝑥= 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ (𝛼𝛼𝑥𝑥+𝐶𝐶1)

0 = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ (𝛼𝛼𝑡𝑡+𝐶𝐶1) Hallando arco seno hiperbólico:

𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ (0) = 𝑡𝑡𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ [𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ (𝛼𝛼𝑡𝑡+𝐶𝐶1)] Aplicando identidades: 0 =𝛼𝛼𝑡𝑡+𝐶𝐶1 Despejando: 𝐶𝐶1 = −𝛼𝛼𝑡𝑡 Reemplazando en la Ec 56: 𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥= 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ (𝛼𝛼𝑥𝑥+𝐶𝐶1) Sustituyendo: fabedupeper@gmail.com Página 35 de 41

(36)

𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ (𝛼𝛼𝑥𝑥 − 𝛼𝛼𝑡𝑡) Factorizando: 𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ[𝛼𝛼(𝑥𝑥 − 𝑡𝑡)] Ec 57

Separando las diferenciales:

𝑝𝑝𝑦𝑦=𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ[𝛼𝛼(𝑥𝑥 − 𝑡𝑡)] 𝑝𝑝𝑥𝑥 Integrando: � 𝑝𝑝𝑦𝑦 =� 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ[𝛼𝛼(𝑥𝑥 − 𝑡𝑡)] 𝑝𝑝𝑥𝑥 Resolviendo la integral: 𝑦𝑦 =𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ1 [𝛼𝛼(𝑥𝑥 − 𝑡𝑡)] +𝐶𝐶2 Ec 58

Se va a determinar una primera ecuación de la curva catenaria teniendo en cuenta: cuando 𝑥𝑥= 0, 𝑦𝑦 =𝑞𝑞. Reemplazando en la Ec 58: 𝑦𝑦 =𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ1 [𝛼𝛼(𝑥𝑥 − 𝑡𝑡)] +𝐶𝐶2 Sustituyendo: 𝑞𝑞 =𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ1 [𝛼𝛼(0− 𝑡𝑡)] +𝐶𝐶2 Multiplicando: 𝑞𝑞= 1𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ (−𝛼𝛼𝑡𝑡) +𝐶𝐶2 Aplicando identidad: 𝑞𝑞=𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ1 (𝛼𝛼𝑡𝑡) +𝐶𝐶2 Despejando: 𝐶𝐶2 = 𝑞𝑞 −1𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ (𝛼𝛼𝑡𝑡) Reemplazando en Ec 58: 𝑦𝑦 =𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ1 [𝛼𝛼(𝑥𝑥 − 𝑡𝑡)] +𝐶𝐶2 Sustituyendo: 𝑦𝑦= 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ1 [𝛼𝛼(𝑥𝑥 − 𝑡𝑡)] +𝑞𝑞 −𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ1 (𝛼𝛼𝑡𝑡) Reordenando: 𝑦𝑦= 𝑞𝑞+1𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ [𝛼𝛼(𝑥𝑥 − 𝑡𝑡)]−𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ1 (𝛼𝛼𝑡𝑡) Factorizando fabedupeper@gmail.com Página 36 de 41

(37)

𝒚𝒚=𝒒𝒒+𝜶𝜶𝟏𝟏{𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 [𝜶𝜶(𝒙𝒙 − 𝒕𝒕)]− 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 (𝜶𝜶𝒕𝒕)}

Fórmula 25 Ecuación de la curva del cable colgante con apoyos a diferente altura, con constantes 𝑞𝑞,𝑡𝑡,𝛼𝛼

Reemplazando en la fórmula 25 cuando 𝑥𝑥=𝑢𝑢, 𝑦𝑦 =𝑝𝑝:

𝑦𝑦 =𝑞𝑞+𝛼𝛼1{𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ [𝛼𝛼(𝑥𝑥 − 𝑡𝑡)]− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ (𝛼𝛼𝑡𝑡)} Reemplazando: 𝑝𝑝= 𝑞𝑞+𝛼𝛼1{𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ [𝛼𝛼(𝑢𝑢 − 𝑡𝑡)]− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ (𝛼𝛼𝑡𝑡)} Despejando: 𝑞𝑞= 𝑝𝑝 −𝛼𝛼1{𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ [𝛼𝛼(𝑢𝑢 − 𝑡𝑡)]− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ (𝛼𝛼𝑡𝑡)} Ec 59

La longitud del cable colgante con apoyos a diferente altura se encuentra utilizando la siguiente integral: 𝑆𝑆=� �1 +�𝑝𝑝𝑦𝑦𝑝𝑝𝑥𝑥� 2 𝑝𝑝𝑥𝑥 𝑢𝑢 0 Reemplazando la Ec 56: 𝑆𝑆= � �1 + (𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ[𝛼𝛼(𝑥𝑥 − 𝑡𝑡)])2𝑝𝑝𝑥𝑥 𝑢𝑢 0 Aplicando identidad: 𝑆𝑆=� �(𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ[𝛼𝛼(𝑥𝑥 − 𝑡𝑡)])2𝑝𝑝𝑥𝑥 𝑢𝑢 0 Hallando raíz: 𝑆𝑆=� 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ [𝛼𝛼(𝑥𝑥 − 𝑡𝑡)] 𝑝𝑝𝑥𝑥 𝑢𝑢 0 Integrando: 𝑆𝑆=𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ1 [𝛼𝛼(𝑥𝑥 − 𝑡𝑡)] |0𝑢𝑢 Resolviendo los límites:

𝑆𝑆= 1𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ [𝛼𝛼(𝑢𝑢 − 𝑡𝑡)]−1𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ [𝛼𝛼(0− 𝑡𝑡)] Multiplicando:

𝑆𝑆=𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ1 [𝛼𝛼(𝑢𝑢 − 𝑡𝑡)]−𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ1 (−𝛼𝛼𝑡𝑡) Aplicando identidad:

(38)

𝑆𝑆= 𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ1 [𝛼𝛼(𝑢𝑢 − 𝑡𝑡)] +𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ1 (𝛼𝛼𝑡𝑡) Factorizando: 𝑆𝑆=𝛼𝛼1{𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ [𝛼𝛼(𝑢𝑢 − 𝑡𝑡)] +𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ (𝛼𝛼𝑡𝑡)} Ec 60 Restándole a la Ec 60 la Ec 59: 𝑆𝑆 − 𝑞𝑞 =𝛼𝛼1{𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ [𝛼𝛼(𝑢𝑢 − 𝑡𝑡)] +𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ (𝛼𝛼𝑡𝑡)}− �𝑝𝑝 −𝛼𝛼1{𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ [𝛼𝛼(𝑢𝑢 − 𝑡𝑡)]− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ (𝛼𝛼𝑡𝑡)}� Quitando agrupadores: 𝑆𝑆 − 𝑞𝑞= 1𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ [𝛼𝛼(𝑢𝑢 − 𝑡𝑡)] +𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ1 (𝛼𝛼𝑡𝑡)− 𝑝𝑝+𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ1 [𝛼𝛼(𝑢𝑢 − 𝑡𝑡)]−𝛼𝛼 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ1 (𝛼𝛼𝑡𝑡) Despejando y factorizando 𝑆𝑆 − 𝑞𝑞+𝑝𝑝= 𝛼𝛼1{𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ [𝛼𝛼(𝑢𝑢 − 𝑡𝑡)] +𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ (𝛼𝛼𝑡𝑡) +𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ [𝛼𝛼(𝑢𝑢 − 𝑡𝑡)]− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ (𝛼𝛼𝑡𝑡)} Multiplicando y reordenando: 𝛼𝛼(𝑆𝑆+𝑝𝑝 − 𝑞𝑞) =�𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ [𝛼𝛼(𝑢𝑢 − 𝑡𝑡)] +𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ [𝛼𝛼(𝑢𝑢 − 𝑡𝑡)]−{𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ (𝛼𝛼𝑡𝑡)− 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ (𝛼𝛼𝑡𝑡)}� Aplicando identidad23: 𝛼𝛼(𝑆𝑆+𝑞𝑞 − 𝑝𝑝) = {𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ [𝛼𝛼(𝑢𝑢 − 𝑡𝑡)] +𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ [𝛼𝛼(𝑢𝑢 − 𝑡𝑡)]− 𝑠𝑠−𝛼𝛼𝛼𝛼} Aplicando identidad24: 𝛼𝛼(𝑆𝑆+𝑞𝑞 − 𝑝𝑝) =�𝑠𝑠𝛼𝛼(𝑢𝑢−𝛼𝛼)− 𝑠𝑠−𝛼𝛼𝛼𝛼 Multiplicando exponentes: 𝛼𝛼(𝑆𝑆+𝑞𝑞 − 𝑝𝑝) =𝑠𝑠𝛼𝛼𝑢𝑢−𝛼𝛼𝛼𝛼− 𝑠𝑠−𝛼𝛼𝛼𝛼 Propiedad de exponentes: 𝛼𝛼(𝑆𝑆+𝑞𝑞 − 𝑝𝑝) =𝑠𝑠𝑠𝑠𝛼𝛼𝑢𝑢𝛼𝛼𝛼𝛼𝑠𝑠1𝛼𝛼𝛼𝛼 Sumando fracciones: 𝛼𝛼(𝑆𝑆+𝑞𝑞 − 𝑝𝑝) =𝑠𝑠𝛼𝛼𝑢𝑢𝑠𝑠𝛼𝛼𝛼𝛼−1 23𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ(𝑥𝑥)− 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ(𝑥𝑥) =𝑠𝑠−𝑥𝑥 24𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ(𝑥𝑥) +𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ(𝑥𝑥) =𝑠𝑠𝑥𝑥 fabedupeper@gmail.com Página 38 de 41

(39)

Separando:

𝑠𝑠𝛼𝛼𝛼𝛼 = 𝑠𝑠𝛼𝛼𝑢𝑢−1

𝛼𝛼(𝑆𝑆+𝑞𝑞 − 𝑝𝑝) Aplicando logaritmo natural:

𝛼𝛼𝑡𝑡= 𝐿𝐿𝑠𝑠 �𝛼𝛼(𝑆𝑆𝑠𝑠𝛼𝛼𝑢𝑢+𝑞𝑞 − 𝑝𝑝−1 )Ec 61

Despejando:

𝒕𝒕= 𝟏𝟏𝜶𝜶 𝑳𝑳𝒔𝒔 �𝜶𝜶(𝑺𝑺𝒔𝒔𝜶𝜶𝜶𝜶+𝒒𝒒 − 𝒑𝒑− 𝟏𝟏 )

Fórmula 26 relación de las variables de la curva del cable colgante con apoyos a diferente altura, con constantes 𝑞𝑞,𝑝𝑝,𝑡𝑡,𝑢𝑢,𝑆𝑆,𝛼𝛼

La fórmula 26 tiene dos incógnitas para ser resueltas en simultánea, la constante geométrica y la longitud del cable, por lo tanto, se determina establecer la constante geométrica como la incógnita a resolver, para ello se utiliza la Ec 60.

𝑆𝑆=𝛼𝛼1{𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ [𝛼𝛼(𝑢𝑢 − 𝑡𝑡)] +𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ (𝛼𝛼𝑡𝑡)} Multiplicando: 𝑆𝑆=𝛼𝛼1{𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ [𝛼𝛼𝑢𝑢 − 𝛼𝛼𝑡𝑡] +𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ (𝛼𝛼𝑡𝑡)} Reemplazando la Ec 61: 𝑺𝑺= 𝟏𝟏 𝜶𝜶 �𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒄𝒄 �𝜶𝜶𝜶𝜶 − �𝑳𝑳𝒔𝒔 � 𝒔𝒔𝜶𝜶𝜶𝜶− 𝟏𝟏 𝜶𝜶(𝑺𝑺+𝒒𝒒 − 𝒑𝒑)���+𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝒄𝒄 �𝑳𝑳𝒔𝒔 � 𝒔𝒔𝜶𝜶𝜶𝜶− 𝟏𝟏 𝜶𝜶(𝑺𝑺+𝒒𝒒 − 𝒑𝒑)��� Fórmula 27 relación de las variables de la curva del cable colgante con apoyos a diferente altura, con constantes

𝑞𝑞,𝑝𝑝,𝑢𝑢,𝑆𝑆,𝛼𝛼

La fórmula 27 permite encontrar el valor de la constante geométrica de un cable colgante en apoyos a diferente altura, conociendo el valor de la longitud del cable, la distancia horizontal entre los apoyos, y sus respectivas alturas.

Es importante aclarar la existencia de una longitud mínima del cable colgante, la cual es equivalente a la distancia existente entre los puntos de apoyo, determinada de la siguiente manera:

𝑺𝑺𝒎𝒎𝒎𝒎𝒔𝒔= �(𝒒𝒒 − 𝒑𝒑)𝟐𝟐+𝜶𝜶𝟐𝟐

Fórmula 28 Longitud mínima del cable colgante con apoyos a diferente altura, con constantes 𝑞𝑞,𝑝𝑝,𝑢𝑢

(40)

Una longitud inferior a la longitud mínima de la fórmula 28 no permite resolver la fórmula 27.

Para determinar la altura del punto más bajo del cable colgante con apoyos a diferente altura se utiliza la fórmula 25, cuando 𝑥𝑥=𝑡𝑡, 𝑦𝑦= a

𝑦𝑦 =𝑞𝑞+𝛼𝛼1{𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ [𝛼𝛼(𝑥𝑥 − 𝑡𝑡)]− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ (𝛼𝛼𝑡𝑡)} Reemplazando: 𝑡𝑡=𝑞𝑞+𝛼𝛼1{𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ [𝛼𝛼(𝑡𝑡 − 𝑡𝑡)]− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ (𝛼𝛼𝑡𝑡)} Restando: 𝑡𝑡= 𝑞𝑞+𝛼𝛼1{𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ (0)− 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐ℎ (𝛼𝛼𝑡𝑡)} Aplicando identidad: 𝒎𝒎 =𝒒𝒒+𝜶𝜶𝟏𝟏[𝟏𝟏 − 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 (𝜶𝜶𝒕𝒕)]

Fórmula 29 Altura más baja del cable colgante con apoyos a diferente altura, con constantes 𝑞𝑞,𝑡𝑡,𝛼𝛼

Para encontrar el valor de la tensión en cualquier punto del cable colgando en extremos a diferente altura se utiliza la Ec 10.

𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥 =𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝜃𝜃 Reemplazando la Ec 3: 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠𝜃𝜃 =𝑊𝑊𝑇𝑇 1 Por lo tanto: 𝑊𝑊 𝑇𝑇1 = 𝑝𝑝𝑦𝑦 𝑝𝑝𝑥𝑥 Reemplazando la Ec 57 𝑊𝑊 𝑇𝑇1 = 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ[𝛼𝛼(𝑥𝑥 − 𝑡𝑡)] Multiplicando: 𝑊𝑊 =𝑇𝑇1𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ[𝛼𝛼(𝑥𝑥 − 𝑡𝑡)] Elevando al cuadrado: 𝑊𝑊2 = 𝑇𝑇 12𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ2[𝛼𝛼(𝑥𝑥 − 𝑡𝑡)] Reemplazando la Ec 5: 𝑇𝑇22− 𝑇𝑇12 =𝑇𝑇12𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ2[𝛼𝛼(𝑥𝑥 − 𝑡𝑡)] Despejando: 𝑇𝑇22 = 𝑇𝑇12 +𝑇𝑇12𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠ℎ2[𝛼𝛼(𝑥𝑥 − 𝑡𝑡)] fabedupeper@gmail.com Página 40 de 41

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