Notas basadas en el prontuarios de MATE 3325 Notas escritas por Dr. M
Notas en l´
ogica b´
asica
En estas notas trabajaremos con l´ogica b´asica. Empezamos con argumentos. Todos hemos utilizados argumentos en nuestra vida cotidiana. Algunas veces los usamos en filosof´ıa, otras veces en las ciencas naturales, tambi´en en las humanidades y como tambi´en en la vida com´un con la familia y amigos. Argumentos son las herramientas que usamos para convencer a alguna persona de nuestro punto de vista.
La l´ogica es el estudio de estas herramientas para determinar diferenias entre argumentos v´alidos y argumentos inv´alidos, o sea, aquellos para los cuales vale la pena razonar y aquellos para los cuales no vale la pena.
Definici´on 1.1. Un enunciado es una oraci´on declarativa que es cierta o falsa, pero no ambos.
Cuando analizamos enunciados, una de las primeras cosas que notamos es que algunos enunciados son simples, mientras otros son compuestos.
Definici´on 1.2. Un enunciado simple es un enunciado que tiene un solo sujeto, un solo predicado y no puede ser una combinaci´on de otros enunciados con el uso de conectivas como “no”, “y”, “o”, “si-entonces” y “si y solo si”. Tales enunciados son indivisibles.
Ejemplo 1.3. Algunos ejemplos. 1. √2 es irracional.
2. El n´umero π es irracional. 3. Batman es un superh´eroe. 4. 2 + 1 es 8.
Definici´on 1.4. Un enunciado compuesto es un enunciado que consiste de una com-binaci´on de enunciados simples unidos por uno o m´as conectivas.
Ejemplo 1.5. Algunos ejemplos.
1. Batman es un superh´eroe y no puede volar.
2. El cuadrado de un entero es impar si y solo si el entero es impar.
3. Si √2 es irracional, entonces no puede escribirse como un decimal repetitivo. Los siguientes ejemplos no son enunciados.
1. Esta oraci´on es falsa. 2. x+ 7 = 3x.
De la misma manera que en ´Algebra utilizamos variables para denotar n´umeros, s´ımbolos como “+” para denotar operaciones y par´entesis para eliminar ambig¨uedades, tambi´en en l´ogica usamos variables para denotar enunciados, varios s´ımbolos para de-notar conectivas, sus operaciones y par´entesis para eliminar ambig¨uedades.
Definici´on 1.7. S´ımbolos como “p”, “q” y “r”, etc. se llaman variables de enunciados y pueden simbolizar arbitrariamente enunciados simples.
Definici´on 1.8. Las conectivas que son usadas para formar enunciados compuestos est´an dados en la siguiente tabla.
Negaci´on no ¬
Conjunci´on y ∧
Disyunci´on ´o ∨
Condicional si· · ·, entonces −→ Bicondicional si y solo si ←→
Definici´on 1.9. Una expresi´on es una secuencia finita de variables de enunciados y conectivas.
Ejemplo 1.10. Algunos ejemplos.
1. Batman es un superh´eroe y no puede volar.
Sea p el enunciado “Batman es un superh´eroe” y q es el enunciado “puede volar”. Entonces el enunciado “Batman es un superh´eroe y no puede volar” puede escribirse como p∧(¬q).
2. Si √2 es irracional, entonces no puede escribirse como un decimal repetitivo. Seapel enunciado “√2 es irracional” yqes el enunciado “puede escribirse como un decimal repetitivo”. Entonces el enunciado “Si√2 es irracional, entonces no puede escribirse como un decimal repetitivo” puede escribirse comop−→(¬q). 3. Hoy est´a caliente, pero no est´a soleado.
Sea p el enunciado “hoy est´a caliente” y q es el enunciado “no est´a soleado”. Entonces el enunciado “Hoy est´a caliente, pero no est´a soleado” puede escribirse como p∧q.
4. Tomar´e el curso de F´ısica o el curso de Biolog´ıa.
Sea p el enunciado “tomar el curso de F´ısica” y q es el enunciado “tomar el curso de Biolog´ıa”. Entonces el enunciado “Tomar´e el curso de F´ısica o el curso de Biolog´ıa” puede escribirse como p∨q.
Considere ahora el enunciado condicional p −→ q. El enunciado p se llama hip´otesis, mientras el enunciado q se llama conclusi´on. Este enunciado se conside-ra cierto si no es el caso quepes cierto y qes falso. En tal caso, i.e. pcierto y qfalso, entonces decimos que el enunciado es falso.
Definici´on 1.11. Una tabla de veracidad de un enunciado es una tabla con filas y columnas etiquetadas por los componentes del enunciado seguido por el enunciado como tal. En la tabla, cada fila exibe valores ciertos o falsos de los componentes del enunciado, mientras las columnas exiben valores ciertos o falsos del componente en cuesti´on.
Ejemplo 1.12. Algunos ejemplos.
1. La tabla de veracidad del enunciado ¬p es p ¬p
C F
F C
2. La tabla de veracidad del enunciado p∨q es p q p∨q
C C C
C F C
F C C
F F F
3. La tabla de veracidad del enunciado p∧q es p q p∧q
C C C
C F F
F C F
F F F
4. La tabla de veracidad del enunciado p−→q es p q p−→q
C C C
C F F
F C C
5. La tabla de veracidad del enunciado p←→q es p q p←→q C C C C F F F C F F F C
6. Construya la tabla de veracidad del enunciado ((p→q)∧(¬q))→(¬p) p q ¬p ¬q p→q (p→q)∧(¬q) ((p→q)∧(¬q))→(¬p)
C C F F C F C
C F F C F F C
F C C F C F C
F F C C C C C
Definici´on 1.13. Un enunciado es una tautolog´ıa si y solo si el valor del enunciado es cierto siempre. Una tautolog´ıa es representada por1. Observe que sipes cualquier enunciado, entonces p∧1 = p p∨1 = 1. Un ejemplo incluye p∨(¬p). p ¬p p∨(¬p) C F C F C C
Definici´on 1.14. Un enunciado es una contradicci´on si y solo si el valor del enunciado es falso siempre. Una contradicci´on es representada por 0. Observe que si p es cualquier enunciado, entonces
p∧0 = 0 p∨0 = p. Un ejemplo incluye p∧(¬p). p ¬p p∧(¬p) C F F F C F
Definici´on 1.15. Un enunciado es una contingencia si y solo si no es una tautolog´ıa ni tampoco una contracci´on.
La mayor´ıa de los ejemplos discutidos en clase son contingencias.
Ejemplo 1.16. Determine cuales de los siguientes enunciados son tautolog´ıas y cuales son contingencias.
1. Si yo te quiero, t´u me quieres.
2. Va a llover o no va a llover en San Juan el d´ıa 3 de julio de 2030. 3. Puede que coma o puede que no.
4. Algunos estudiantes se aburren con la l´ogica.
Hay ocasiones en las cuales queremos reemplazar un enunciado con uno l´ogicamente equivalente. La siguiente definici´on nos indica cuando dos enunciados son equiva-lentes.
Definici´on 1.17. Dos enunciadosp y q son equivalentes si y solo si p ←→q es una tautolog´ıa. En este caso, escribimosp≡q.
Ejemplo 1.18. Construya la tabla de veracidad de los siguientes enunciados. 1. (¬p)∧(¬q) p q ¬p ¬q (¬p)∧(¬q) C C F F F C F F C F F C C F F F F C C C 2. p→(q →r) p q r q→r p→(q→r) C C C C C C C F F F C F C C C C F F C C F C C C C F C F F C F F C C C F F F C C
3. (p∧q)→r p q r p∧q (p∧q)→r C C C C C C C F C F C F C F C C F F F C F C C F C F C F F C F F C F C F F F F C
Las tablas de veracidad se pueden utilizar para identificar tautolog´ıas. A conti-nuaci´on, algunos ejemplos.
Ejemplo 1.19. ¿Cu´ales de los siguientes enunciados son tautolog´ıas? 1. (p→q)→p
Soluci´on: Observe que
p q p→q (p→q)→p
C C C C
C F F C
F C C F
F F C F
Concluimos que (p→q)→pno es una tautolog´ıa. 2. (q∨r)→((¬r)→q)
Soluci´on: Observe que
q r ¬r q∨r (¬r)→q (q∨r)→((¬r)→q)
C C F C C C
C F C C C C
F C F C C C
F F C F F C
Concluimos que el enunciado (q∨r)→((¬r)→q) es una tautolog´ıa.
Note que las tablas de veracidad son ´utiles cuando trabajamos con pocos enun-ciados. Ahora bien, el n´umero de filas en estas tablas crece exponencialmente con relaci´on a la cantidad de enunciados. Por ejemplo, si un enunciado compuesto depende de un solo enunciado simple, entonces la tabla tendr´a solo 2 filas. Si el enunciado compuesto depende de dos enunciados simples, entonces la tabla tendr´a 4 filas. Si el
enunciado compuesto depende de 3 enunciados simples, entonces la tabla tendr´a 8 fi-las. En general, si el enunciado compuesto depende denenunciados simples, entonces la tabla de veracidad tendr´a 2n filas. Por lo tanto, es imperativo encontrar formas alternas de demostrar la veracidad de argumentos. Las siguientes tautolog´ıas toman un rol central a la hora de demostrar que algunos argumentos son v´alidos utilizando razonamiento deductivo. Eventualmente, ellas van a ser utilizadas como reglas de inferencia.
1. Regla de adici´on:
p→p∨q. 2. Regla de simplificaci´on:
p∧q → p p∧q → q. 3. Silogismo disyuntivo: (p∨q)∧(¬p)→q. 4. Resoluci´on: (p∨q)∧(¬p∨r)↔(q∨r). 5. Doble negaci´on:
¬(¬p)↔p. 6. Reglas de conmutatividad: p∧q ↔ q∧p p∨q ↔ q∨p. 7. Reglas de idempotencia: p∧p ↔ p p∨p ↔ p. 8. Regla de contrapositivo: (p→q)↔((¬q)→(¬p)). 9. Leyes de DeMorgan: ¬(p∧q) ↔ ((¬p)∨(¬q)) ¬(p∨q) ↔ ((¬p)∧(¬q)). 10. Regla de distribuci´on:
(p∧(q∨r)) ↔ ((p∧q)∨(p∧r)) (p∨(q∧r)) ↔ ((p∨q)∧(p∨r)).
11. Regla de la transitividad: ((p→q)∧(q→r)) ↔ (p→r) ((p↔q)∧(q↔r)) ↔ (p↔r). 12. Modus ponens (MP): ((p→q)∧p)→q 13. Modus tolens (MT): ((p→q)∧(¬q))→ ¬p. 14. Contradicci´on: (p∧(¬p))↔0.
Ejemplo 1.20. Sin utilizar tabla de veracidad, demuestre que (¬p) → (p → q) es una tautolog´ıa.
Demostraci´on: Note que
(¬p)→(p→q) ≡ p∨(p→q) ≡ p∨((¬p)∨q) ≡ (p∨(¬p))∨q ≡ 1∨q ≡ 1.
Argumentos v´
alidos
Definici´on 1.21. Un argumento es una secuencia de enunciados llamados premisas, todas conectadas con “y” (∧), y al final, un enunciado llamado concluisi´on, el cual debe ser implicado por las premisas.
Representamos un argumento en forma de la siguiente manera: P1 P2 .. . Pn C
Ejemplo 1.22. Considere el siguiente argumento. Si Batman es un superh´eroe, entonces Batman batalla en contra de las fuerzas del mal. Batman es un superh´eroe. Por lo tanto, Batman batalla en contra de las fuerzas del mal. ¿Es ´este un argumento v´alido?
Soluci´on: Muy probablemente su intuici´on le dice que s´ı. Ahora bien, nuestra intui-ci´on a veces nos falla, as´ı que escribamos este argumento en forma l´ogica y tratemos de evaluar su validez. Para esto, sea py q los siguientes enunciados:
p: Batman es un superh´eroe.
q : Batman batalla en contra de las fuerzas del mal. Note ahora que nuestro argumento tiene la forma
p→q p q
Ahora es claro que si p implica q y tenemos que p es cierto, entonces tendremos q, as´ı que el argumento es v´alido (modus ponens). Si a´un no est´a convencido, entonces mire la tabla de veracidad:
p q p→q (p→q)∧p ((p→q)∧p)→q
C C C C C
C F F F C
F C C F C
F F C F C
Ejemplo 1.23. Considere el siguiente argumento. Si Socrates es un mito, entonces Socrates es un dios del olimpo. Socrates es un mito. Por lo tanto, Socrates es un dios del olimpo. ¿Es ´este un argumento v´alido?
Soluci´on: ¿Qu´e dice su intuici´on? Escribamos este argumento en forma l´ogica y tratemos de evaluar su validez. Para esto, sea p y q los siguientes enunciados:
p: Socrates es un mito.
q : Socrates es un dios del olimpo. Note ahora que nuestro argumento tiene la forma
p→q p q
Este es exactamente el argumento del ejemplo anterior, por lo tanto sabemos que es v´alido.
Ejemplo 1.24. Considere el siguiente argumento. Si Socrates es un fil´osofo, entonces Socrates estudia la validez de argumentos. Socrates estudia la validez de argumentos. Por lo tanto, Socrates es un fil´osofo. ¿Es ´este un argumento v´alido?
Soluci´on: ¿Qu´e dice su intuici´on en este caso? Escribamos este argumento en forma l´ogica para poder evaluar su validez. Para esto, sea py q los siguientes enunciados:
p: Socrates es un filosofo.
q: Socrates estudia la validez de argumentos. Note ahora que nuestro argumento tiene la forma
p→q q p
Observe que es d´ıficil demostrar la validez de este argumento usando las reglas de inferencias de arriba. La raz´on es bien sencilla, el argumento es inv´alido. Para esto, considere la tabla de veracidad.
p q p→q (p→q)∧q ((p→q)∧q)→p
C C C C C
C F F F C
F C C C F
F F C F C
Ejemplo 1.25. Verifique la validez del siguiente argumento: p∨q
(¬p)∨r (¬r)∨s
q∨s
Soluci´on: Note que si p∨q y (¬p)∨r son ambos ciertos, entonces por resoluci´on tenemosq∨r. Por lo tanto, nuestro argumento se reduce a
q∨r (¬r)∨s
q∨s.
Pero si q∨r y s∨(¬r) son ciertos, entonces, de nuevo por resoluci´on tenemos que q∨s. Por lo tanto, el argumento es v´alido. Ejemplo 1.26. Verifique la validez del siguiente argumento:
p→q (¬r)∨(¬q)
r ¬p
Soluci´on: Tome la segunda hip´otesis
(¬r)∨(¬q). Por conmutatividad, tenemos que
(¬r)∨(¬q)↔(¬q)∨(¬r).
Ahora, sabemos que (¬q)∨(¬r) es equivalente a q → (¬r). Por lo tantos, nuestras dos primeras hip´otesis son
p → q q → (¬r).
Aplique la regla de transitividad para obtener p → (¬r). Por lo tanto, nuestras hip´otesis (premisas) y argumento se resumen en
p→(¬r) r ¬p
Finalmente, sip→(¬r) es cierto y r es cierto, entonces tenemos ¬p(modus tolens). Concluimos que nuestro argumento es v´alido.
Ejemplo 1.27. Varifique la validez de los siguientes argumentos.
1. L´ogica es d´ıficil o no a muchos estudiantes le gusta. Si Matem´aticas es f´acil, entonces L´ogica no es d´ıficil. Por lo tanto, si a muchos estudiantes le gusta la L´ogica, entonces Matem´aticas no es f´acil.
Soluci´on: Sea
p: L´ogica es d´ıficil.
q : A muchos estudiantes le gusta la L´ogica. r : Matem´aticas es f´acil.
Nuestro argumento tiene la forma
p∨(¬q) r →(¬p) q→(¬r)
Por conmutatividad, tenemos quep∨(¬q)≡(¬q)∨p. Tambi´en, recuerde que (¬q)∨p≡q→p.
Ahora bien, por contrapositivo, tenemos que
r →(¬p) ≡ ¬(¬p)→(¬r) ≡ p→(¬r).
q →p p→(¬r) q→(¬r)
Finalmente, note que la Regla de la Transitividad nos dice que este ´ultimo argumento es v´alido.
2. Luis es electo presidente de la Junta de Condomines o ambos Pedro y Mar´ıa son electos vicepresidentes de la Junta. Si Luis es electo presidente o Pedro es electo vicepresidente de la Junta, entonces Carlos va a entablar una protesta. Por lo tanto, Luis es electo presidente de la Junta o Carlos entabla una protesta.
Soluci´on: Sea
p: Luis es electo presidente de la Junta. q: Pedro es electo vicepresidente de la Junta. r: Mar´ıa es electa vicepresidente de la Junta. s: Carlos entabla una protesta.
Nuestro argumento tiene la forma
p∨(q∧r) (p∨q)→s
p∨s
Utilice distribuci´on en la primera premisa para obtener p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r). Ahora, si tenemos
(p∨q)∧(p∨r),
entonces definitivamente tenemosp∨q. Por lo tanto, ahora tenemos el siguiente argumento
p∨q (p∨q)→s
p∨s Las dos premisas de este argumento nos dicen
(p∨q)∧((p∨q)→s),
el cual, por modus ponens, nos dice que tenemos s. Finalmente, por adici´on sabemos ques →(p∨s). Concuimos que el argumento es v´alido.
Definici´on 1.28. Un argumento s´olido es un argumento v´alido para el cual todas las premisas (hip´otesis) son ciertas. De lo contrario, decimos que el argumento no es s´olido.
Observe que el Ejemplo 1.11 es un argumento s´olido, mientras el Ejemplo 1.12 no lo es.
